1. ‫المحاضرة اللولى‬
‫التحليل الجتجاهي)1(‬
‫مقدمة عامة ‪General introduction‬‬
‫جترجتبببط الكهرببباء لوالمغناطيسببية ارجتباطببا لوثيقببا لوقببد دفببع ذلببك العلمبباء الببى التفكيببر‬
‫بطريقببة لوصببف الظببواهر الكهربيببة لوالمغناطيسببية بنظريببة موحببدة جتعببرف باسببم‬
‫النظريببة الكهرلومغناطيسببية , لوقببد كببان للعببالم جيمببس ماكسببويل ‪James Clerk‬‬
‫‪ Maxwell‬دلور بببارز فببي صببياغة هببذه النظريببة لوجتشببكيلها مببن كببم خل ل أربببع‬
‫علقات هامة جتسمى علقات ماكسويل لومن هذه العلقات جتم اشتقاق معادلة الموجببة‬
‫الكهرلومغناطيسية لوكانت جتشتمل على الرمز ‪ c‬لوالبذي لوجببد فيمببا بعببد أن قيمتببه فببي‬
‫جتتفق بدرجة كبيرة مع سرعة انتشار موجات الضببوء فببي‬ ‫‪2.9979 ×10 8 m / s‬‬ ‫الفراغ‬
‫الفراغ لوالتي أدت فيما بعد لتعببرف العلمبباء علبى طبيعببة موجببات الضببوء للو ل مببرة‬
‫على أنها موجات كهرلومغناطيسية مثببل موجببات الراديببو لولشببعة السببينية لوغيرهببا‬
‫لوالبتي جتختلبف عبن بعضبها فبي الطبو ل المبوجي لوجتجمعهبا جميعبا العلقبة الشبهيرة‬
‫حيث ‪ v‬سبرعة الموجبة لو ‪ λ‬الطبو ل المبوجي لهبا لو ‪ ν‬هبو البتردد لوهبذا‬ ‫‪v = λυ‬‬
‫يعني أن الموجات الكهرلومغناطيسببية جتمثببل طيفببا مببن الموجببات المختلفببة )طيببف‬
‫كهرلومغناطيسي (‬
‫1(التحليل الجتجاهي ‪Vector Analysis‬‬
‫يمكن جتقسيم الكميات الفيزيائية إلى قسمين :‬
‫1( كميات قياسية ‪scalars‬‬
‫1‬

2. ‫2( كميات متجهة ‪vectors‬‬
‫1( الكميببات القياسببية لوجتتميببز بببأن لهبا مقببدار ‪ Magnitude‬لوليببس لهببا‬
‫اجتجاه ‪ direction‬مثل الطاقة لودرجة الحرارة لوالكتلة لوالطو ل‬
‫الكميات المتجهة لوهي كميات فيزيائيببة جتتميببز بببأن لهببا مقببدار لواجتجبباه‬ ‫2(‬
‫مثل الزاحة ‪ displacement‬لوالسرعة ‪velocity‬لوالعجلة ‪accelerat‬‬
‫‪‬‬
‫‪A, A‬‬ ‫‪ ion‬لوالقببوة ‪ force‬لوغيرهببا لويرمببز للكميببات المتجهببة بببالرمز‬
‫لوهندسيا بسهم طوله يسالوي ألو يتناسب مع مقدار الكمية المتجهة لوالتي‬
‫لوهببو مقيبباس المتجببه‬ ‫‪A‬‬ ‫يرمببز لهببا ب ‪ A‬بببدلون سببهم ألو بببالرمز‬
‫‪ modulus‬لوفد جتكتب ‪ modA‬لويتألف المتجه من مركبببات فببي اجتجبباه‬
