Il documento discute i vari sistemi di riferimento e le coordinate utilizzate per descrivere il moto e la posizione di oggetti nello spazio. Viene spiegato come le coordinate cartesiane e polari siano definite rispetto a punti di riferimento fissi e come le loro relazioni siano stabilite. Inoltre, include dettagli sulle coordinate cilindriche e le loro interazioni con quelle cartesiane nello spazio tridimensionale.

1. Sistemi di riferimento
Qua vehimur navi, fertur, cum stare videtur;
quae manet in statione, ea praeter creditur ire.
et fugere ad puppim colles campique videntur,
quos agimus praeter navem velisque volamus.
Sidera cessare aetheriis adfixa cavernis
cuncta videntur, et adsiduo sunt omnia motu,
quandoquidem longos obitus exorta revisunt,
cum permensa suo sunt caelum corpore claro.
solque pari ratione manere et luna videtur
in statione, ea quae ferri res indicat ipsa.
Dal “De Rerum Natura” di
Lucrezio:
La descrizione del moto dipende dal sistema di riferimento scelto !!!
Un sistema di riferimento è costituito da un
insieme di corpi posti a distanze relative fisse
Una descrizione matematica del sistema di riferimento si ottiene introducendo
un sistema di coordinate che permettono di esprimere la posizione dei punti
dello spazio rispetto agli oggetti di riferimento
La nave da cui siamo trasportati, si muove, mentre sembra star ferma;
quella che rimane immobile all'ormeggio, si crede che proceda oltre.
E sembra che a poppa fuggano colline e pianure
oltre le quali conduciamo la nave e con le vele voliamo.
Gli astri sembrano tutti restare immobili, fissi
alle eteree cavità, e tuttavia son tutti in assiduo movimento,
giacché, dopo esser sorti, rivedono i lontani tramonti,
quando hanno percorso il cielo col loro corpo lucente.
E il sole e la luna parimenti sembra che rimangano
immobili, essi che il fatto stesso mostra in movimento.

2. Coordinate cartesiane nel piano
O x
y
P
P1
P2
 Si fissa un’origine e si introduce una coppia di assi cartesiani ortogonali x e y
 Le coordinate (x,y) del punto P sono date dai segmenti OP1 e OP2
x
y

3. Coordinate polari nel piano
0 asse polare
Si fissano un’origine e un asse polare
Le coordinate (r,φ) di un punto sono la distanza r del punto
dall’origine e l’angolo φ che la retta OP forma con l’asse
polare
le coordinate polari variano nei range 0 ≤ r <+∞ e 0≤φ<2π
l’origine ha coordinata r=0 e coordinata φ non definita
P
r
φ

4. Relazioni fra coordinate polari e cartesiane
x ≡ asse polare
y
Assumendo le origini coincidenti e che l’asse polare coincida
con l’asse x si hanno le relazioni seguenti:
0
P



=
=
ϕ
ϕ
rsiny
rcosx





=
+=
x
y
arctg
yxr 22
ϕ
x
y
r
φ

5. Coordinate cartesiane nello spazio
O
x
y
z
Si fissano un’origine O ed una terna destrorsa di assi ortogonali x,y,z
Le coordinate (x,y,z) del punto P sono date dai segmenti OP1 , OP2 e OP3
P
P’
P1
P2
P3
x
y
z

6. Coordinate polari nello spazio (sferiche)
asse polarepianopolare
O
 Si fissano un’origine, un asse
polare ed un semipiano polare,
delimitato dall’asse polare
 Le coordinate polari (r,θ,φ) di
un punto P sono il modulo r del
raggio vettore OP, l’angolo θ
che OP forma con l’asse polare
(zenith) e l’angolo φ che il
semipiano contenente P e l’asse
polare forma con il semipiano
polare (azimuth)
r
P
θ
φ
 le coordinate polari hanno range 0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ θ ≤π e 0 ≤ φ < 2π
 i punti dell’asse polare hanno coordinata θ=0 (semiasse positivo) o θ=π
(semiasse negativo) e coordinata φ non definita
 L’origine ha coordinata r=0, mentre θ e φ non sono definite

7. Coordinate polari e coordinate cartesiane
O
x
y
z
Assumendo che l’asse z
coincida con l’asse polare ed
il piano xz sia il piano polare
si hanno le relazioni
seguenti:
r
θ
φ
z
y
x
z
θ
P
y





=
=
=
cosθrz
sinsinθry
cossinθrx
ϕ
ϕ









=
=
++=
x
y
arctg
r
z
arccosθ
zyxr 222
ϕ

8. Coordinate cilindriche
O
P
asse polare
pianopolare
P’
r
z
φ
 Si fissano un’origine, un asse polare
ed un semipiano polare, delimitato
dall’asse polare
 Le coordinate cilindriche (r,φ,z) di un
punto P sono la distanza r di P dal
piano polare (PP’), l’angolo φ che il
semipiano contenente P e l’asse
polare forma col semipiano polare e
la distanza z dall’origine della
proiezione P’ di P sull’asse polare
r
 Le coordinate cilindriche variano nei range 0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ φ < 2π , -∞ < z <
+∞
 I punti dell’asse polare hanno coordinata r=0 e coordinata φ non definita

9. Coordinate cilindriche e coordinate cartesiane
O
x
y
z
Assumendo che l’asse z
coincida con l’asse
polare ed il piano xz sia
il piano polare, la
coordinata z è la stessa.
Per le altre coordinate
si hanno le relazioni
seguenti:
rφ
z
y
x
z P
y



=
=
ϕ
ϕ
sinry
cosrx





=
+=
x
y
arctg
yxr 22
ϕ

10. Coordinate cilindriche e coordinate cartesiane
O
x
y
z
Assumendo che l’asse z
coincida con l’asse
polare ed il piano xz sia
il piano polare, la
coordinata z è la stessa.
Per le altre coordinate
si hanno le relazioni
seguenti:
rφ
z
y
x
z P
y



=
=
ϕ
ϕ
sinry
cosrx





=
+=
x
y
arctg
yxr 22
ϕ