Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar probabilitas dan statistika seperti populasi, sampel, parameter, statistik, ruang sampel, kejadian, variabel acak, distribusi, fungsi probabilitas, ekspektasi dan variansi.
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi probabilitas yang mencakup ruang sampel dan variabel acak, distribusi empiris dan teoritis, fungsi probabilitas seperti probability mass function, probability density function, dan cumulative distribution function, serta proses stokastik seperti proses Bernoulli dan proses Poisson."
Dokumen tersebut membahas tentang konsep-konsep dasar probabilitas seperti populasi dan sampel, ruang sampel dan titik sampel, keluaran dan kejadian, variabel acak, serta metode penghitungan probabilitas menggunakan permutasi, kombinasi, dan contoh-contoh penerapannya seperti dadu dan poker.
Maaf, saya tidak mendapatkan informasi lebih lanjut tentang variabel C11. Silakan jelaskan variabel tersebut agar saya dapat memodelkannya secara matematis.
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi probabilitas yang mencakup ruang sampel dan variabel acak, distribusi empiris dan teoritis, fungsi probabilitas seperti probability mass function, probability density function, dan cumulative distribution function, serta proses stokastik seperti proses Bernoulli dan proses Poisson."
Dokumen tersebut membahas tentang konsep-konsep dasar probabilitas seperti populasi dan sampel, ruang sampel dan titik sampel, keluaran dan kejadian, variabel acak, serta metode penghitungan probabilitas menggunakan permutasi, kombinasi, dan contoh-contoh penerapannya seperti dadu dan poker.
Maaf, saya tidak mendapatkan informasi lebih lanjut tentang variabel C11. Silakan jelaskan variabel tersebut agar saya dapat memodelkannya secara matematis.
Probabilitas merupakan tingkat kepastian atau keyakinan terjadinya suatu peristiwa didasarkan pada data dan fakta yang ada. Dokumen ini menjelaskan konsep dasar probabilitas, ruang sampel, peristiwa, sifat-sifat probabilitas, dan contoh perhitungan probabilitas untuk berbagai jenis peristiwa.
BAB 5. Distribusi Normal dan Distribusi SamplingCabii
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi normal dan distribusi sampling. Distribusi normal merupakan distribusi probabilitas kontinu yang paling penting dalam statistika yang memiliki bentuk lonceng simetris. Distribusi sampling adalah distribusi probabilitas dari statistik sampel sebagai variabel acaknya yang digunakan untuk memperkirakan parameter populasi berdasarkan sampel.
This document discusses Failure Mode and Effects Analysis (FMEA). It begins by defining key terms like probability, risk, risk measurement, and risk management. It then explains that FMEA is a manual analysis method used to determine the consequences of failures in components, modules, or subsystems. The FMEA process involves identifying potential failure modes, their causes and effects, current controls, and developing recommendations to address high priority risks. Seven steps of the FMEA process are outlined, including determining failure modes and associated risks, effects, causes, controls, recommended actions, and comparing results. An example of applying FMEA to a truck stop coffee process is also provided.
Distribusi binomial dan distribusi poissonSuci Agustina
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi binomial dan distribusi Poisson. Distribusi binomial digunakan ketika proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli, sedangkan distribusi Poisson menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu. Dokumen ini juga menjelaskan ciri-ciri, rumus, dan contoh soal distribusi binomial dan Poisson.
Kelompok menganalisis data pengunjung taman bermain selama 80 hari. Mereka membuat (1) tabel distribusi frekuensi dengan 9 kelas berdasarkan aturan Sturges, (2) histogram, polygon, dan ogive dari data, (3) tabel distribusi frekuensi baru dengan kelas lebar 10.
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar probabilitas seperti definisi probabilitas, pendekatan klasik dan empiris dalam menentukan probabilitas, istilah-istilah penting seperti eksperimen, hasil, dan kejadian, serta aturan-aturan dasar dalam menghitung probabilitas seperti aturan penjumlahan dan perkalian. Contoh-contoh penerapan konsep-konsep tersebut diberikan untuk membantu pemahaman.
