1. ZDD入門
(副題：お姉さんを救う方法)
西尾 泰和
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2. お姉さん？
• 副題の元ネタがわからない人は
Youtubeで「フカシギの数え方」を見てください
http://www.youtube.com/watch?v=Q4gTV4r0zRs
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3. 前回のあらすじ
• 前回のランダムフォレスト(竹迫さん)は
決定木を「特徴をランダムに選んで、決
定しきらなくても適当に打ち切って、と
にかくたくさん作って多数決！」だった
• 今回も決定木だが「特徴を全部使って、
巨大な決定木をつくるぞ！」という話
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4. 決定木が表現するもの
• 0/1の特徴がたくさん与えられて0/1を返す関数
• 具体例：
• 論理式(項が特徴、式の値が返り値)
• 部分集合の族(各頂点が部分集合xに含まれる
かどうかが特徴、その部分集合が族に含まれ
るかどうかが返り値)
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5. もっと具体例
の族
この情報を
どうやって
コンピュータの中に
表現する？
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6. vector<bool>
• ←赤枠の中身を持つ
• 特徴の個数をNとして2^N bitのメモリ
3×3 は辺が12本
→ 4096通り
→ 512バイト → 余裕！
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7. 5×5だと？
• 辺の本数は4×5×2=40本
• 局面数は2^40 = 1テラ通り
• 必要なメモリは128ギガバイト…
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8. もう一声！6×6！
• 辺の本数は5×6×2=60本
• 局面数は2^60 = 1ゼタ通り
• 必要なメモリは128エクサバイト…
一億テラバイト以上？！
お姉さん死んじゃう！やめて！
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9. 解のvectorで持つ
xyzr
0000 • 「全部1bit使うよりf(x)=1が成立するx
0010 だけリストアップすればいいのでは」
0100
0111 • 6×6だと一局面を60bitで表現できる
1000
1011 • 解の個数は126万2816通り
1101
1111 • 60bit × 1262816 ≒ 9メガバイト
• これならメモリに収まる！
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10. もう二声！8×8！
• 辺の本数は 7×8×2=112本
• 一局面に 112bit
• 解の個数：789ギガ通り
• 112bit × 789ギガ通り ≒ 11テラバイト
お姉さん死んじゃう！やめて！
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11. どうすればいい？？
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12. 共通部分をまとめる
• 「？」の部分がなんであれ結果は同一
→じゃあ別個に持つ必要ないじゃん！
→共通部分をまとめて圧縮しよう！
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13. BDD:
Binary Decision Diagram
二分木、ただし
共通部分を共有して
消費メモリ量を節約
頂点削除：
記法：点線がlo, 実線がhi
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14. さらに
• スタートから横に進む辺を選んだら、
下に進む辺を選んではいけない。
選んだらその後どうあがいても全部NG
→ 「？」の中身がどうでも
全部NGになる
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15. ZDD:
Zero-supress BDD
• BDDとちょっと頂点削除のルールが違う
• ZDD:「ここが1だったらどうやっても
結果が0になる」な頂点を削除
• BDD:「ここが0でも1でも結果が変わら
ない」な頂点を削除
←違いはわずか
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16. ZDDで8×8！
• ZDDで表現した場合の頂点数：33580個
• 112辺のどの辺についての頂点かを識別す
るために8bit使おう (7bitでも足りるけど)
• 33580個の頂点を識別するには16bit必要
• (8bit + 16bit × 2) × 33580 ≒ 168キロバイト
11テラ→168キロ！！
TAOCP-ja 7.1 P121
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17. BDD/ZDDで何が出来る？
• 168KBで 789ギガ通りの解の集合を保持できる
• 解を辞書順に列挙できる
• 全ての解が等確率なサンプリングが出来る
• ある局面がOKかNGか、
最大112ステップで判定できる
• BDDのまま和・積などの集合演算ができる
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18. 何が出来る？ 続き(2/4)
• f(x)→0/1 のBDDがあると、
与えられた重みベクトルwについて、
f(x) = 1の条件下で内積wxを最大化する解xを
O(n+B)ステップで求められる(Boole計画法)
• 例えば各辺のコストが与えられたら、
コスト最小のパスを探せる
n: xのビット数、B: BDDの頂点数
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19. 何が出来る？ 続き(3/4)
* 独立に
• 各x_iが確率p_iで1になる時*に、
f(x) = 1である確率をO(B)ステップで
求められる(信頼性多項式)
0.1 * 0.2 * (1-0.3) * (1-0.4) +
(1-0.1) * (1-0.2) * 0.3 * 0.4
B: BDDの頂点数
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20. 何が出来る？ 続き(4/4)
• f(x) = 1の解の個数を最悪実行時間O(nB)で
求めることが出来る
• 例えばお姉さんが救える！
n: fのビット数、B: BDDの頂点数
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21. そんな便利なBDDを
どうすれば作れるか？
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22. to be continued...
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