‫محالور الحداثيات المستخدمة ففي الحداثيات الكارجتيزية يكون للمتجببه‬
‫ثل ث مركببببببببببببببببات لويكتبببببببببببببببب علبببببببببببببببى الصبببببببببببببببورة‬
‫ألو يعببببببوض عنهببببببا ب‬ ‫‪A = A 1 i + A 2 j + A 3k‬‬ ‫‪or‬‬ ‫‪A = A 1 e x + A 2 e y + A 3 ez‬‬
‫كمبببا يمكبببن التعببببير عبببن مقبببدار المتجبببه بالعلقبببة‬ ‫} 3 ‪A = {A 1 , A 2 , A‬‬
‫‪A‬‬
‫,لوفببي‬ ‫= ‪eA‬‬
‫‪A‬‬ ‫كما جتعرف لوحدة المتجه‬ ‫= ‪A = mod A‬‬ ‫2 ‪A1 + A 2 + A‬‬
‫2‬
‫2‬ ‫3‬
‫الحداثيات الكارجتيزية نرمز لوحدة المتجه في اجتجبباه المحببالور ب ‪i,j,k‬‬
‫3‪ or e1,e2,e‬لوإذا كانت القيمببة العدديببة للمتجببه جتسببالوي صببفر سببمي‬
‫المتجببه بببالمتجه الصببفري لويكببون ليببس لببه اجتجبباه ‪, Null Vector‬‬
‫لوعندما يتم جتحديد موضع المتجببه بالنسبببة لنظببام إحببداثيات معيببن جتكببون‬
‫النقطة ‪ (P(x,y,z‬نقطة إحداثياجتها )‪ (x,y,z‬لويكون المتجببه لهببذه لنقطببة‬
‫هو‬
‫‪r = xi + y j + z k‬‬
‫= ‪r‬‬ ‫2 ‪x2 + y 2 +z‬‬
‫2‬

3. ‫بعض أساسيات جبر المتجهات :‬
‫1. يقا ل أن المتجهين متسالويان إذا كان لهما نفس المقببدار لوالجتجبباه بصببرف‬
‫النظر عن لوضع نقطة البداية لكل منهما .‬
‫2. المتجببه ‪ A‬هببو متجببه قيمتببه العدديببة جتسببالوي القيمببة العدديببة للمتجببه ‪, A‬‬
‫لواجتجاهه عكس اجتجاه المتجه ‪. A‬‬
‫3. مجموع متجهين هو متجه رأسه بداية المتجه اللو ل لوذيلببه نهايببة المتجببه‬
‫الثاني.‬
‫متجه صفري .‬ ‫‪A−A‬‬ ‫المتجه‬ ‫4.‬
‫5. عند ضرب قيمة عددية ‪ p‬في متجه ‪ A‬نحصل علببى متجببه لببه قيمببة عدديببة‬
‫‪ pA‬لوجتعطي متجه له قيمة عدديببة ‪ p‬مببن المببرات مببن المتجببه الصببلي لولببه‬
‫نفس الجتجاه لوإذا ضربنا في –‪ p‬يكون بعكس الجتجاه لوإذا ضببربنا فببي صببفر‬
‫نحصل على المتجه الصفري .‬
‫بعض قوانين جبر المتجهات :‬
‫‪A+B = B+A‬‬ ‫قانون التباد ل ‪commutation law‬‬ ‫1.‬
‫القانون التجميعي ‪( A + B ) + C = A + ( B + C ) Associative law‬‬ ‫2.‬
‫‪p (qA ) = ( pq ) A = ( qp ) A‬‬ ‫جتجميع الضرب‬ ‫3.‬
‫‪( p + q ) A = pA + qA‬‬ ‫التوزيع الجمعي ‪distribution law‬‬ ‫4.‬
‫3‬

4. ‫‪p ( A + B ) = pA + p B‬‬ ‫جتوزيع الضرب‬ ‫5.‬
‫المجالت :‬