This document summarizes key concepts in probability, including:
1) Defining probability as a measure of how often an event occurs. Probability is calculated by adding the probabilities of simple events within the event.
2) Introducing concepts like experiments, events, sample spaces, unions, intersections, and complements of events.
3) Explaining conditional probability and the relationship between independent and dependent events.
4) Summarizing rules for calculating probabilities of unions, intersections, and complements of events.
Dokumen ini membahas fungsi kegagalan dan keandalan sistem. Terdapat penjelasan tentang fungsi probabilitas kegagalan, aksioma kegagalan, parameter fungsi kegagalan seperti MTTF dan MTBF, serta fungsi laju kegagalan yang dapat direpresentasikan dalam kurva bathtub model. Juga dibahas cara mengolah data kerusakan dan perawatan untuk menghitung parameter-parameter tersebut.
Probabilitas merupakan tingkat kepastian atau keyakinan terjadinya suatu peristiwa didasarkan pada data dan fakta yang ada. Dokumen ini menjelaskan konsep dasar probabilitas, ruang sampel, peristiwa, sifat-sifat probabilitas, dan contoh perhitungan probabilitas untuk berbagai jenis peristiwa.
BAB 5. Distribusi Normal dan Distribusi SamplingCabii
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi normal dan distribusi sampling. Distribusi normal merupakan distribusi probabilitas kontinu yang paling penting dalam statistika yang memiliki bentuk lonceng simetris. Distribusi sampling adalah distribusi probabilitas dari statistik sampel sebagai variabel acaknya yang digunakan untuk memperkirakan parameter populasi berdasarkan sampel.
This document discusses Failure Mode and Effects Analysis (FMEA). It begins by defining key terms like probability, risk, risk measurement, and risk management. It then explains that FMEA is a manual analysis method used to determine the consequences of failures in components, modules, or subsystems. The FMEA process involves identifying potential failure modes, their causes and effects, current controls, and developing recommendations to address high priority risks. Seven steps of the FMEA process are outlined, including determining failure modes and associated risks, effects, causes, controls, recommended actions, and comparing results. An example of applying FMEA to a truck stop coffee process is also provided.
Distribusi binomial dan distribusi poissonSuci Agustina
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi binomial dan distribusi Poisson. Distribusi binomial digunakan ketika proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli, sedangkan distribusi Poisson menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu. Dokumen ini juga menjelaskan ciri-ciri, rumus, dan contoh soal distribusi binomial dan Poisson.
Kelompok menganalisis data pengunjung taman bermain selama 80 hari. Mereka membuat (1) tabel distribusi frekuensi dengan 9 kelas berdasarkan aturan Sturges, (2) histogram, polygon, dan ogive dari data, (3) tabel distribusi frekuensi baru dengan kelas lebar 10.
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar probabilitas seperti definisi probabilitas, pendekatan klasik dan empiris dalam menentukan probabilitas, istilah-istilah penting seperti eksperimen, hasil, dan kejadian, serta aturan-aturan dasar dalam menghitung probabilitas seperti aturan penjumlahan dan perkalian. Contoh-contoh penerapan konsep-konsep tersebut diberikan untuk membantu pemahaman.
This document summarizes key concepts in probability, including:
1) Defining probability as a measure of how often an event occurs. Probability is calculated by adding the probabilities of simple events within the event.
2) Introducing concepts like experiments, events, sample spaces, unions, intersections, and complements of events.
3) Explaining conditional probability and the relationship between independent and dependent events.
4) Summarizing rules for calculating probabilities of unions, intersections, and complements of events.
Dokumen ini membahas fungsi kegagalan dan keandalan sistem. Terdapat penjelasan tentang fungsi probabilitas kegagalan, aksioma kegagalan, parameter fungsi kegagalan seperti MTTF dan MTBF, serta fungsi laju kegagalan yang dapat direpresentasikan dalam kurva bathtub model. Juga dibahas cara mengolah data kerusakan dan perawatan untuk menghitung parameter-parameter tersebut.
