chapter2-de-slides.pdf

‫مقدمة‬
‫متجانسة‬ ‫غير‬ ‫معادلات‬
‫الرتبة‬ ‫خفيض‬‫ت‬
‫الثابتة‬ ‫المعاملات‬ ‫ذات‬ ‫النونية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫خطية‬‫ل‬‫ا‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلات‬
The Cauchy-Euler equation ‫أولار‬ ‫كوشي‬ ‫معادلة‬
‫التفاضلي‬ ‫المؤثر‬ ‫معكوس‬
‫العليا‬ ‫الرتب‬ ‫من‬ ‫التفاضليةالعادية‬ ‫المعادلات‬
‫بلال‬ ‫المنجي‬ .‫د‬
‫سعود‬ ‫الملك‬ ‫جامعة‬
2019 ‫سبتمبر‬ 25
‫العليا‬ ‫الرتب‬ ‫من‬ ‫التفاضليةالعادية‬ ‫المعادلات‬ ‫بلال‬ ‫المنجي‬ .‫د‬

‫مقدمة‬
‫يات‬‫حتو‬‫م‬‫ال‬
‫مقدمة‬ 1
‫متجانسة‬ ‫غير‬ ‫معادلات‬ 2
‫الرتبة‬ ‫خفيض‬‫ت‬ 3
‫الثابتة‬ ‫المعاملات‬ ‫ذات‬ ‫النونية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫خطية‬‫ل‬‫ا‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلات‬ 4
‫الثابتة‬ ‫المعاملات‬ ‫ذات‬ ‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫متجانسة‬ ‫الغير‬ ‫خطية‬‫ل‬‫ا‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلات‬
The Cauchy-Euler equation ‫أولار‬ ‫كوشي‬ ‫معادلة‬ 5
‫التفاضلي‬ ‫المؤثر‬ ‫معكوس‬ 6
‫متجانسة‬ ‫خطيةالغير‬‫ل‬‫ا‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلات‬ ‫حل‬‫ل‬ ‫التفاضلي‬ ‫المؤثر‬ ‫استعمال‬ ‫يقة‬‫طر‬
f(x) = eλx ‫حالة‬

‫مقدمة‬
‫يف‬‫تعر‬
‫الصورة‬ ‫على‬ ‫تكون‬ n ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫خطية‬‫ل‬‫ا‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬
a0y(n)
+ a1y(n−1)
+ · · · + any = b, (1)
‫لكل‬ a0(x) ̸= 0 ‫مع‬ (a, b) ‫فترة‬ ‫على‬ ‫متصلة‬ ‫دوال‬ b ‫و‬ a0, . . . , an ‫حيث‬
.x ∈ (a, b)
‫غير‬ ‫المعادلة‬ ‫إن‬ ‫نقول‬ b ̸= 0 ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫و‬ ،‫متجانسة‬ ‫المعادلة‬ ‫إن‬ ‫نقول‬ b = 0 ‫كان‬ ‫إذا‬
‫متجانسة‬

‫مقدمة‬
‫ية‬‫نظر‬
‫على‬ ‫متصلة‬ ‫دوال‬ b ‫و‬ a0, . . . , an ‫حيث‬ with (1) ‫خطية‬‫ل‬‫ا‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫لتكن‬
.x ∈ (a, b) ‫لكل‬ a0(x) ̸= 0 ‫و‬ (a, b) ‫فترة‬
(1) ‫للمعادلة‬ y ‫وحيد‬ ‫حل‬ ‫يوجد‬ .‫حقيقية‬ ‫أعدادا‬ c0, . . . , cn−1 ‫و‬ x0 ∈ (a, b) ‫ليكن‬
‫الفترة‬ ‫كامل‬ ‫على‬ ‫معرف‬ ‫حل‬‫ل‬‫ا‬ ‫هذا‬ y(x0) = c0, . . . , y(n−1)(x0) = cn−1. ‫حيث‬
.(a, b)

‫مقدمة‬
‫ملاحظة‬
‫لكل‬ ‫فإن‬ ،(1) ‫المتجانسة‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلولا‬ y1, . . . , ym ‫كانت‬ ‫إذا‬
.‫المتجانسة‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ a1y1 + . . . + amym ،a1, . . . , am ∈ R

‫مقدمة‬
‫الفترة‬ ‫على‬ ‫خطيا‬ ‫مرتبطة‬ ‫إنها‬ ‫نقول‬ .(a, b) ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫دوالا‬ ،f1, . . . , fm ‫لتكن‬
‫حيث‬ ‫صفر‬ ‫كلها‬ ‫ليست‬ a1, . . . , an ‫وجدت‬ ‫إذا‬ (a, b)
‫إنها‬ ‫نقول‬ ‫كذلك‬ ‫تكن‬ ‫لم‬ ‫إذا‬ ‫و‬ .x ∈ (a, b) ‫لكل‬ a1f1(x) + . . . + amfm(x) = 0
.‫خطيا‬ ‫مستقلة‬

‫مقدمة‬
‫أمثلة‬
.[0,
π
2
] ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫خطيا‬ ‫مستقلة‬ sin x, cos x ‫الدوال‬ 1
،x = 0 ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫فإنه‬ ،x ∈ [0,
π
2
] ‫لكل‬ a sin x + b cos x = 0 ‫كان‬ ‫إذا‬
.a = 0 ‫فإن‬ ،x =
π
2
‫كان‬ ‫إذا‬ ‫و‬ b = 0
.‫مفتوحة‬ ‫فترة‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫خطيا‬ ‫مستقلة‬ sin x, cos x ‫أن‬ ‫نثبت‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬

‫مقدمة‬
.[0,
π
2
] ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫خطيا‬ ‫مستقلة‬ ex, sin x, cos(2x) ‫الدوال‬ 2
‫كان‬ ‫إذا‬ ‫فإنه‬ ،x ∈ [0,
π
2
] ‫لكل‬ aex + b sin x + c cos(2x) = 0 ‫كان‬ ‫إذا‬
.ae
π
2 + b = 0 ،x =
π
2
‫كان‬ ‫إذا‬ ‫و‬ a + c = 0 ،x = 0
:‫على‬ ‫حصل‬‫ن‬ ‫و‬ ‫بالإشتقاق‬ ‫نقوم‬ ‫أن‬ ‫كذلك‬ ‫يمكن‬
.x ∈ [0,
π
2
] ‫لكل‬ aex + b cos x − 2c sin(2x) = 0
‫بالتالي‬ ‫و‬ .a = 0 ‫و‬ a + b = 0 ‫على‬ ‫حصل‬‫ن‬ ،x =
π
2
‫و‬ x = 0 ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫كذلك‬
.a = b = c = 0
.‫فترة‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫خطيا‬ ‫مستقلة‬ ex, sin x, cos x ‫أن‬ ‫نثبت‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬
‫لأن‬ ‫فترة‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫خطيا‬ ‫مرتبطة‬ sin x, cos x, sin(x + 1) ‫الدوال‬ 3
.sin(x + 1) = cos 1 sin x + sin 1 cos x