‫إذا كببان لبديك منطقببة جتحيببط بمركببز دراسببة سببواء كببان شببحنة ألو مغنبباطيس ألو‬
‫جسما آخر ألو ثقبا ...بحيث يظهر جتأثير مركز الدراسببة خللببه فبإن هببذه المنطقببة‬
‫جتدعى مجال لوجتنقسم المجالت إلى نوعين قياسية لومتجهة :‬
‫1. المجا ل القياسي ‪ : scalar field‬لويمثل عادة بدالة جتتحدد عند كل‬
‫نقطة في الفراغ بقيمتها فقط دلون اجتجاه مثل دالببة الجهببد الكهربببي لشببحنة‬
‫استاجتيكية‬
‫المجا ل الجتجاهي ‪ : vector field‬لويمثل عادة بدالبة جتتحبدد عنبد‬ ‫2.‬
‫كل نقطة في الفراغ بقيمتها العدديببة لواجتجاههببا مثببل السببرعة لوجتسببمى‬
‫الدالة في هذه الحالة بالدالة المتجهة ألو جتسمى بمجا ل اجتجبباهي معببرف‬
‫عهلببببى منطقببببة ‪ R‬مثببببا ل ذلببببك سببببرعة جسببببيم علببببى الصببببورة‬
‫‪F( x, y , z ) = x 2 y i + 3xyzj + 4zk‬‬
‫ضرب المتجهات ‪Multiplication of Vectors‬‬
‫لوهناك نوعان من ضرب المتجهات :‬
‫النببوع اللو ل : الضببرب القياسببي ‪ Dot of Scalar Product‬لويمكببن جتعريفببه‬
‫أي ن الضببرب القياسببي يسببالوي حاصببل ضببرب‬ ‫‪A •B = A B cos θ‬‬
‫بالعلقببة التاليببة‬
‫القيمة العددية للمتجه اللو ل في القيمة العددية للمتجه الثاني في جيب جتمببام الزالويببة‬
‫بينهما , لومن خصائص هذا النوع من الضرب :‬
‫4‬

5. ‫1. إن ناجتج الضرب يكون كمية قياسية لها مقدار فقط .‬
‫2. ناجتج الضرب يسالوي صفرا إذا كان أحدهما عموديا على الخر .‬
‫3. إذا كان ناجتج الضرب يسالوي صفرا فهذا يعني إمببا أن أحببدهما عمببودي علببى‬
‫الخر ألو أن أحدهما يسالوي صفرا .‬
‫4. هناك عدة قواعد للضرب القياسي أهمها :‬
‫‪A •B = B •A‬‬
‫‪A • (B + C) = A • B + A • C‬‬
‫‪p ( A • B ) = ( p A ) • B = A • ( p B ) = ( A • B )p‬‬
‫1 = ‪i • i = j • j = k •k‬‬
‫0 = ‪i • j = j •k = i •k‬‬
‫2‪B2 = B2 + B2 + B‬‬
‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬
‫‪A • B = A xBx + A yBy + A zBz‬‬
‫النوع الثبباني :الضببرب الجتجبباهي ‪Cross Product of Vector Product‬‬
‫لوهندسببيا جتعنببي أنهبا‬ ‫‪A ∧ B = AB sin θ n‬‬ ‫‪,0 < θ < π‬‬
‫لويمكن جتعريفببه بالعلقببة التاليبة‬
‫مساحة متوازي الضلع الذي فيببه المتجهيببن ‪ A,B‬ضببلعان متجببالوران , لويسببالوي‬