Modul Ajar Statistika Inferensia ke-13: Analisis Variansi, Eksperimentasi Fak...Arif Rahman
This document discusses statistical analysis and experimental design. It defines statistics as the branch of mathematics concerned with collecting, organizing, summarizing, simplifying, presenting, interpreting, analyzing and synthesizing data to help solve problems and make decisions. It discusses the goals and principles of experimental design, including replication to estimate experimental error, randomization to ensure statistical validity, and local control to reduce experimental error. Key aspects like blocking, balancing and grouping techniques are explained as methods to control nuisance factors and refine heterogeneous data in experimental design.
Modul Ajar Statistika Inferensia ke-12: Uji Asumsi Klasik pada Regresi Linier...Arif Rahman
1. The document discusses statistical analysis methods, including regression analysis and classical assumptions for regression models.
2. It explains the differences between correlation and regression, and covers simple and multiple linear regression analysis.
3. Key classical assumptions discussed include the assumptions of linearity, no multicollinearity, normality of residuals, homoscedasticity, and that covariates are uncorrelated with residuals. Methods for testing some of these assumptions are also presented.
Analisis regresi linier berganda digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel terikat dengan dua atau lebih variabel bebas. Metode ini mengestimasi koefisien regresi untuk setiap variabel bebas berdasarkan data sampel yang dikumpulkan. Contoh menunjukkan estimasi koefisien regresi untuk tiga variabel bebas berdasarkan data 15 observasi.
Dokumen tersebut membahas tentang analisis regresi linier sederhana, yang merupakan metode statistika untuk menganalisis hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat dengan mengestimasi koefisien regresi dan melakukan prediksi."
Modul Ajar Statistika Inferensia ke-6: Uji Kesesuaian Baik (Goodness of Fit T...Arif Rahman
Dokumen tersebut membahas tentang uji hipotesa dan langkah-langkah pengujian hipotesa, termasuk mendefinisikan hipotesa, memilih uji statistik yang tepat, menentukan tingkat signifikansi, membangun daerah keputusan, menghitung statistik uji, dan menarik kesimpulan."
Modul Ajar Statistika Inferensia ke-4: Uji Hipotesa Proporsi ParametrikArif Rahman
Dokumen tersebut membahas tentang statistika inferensia yang menganalisis data sampel untuk menggeneralisasi ke populasi, mengestimasi parameter, menguji hipotesa, dan membuat prediksi."
Modul Ajar Statistika Inferensia ke-2: Uji Hipotesa Rata-rata ParametrikArif Rahman
Teks tersebut membahas tentang statistika inferensia yang menganalisis atau mensintesa data untuk menggeneralisasi sampel terhadap populasi, mengestimasi parameter, menguji hipotesa, dan membuat prediksi untuk menghasilkan informasi dan kesimpulan. Metode pengujian hipotesa secara statistik digunakan untuk membentuk kesimpulan mengenai populasi berdasarkan sampel yang diambil.
1. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas Brawijaya
Slide 04 : Probabilitas
dan Distribusi
PERAWATAN DAN
KEANDALAN
Teknik Industri - Universitas
Brawijaya
1
2. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Populasi
Populasi atau semesta (universe) adalah set
lengkap observasi yang menjadi perhatian peneliti.
Populasi adalah grup keseluruhan unsur yang
menjadi fokus studi.
Populasi adalah total keanggotaan dari semua
elemen sistem yang relevan dengan lingkup batasan
permasalahan.
2
3. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Populasi
Populasi (population) adalah himpunan semua
objek, percobaan, pengamatan, data, keluaran,
atau nilai yang memiliki kesamaan kondisi umum
(common state) dalam rentang (range) tertentu
(finite atau infinite) dengan parameter identik
sesuai dengan batasan permasalahan yang menjadi
fokus studi peneliti.
3
4. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Sampel
Sampel (sample) adalah sejumlah observasi yang
diambil dari populasi
Sampel adalah beberapa unsur yang menjadi bagian
dari populasi
Sampel adalah sebagian anggota dari populasi
4
5. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Populasi dan Sampel
5
6. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Statistik dan Parameter
Parameter adalah nilai yang menjelaskan
karakteristik populasi
Statistik adalah nilai yang menjelaskan karakteristik
sampel
6
7. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Ruang dan Titik Sampel
Ruang sampel (sample space) adalah satu set
lengkap semua keluaran yang mungkin terjadi
dalam populasi.
