Schema per lo studio di una funzione: - dominio - ricerca simmetrie - studio del segno - limiti e asintoti - derivata prima - derivata seconda

1. Studio di funzione
1 Dominio
2 Ricerca di eventuali simmetrie
Studio del segno: f(x)≥03
Limiti agli estremi del dominio e asintoti4
- Sostituisco -x al posto di x: f(-x)=
? +f(x) ⇒ PARI, cioè simmetrica rispetto all'asse y
- f(x) ⇒ DISPARI, cioè simmetrica rispetto all'origine
Se esiste simmetria studio solo il semipiano dove x>0 e poi specchierò la curva rispetto
all'asse y o all'origine a seconda della simmetria.
- Risolvo la disequazione f(x)≥0 e trovo quindi l'intervallo in cui la funzione è positiva, cioè
in cui sta sopra l'asse x ⇒ per quell'intervallo posso cancellare la parte negativa del grafico.
Dove non è positiva, f(x) è negativa e quindi cancello A SCACCHIERA la parte positiva.
- Infine, segno con dei pallini i punti in cui f(x)=0: in quei punti f(x) attraverserà l'asse x .
- Faccio un limite per ogni punto del dominio che ha parentesi tonde, visto che dove ci sono
parentesi quadre f(x) esiste ed è possibile calcolare il suo valore senza l'uso dei limiti.
- Identifico gli asintoti verticali e orizzontali e cerco eventuali asintoti obliqui.
- Poi, segno sul grafico il valore del limite in corrispondenza di ogni punto.
Calcolo della derivata prima e f'(x)≥05
Calcolo della derivata seconda e f''(x)≥06
{
Denominatore≠0
Argomenti delle radici≥0 se l'indice è PARI
Argomenti dei logaritmi>0
- Risolvo le disequazioni e le metto in tabella, prendendo solo gli intervalli che hanno
IN COMUNE (poichè sono messe a sistema). Poi scrivo il dominio D con le parentesi:
tonde se un valore non è incluso, quadre se invece è incluso.
- Cancello dal grafico le parti dell'asse x che non sono presenti nel dominio.
- Calcolo la derivata.
- Poi impongo f'(x)≥0 e risolvo la disequazione. Nella tabella finale metto una FRECCIA
verso l'alto negli intervalli in cui f'(x) ha segno positivo mentre verso il basso dove è
negativa.
In questo modo capisco dove f(x) ha andamento crescente e decrescente.
- Calcolo la derivata della derivata.
- Poi impongo f''(x)≥0 e risolvo la disequazione. Nella tabella finale metto una PARABOLA
verso l'alto negli intervalli in cui f'(x) ha segno positivo mentre verso il basso dove è
negativa.
In questo modo capisco la concavità di f(x).