1. L’equazione della retta
Teoria di base
Mascheroni CAD Team
Liceo Scientifico Isacco Newton - Roma
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2. Equazione della retta: Dimostrazione
Consideriamo la retta r passante per i punti A (XA , YA ) e B (XB , YB ).
Consideriamo il punto C (x, y) appartenente alla retta r.
r
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3. Equazione della retta: Dimostrazione (cont.)
r
I triangoli ACE ed ABD sono
simili perch´ hanno i lati paralleli.
e
AE CE
=
AD BD
x − XA y − YA
∴ = (1)
XB − XA YB − YA
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4. Forma esplicita dell’equazione
L’equazione
x − XA y − YA
= (2)
XB − XA YB − YA
pu` riscriversi nella forma
o
x XA y YA
− = − (3)
XB − XA XB − XA YB − YA YB − YA
YB − YA YB − YA
x − XA = y − YA (4)
XB − XA XB − XA
YB − YA YB − YA
y=x − XA + YA (5)
XB − XA XB − XA
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5. Forma esplicita dell’equazione (cont.)
L’equazione
YB − YA YB − YA
y=x −XA + YA (6)
XB − XA XB − XA
posto
YB − YA
m= (7a)
XB − XA
YB − YA
q = −XA + YA (7b)
XB − XA
fornisce
y = mx + q (8)
che costituisce la forma esplicita dell’equazione della retta.
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6. Forma esplicita dell’equazione (cont.)
La quantit` m in matematica viene definita coefficiente angolare della
a
`
retta. Tale Quantit` indica di quanto e inclinata la retta rispetto
a
all’asse delle ascisse.
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7. Forma implicita dell’equazione
L’equazione
x − XA y − YA
= (9)
XB − XA YB − YA
pu` scriversi nella forma
o
x XA y YA
− = − (10)
XB − XA XB − XA YB − YA YB − YA
x(YB − YA ) − XA (YB − YA ) − y(XB − XA ) + YA (XB − XA ) = 0 (11)
x(YB − YA ) + y(−XB + XA ) − XA (YB − YA ) + YA (XB − XA ) = 0 (12)
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8. Forma implicita dell’equazione (cont.)
L’equazione
x(YB − YA ) + y(−XB + XA )−XA (YB − YA ) + YA (XB − XA ) = 0 (13)
posto
a = (YB − YA ) (14a)
b = (−XB + XA ) (14b)
c = −XA (YB − YA ) + YA (XB − XA ) (14c)
fornisce
ax + by + c = 0 (15)
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9. Intersezione della retta con gli assi cartesiani
Asse x Asse y
Poniamo y = 0 nell’equa- Poniamo x = 0 nell’equa-
zione (15) ed otterremo zione (15) ed otterremo
ax + c = 0 (16) by + c = 0 (18)
da cui da cui
c c
x=− (17) y=− (19)
a b
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10. Equazione segmentaria della retta
Se sono note le intersezioni
A (0, YA ) e B (XB , 0) della ret-
ta r con gli assi cartesiani pos-
siamo scrivere per deduzione la
r
seguente equazione:
x y
+ =1 (20)
XB YA
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