Titik sampel (sample point) adalah setiap keluaran
yang menjadi elemen atau anggota ruang sampel.
Ruang sampel dapat dirinci titik sampelnya, atau
menggunakan interval atau pernyataan
(statement / rule) jika terlalu banyak.
7
8. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Keluaran dan Kejadian
Keluaran (outcome) adalah fakta hasil
pengumpulan data dalam observasi ataupun
eksperimen
Kejadian (event) adalah peristiwa yang termasuk
dalam keluaran-keluaran yang mungkin (possible
outcomes) terjadi saat pengumpulan data.
8
9. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Proses Stokastik
Proses stokastik (stochastic process) adalah proses
dengan keluaran sekumpulan variabel acak X={X(t), t∈T},
yang terdistribusi acak pada saat t dalam rentang
continuum T.
Eksperimen acak (random experiment) adalah
eksperimentasi yang menghasilkan keluaran yang berbeda,
meskipun dilakukan perulangan dengan rancangan kondisi
eksperimentasi yang sama.
9
10. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Variabel Acak
Variabel acak (random variable) adalah suatu nilai
bersifat acak dalam numerik (format angka diskrit
atau kontinyu) atau nonnumerik yang menandai
keluaran dalam ruang sampel tertentu (finite atau
infinite).
Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital
miring (misal : X). Sedangkan nilai variabel acak
dinotasikan dengan huruf kecil miring (misal : x).
10
11. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Tipe Data
Data Diskrit, data hasil pencacahan atau
penghitungan, sehingga biasanya dalam angka
bilangan bulat.
Data Kontinyu, data hasil pengukuran yang
memungkinkan dalam angka bilangan nyata
(meskipun dapat pula dibulatkan)
11
12. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Probabilitas
Probabilitas kejadian E dalam ruang sampel S,
(P(E), E⊂S), adalah peluang kejadian E menjadi
keluaran percobaan dasar (trial) dalam sebuah
eksperimen yang mempunyai ruang sampel S di
mana kejadian E termasuk sebagai bagian dari
ruang sampel tersebut.
12
SEExPEP ⊂∈= ,)()(
13. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Probabilitas
Probabilitas kejadian E dalam ruang sampel S,
(P(E), E⊂S), adalah peluang empiris kejadian E
yang ekuivalen dengan proporsi banyaknya elemen
kejadian E, N(E). dibandingkan dengan segenap
elemen ruang sampel S, N(S).
13
( )
)(
)dan;(
)(
);(
SN
SEExxN
SN
SEEN
EP
⊂∈
=
⊂
=
14. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Probabilitas
Probabilitas kejadian E dalam ruang sampel S,
(P(E), E⊂S), adalah total peluang semua titik
sampel dalam ruang sampel S yang menjadi elemen
kejadian E.
14
( ) 1)(,0)(,10 ==∅≤≤ SPPEP
)(,,2,1,,)()(
)(
1
ENiExxPEP i
EN
i
i =∈= ∑=
15. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Probabilitas
Probabilitas kejadian E dalam ruang sampel S,
(P(E), E⊂S), adalah frekuensi relatif kejadian E.
15
SE
xf
xf
EfEP
Sx
Ex
r
⊂=
=
∑
∑
∈∀
∈∀
,
)(
)(
)()(
16. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Hukum Total Probabilitas
Jika A1, A2, ..., Ak menunjukkan bagian dari ruang
sampel S yang bersifat mutually exclusive, dan tidak
ada titik sampel yang tidak menjadi elemennya
(A1∪A2∪...∪Ak= S), maka total probabilitas
gabungan keseluruhan adalah satu
16
exclusivemutuallydan,manadi
1)(0dengan,1)(
1
1
i
k
i
i
i
k
i
i
ASA
APAP
∀=
≤≤=
=
=
∑
S
A1
A2
A3
A4 A5
17. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Kejadian Eksklusif
Dua kejadian bersifat saling eksklusif (mutually
exclusive), jika kemunculan kejadian E1 akan
meniadakan probabilitas kejadian E2
◦P(A|B) = 0
◦P(B|A) = 0
Dua kejadian bersifat saling eksklusif (mutually
exclusive), jika probabilitas irisan adalah nol.