‫مقدمة‬
n ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫المتجانسة‬ ‫خطية‬‫ل‬‫ا‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬
a0y(n)
+ a1y(n−1)
+ · · · + any = 0, (2)
‫للمعادلة‬ ‫خطيا‬ ‫مستقلة‬ ‫حلولا‬ f1, . . . , fn ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫كذلك‬ .‫خطيا‬ ‫مستقلة‬ ‫حلول‬ n ‫لها‬
:f1, . . . , fn ‫للدوال‬ ‫خطي‬ ‫تركيب‬ ‫هو‬ (2) ‫للمعادلة‬ f ‫حل‬ ‫كل‬ ‫فإن‬ ،(2)
f = c1f1 + . . . + cnfn, (3)
‫المتجانسة‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫حل‬‫ل‬‫ا‬ ‫تسمى‬ (5) ‫الصيغة‬ ‫في‬ f ‫كتابة‬ .c1, . . . , cn ∈ R ‫حيث‬
.‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ ‫يسمى‬ {f1, . . . , fn} ‫و‬ (2)

‫مقدمة‬
‫أمثلة‬
‫المتجانسة‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ {sin x, cos x} 1
،y = a sin x + b cos x ‫يكون‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫حل‬‫ل‬‫ا‬ ‫فإن‬ ‫بالتالي‬ ‫و‬ .y
′′
+ y = 0
.a, b ∈ R ‫حيث‬
‫المتجانسة‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حلول‬‫ل‬ ‫الأساسية‬ ‫جموعة‬‫م‬‫ال‬ ‫تمثل‬ {ex, xex} 2
،y = (ax + b)ex ‫يكون‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫حل‬‫ل‬‫ا‬ ‫فإن‬ ‫بالتالي‬ ‫و‬ .y
′′
− 2y′ + y = 0
.a, b ∈ R ‫حيث‬

‫مقدمة‬
‫ملاحظة‬
‫حيث‬ m ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫خطية‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادلة‬ ‫سنكون‬ ،‫خطيا‬ ‫مستقلة‬ y1, . . . , ym ‫كان‬ ‫إذا‬
.‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫حلول‬‫ل‬ ‫الأساسية‬ ‫جموعة‬‫م‬‫ال‬ ‫تمثل‬ {y1, . . . , ym}

‫مقدمة‬
‫حتى‬ (2) ‫للمعادلة‬ ‫حلول‬ ‫هي‬ ‫التي‬ ‫و‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ n ‫مجموعة‬ ‫لمعرفة‬ ‫سهلة‬ ‫يقة‬‫طر‬ ‫الآن‬ ‫نعطي‬
.‫خطيا‬ ‫مستقلة‬ ‫تكون‬
.(n − 1) ‫للدرجة‬ ‫للإشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫و‬ (a, b) ‫فترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫دوال‬ ،f1, . . . , fn ‫لتكن‬
‫حدد‬‫م‬‫ال‬
W =
f1 f2 . . . fn
f′
1 f′
2 . . . f′
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
f
(n−1)
1 f
(n−1)
2 . . . f
(n−1)
n
(4)
.f1, . . . , fn ‫للدوال‬ Wronskian ‫الرونسكيان‬ ‫يسمى‬

‫مقدمة‬
.(2) n ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫المتجانسة‬ ‫خطية‬‫ل‬‫ا‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلولا‬ f1, . . . , fn ‫لتكن‬
‫له‬ ‫ليس‬ W ‫الرونسكيان‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫و‬ ‫إلا‬ (a, b) ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫خطيا‬ ‫مستقلة‬ ‫الدوال‬ ‫هذه‬ ‫تكون‬
.(a, b) ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫أصفار‬

‫مقدمة‬
‫كذلك‬
‫إما‬ ‫يكون‬ (2) ‫المتجانسة‬ ‫خطية‬‫ل‬‫ا‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلول‬ f1, . . . , fn ‫لدوال‬ ‫الرونسكيان‬
.(a, b) ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫أصفار‬ ‫لها‬ ‫ليس‬ ‫أو‬ ‫ية‬‫الصفر‬ ‫الدالة‬

‫مقدمة‬
‫البرهان‬
:‫مايلي‬ ‫على‬ ‫حصل‬‫ن‬ ،‫حددات‬‫م‬‫ال‬ ‫خصائص‬ ‫باستعمال‬
W′
(x) =
f1 f2 . . . fn
f′
1 f′
2 . . . f′
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
f
(n)
1 f
(n)
2 . . . f
(n)
n
= −
a1
a0
f1 f2 . . . fn
f′
1 f′
2 . . . f′
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
f
(n−1)
1 f
(n−1)
2 . . . f
(n−1)
n
= −
a1
a0
W(x).
‫بالتالي‬ ‫و‬
W(x) = W(x0)e
−
Z x
x0
a1(t)
a0(t)
dt
.

‫مقدمة‬
‫أمثلة‬
‫الرونسكيان‬ .(a, b) ‫مفتوحة‬ ‫فترة‬ ‫على‬ g(x) = cos x ‫و‬ f(x) = sin x ‫لتكن‬ 1
‫مستقلة‬ f, g ‫فإن‬ ‫بالتالي‬ ‫و‬ .W =
sin x cos x
cos x − sin x
= −1 ،g ‫و‬ f ‫للدالتين‬
.(a, b) ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫خطيا‬
.y
′′
+ y = 0 ‫خطية‬‫ل‬‫ا‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلين‬ f, g ‫الدالتين‬
.(a, b) ‫مفتوحة‬ ‫فترة‬ ‫على‬ ،h(x) = cos x ،g(x) = sin x ،f(x) = ex ‫لتكن‬ 2
‫يساوي‬ ،f, g, h ‫للدوال‬ ‫الرونسكيان‬
f, g, h ‫الدوال‬ ‫فإن‬ ‫بالتالي‬ ‫و‬ .W =
ex sin x cos x
ex cos x − sin x
ex − sin x − cos x
= −2ex
.(a, b) ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫خطيا‬ ‫مستقلة‬
.y(3) − y
′′
+ y′ − y = 0 ‫خطية‬‫ل‬‫ا‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلول‬ f, g, h ‫الدوال‬