‫الضرب القياسي حاصل ضرب القيمة العددية لكل مببن المتجهيببن فببي جيببب الزالويببة‬
‫بينهما في متجه الوحدة العمودي على المستوى البذي يوجبد فيببه المتجهبان . لومبن‬
‫خصائص الضرب الجتجاهي :‬
‫‪A ∧ B = −B ∧ A‬‬
‫‪A ∧(B + C) = A ∧ B + A ∧ C‬‬
‫‪p( A ∧ B ) = (pA ) ∧ B = A ∧ (p B ) = ( A ∧ B )p‬‬
‫0 = ‪i ∧ i = j ∧ j = k ∧k‬‬
‫,‪i ∧ j = k‬‬ ‫‪j ∧k = i‬‬ ‫‪,k ∧i = j‬‬
‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪k‬‬
‫‪A ∧B = Ax‬‬ ‫‪Ay‬‬ ‫‪Az‬‬
‫‪Bx‬‬ ‫‪By‬‬ ‫‪Bz‬‬
‫5‬

6. ‫لويمكببن إضببافة أخببرى لعمليببات الضببرب علببى المتجهببات لوهببي الضببرب الثلثببي‬
‫للمتجهات ‪ Multiple Products of Vectors‬لويمكن جتقسيمه أيضا إلى نوعين‬
‫لوهما :‬
‫الضرب الثلثي الجتجاهي :لويعطى بالشكل التالي‬
‫‪( A • B )C = m C‬‬
‫‪where‬‬ ‫‪m = A•B‬‬
‫لويمكبببببن أن يأخبببببذ حاصبببببل الضبببببرب الجتجببببباهي الثلثبببببي الشبببببكل التبببببالي‬
‫‪( A ∧ B ) ∧ C = ( C • A)B − ( C • B )A‬‬
‫الضرب الثلثي القياسي لويعطى بالصورة‬
‫‪Ax‬‬ ‫‪Ay‬‬ ‫‪Az‬‬
‫‪A • ( B ∧ C) = Bx‬‬ ‫‪By‬‬ ‫‪Bz‬‬
‫‪Cx‬‬ ‫‪Cy‬‬ ‫‪Cz‬‬
‫لويعنببي ذلببك هندسببيا حجببم متببوازي اللوجببه الببذي فيببه ‪ A‬لو ‪ B‬لو ‪ C‬ثل ث أضببلع‬
‫متجالورة لويجب أن نلحظ فيه ضببرلورة ضببرب ‪ cross‬ألول ثببم ‪ dot‬لويكببون حاصببل‬
‫الضرب في هذه الحالة قياسيا أيضا لويسمى ‪. Triple scalar product‬‬
‫مفاهيم هامة :‬
‫متجه المساحة ‪vector of area‬‬
‫جتمثل المساحة بمتجه يكون في اجتجبباه عمببودي علببى المسبباحة لوطببوله يتناسببب مببع‬
‫‪ , dsy=dxdz‬لويمكن كتابته على‬ ‫مقدارها حيث ‪dsz=dxdy , dsx=dzdy‬‬
‫حيث ‪ n‬هي متجه الوحدة العمودي على المساحة .‬ ‫‪ds =dsn‬‬ ‫الصورة التالية :‬
‫6‬

7. ‫فيض المتجه ‪flux of vectors‬‬
‫الفيض العمودي ‪ normal flux‬من متجه ما خل ل عنصر مساحة ‪ ds‬يعرف بأنه‬
‫حاصل الضرب القياسي بين المتجه لوعنصر متجه المساحة . فمثل إذا كببان المتجببه‬
‫‪ A‬يمثببل شببدة المجبا ل الكهربببي ‪ E‬فبإن الفيببض العمببودي الكهربببي للخبارج خل ل‬
‫‪dE n = E • ds = E • n ds =E n ds‬‬ ‫عنصر المساحة ‪ ds‬نحصل عليه كالتالي :‬
‫حيث ‪En‬مركبة شدة المجبا ل الكهرببي فببي الجتجباه العمببودي علبى السببطح للخبارج‬
