перпендикулярные прямые в пространстве

1. Взаимное расположение
прямых в пространстве.
Скрещивающиеся прямые.

2. Цели урока:
 Ввести определение скрещивающихся
прямых.
 Ввести формулировки и доказать признак и
свойство скрещивающихся прямых.

3. Расположение прямых в
пространстве:
α
a
α
b a
b
a ∩ b
a || b
Лежат в одной плоскости!

4. ???
A1
B1
D1
A
B
D
C1
Дан куб АВСDA1B1C1D1
АА1 || DD1, как противоположные
стороны квадрата, лежат в одной
плоскости и не пересекаются.
1. Являются ли параллельными
прямые АА1 и DD1; АА1 и СС1 ?
Почему?
АА1 || DD1; DD1 || CC1 →AA1 || CC1
по теореме о трех
параллельных прямых.
2. Являются ли АА1 и DC
параллельными?
Они пересекаются?
Две прямые называются
скрещивающимися,
если они не лежат в одной плоскости.

5. Две
прямые
Лежат в одной
плоскости
Не лежат в одной
плоскости
(скрещиваются)
Имеют общую
точку
(пересекаются)
Не имеют
общих точек
(параллельны)

6. Признак скрещивающихся прямых.
a
b

 Если одна из двух прямых лежит в
некоторой плоскости, а другая прямая
пересекает эту плоскость в точке, не
лежащей на первой прямой, то эти
прямые скрещивающиеся.

7. Признак скрещиДавнао:ю АВщ  и αх, СсDя∩ п αр=я См, Сы хАВ. .
a
b


Доказательство:
Допустим, что СD и АВ лежат в одной плоскости.
Пусть это будет плоскость β.
С и С
 
АВ и АВ
 
 
 
Доказать, что АВ
А Скрещивается с СD
В
С
D
α совпадает с β
Плоскости совпадают, чего быть не может, т.к. прямая СD
пересекает α. Плоскости, которой принадлежат АВ и СD не
существует и следовательно по определению скрещивающихся
прямых АВ скрещивается с СD. Ч.т.д.

8. Закрепление изученной теоремы:
C1
C
A1
B1
D1
A
B
D
1. Определить взаимное
расположение прямых
АВ1 и DC.
2. Указать взаимное
расположение прямой
DC и плоскости АА1В1В
3. Является ли прямая АВ1
параллельной плоскости
DD1С1С?

9. Теорема:
 Через каждую из двух скрещивающихся
прямых проходит плоскость, параллельная
другой плоскости, и притом только одна.
Дано: АВ скрещивается с СD.
Построить α: АВ α, СD || α. 
А
В
C
D
Доказать, что α – единственная.
1. Через точку А проведем прямую
АЕ, АЕ || СD.
Е
2. Прямые АВ и АЕ пересекаются

и образуют плоскость α. АВ α,
СD || α. α – единственная плоскость.
3. Доказательство:
α – единственная по следствию из
аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ,
пересекает АЕ и, следовательно, прямую СD.

10. Задача №1.
А
В
С
D
M
N
P
К
Р1
Дано: D(АВС),
АМ = МD; ВN = ND; CP = PD
К ВN. 
Определить взаимное
расположение прямых:
а) ND и AB
б) РК и ВС
в) МN и AB

11. Задача №2.
А
В
С
D
M
N
P
К
Дано: D(АВС),
АМ = МD; ВN = ND; CP = PD
К ВN. 
Определить взаимное
расположение прямых:
а) ND и AB
б) РК и ВС
в) МN и AB
г) МР и AС
д) КN и AС
е) МD и BС

12. Задача №3
α
a
b
М
N
Дано: a || b
MN ∩ a = M
Определить
взаимное расположение
прямых MN u b.
Скрещивающиеся.

13. Параллельность прямых
в пространстве
Определение. Две прямые в пространстве
называются параллельными, если они лежат
в одной плоскости и не пересекаются.

14. Теорема о параллельных прямых.
Через любую точку пространства, не
лежащую на данной прямой, проходит
прямая, параллельная данной, и притом
только одна.
К
a
b


15. Параллельные отрезки,
параллельные лучи
в пространстве.
Отрезки в пространстве называются
параллельными, если …
Лучи в пространстве называются
параллельными, если …
…они лежат на параллельных прямых

16. Лемма о параллельных прямых
Если одна из параллельных прямых пересекает
плоскость, то и вторая прямая также пересекает эту
плоскость?
a b


17. Теорема о параллельности трех
прямых в пространстве.
Если две прямые параллельны третьей прямой,
то они параллельны
a
b
с

Дано:
babи
c Доказать: a c

18. Задача №4.
Дано: М – середина BD
A
B
D
N
C
M
Р
Q
N – середина CD
Q – середина АС
P – середина АВ
АD = 12 см; ВС = 14 см
Найти: PMNQP .
Ответ: 26 см.

19. Домашнее задание
 Выучить теорию в конспекте
 Решить задачи 126, 127, 129