‫مقدمة‬
‫فترة‬ ‫على‬ h(x) = sin(x + 1) ‫و‬ ،g(x) = cos x ،f(x) = sin x ‫لتكن‬ 3
:‫هو‬ f, g, h ‫للدوال‬ ‫الرونسكيان‬ .(a, b) ‫مفتوحة‬
‫و‬ ‫الأول‬ ‫الصف‬ ‫أن‬ ‫بما‬ ‫و‬ .W =
sin x cos x sin(x + 1)
cos x − sin x cos(x + 1)
− sin x − cos x − sin(x + 1)
= 0
.(a, b) ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫خطيا‬ ‫مرتبطة‬ f, g, h ‫الدوال‬ ‫و‬ W = 0 ‫فإن‬ ،‫متناسبان‬ ‫الثالث‬
.y
′′
+ y = 0 ‫خطية‬‫ل‬‫ا‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلول‬ f, g, h ‫الدوال‬

‫مقدمة‬
.Cn ‫الدرجة‬ ‫من‬ (a, b) ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫خطيا‬ ‫مستقلة‬ ‫دوالا‬ f1, . . . , fn ‫لتكن‬
‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ ‫تمثل‬ {f1, . . . , fn} ‫حيث‬ n ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫خطية‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادلة‬ ‫توجد‬
.‫للمعادلة‬ ‫حلول‬‫ل‬‫ا‬

‫مقدمة‬
:‫يلي‬ ‫بما‬ ‫المعرفة‬ ‫خطية‬‫ل‬‫ا‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫لتكن‬
y f1 . . . fn
y′ f′
1 . . . f′
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
y(n−1) f
(n−1)
1 . . . f
(n−1)
n
y(n) f
(n)
1 . . . f
(n)
n
= 0.
.‫خطيا‬ ‫مستقلة‬ f1, . . . , fn ‫لأن‬ n ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬
.‫المعادلة‬ ‫لهذه‬ ‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ {f1, . . . , fn} ‫يف‬‫التعر‬ ‫من‬ ‫و‬

‫مقدمة‬
‫أمثلة‬
.R ‫على‬ g = cos x ‫و‬ f = sin x ‫الدوال‬ ‫لتكن‬ 1
:‫يلي‬ ‫بما‬ ‫المعرفة‬ ‫المعادلة‬ ‫لتكن‬ .‫خطيا‬ ‫مستقلة‬ f, g ‫الدالتين‬
y sin x cos x
y′ cos x − sin x
y
′′
− sin x − cos x
= y
′′
+ y = 0.
y
′′
+ y = 0. ‫للمعادلة‬ ‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ {f, g} ‫الدالتان‬

‫مقدمة‬
.R ‫على‬ h(x) = ex ‫و‬ g = cos x ،f = sin x ‫الدوال‬ ‫لتكن‬ 2
.‫خطيا‬ ‫مستقلة‬ f, g, h ‫الدوال‬
y sin x cos x ex
y′ cos x − sin x ex
y
′′
− sin x − cos x ex
y(3) − cos x sin x ex
= −2ex
(y(3)
− y
′′
+ y
′
− y).
‫للمعادلة‬ ‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ ‫تمثل‬ {f, g, h} ‫الدوال‬ ‫فإن‬ ‫بالتالي‬ ‫و‬
y(3)
−y
′′
+y
′
−y=0.

‫مقدمة‬
.‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ ‫تسمى‬ (1) ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حقق‬‫ت‬‫ت‬ yp ‫دالة‬ ‫كل‬
.xy
′′
+ y′ + xy = cos x ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ sin x ،‫مثلا‬

‫مقدمة‬
‫ملاحظة‬
‫للمعادلة‬ ‫خاصا‬ ‫حلا‬ yp ‫و‬ I ‫فترة‬ ‫على‬ (2) ‫المتجانسة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلولا‬ y1, . . . , ym ‫كانت‬ ‫إذا‬
‫خطي‬‫ل‬‫ا‬ ‫التركيب‬ ‫فإن‬ ،I ‫الفترة‬ ‫على‬ (1) ‫المتجانسة‬
c1y1 + . . . + cmym + yp
.(1) ‫المتجانسة‬ ‫للمعادلة‬ ‫كذلك‬ ‫حلا‬ ‫يكون‬

‫مقدمة‬
[ ‫المتجانسة‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫حل‬‫ل‬‫ا‬ ]
‫ليكن‬ ‫و‬ ،I ‫فترة‬ ‫على‬ ((1) ‫المتجانسة‬ ‫الغير‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلا‬ yp ‫ليكن‬
‫فإن‬ ،I ‫على‬ (2) ‫المتجانسة‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ {y1, . . . , yn}
y = c1y1 + . . . + cnyn + yp
.c1, . . . , cn ∈ R ‫حيث‬ ،I ‫الفترة‬ ‫على‬ (1) ‫للمعادلة‬ ‫حل‬‫ل‬‫ا‬ ‫العام‬ ‫هو‬

‫مقدمة‬
‫بالتالي‬ ‫و‬ .(2) ‫المتجانسة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ y − yp ‫الدالة‬ ،(1) ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلا‬ y ‫ليكن‬
.y = c1y1 + . . . + cnyn + yp ‫حيث‬ ،c1, . . . , cn ∈ R ‫يوجد‬

‫مقدمة‬
‫مثال‬
.(sin x − cos x)y
′′
+ 2y′ sin x + y(cos x + sin x) = 2 ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫لتكن‬
‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ {ex, sin x} ‫و‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاصا‬ ‫حلا‬ ‫تمثل‬ cos x ‫الدالة‬
.a, b ∈ R ،y = axex +b sin x+cos x ‫هو‬ ‫معادلة‬ ‫لهذه‬ ‫العام‬ ‫حل‬‫ل‬‫ا‬ ‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬ .‫المعادلة‬ ‫لهذه‬

‫مقدمة‬
[‫التراكب‬ ‫]مبدأ‬
‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫لتكن‬
a0y(n)
+ a1y(n−1)
+ · · · + any = b1 + . . . + bm, (5)
.(a, b) ‫فترة‬ ‫على‬ ‫متصلة‬ ‫دوال‬ a0, . . . , an, b1, . . . , bm ‫حيث‬
‫المتجانسة‬ ‫الغير‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاصا‬ ‫حلا‬ yk ‫كان‬ ‫إذا‬
a0y(n)
+ a1y(n−1)
+ · · · + any = bk,
‫المتجانسة‬ ‫الغير‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ y1 + . . . + ym ‫فإن‬ ،1 ≤ k ≤ m ‫لكل‬
.(5)

‫مقدمة‬
‫مثال‬
.y
′′
+ 2y′ + y = ex + 2e−x + sin x ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫لتكن‬
.y
′′
+ 2y′ + y = ex ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاصل‬ ‫حل‬
1
4
ex
.y
′′
+ 2y′ + y = 2e−x ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ x2
e−x
yp =
1
4
ex
+ ‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬ .y
′′
+ 2y′ + y = sin x ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ −
1
2
cos x
.y
′′
+2y′+y = ex+2e−x+sin x ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ x2
e−x
−
1
2
cos x

