задачи над векторами

1. Векторы
Вектором в пространстве называется направленный
отрезок, т.е. отрезок, в котором указаны его начало и
конец.
Длиной, или модулем, вектора называется длина
соответствующего отрезка. Длина векторов ,
обозначается соответственно , .
| |
AB
a | |
a
AB
Два вектора называются равными, если они имеют
одинаковую длину и направление.
Вектор с началом в точке А и концом в точке В
обозначается и изображается стрелкой с началом в
точке А и концом в точке В.
AB
Рассматривают также нулевые векторы, у которых начало
совпадает с концом. Все нулевые векторы считаются
равными между собой. Они обозначаются , и их длина
считается равной нулю.
0

2. Вектор.
Действия над векторами

3. Цели обучения
• 9.1.4.1 знать определения вектора, коллинеарных
векторов, равных векторов, нулевого вектора,
единичного вектора и длины вектора;
• 9.1.4.2 знать и применять правила сложения векторов и
умножения вектора на число;

4. Сложение векторов
Для векторов определена операция сложения. Для того
чтобы сложить два вектора и , вектор откладывают
так, чтобы его начало совпало с концом вектора .
Вектор, у которого начало совпадает с началом вектора ,
а конец - с концом вектора , называется суммой векторов
и , обозначается
a b
.
a b

b
a
a
a b
b

5. Свойства сложения векторов
Свойство 1. (переместительный закон).
a b b a
  
Свойство 2. (сочетательный закон).
( ) ( )
a b c a b c
    

6. Умножение вектора на число
Произведение вектора на число t обозначается . По
определению,
a ta
| | | | | |.
ta t a
 
Произведение вектора на число -1 называется
вектором, противоположным и обозначается По
определению, вектор имеет направление,
противоположное вектору и
a
.
a

a

| | | |.
a a
 
Произведением вектора на число t называется вектор,
длина которого равна , а направление остается
прежним, если t > 0, и меняется на противоположное,
если t < 0. Произведением вектора на нуль считается
нулевой вектор.
a
| | | |
t a


7. Свойства
Разностью векторов и называется вектор ,
который обозначается
a b ( )
a b
 
.
a b

Для умножения вектора на число справедливы свойства,
аналогичные свойствам умножения чисел, а именно:
Свойство 1. (сочетательный закон).
( ) ( )
ts a t sa

Свойство 2. (первый распределительный
закон).
( )
t s a ta sa
  
Свойство 3. (второй распределительный
закон).
( )
t a b ta tb
  

8. Упражнение 1
В каком случае длина суммы векторов равна
сумме длин слагаемых?
Ответ: Если векторы одинаково направлены.

9. Упражнение 2
Точка B - середина отрезка AC, а точка C -
середина отрезка BD. Равны ли векторы:
а) и ;
б) и ?
Ответ: а) Да;
CA DB
AB DC
б) нет.

10. Упражнение 3
Ответ: а) и , и , и ;
AB DC AB 1 1
A B AB 1 1
D C
Назовите пары: а) одинаково направленных
векторов; б) противоположно направленных
векторов, с началом и концом в вершинах
параллелепипеда A...D1.
б) и , и , и .
CD 1 1
B A 1 1
C D
AB AB AB

11. Упражнение 4
В кубе A…D1 назовите вектор, равный:
а)
б)
в)
г)
;
AB BC

;
AB AD

1;
AB DD

1 1.
AB B D

Ответ: а) ;
AC б) ;
AC в) 1;
AB г) .
AD

12. Упражнение 5
Ответ: а) Да; б) да; в) да; г) нет.
Для параллелепипеда A...D1 выясните, верны ли
следующие утверждения:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
1 1 1 1
BD BB B D
 
1 1
BD BA BB BC
  
1 1
DB DA DC D D
  
1 1 1 1 1
AC AB BC CC D C D A
    

13. Упражнение 6
Ответ: а) 1;
AB б) 1;
AD в) 0; г) 1
1
.
2
A B
В параллелепипеде A...D1 укажите векторы,
равные:
а)
б)
в)
г)
1 ;
AA AB

1 ;
AA BC

1 1 ;
AA C C

1
1 1
.
2 2
CB CA


14. Упражнение 7
Ответ: 1 .
B D
A...D1 - параллелепипед. Упростите выражение
1 1 1 1 1 1 1.
B D C C C B AC CA A D
    

15. Упражнение 8
Ответ: 1.
AD
A...F1 – правильная призма. Упростите
выражение 1 1 1.
AB CD EE B C
  

16. Упражнение 9
В единичном кубе A...D1 найдите длину вектора
1 1.
AB A D

Ответ. .
2
Решение. Данная сумма
векторов равна вектору
Его длина равна .
.
AC
2

17. Упражнение 10
В единичном кубе A...D1 найдите длину вектора
1 1 .
AB A D

Ответ. .
2
Решение. Данная сумма
векторов равна вектору
Его длина равна .
.
AC
2

18. Упражнение 11
В единичном кубе A...D1 найдите длину вектора
1 1.
AB BC

Ответ. .
Решение. Данная сумма
векторов равна удвоенному
вектору где O1 –
середина отрезка B1D1.
Его длина равна .
7
7
1,
AO

19. Упражнение 12
В правильной треугольной призме ABСA1B1C1, все ребра
которой равны 1, найдите длину вектора 1 1.
AB AC

Ответ.
Решение. Длина данного вектора
равна длине вектора удвоенного
вектора где O – середина
отрезка BC.
Его длина равна
,
AO
3.
3.

20. Упражнение 13
В правильной треугольной призме ABСA1B1C1, все ребра
которой равны 1, найдите длину вектора 1.
AB CC

Ответ.
Решение. Длина данного вектора
равна длине вектора вектора
т.е. равна
2.
1,
AB
2.

21. Упражнение 14
В правильной треугольной призме ABСA1B1C1, все ребра
которой равны 1, найдите длину вектора 1.
BA CB

1,
CA
Ответ.
Решение. Длина данного вектора
равна длине вектора вектора
т.е. равна 2.
2.