‫لويعطى الفيض الكلي بالعلقة التالية‬
‫‪∫ A • ds‬‬ ‫‪= ∫∫ Ax dydz + ∫∫ Ay dxdz + ∫∫ Az dydx‬‬
‫لوفي حالة التكامل علببى أسببطح مغلقببة فببإن اجتجبباه متجببه الزاحببة يشببير إلببى خببارج‬
‫السطح اصطلحا , أي أن الفيببض الكلببي يمثببل معببد ل التغيببر الصببافي للمتجببه الببذي‬
‫يغادر السطح المقيد للحجم المحصور .‬
‫أمثلة :‬
‫المثا ل اللو ل :‬
‫أثبتي أن المتجهين‬
‫‪A = cos α +sin α‬‬
‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬
‫‪B = cos β +sin β‬‬
‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬
‫هما متجها لوحدة في المستوى ‪ xy‬حيث ‪α‬لو ‪ β‬همببا الزالويتببان اللتببان جتحببددان علببى‬
‫محور ‪ x‬للمتجهين ‪A,B‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬
‫= ‪eA‬‬
‫‪A‬‬
‫,‬ ‫= ‪eB‬‬
‫‪B‬‬ ‫الحل :يمكن إيجاد متجه الوحدة من العلقة التالية‬
‫7‬

8. ‫1 = ‪A = cos 2 α + sin 2 α‬‬
‫1 = ‪B = cos 2 β + sin 2 β‬‬
‫‪∴e A = cos αi + sin αj‬‬
‫‪∴e B = cos βi + sin βj‬‬
‫المثا ل الثاني :‬
‫ألوجدي الزالوية بين المتجهين‬
‫‪A =i −3 j +2k‬‬
‫‪B = − i +4 j −k‬‬
‫2‬
‫الحل‬
‫‪A • B = AB cos θ‬‬
‫=‪A‬‬ ‫2 ) 2 ( + 3 )3 − ( + 2 )1(‬ ‫41 =‬
‫=‪B‬‬ ‫)3 − (‬ ‫2‬
‫62 = )1− ( + ) 4 ( +‬
‫3‬ ‫2‬
‫‪A • B = −3 −12 − 2 = −17 = AB cos θ‬‬
‫‪A •B‬‬ ‫71−‬
‫= ‪cos θ‬‬ ‫=‬ ‫98.0− =‬
‫‪AB‬‬ ‫463‬
‫00.351 = ‪θ‬‬
‫المثا ل الثالث :‬
‫ألوجدي متجه الوحدة العمودي على المستوى الذي يحوي المتجهين ‪ A,B‬حيث‬
‫‪A = 2a r + πaφ + a z‬‬
‫3‬
‫+ ‪B = −a r‬‬ ‫‪πaφ − 2a z‬‬
‫2‬
‫الحل :‬
‫‪A ∧B‬‬
‫= ‪en‬‬
‫‪A ∧B‬‬
‫8‬

9. ‫‪ar‬‬ ‫‪aφ‬‬ ‫‪az‬‬
‫‪−π‬‬
‫7‬
‫2 = ∧ ‪A‬‬
‫‪B‬‬ ‫‪π‬‬ ‫1‬ ‫=‬ ‫‪a r + aφ + π z‬‬
‫3‬ ‫‪4 a‬‬
‫‪3π‬‬ ‫2‬
‫−‬‫1‬ ‫−‬‫2‬
‫2‬
‫∧ ‪A‬‬‫569. = ‪B = 12.25π + + π‬‬
‫2‬
‫9‬ ‫2 61‬ ‫61‬
‫‪∴n = 0.65a r + .18aφ + .7 a z‬‬
‫‪a‬‬ ‫−‬ ‫0‬ ‫0‬
‫الواجب :‬
‫1. ألوجدي متجه الوحببدة العمببودي علببى المسببتوى الببذي يحببوي كل المتجهيببن‬
‫التاليين :‬
‫‪π‬‬
‫− ‪A = 2ar + πaφ‬‬ ‫‪az‬‬
‫2‬
‫1‬
‫‪B = ar − πaφ‬‬
‫3‬
‫2. ألوجدي الزالوية بين المتجهين‬
‫‪A =2i −7 j +4k‬‬
‫‪B =5i +4 j −3k‬‬
‫9‬