‫مقدمة‬
‫المتجانسة‬ ‫المعادلة‬ ‫لتكن‬
y(n)
+ a1y(n−1)
+ · · · + any = 0, (6)
.(a, b) ‫فترة‬ ‫على‬ ‫متصلة‬ ‫دوال‬ a1, . . . , an ‫حيث‬
.x ∈ (a, b) ‫لكل‬ y1(x) ̸= 0 ‫و‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلا‬ y1 ‫كان‬ ‫إذا‬
‫على‬ n ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫خطية‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادلة‬ ‫حقق‬‫ت‬ u ‫الدالة‬ ‫فإن‬ ،‫حلا‬ y2 = uy1 ‫كان‬ ‫إذا‬
y(n)
+ b1y(n−1)
+ · · · + bn−1y′
= 0. :‫التالي‬ ‫الشكل‬
.‫الرتبة‬ ‫خفيض‬‫ت‬ ‫يقة‬‫طر‬ ‫تسمى‬ ‫يقة‬‫الطر‬ ‫هذه‬

‫مقدمة‬
‫أمثلة‬
.y
′′
− 3y′ + 2y = 0 ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫لتكن‬ 1
.u
′′
− u′ = 0 ‫فإن‬ ،‫حلا‬ y2 = uy1 ‫كان‬ ‫إذا‬ .‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ y1 = ex
‫و‬ y
′′
− 3y′ + 2y = 0 ‫للمعادلة‬ ‫الثاني‬ ‫حل‬‫ل‬‫ا‬ y2 = e2x ‫و‬ u = a + bex ‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬
.‫خطيا‬ ‫مستقلة‬ y1, y2
.(1, +∞) ‫الفترة‬ ‫على‬ (1 − x2)y′′ − xy′ + y = 0 ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫لتكن‬ 2
.‫ثابتة‬ ‫غير‬ u ‫حيث‬ ،y = xu ‫الصيغة‬ ‫على‬ ‫حلا‬ y ‫لتكن‬ .‫للمعادلة‬ ‫حل‬ y1 = x
:‫التالية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حقق‬‫ت‬ u ‫الدالة‬
‫مع‬ u′ =
λ
x2
√
x2 − 1
‫أن‬ ‫نستنتج‬ ‫و‬ .x(x2 − 1)u
′′
+ (3x2 − 2)u′ = 0
.‫حل‬ y2 =
p
x2 − 1

‫مقدمة‬
.(x − 1)y
′′
− xy′
+ y = 0 ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫لتكن‬ 3
:‫على‬ ‫حصل‬‫ن‬ ،‫حلا‬ y2 = xu ‫كان‬ ‫إذا‬ .‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ y1 = x
‫و‬ u′ =

ex
x
′
‫فإن‬ ‫بالتالي‬ ‫و‬ ،x(x − 1)u
′′
+ (−x2 + 2x − 2)u′ = 0
.‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ y2 = ex

‫مقدمة‬
.‫ثابتة‬ ‫حقيقية‬ ‫أعداد‬ a0, . . . , an ‫حيث‬ (2) ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫لتكن‬
.‫ثابت‬ ‫عدد‬ r ‫حيث‬ ،y = erx :‫التالية‬ ‫الصيغة‬ ‫على‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫لهذه‬ ‫حلول‬ ‫عن‬ ‫حث‬‫ب‬‫ن‬
‫كان‬ ‫إذا‬ ‫و‬ ‫إلا‬ (2) ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلا‬ y = erx ‫الدالة‬ ‫تكون‬
rn
+ a1rn−1
+ . . . + an−1r + an = 0.
.(2) ‫للمعادلة‬ ‫المميزة‬ ‫المعادلة‬ ‫تسمى‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬
.‫الثابتة‬ ‫المعاملات‬ ‫ذات‬ 2 ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫خطية‬‫ل‬‫ا‬ ‫المعادلات‬ ‫ندرس‬ ،‫يلي‬ ‫ما‬ ‫في‬
y
′′
+ ay′
+ by = 0
:‫حالات‬ ‫ثلاث‬ ‫لنا‬ ‫و‬ ،r2 + ar + b = 0 ‫المميزة‬ ‫المعادلة‬

‫مقدمة‬
‫و‬ ‫ختلفين‬‫م‬ ‫جذرين‬ ‫لها‬ ‫المميزة‬ ‫المعادلة‬ ‫أن‬ ‫أي‬ ،∆ = a2 − 4b 0 ‫كان‬ ‫إذا‬ 1
.r2 ‫و‬ r1 ‫حقيقيين‬
.‫للمعادلة‬ ‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ ‫تمثل‬ {er1x, er1x}
.r = −a
2 ‫مكرر‬ ‫وحيد‬ ‫حل‬ ‫لها‬ ‫المميزة‬ ‫المعادلة‬ ،∆ = 0 ‫كان‬ ‫إذا‬ 2
.‫للمعادلة‬ ‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ ‫تمثل‬ {erx, xerx} ‫حالة‬‫ل‬‫ا‬ ‫هذه‬ ‫في‬
.r2 ‫و‬ r1 ‫مركبين‬ ‫كعددين‬ ‫ختلفين‬‫م‬ ‫حلين‬ ‫لها‬ ‫المميزة‬ ‫المعادلة‬ ‫فإن‬ ،∆ 0 ‫كان‬ ‫إذا‬ 3
‫فإن‬ ،r2 = α − iβ ‫و‬ r1 = α + iβ ‫كان‬ ‫إذا‬
.‫للمعادلة‬ ‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ ‫يمثل‬ {eαx cos(βx), eαx sin(βx)}

‫مقدمة‬
‫أمثلة‬
‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ ‫تمثل‬ {ex, e2x} ‫فإن‬ ،y” − 3y′ + 2y = 0 ‫للمعادلة‬ ‫بالنسبة‬ 1
‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ ‫تمثل‬ {1, e−4x} ‫فإن‬ ،y” + 4y′ = 0 ‫للمعادلة‬ ‫بالنسبة‬ 2
.‫للمعادلة‬
{e
−x
2 cos
√
3
2
x, e
−x
2 sin
√
3
2
x} ‫فإن‬ ،y” + y′ + y = 0 ‫للمعادلة‬ ‫بالنسبة‬ 3
.‫للمعادلة‬ ‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ ‫تمثل‬
‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ ‫تمثل‬ {e−x, xe−x} ‫فإن‬ ،y” + 2y′ + y = 0 ‫للمعادلة‬ ‫بالنسبة‬ 4

‫مقدمة‬
‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫لتكن‬
y
′′
+ ay′
+ by = f(x). (7)
.‫المتجانسة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ {y1, y2} ‫لتكن‬ 1
‫للإشتقاق‬ ‫قابلتين‬ ‫وحيدتين‬ ‫دالتين‬ ‫توجد‬ ،I ‫الفترة‬ ‫على‬ y ‫للتفاضل‬ ‫قابلة‬ ‫دالة‬ ‫لكل‬
‫حيث‬ I ‫الفترة‬ ‫على‬ (U, V)

y = Uy1 + Vy2
y′ = Uy′
1 + Vy′
2
(8)