P(A∩B) = 0
17
18. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Kejadian Eksklusif
Probabilitas gabungan (probability of a union)
beberapa kejadian E1, E2,... dan Em dalam ruang
sampel S, (P(E1∪E2∪...∪Em); ∀E⊂S dan ∀E
mutually exclusive) di mana semua kejadian saling
mutually exclusive adalah sebesar jumlah
probabilitas segenap kejadian tersebut
18
∑=
=
=
++=
m
i
i
m
m
i
i
EP
EPEPEPEP
1
21
1
)(
)()()()(
19. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Kejadian Bebas
Dua kejadian bersifat saling bebas (independent),
jika kemunculan kejadian E1 tak mempengaruhi
probabilitas kejadian E2
◦P(A|B) = P(A)
◦P(B|A) = P(B)
Dua kejadian bersifat saling bebas tidak terikat
(independent), jika probabilitas irisan adalah
perkalian kedua probabilitasnya.
P(A∩B) = P(A).P(B)
19
20. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Kejadian Bebas
Sejumlah kejadian, E1, E2, ... , Ek bersifat saling
bebas tidak terikat (independent), jika probabilitas
irisannya ekuivalen dengan perkalian
probabilitasnya
20
∏==
=
=∩∩∩
k
i
i
k
i
i
kk
APAP
APAPAPAAAP
11
2121
)(
)(.).().()(
21. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Distribusi
Distribusi adalah sebaran variabel acak X dalam
ruang sampel S dengan rentang R yang mempunyai
karakteristik unik (parameter atau statistik) dalam
interval tertentu (finite atau infinite) dengan fungsi
probabilitas yang spesifik.
21
22. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Distribusi
Distribusi empiris (empirical distribution) adalah
distribusi sebaran data aktual dari observasi atau
eksperimen dengan pengelompokan dalam
distribusi frekuensi.
Distribusi teoritis (theoretical distribution) adalah
distribusi sebaran variabel acak dalam rentang
tertentu yang mengikuti fungsi probabilitasnya.
22
23. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Fungsi Probabilitas
Fungsi probabilitas menunjukkan tingkat frekuensi
relatif dari variabel acak X bernilai diskrit atau
luasan frekuensi relatif dari interval variabel acak X
bernilai kontinyu.
23
24. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Fungsi Probabilitas
Probability Mass Function, p(x)
Probability Density Function, f(x)
Cumulative Distribution Function, F(x)
Expectation, E(xn
)
Variance, V(x)
Moment, mr(x)
Moment Generating Function , Mr(x)
24
25. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Probability Mass Function
Fungsi massa probabilitas (probability mass
function) adalah fungsi yang memberikan
penaksiran probabilitas dari variabel acak diskrit
pada nilai tertentu.
Jika X adalah sebuah variabel acak diskrit, penaksiran nilai
probabilitas P(X=x)=p(x) untuk setiap x dalam rentang R di mana nilai
p(x) memenuhi :
◦p(x)>0 untuk seluruh x∈R
◦Σ p(x) = 1
25
26. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Probability Density Function
Fungsi kepadatan probabilitas (probability density
function) adalah fungsi yang memberikan
penaksiran probabilitas dari variabel acak kontinyu
dalam interval tertentu.
Jika X adalah sebuah variabel acak kontinyu, penaksiran nilai
probabilitas P(a<X<b)=a∫b
f(x)dx untuk setiap interval X dalam rentang
R di mana nilai f(x) memenuhi :
◦f(x)>0 untuk seluruh x∈R
◦∫ f(x) dx = 1
26
27. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Cumulative Distribution
Function
Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution
function) adalah fungsi yang memberikan
penaksiran probabilitas kumulatif dari variabel acak
diskrit atau kontinyu hingga nilai tertentu.
