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ダイクストラ法
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ダイクストラ法のアルゴリズムの説明です。
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0 これらの頂点が・・・ 1 2 3 4 5 6
3.
0 このように辺で結ばれ・・・ 1 2 3 4 5 6
4.
0 それぞれの辺に重みが付いているとします。 1 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1
5.
0 1 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 各頂点は以下情報を持っています。 (1)確定フラグ(1:確定済み、0:未確定)(=f) (2)最低必要コスト(=c) (3)直前頂点(=p)
6.
0 1 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 (1)確定フラグ(1:確定済み、0:未確定)(=f) 「最低必要コスト」、「直前頂点」が確定すると このフラグが立ちます。 図内では「背景色:なし」が未確定、「背景色:赤」が 確定済みを表します。 ←確定済み
7.
0 1 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 (2)最低必要コスト(=c) 当該頂点に至るまでに必要な最小コストです。 (3)直前頂点(=p) ルート上で当該頂点直前の頂点です。
8.
0 1 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 最短経路探索を開始します。
9.
0 1 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 スタート頂点を⓪、ゴール頂点を⑥とします。 スタート ゴール
10.
0 1 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 まず初めに各頂点を初期化します。 (f=0:未確定、c=∞、p=-1) f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 どこからでもない、という意味で 直前頂点には-1を入れています スタート ゴール
11.
0 1 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=0 c=0 p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 スタート ゴール スタート頂点の最低 必要コストを0にします。
12.
0 1 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=0 c=0 p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 スタート ゴール 後は、ゴール頂点が確定済みになるまで以下を繰り返します。 (1)未確定でコスト最小の頂点を確定済みとする。 (2) (1)で確定した頂点と繋がっている未確定頂点を更新する。 (但し、確定頂点を経由するルートの方がよりコスト少の場合のみ )
13.
0 1 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=0 c=0 p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 スタート ゴール ループ1回目<(1)未確定でコスト最小の頂点を確定済みとする。 > 全未確定頂点でコスト最小 の頂点は⓪なので、⓪を 確定済みにします。 (2枚前のスライドでスタート 頂点のコストのみ0にした ので自明)
14.
スタート 1 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 ゴール ループ1回目<(1)未確定でコスト最小の頂点を確定済みとする。 > 0 全未確定頂点でコスト最小 の頂点は⓪なので、⓪を 確定済みにします。 (2枚前のスライドでスタート 頂点のコストのみ0にした ので自明)
15.
スタート 1 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 ゴール ループ1回目<(2) (1)で確定した頂点と繋がっている未確定頂点を更新する。 > 0 確定したので 背景色:赤になりま す。 先ほど確定した頂点と繋がってい る未確定頂点は①、②なのでこれ らを更新します。
16.
スタート 1 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=0 c=2 p=0 f=0 c=4 p=0 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 ゴール ループ1回目<(2) (1)で確定した頂点と繋がっている未確定頂点を更新する。 > 0 確定したので 背景色:赤になりま す。 先ほど確定した頂点と繋がってい る未確定頂点は①、②なのでこれ らを更新します。
17.
スタート 1 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=0 c=2 p=0 f=0 c=4 p=0 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 ゴール 0 ゴール頂点は確定していない (f=0) ゴール頂点が未確定なので探索継続
18.
スタート 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=0 c=4 p=0 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=∞ p=-1 ゴール 0 今度は①が全未確定頂点中でコスト最小の 頂点となるので①を確定済みとします。 1 ループ2回目<(1)未確定でコスト最小の頂点を確定済みとする。 >
19.
スタート 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=0 c=2+1=3 p=1 f=0 c=2+5=7 p=1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=2+3=5 p=1 f=0 c=∞ p=-1 ゴール 0 1 ループ2回目<(2) (1)で確定した頂点と繋がっている未確定頂点を更新する。 > ②はループ1回目(2)で更新済みでしたが、①を 経由したルートの方がよりコストがかからない
(*1)ので、 c、pを更新します。 (逆に、今回コスト≧設定済みコストの場合は更新しませ ん) (*1) ・設定済みコスト:c=4 ・①を経由した場合のコスト: c=2+1=3 更新 更新
20.
2 1 スタート 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=0 c=3 p=1 f=0 c=7 p=1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=5 p=1 f=0 c=∞ p=-1 ゴール 0 1 ゴール頂点は確定していない (f=0) ゴール頂点が未確定なので探索継続
21.
スタート 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=0 c=7 p=1 f=0 c=∞ p=-1 f=0 c=5 p=1 f=0 c=∞ p=-1 ゴール 0 1 ループ3回目<(1)未確定でコスト最小の頂点を確定済みとする。 > 今度は②が全未確定頂点中で、コスト最小の 頂点となるので②を確定済みとします。
22.