‫مقدمة‬
‫للإشتقاق‬ ‫قابلتين‬ ‫وحيدتين‬ ‫دالتين‬ ‫توجد‬ ،?? ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلا‬ y ‫كان‬ ‫إذا‬ 2
‫حيث‬ I ‫على‬ (U, V)

U′y1 + V′y2 = 0
U′y′
1 + V′y′
2 = f
.
.‫الثوابت‬ ‫تغيير‬ ‫يقة‬‫طر‬ ‫تسمى‬ ‫يقة‬‫الطر‬ ‫هذه‬

‫مقدمة‬
‫حل‬ ‫يوجد‬ ‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬ .W(x) ̸= 0 (8) ‫خطي‬‫ل‬‫ا‬ ‫النظام‬ ‫مصفوفة‬ ‫حدد‬‫م‬ ،x ∈ I ‫لكل‬ 1
‫التالي‬ ‫للنظام‬ ‫وحيد‬
U(x) =
y(x) y2(x)
y′(x) y′
2(x)
W(x)
, V(x) =
y1(x) y(x)
y′
1(x) y′(x)
W(x)
.
‫للإشتقاق‬ ‫قابلتين‬ ‫وحيدتين‬ ‫دالتين‬ ‫توجد‬ .?? ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلا‬ y ‫كان‬ ‫إذا‬ 2
‫للنظام‬ ‫الأولى‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫الإشتقاق‬ ‫بعد‬ .(8) ‫النظام‬ ‫حققان‬‫ت‬‫و‬ I ‫على‬ (U, V)
:‫على‬ ‫حصل‬‫ن‬
U′
y1 + V′
y2 = 0. (9)

‫مقدمة‬
‫فإن‬ ،‫مرتين‬ ‫للإشتقاق‬ ‫قابلة‬ y ‫أن‬ ‫بما‬
y” = Uy1” + Vy2” + U′
y′
1 + V′
y′
2. (10)
‫كان‬ ‫إذا‬ ‫و‬ ‫إلا‬ ?? ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلا‬ y ‫تكون‬

U′y1 + V′y2 = 0
U′y′
1 + V′y′
2 = f
.
.y = Uy1 + Vy2 .‫وحيد‬ ‫حل‬ ‫له‬ ‫و‬ ‫كرامر‬ ‫نظام‬ ‫هو‬ ‫النظام‬ ‫هذا‬
{y = Uy1 + Vy2, } ‫جموعة‬‫م‬‫ال‬ ‫هو‬ ?? ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫مجموع‬ ‫بالتالي‬ ‫و‬
:‫التالي‬ ‫النظام‬ ‫حقق‬‫ت‬ ‫و‬ ‫للإشتقاق‬ ‫قابلتين‬ U, V ‫حيث‬

U′y1 + V′y2 = 0
U′y′
1 + V′y′
2 = f
.

‫مقدمة‬
‫أمثلة‬
y
′′
+ y =
1
3 + cos(2x)
. ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫لتكن‬ 1
.y = a cos x + b sin x ‫المتجانسة‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫حل‬‫ل‬‫ا‬
:‫على‬ ‫حصل‬‫ن‬ ،y = U cos x + V sin x ‫الثوابت‬ ‫تغيير‬ ‫يقة‬‫طر‬ ‫باستعمال‬

U′ cos x + V′ sin x = 0
−U′ sin x + V′ cos x = 1
3+cos(2x)
.
U = −
1
2
tan−1
(cos x) + a, ‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬
V =
1
4
√
2
ln(
|
√
2 + sin x|
|
√
2 − sin x|
) + b.

‫مقدمة‬
‫المميزة‬ ‫المعادلة‬ .y′′ + 4y′ + 5y = cosh(2x) cos x ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫لتكن‬ 2
.r2 + 4r + 5 = (r + 2 + i)(r + 2 − i) ‫للمجموعة‬
‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ ‫تمثل‬ {e−2x cos(2x), e−2x sin(2x)} ‫جموعة‬‫م‬‫ال‬
.‫المتجانسة‬ ‫للمعادلة‬
:‫التالية‬ ‫الصيغة‬ ‫على‬ ‫يكون‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫حل‬‫ل‬‫ا‬ ،‫الثوابت‬ ‫تغيير‬ ‫يقة‬‫طر‬ ‫باستعمال‬
‫حيث‬ ،y = Ue−2x cos(x) + Ve−2x sin(x)
‫و‬ U′e−2x cos(x) + V′e−2x sin(x) = 0
U′
e−2x
(−sin(x)−2 cos(x))+V′
e−
2x
(cos(x)−2 sin(x))=cosh(2x) cos(x).
‫و‬ U = −
1
8
cos(2x) +
1
20
e4x
sin(2x) −
1
40
e4x
cos(2x) + a ‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬
.V = 1
40
e4x
sin(2x) + 1
20
e4x
cos(2x) + x
4
+ 1
8
sin(2x) + 1
16
e4x
+ b

‫مقدمة‬
‫خاصة‬ ‫حالات‬
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ ‫عن‬ ‫حث‬‫ب‬‫ن‬ .n ‫بدرجة‬ ‫حدود‬ ‫كثيرة‬ f ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ 1
.‫حدود‬ ‫ككثيرة‬ (7)
‫حدود‬ ‫ككثيرة‬ (7) ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ ‫يوجد‬ ،b ̸= 0 ‫كان‬ ‫إذا‬ •
.n ‫بدرجة‬
‫ككثيرة‬ (7) ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ ‫يوجد‬ ،a ̸= 0 ،b = 0 ‫كان‬ ‫إذا‬ •
.n + 1 ‫بدرجة‬ ‫حدود‬
‫حدود‬ ‫ككثيرة‬ (7) ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ ‫يوجد‬ ،b = a = 0 ‫كان‬ ‫إذا‬ •
.(n + 2) ‫بدرجة‬

‫مقدمة‬
‫بالتغيير‬ ‫نقوم‬ .n ‫بدرجة‬ ‫حدود‬ ‫كثيرة‬ P ‫حيث‬ ،f(x) = P(x)eαx ‫كانت‬ ‫إذا‬ 2
.y = eαxz :‫التالي‬
.y” = α2y + 2αeαxz′ + eαxz” ،y′ = αeαxz + eαxz′
y” + ay′
+ by = eαx
P(x) = eαx
(α2
z + 2αz′
+ z” + aαz + az′
+ bz)
= eαx
(z” + z′
(a + 2α) + z(α2
+ aα + b)).

