1. Мысли вслух.
(к вопросу о технологии опережающего обучения)
В учебнике геометрии 7-9 (авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.
Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина) приводится доказательство теоремы:
«Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то
площади этих треугольников относятся как произведения сторон,
заключающих равные углы», которое в методических приложениях к
учебнику не рекомендовано к воспроизведению учащимися ввиду его
сложности, а лишь используется как аппарат для доказательства первого
признака подобия треугольников.
В связи с этим хочется продемонстрировать два способа доказательства
этой теоремы, которые, на мой взгляд, окажутся более доступными
восьмиклассникам и подвигнут их к творчеству.
B
I способ.
h1
A C D
h2
Углы АСВ и DCE в треугольниках
АВС и CDE равны.
h1 и h2 – высоты треугольников,
проведенные к сторонам АС и СЕ
соответственно.
Соединим вершины B и D треугольников.
Имеем два очевидных равенства:
E
S ABC AC S CBD BC
= и = ,
S BCD CD S CDE CE
перемножив которые почленно, получим требуемый результат:
S ABC AC ⋅ BC
= .
S CDE CD ⋅ DE

2. II способ.
Пусть даны треугольники ABC и A1B1C1, в которых углы В и В1 равны.
Приложим треугольник A1B1C1 к треугольнику ABC так, как показано на
рисунке.
Соединим вершины А1 и С.
С – точка биссектрисы угла АВ(В1)А1, B (B1)
S ABC AB
поэтому = .
S A B C A1B 1
1 1
Высота h, проведенная из вершины А1,
– общая высота треугольников
А1В1С и А1В1С1. A
SABC BC
Следовательно,
1 1
= . h
S A B C B 1C 1
1 1 1
Перемножив почленно эти два A1
равенства, получим требуемое равенство: C
SABC AB ⋅ BC
1 1
= .
SABC
1 1 1
A1B 1 ⋅ B 1C 1
C1
Очень важно с учащимися решить и такую задачу: «Если угол одного
треугольника дополняет угол другого треугольника до 1800, то площади этих
треугольников относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.»
Пусть даны треугольники АВС и А1В1С1, в которых ∟С + ∟С1 = 1800.
Приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1 так, как показано на
рисунке.
В1
В
А1
(С1)
А С

3. Соединим вершиныА1 и В треугольников. h1 и h2 – общие высоты
треугольников АВС и
1 1 А1С1В, А1С1В и
S ABC h1 ⋅ AC AC S A C B h 2 ⋅ BC BC А1С1В1
= 2 = и 1 1
= 2 = .
S A C B 1 h ⋅ AC A1C1 S A B C 1
h 2 ⋅ B1C1 B1C1 соответственно.
Следовательно,
1 1 1 1 1
1 1 1
2 2
Перемножив почленно полученные равенства, получим требуемое:
S ABC AC ⋅ BC
= .
SABC
1 1 1
A1C 1 ⋅ B 1C 1
Этот же результат можно получить иначе: соединить точки А и В1 и провести
аналогичные действия.
В девятом классе, пользуясь полученным результатом, полезно рассмотреть с
учащимися и такой способ доказательства утверждения: «Синусы смежных
углов равны». Действительно
пусть ∟С = α, а ∟С1 = β. Тогда приравняв правые части равенств
S ABC AC ⋅ BC ⋅ sin α S ABC AC ⋅ BC
= и = , получим, что sin α =sin β.
SABC
1 1 1
A1C 1 ⋅ B 1C 1 ⋅ sin β SABC A1C 1 ⋅ B 1C 1
1 1 1
Тем самым доказано тождество sin(1800- α) = sin α.
Заметим, что предложенная дидактическая цепочка носит сквозной характер.
Объединяя несколько тем, она несет, столь необходимый, развивающий
эффект.
Познакомившись со свойствами площадей и формулами площадей квадрата,
прямоугольника, убедившись в том, что равносоставленные многоугольники
равновелики, восьмиклассникам вполне по силам решить, например, такие
несложные задачи:1) Из трех равных равносторонних треугольников
сложили трапецию. Найдите ее площадь, если сторона треугольника равна m,
а диагональ полученной трапеции равна n.
2) Из трех равных равнобедренных треугольников, один из углов которых
равен 1200, сложили неравнобедренную трапецию. Найдите ее
площадь, если стороны треугольников равны a и b, а b 〉 а.
3) Из трех равных прямоугольных равнобедренных треугольников сложили
трапецию. Чему равна ее площадь, если: а) высота трапеции равна 2a; б)
большая боковая сторона равна 2b; в) меньшее основание равно 2c.
4) Диагональ прямоугольной трапеции длиной 2a делит ее на два
прямоугольных треугольника. Найдите площадь трапеции, если один из ее
углов равен 300 , а высота трапеции равна h.
5) Диагонали равнобедренной трапеции ABCD (BC║AD) взаимно
перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна h.
6) Сложите прямоугольную трапецию из двух равных прямоугольных
треугольников(с катетами a и b, гипотенузой с) и равнобедренного
прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен с.

4. Обратим внимание на шестую задачу.
Сложив прямоугольную трапецию и доказав, что она таковой
является, учащиеся, пользуясь основными свойствами площадей
и формулой площади прямоугольника, учащиеся без особого труда
а
∙ b c
∙
а c
b
с2
найдут площадь полученной фигуры: ав + . В дальнейшем,
2
познакомившись с формулой площади трапеции, учащиеся выразят площадь
( а + в )2
этой же фигуры в виде: . Но равные многоугольники имеют равные
2
площади! И, приравняв эти выражения, ученики(как бы между прочим)
получат теорему Пифагора ( а это уже элемент опережающего обучения!)!