スタート 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=0 c=7 p=1 f=0 c=3+3=6 p=2 f=0 c=5 p=1 f=0 c=∞ p=-1 ゴール 0 1 ループ3回目<(2) (1)で確定した頂点と繋がっている未確定頂点を更新する。 > 更新
23.
3 スタート 2 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=0 c=7 p=1 f=0 c=6 p=2 f=0 c=5 p=1 f=0 c=∞ p=-1 ゴール 0 1 ゴール頂点は確定していない (f=0) ゴール頂点が未確定なので探索継続
24.
スタート 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=0 c=7 p=1 f=0 c=6 p=2 f=1 c=5 p=1 f=0 c=∞ p=-1 ゴール 0 1 ループ4回目<(1)未確定でコスト最小の頂点を確定済みとする。 > 全未確定頂点中で、③がコスト最小となるので 確定済みとします。
25.
スタート 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=0 c=5+1=6 p=3 f=0 c=6 p=2 f=1 c=5 p=1 f=0 c=5+6=11 p=3 ゴール 0 1 ループ4回目<(2) (1)で確定した頂点と繋がっている未確定頂点を更新する。 > 設定済みコスト>今回コスト、なの で更新 更新
26.
スタート 2 3 4 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=0 c=6 p=3 f=0 c=6 p=2 f=1 c=5 p=1 f=0 c=11 p=3 ゴール 0 1 ゴール頂点は確定していない (f=0) ゴール頂点が未確定なので探索継続
27.
f=1 c=6 p=3 スタート 2 3 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=0 c=6 p=2 f=1 c=5 p=1 f=0 c=11 p=3 ゴール 0 1 ループ5回目<(1)未確定でコスト最小の頂点を確定済みとする。 > 4 全未確定頂点中で、④、⑤がコスト最小となる ので④を確定済みとします。
28.
f=1 c=6 p=3 スタート 2 3 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=0 c=6 p=2 f=1 c=5 p=1 f=0 c=10 p=4 ゴール 0 1 ループ5回目<(2) (1)で確定した頂点と繋がっている未確定頂点を更新する。 > 4 設定済みコスト≦今回コスト、なの で更新しない 更新
29.
f=1 c=6 p=3 スタート 2 3 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=0 c=6 p=2 f=1 c=5 p=1 f=0 c=10 p=4 ゴール 0 1 4 ゴール頂点は確定していない (f=0) ゴール頂点が未確定なので探索継続
30.
f=1 c=6 p=3 スタート 2 3 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=1 c=6 p=2 f=1 c=5 p=1 f=0 c=10 p=4 ゴール 0 1 4 ループ6回目<(1)未確定でコスト最小の頂点を確定済みとする。 > 全未確定頂点中で、⑤がコスト最小となるので 確定済みとします。
31.
f=1 c=6 p=3 スタート 2 3 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=1 c=6 p=2 f=1 c=5 p=1 f=0 c=6+2=8 p=5 ゴール 0 1 4 ループ6回目<(2) (1)で確定した頂点と繋がっている未確定頂点を更新する。 > 設定済みコスト>今回コスト、なの で更新
32.
f=1 c=6 p=3 スタート 2 3 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=1 c=6 p=2 f=1 c=5 p=1 f=0 c=8 p=5 ゴール 0 1 4 ゴール頂点は確定していない (f=0) ゴール頂点が未確定なので探索継続
33.
f=1 c=6 p=3 スタート 2 3 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=1 c=6 p=2 f=1 c=5 p=1 f=1 c=8 p=5 ゴール 0 1 4 ループ7回目<(1)未確定でコスト最小の頂点を確定済みとする。 > 全未確定頂点中で、⑥がコスト最小となるので 確定済みとします。
34.
f=1 c=6 p=3 スタート 2 3 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=1 c=6 p=2 f=1 c=5 p=1 f=1 c=8 p=5 ゴール 0 1 4 ループ7回目<(2) (1)で確定した頂点と繋がっている未確定頂点を更新する。 > 更新対象なし
35.
f=1 c=6 p=3 スタート 2 3 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=1 c=6 p=2 f=1 c=5 p=1 f=1 c=8 p=5 ゴール 0 1 4 ゴール頂点は確定済み (f=1) ゴール頂点が確定済みなので探索完了
36.
f=1 c=6 p=3 スタート 2 3 5 6 2 4 3 5 3 6 4 2 1 1 1 f=1 c=0 p=-1 f=1 c=2 p=0 f=1 c=3 p=1 f=1 c=6 p=2 f=1 c=5 p=1 f=1 c=8 p=5 ゴール 0 1 4 ゴール頂点から順に、各頂点に設定されている直前頂点を元に、 スタート頂点まで辿り、最短経路を求めます。
37.
おしまい
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