‫مقدمة‬
‫التالية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حقق‬‫ي‬ z ‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬
z” + z′
(a + 2α) + z(α2
+ aα + b) = P(x).
‫تكون‬ ‫حيث‬ n ‫بدرجة‬ Q ‫حدود‬ ‫كثيرة‬ ‫توجد‬ ،‫المميزة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلا‬ α ‫كان‬ ‫إذا‬ •
.‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلا‬ eαxQ
‫بسيط‬ ‫حل‬ α ‫أن‬ ‫)يعني‬ ،a + 2α ̸= 0 ‫و‬ α2 + aα + b = 0 ‫كان‬ ‫إذا‬ •
.((1 ‫جبري‬ ‫)تعدد‬ ‫المميزة‬ ‫للمعادلة‬
‫حلا‬ eαxQ ‫تكون‬ ‫حيث‬ n + 1 ‫بدرجة‬ Q ‫حدود‬ ‫كثيرة‬ ‫توجد‬ ‫حالة‬‫ل‬‫ا‬ ‫هذه‬ ‫في‬
.‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬
‫للمعادلة‬ ‫حل‬ α ‫أن‬ ‫)يعني‬ ،a + 2α = 0 ‫و‬ α2 + aα + b = 0 ‫كان‬ ‫إذا‬ •
.(2 ‫جبري‬ ‫بتعدد‬ ‫المميزة‬
‫حلا‬ eαxQ ‫تكون‬ ‫حيث‬ n + 2 ‫بدرجة‬ Q ‫حدود‬ ‫كثيرة‬ ‫توجد‬ ‫حالة‬‫ل‬‫ا‬ ‫هذه‬ ‫في‬
.‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬

‫مقدمة‬
‫المتجانسة‬ ‫أولار‬ ‫كوشي‬ ‫معادلة‬
:‫التالية‬ ‫الصيغة‬ ‫على‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادلة‬ ‫هي‬ 2 ‫برتبة‬ ‫المتجانسة‬ ‫أولار‬ ‫كوشي‬ ‫معادلة‬
ax2
y′′
+ bxy′
+ cy = 0, (11)
‫تفاضلية‬ ‫معادلة‬ ‫إلى‬ ‫يقتين‬‫بطر‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫تغيير‬ ‫يمكن‬ .‫حقيقية‬ ‫أعداد‬ a, b ‫حيث‬
.‫متجانسة‬ ‫خطية‬
.x = et :‫التالي‬ ‫التغيير‬ ‫باستعمال‬ ‫تكون‬ ‫الأولى‬ ‫يقة‬‫الطر‬
.z(t) = y(et) = y(x) ‫لتكن‬
ax2y′′ + bxy′ + cy = ‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬ .z
′′
= z′ + x2y
′′
(x) ‫و‬ z′ = ety′(et) = xy′
‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫تصبح‬ ‫بذلك‬ ‫و‬ .a(z
′′
− z′) + bz′ + cz = az
′′
+ (b − a)z′ + cz
‫خطية‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادلة‬
az
′′
+ (b − a)z′
+ cz = 0.

‫مقدمة‬
.y = xr ‫الصيغة‬ ‫على‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ ‫عن‬ ‫بالبحث‬ ‫تكون‬ ‫الثانية‬ ‫يقة‬‫الطر‬
x ̸= ‫حيث‬ ،xr (ar(r − 1) + br + c) = 0 :‫جد‬‫ن‬ ،‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫التغيير‬ ‫هذا‬ ‫باستعمال‬
.ar(r − 1) + br + c = 0 ‫على‬ ‫حصل‬‫ن‬ ‫و‬ ،0

‫مقدمة‬
‫أمثلة‬
‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ x2y′′ + 3xy′ − 3y = 0. :‫التالية‬ ‫أولار‬ ‫كوشي‬ ‫معادلة‬ ‫لتكن‬ 1
‫و‬ z = aet + be−3t ‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬ z
′′
+ 2z′ − 3z = 0. :‫هي‬ z ‫حققها‬‫ت‬ ‫التي‬
.y = ax + bx−3
‫أو‬ r = 1 ‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬ .r2 + 2r − 3 = 0 :‫على‬ ‫حصل‬‫ن‬ ‫الثانية‬ ‫يقة‬‫الطر‬ ‫باستعمال‬
.y = ax + bx−3 ‫و‬ r = −3
‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ x2y′′ − 3xy′ + 7y = 0. :‫التالية‬ ‫أولار‬ ‫كوشي‬ ‫معادلة‬ ‫لتكن‬ 2
‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬ z
′′
− 4z′ + 7z = 0. :‫هي‬ z ‫حققها‬‫ت‬ ‫التي‬
‫و‬ z = ae2t cos(
√
3t) + be2t sin(
√
3t)
.y = ax2 cos(
√
3 ln x) + bx2 sin(
√
3 ln x)
‫و‬ r = 2 ± i
√
3 ‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬ .r2 − 4r + 7 = 0 :‫على‬ ‫حصل‬‫ن‬ ‫الثانية‬ ‫يقة‬‫الطر‬ ‫باستعمال‬
.y = ax2 cos(
√
3 ln x) + bx2 sin(
√
3 ln x)

‫مقدمة‬
‫متجانسة‬ ‫الغير‬ ‫أولار‬ ‫كوشي‬ ‫معادلة‬
:‫التالية‬ ‫الصيغة‬ ‫على‬ ‫تكون‬ ‫متجانسة‬ ‫الغير‬ ‫أولار‬ ‫كوشي‬ ‫معادلة‬
ax2
y′′
+ bxy′
+ cy = f. (12)
‫نستعمل‬ ‫و‬ ‫المتجانسة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ ‫عن‬ ‫حث‬‫ب‬‫ن‬ ‫المعادلةن‬ ‫هذه‬ ‫حلول‬ ‫جاد‬‫ي‬‫لا‬
.‫الثوابت‬ ‫تغيير‬ ‫يقة‬‫طر‬

‫مقدمة‬
‫مثال‬
x2y′′ + 3xy′ − 3y = ex. :‫التالية‬ ‫أولار‬ ‫كوشي‬ ‫معادلة‬ ‫لتكن‬
‫باستعمال‬ ‫و‬ .‫المتجانسة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫من‬ ‫أساسية‬ ‫مجموعة‬ ‫تمثل‬ {y1 = x, y2 = x−3}
‫و‬ V′ = −
1
4
x4
ex
،U =
1
4
ex
‫على‬ ‫حصل‬‫ن‬ ،y = Ux + Vx−3 ‫الثوابت‬ ‫تغيير‬ ‫يقة‬‫طر‬
‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬ .V = ex
(x4
− 4x3
+ 12x2
− 24x + 24)
.y = ax + bx−3
+ ex
(x4
− 4x3
+ 12x2
− 24x + 24)x−3

