単調増加と階乗

1. [3] 𝑛
𝑘
は二項係数 mCk を表すものとする.n を自然数とする.以下の問に
答えよ.
(1) 広義積分 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+1は収束することを示せ。
(2) 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+1=(2n-1)/2n 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛を示せ.
また 2𝑛
𝑛
=
22n+1
𝜋 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+1dx を示せ。
(3)任意のx∈[0,π/2]に対しexp(
𝑥2
2
)cosx ≦ 1を示せ。またcos2𝑛 𝑥 ≦
exp −𝑛𝑥2 を示せ。
4)次の不等式 2𝑛
𝑛
≦
4 𝑛
𝜋𝑛
を示せ。
ただし 0
∞
exp −𝑥2 dx =
𝜋
2
を用いても良い。

2. [3] 𝑛
𝑘
は二項係数 mCk を表すものとする.n を自然数とする.以下の問に答えよ.
(1) 広義積分 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+1は収束することを示せ。
証明
0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+1= 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 1 = [tan−1
𝑥]0
∞
=
1
2
𝜋
また0<
1
𝑥2+1 𝑛+1≦1/𝑥2
+ 1である。よってt∈R+に対して 0
t 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+1 は増加関数。
上に有界な増加関数は収束するので、広義積分は収束する。
[杉浦]解析入門１p27参照

3. [3] 𝑛
𝑘
は二項係数 mCk を表すものとする.n を自然数とする.以下の問に答えよ.
(2) 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+1=(2n-1)/2n 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛を示せ.
また 2𝑛
𝑛
=
22n+1
𝜋 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+1dx を示せ。
証明
0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+1= 0
∞
𝑥′
𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+1=[𝑥
1
𝑥2+1 𝑛+1]0
∞
− 0
∞
𝑥(
1
𝑥2+1 𝑛+1)′ 𝑑𝑥
(
1
𝑥2+1 𝑛+1)’=−
2𝑥 𝑛+1
𝑥2+1 𝑛+2より
=0+ 0
∞
𝑥
2𝑥2(𝑛+1)𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+1 =2 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+1-2 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+2dx
よって
0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+2=(2n+1)/2(n+1) 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛 n=n’-1と改めれば前半が言えた。
また 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+1=
2𝑛−1
2𝑛
2(𝑛−1)−1
2(𝑛−1)
…
2−1
2 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 1
X=tanyとする。こrを微分すると𝑦′
=
1
1+tan2 𝑦
よって 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 1 =
𝜋
2
よって示せた。

4. [3] 𝑛
𝑘
は二項係数 mCk を表すものとする.n を自然数とする.以下の問に答えよ。
(3)任意のx∈[0,π/2]に対しexp(
𝑥2
2
)cosx ≦ 1を示せ。またcos2𝑛
𝑥 ≦ exp −𝑛𝑥2
を示せ。
F(x)= exp(
𝑥2
2
)cosxとするとF’(x)=cosx(x-tanx)exp(x)≦0 (tanx’が１より大いことよりx≦tanxが示せる。
よって増加関数であり、F(0)=1なのでexp(
𝑥2
2
)cosx ≦ 1
G(x)=cos2𝑛 𝑥 exp 𝑛𝑥2 とするとG’(x)≦0なのでgは減少関数。 G(0)=1なのでG(x)≦1
よってcos2𝑛
𝑥 ≦ exp −𝑛𝑥2
(4)次の不等式 2𝑛
𝑛
≦
4 𝑛
𝜋𝑛
を示せ。
ただし 0
∞
exp −𝑥2 dx =
𝜋
2
を用いても良い。
証明
2𝑛
𝑛
=
22n+1
𝜋 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+1dx また 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 𝑛+1 ≦ 0
∞ 𝑑𝑥
𝑥2+1 1 x=tanyにすると 0
∞ 𝑐𝑜𝑠2 𝑦𝑑𝑦
𝑡𝑎𝑛𝑦+1 2
(3)より 0
∞ 𝑐𝑜𝑠2 𝑦𝑑𝑦
𝑡𝑎𝑛𝑦+1 2≦ 0
∞
exp −𝑥2
dx =
𝜋
2
よって示せた。