Jika X adalah sebuah variabel acak, penaksiran nilai probabilitas
P(X<b)= F(x) untuk setiap interval X dalam rentang R di mana nilai
F(x) memenuhi :
◦F(x) = Σb
p(x) untuk variabel acak diskrit x∈R
◦F(x) = -∞∫b
f(x) dx untuk variabel acak kontinyu x∈R
27
28. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Expectation
Nilai ekspektasi (expectation) adalah sebuah nilai
harapan dari sebuah fungsi terhadap fungsi
probabilitas variabel acaknya.
Jika X adalah sebuah variabel acak, dan g(x) adalah fungsi dari X,
maka nilai ekspektasi dari g(x) didefinisikan sebagai berikut :
◦E((g(x)) = Σ g(x).p(x) untuk variabel acak diskrit x∈R
◦E((g(x)) = ∫ g(x).f(x) dx untuk variabel acak kontinyu x∈R
28
µ== xxE )(
29. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Variance
Variansi (variance) adalah nilai ekspektasi fungsi
kuadrat deviasi variabel acak X dengan rata-ratanya
terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.
29
RxdxxfxxxV
RxxpxxxV
∈−=
∈−=
∫
∑
∞
∞−
∞
kontinyuacakabeluntuk vari)(.)()(
diskritacakabeluntuk vari)(.)()(
2
0
2
( )
( )22
2
22
)()(
)(
)(
xExE
xxE
xVs
−=
−=
==σ
30. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Moment
Momen origin (moment about the origin atau raw
moment) adalah nilai ekspektasi fungsi deviasi
variabel acak X dengan titik origin (nol, 0) dalam
orde ke-r terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.
30
( )r
rr xEm == ''µ
Rxdxxfxm
Rxxpxm
r
rr
r
rr
∈==
∈==
∫
∑
∞
∞−
∞
kontinyuacakabeluntuk vari)(.''
diskritacakabeluntuk vari)(.''
0
µ
µ
31. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Moment
Momen pusat (central moment) adalah nilai
ekspektasi fungsi deviasi variabel acak X dengan
nilai rata-rata dalam orde ke-r terhadap fungsi
distribusi probabilitasnya.
31
( )r
rr xxEm )( −==µ
Rxdxxfxxm
Rxxpxxm
r
rr
r
rr
∈−==
∈−==
∫
∑
∞
∞−
∞
kontinyuacakabeluntuk vari)(.)(
diskritacakabeluntuk vari)(.)(
0
µ
µ
32. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Moment Generating
Function
Fungsi pembangkitan momen (moment generating
function) adalah nilai ekspektasi fungsi eksponensial
variabel t dan variabel acak X dengan nilai rata-rata
terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.
32
( )xt
eEtM .
)( =
RxdxxfetM
RxxpetM
xt
xt
∈=
∈=
∫
∑
∞
∞−
∞
kontinyuacakabeluntuk vari)(.)(
diskritacakabeluntuk vari)(.)(
.
0
.
33. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Moment Generating
Function
Hubungan antara Fungsi pembangkitan momen
(moment generating function) dengan momen
origin (moment about the origin) ditunjukkan
dengan fungsi derivatif.
33
r
t
r
r
dt
tMd
'
)(
0
µ=
=
34. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Distribusi Diskrit
Hubungan antara p(x) dengan F(x)
34
RxF
xpxXPxF
xX
rentangdalamasprobabilitluntuk tota1)(manadi
)()()(
0
=
=≤= ∑≤≤
p(x) F(x)
35. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Distribusi Kontinyu
Hubungan antara f(x) dengan F(x)
35
RxF
dxxfxXPxF
xX
rentangdalamasprobabilitluntuk tota1)(manadi
)()()(
=
=≤= ∫ ≤≤∞−
f(x) F(x)
36. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Distribution Fitting & Parameter Estimation
Chi-Square Test
Kolmogorov Smirnov Test
Geary Test
Lilliefors Test
Shapiro-Wilk Test
Moment Generating Function
Maximum Likelihood Estimation
Least Square Error
36
37. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas Brawijaya37
End of Slides ...End of Slides ...