‫مقدمة‬
‫الأولية‬ ‫الدوال‬ ‫على‬ ‫التفاضلي‬ ‫المؤثر‬ ‫أثر‬
: ‫الأسية‬ ‫الدالة‬ 1
Deλx
= λeλx
, Dn
eλx
= λn
eλx
‫للقيمة‬ ‫بالنسبة‬ D ‫التفاضلي‬ ‫للمؤثر‬ ‫مميزة‬ ‫دالة‬ eλx ‫الدالة‬ ‫إن‬ ‫نقول‬ ‫حالة‬‫ل‬‫ا‬ ‫هذه‬ ‫في‬
.λ ‫المميزة‬
‫المثلثية‬ ‫الدوال‬ 2
D2
sin(λx) = −λ2
sin(λx), D2
cos(λx) = −λ2
cos(λx).
‫بالنسبة‬ D2 ‫التفاضلي‬ ‫للمؤثر‬ ‫مميزة‬ ‫دوال‬ cos(λx) ‫و‬ sin(λx) ‫الدوال‬ ‫إن‬ ‫نقول‬
.−λ2 ‫المميزة‬ ‫للقيمة‬

‫مقدمة‬
xk ‫الدوال‬ 3
Dn
xk
= k(k − 1) · · · (k − n + 1)xk−n
,
.k n ‫لكل‬ Dnxk = 0 ‫خاصة‬ ‫حالة‬‫ك‬ ‫و‬ .k ∈ N ‫حيث‬

‫مقدمة‬
D ‫التفاضلي‬ ‫للمؤثر‬ ‫حدود‬ ‫كثيرات‬
،n ‫درجتها‬ ‫حدود‬ ‫كثيرة‬ P(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 ‫لتكن‬
‫التفاضلي‬ ‫المؤثر‬ ‫إن‬ ‫نقول‬ ‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬ .‫حقيقية‬ ‫أعداد‬ an ،· · · ،a1 ،a0 ‫حيث‬
P(D) = anDn
+ an−1Dn−1
+ a1D + · · · + a0
.n ‫درجته‬ ‫و‬ D ‫التفاضلي‬ ‫للمؤثر‬ ‫حدود‬ ‫كثيرة‬

‫مقدمة‬
‫فإن‬ ،P(D) = anDn + an−1Dn−1 + a1D + · · · + a0 ‫كان‬ ‫إذا‬
P(D)eλx
= P(λ)eλx
1
‫و‬ P(D2
) sin(λx) = P(−λ2
) sin(λx) 2
P(D2
) cos(λx) = P(−λ2
) cos(λx)

‫مقدمة‬
.‫ياضي‬‫الر‬ ‫الإستقراء‬ ‫باستعمال‬ ‫ية‬‫النظر‬ ‫هذا‬ ‫نثبت‬
f ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫و‬ P(D) = anDn + an−1Dn−1 + a1D + · · · + a0 ‫كان‬ ‫إذا‬
‫فإن‬ ،R ‫على‬ n ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫للتفاضل‬ ‫قابلة‬
Dn

eλx
f(x)

= eλx
(D + λ)n
f(x). 1
P(D)

eλx
f(x)

= eλx
P (D + λ) f(x). 2

‫مقدمة‬
.‫ياضي‬‫الر‬ ‫الإستقراء‬ ‫باستعمال‬ ‫ية‬‫النظر‬ ‫نثبت‬
:n = 1 ‫كان‬ ‫إذا‬
D

eλx
f(x)

= λeλx
f(x) + eλx
f′
(x)
= eλx
(Df(x) + λ)
= eλx
(D + λ)f(x).

‫مقدمة‬
‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬ .n ‫حد‬‫ل‬‫ا‬ ‫إلى‬ ‫حيحة‬‫ص‬ ‫النتيجة‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬
Dn+1

eλx
f(x)

= D

Dn

eλx
f(x)

= D

eλx
(D + λ)n
f(x)

= eλx
(D + λ)((D + λ)n
f(x))
= eλx
(D + λ)n+1
f(x)
:(1) ‫النتيجة‬ ‫من‬ (2) ‫النتيجة‬ ‫نستنتج‬

‫مقدمة‬
:‫التالي‬ ‫النحو‬ ‫على‬ ‫السابقة‬ ‫ية‬‫النظر‬ ‫نفسر‬
(D + λ)n
= e−λx
Dn
eλx
.
.‫تفاضلين‬ ‫كمؤثرين‬ ‫إليهما‬ ‫النظر‬ ‫وقع‬ e−λx ‫الدالة‬ ‫و‬ eλx ‫الدالة‬

‫مقدمة‬
‫للمؤثر‬ ‫حدود‬ ‫كثيرة‬ P(D) = anDn + an−1Dn−1 + . . . + a1D + a0 ‫ليكن‬
.n ‫الدرجته‬ ‫من‬ D ‫التفاضلي‬
:n ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫خطية‬‫ل‬‫ا‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حلول‬‫ل‬‫ا‬ ‫مجموع‬ ‫هي‬ P(D) ‫خطي‬‫ل‬‫ا‬ ‫المؤثر‬ ‫هذا‬ ‫نوات‬ ‫و‬
.P(D)y = 0

‫مقدمة‬
r1, . . . , rn ‫حيث‬ P(D) = (D − r1)(D − r2) . . . (D − rn) ‫كان‬ ‫إذا‬ 1
‫بالدوال‬ ‫المولد‬ ‫خطي‬‫ل‬‫ا‬ ‫الفضاء‬ ‫هو‬ P(D) ‫خطي‬‫ل‬‫ا‬ ‫المؤثر‬ ‫نواة‬ ‫فإن‬ ،‫ختلفة‬‫م‬
.{er1x, . . . , ernx}
‫كان‬ ‫إذا‬ 2
P(D) = (D − r1)n1
(D − r2)n2
· · · (D − rk)nk
=
k
Y
j=1
(D − rj)nj
,
‫هو‬ P(D) ‫خطي‬‫ل‬‫ا‬ ‫المؤثر‬ ‫نواة‬ ‫فإن‬ ،
k
X
j=1
nj = n ‫و‬ ‫ختلفة‬‫م‬ r1, . . . , rk ‫حيث‬
‫خطي‬‫ل‬‫ا‬ ‫الفضاء‬

‫مقدمة‬
⊕k
j=1Vect erjx
, xerjx
, . . . , xnj−1
erjx

,
‫بالدوال‬ ‫المولد‬ ‫خطي‬‫ل‬‫ا‬ ‫الفضاء‬ ‫هو‬ Vect erjx, xerjx, . . . , xnj−1erjx

‫حيث‬
. erjx, xerjx, . . . , xnj−1erjx

}
،P(D) =
(
(D − λ1)2
+ β2
1
)
. . .
(
(D − λm)2
+ β2
m
)
=
m
∏
j=1
(
(D − λj)2
+ β2
j
)
j, k = 1, . . . , m, ،j ̸= k ‫لكل‬ βj ̸= βk ‫أو‬ λj ̸= λk ‫و‬ n = 2m ‫حيث‬
‫بالدوال‬ ‫المولد‬ ‫خطي‬‫ل‬‫ا‬ ‫الفضاء‬ ‫هو‬ P(D) ‫خطي‬‫ل‬‫ا‬ ‫المؤثر‬ ‫نواة‬ ‫فإن‬
. eλ1x sin(β1x), eλ1x cos(β1x), . . . , eλmx sin(βmx), eλmx cos(βmx)


‫مقدمة‬
P(D) =
(
(D − λ1)2
+ β2
1
)n1
. . .
(
(D − λm)2
+ β2
m
)nm
=
m
∏
j=1
(
(D − λj)2
+ β2
j
)nj
,
j, k = 1, . . . , m, ،j ̸= k ‫لكل‬ βj ̸= βk ‫أو‬ λj ̸= λk ‫و‬ n =
m
X
j=1
nj ‫حيث‬
‫خطي‬‫ل‬‫ا‬ ‫الفضاء‬ ‫هو‬ P(D) ‫خطي‬‫ل‬‫ا‬ ‫المؤثر‬ ‫نواة‬ ‫فإن‬
⊕m
j=1Vect
(
eλjx
sin(βjx), eλjx
cos(βjx), . . . , xnj−1
eλjx
sin(βjx), xnj−1
eλjx
cos(βjx)
)
.

‫مقدمة‬
:‫على‬ ‫حصل‬‫ن‬ ،‫للتحليل‬ ‫الأساسية‬ ‫المبرهنة‬ ‫باستعمال‬ .‫متصلة‬ ‫دالة‬ f: [a, b] −→ R ‫لتكن‬
d
dx
Z x
a
f(t)dt = D
Z x
a
f(t)dt = f(x).
::‫يلي‬ ‫ما‬‫ك‬ ‫يفه‬‫تعر‬ ‫يمكن‬ D ‫التفاضلي‬ ‫للمؤثر‬ D−1 ‫التفاضلي‬ ‫المؤثر‬ ‫معكوس‬
D−1
f(x) =
Z x
a
f(t)dt.
،Dn ‫التفاضلي‬ ‫المؤثر‬ ‫معكوس‬ ‫ياضي‬‫الر‬ ‫الإستقراء‬ ‫باستعمال‬ ‫نعرف‬ ‫كذلك‬
D−n
f(x) = D−n+1
(D−1
f(x)).

‫مقدمة‬
‫أمثلة‬
D−1xr =
xr+1
r + 1
+ c, 1
D−2xr =
xr+2
(r + 1)(r + 2)
+ a1x + a2,
‫حدود‬ ‫كثيرة‬ Pn−1 ‫حيث‬ D−nxr =
xr+n
(r + 1) . . . (r + n)
+ Pn−1(x),
.n − 1 ‫يساوي‬ ‫أو‬ ‫أقل‬ ‫بدرجته‬
،λ ̸= 0 ‫ليكن‬ 2
D−1eλx = 1
λeλx + c,
‫أو‬ ‫أقل‬ ‫بدرجته‬ ‫حدود‬ ‫كثيرة‬ Pn−1 ‫حيث‬ D−neλx = 1
λn eλx + Pn−1(x),
.n − 1 ‫يساوي‬

‫مقدمة‬
،λ ̸= 0 ‫ليكن‬ 3
D−1 cos(λx) = 1
λ sin(λx) + c = 1
λ cos(λx − π
2 ) + c,
‫كثيرة‬ Pn−1 ‫حيث‬ D−n cos(λx) = 1
λn cos(λx − nπ
2 ) + Pn−1(x),
.n − 1 ‫يساوي‬ ‫أو‬ ‫أقل‬ ‫بدرجته‬ ‫حدود‬

‫مقدمة‬
‫الشكل‬ ‫تأخذ‬ ‫الثابتة‬ ‫المعاملات‬ ‫ذات‬ ‫متجانسة‬ ‫خطيةالغير‬‫ل‬‫ا‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلات‬ ‫العام‬ ‫الشكل‬
:‫التالي‬
(anDn
+ an−1Dn−1
+ · · · + a1D + a0)y = Pn(D)y = f.
.‫المعادلات‬ ‫لهذه‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ ‫جاد‬‫ي‬‫لإ‬ ‫التفاضلي‬ ‫المؤثر‬ ‫استعمال‬ ‫استعمال‬ ‫نريد‬

‫مقدمة‬
‫فإن‬ ،P(λ) ̸= 0 ‫كان‬ ‫إذا‬ 1
y(x) =
1
P(λ)
eλx
.‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬
‫فإن‬ ،Q(λ) ̸= 0 ‫مع‬ 1 ≤ m ≤ n ،P(D) = (D − λ)mQ(D) ‫كان‬ ‫إذا‬ 2
y =
1
Q(λ)

1
m!
xm
+ Pm−1(x)

eλx
‫يساوي‬ ‫أو‬ ‫أقل‬ ‫درجتها‬ ‫حدود‬ ‫كثيرة‬ Pm−1 ‫حيث‬ ،‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬
.m − 1

‫مقدمة‬
P(D)eλx
= P(λ)eλx
.
‫فإن‬ ،P(λ) ̸= 0 ‫كان‬ ‫إذا‬ 1
1
P(λ)
h
P(D)

eλx
i
= P(D)

eλx
P(λ)

= eλx
.
.‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ y = 1
P(λ) eλx ‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬
‫فإن‬ ،Q(λ) ̸= 0 ‫و‬ 1 ≤ m ≤ n ،P(D) = (D − λ)mQ(D) ‫كان‬ ‫إذا‬ 2
‫ًا‬‫ذ‬‫إ‬ .P(D)y = Q(D)(D − λ)m
y = eλx
‫الشكل‬ ‫على‬ ‫تصبح‬ ‫المعادلة‬
‫حيث‬ ،‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ y = 1
Q(λ) ( 1
m! xm + Pm−1(x))eλx
‫لأن‬ .m − 1 ‫يساوي‬ ‫أو‬ ‫أقل‬ ‫درجتها‬ ‫حدود‬ ‫كثيرة‬ Pm−1

‫مقدمة‬
(D−λ)m
Q(D)

(
1
m!
xm
+Pm−1)eλx

= Q(λ)(D−λ)m

eλx 1
m!
xm

= Q(λ)eλx
Dm

1
m!
xm

= Q(λ)eλx

‫مقدمة‬
‫مثال‬
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ 1
y
′′
− 2y
′
+ 6y = e3x
.
yp =
e3x
32 − 2 · 3 + 8
=
1
11
e3x
.
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫خاص‬ ‫حل‬ 2
(D − 1)3
(D + 2)(D − 2)y(x) = ex
.
is
yp =
ex
(1 + 2)(1 − 2)

1
3!
x3

= −
x3
18
ex
.

chapter2-de-slides.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

chapter2-de-slides.pdf