ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน

1. ~ 1 ~
ชุดกิจกรรม
เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ชุดกิจกรรมที่ 1
ความสัมพันธ์
โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

2. ~ 2 ~
ขั้นที่ 1 SEARCH : S
ศึกษาข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับปัญหา
และการแยกแยะประเด็นของปัญหา

3. ~ 3 ~
บัตรเนื้อหาที่ 1
เรื่อง คู่อันดับ
คู่อันดับเป็นการเรียงลาดับกันของสิ่งของสองสิ่ง นั่นคือคู่อันดับจะต้องมีคู่และมี
อันดับ คู่อันดับแต่ละคู่ประกอบด้วยสมาชิกสองตัว คือ สมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัว
หลัง การเป็นสมาชิกตัวหน้าและตัวหลังจะแสดงอันดับซึ่งมีความสาคัญมาก เช่น ถ้า
เขียนคู่อันดับซึ่งแต่ละคู่อันดับสมาชิกตัวแรกแทนชื่อ และสมาชิกตัวหลังแทนอายุ เช่น
(สมศรี, 15), (สมศักดิ์, 16) ถ้าสลับที่สมาชิกตัวหน้าและตัวหลัง เช่น (สมศรี, 15) ),
(สมศักดิ์, 16) เป็น (15, สมศรี), (16, สมศักดิ์) สิ่งที่ได้ก็จะผิดความหมายที่กาหนดไว้
เดิม
การเขียนคู่อันดับในคณิตศาสตร์มักเขียนในรูป b)
(a, โดยที่ a เป็นสมาชิกตัว
หน้า และb เป็นสมาชิกตัวหลัง โดยจะตกลงว่าคู่อันดับ b)
(a, จะเท่ากับคู่อันดับ )
d
(c,
ก็ต่อเมื่อ c
a  และ d
b 
นิยาม คู่อันดับ b)
(a, = d)
(c, ก็ต่อเมื่อ c
a  และ d
b 
สมบัติของคู่อันดับ
1.    
a
b,
b
a,  ยกเว้น b
a 
2. )
b
(a, = d)
(c, ก็ต่อเมื่อ c
a  และ d
b 
3.    
d
c,
b
a,  ก็ต่อเมื่อ c
a  หรือ d
b 
ตัวอย่างที่ 1 เช่น (2 , 5) = ( 2, 3 + 2) แต่ (2, 5)  ( 5 , 2 )
(3 , 8) = y)
(x, ก็ต่อเมื่อ x = 3 และ y = 8
(1 ,7)  (x, y) ก็ต่อเมื่อ x  1 หรือ y  7

4. ~ 4 ~
บัตรเนื้อหาที่ 1 (ต่อ)
เรื่อง คู่อันดับ
ตัวอย่างที่ 2 (-15, 3y-1) = ( 3x , 20) ก็ต่อเมื่อค่าของ x และ y เท่ากับเท่าใด
วิธีทา (-15, 3y-1) = ( 3x , 20) ก็ต่อเมื่อค่าของ
3x = -15 และ 3y – 1 = 20
x = -5 และ 3y = 20 + 1 = 21
x = -5 และ y =
3
21
= 7
ดังนั้น (-15, 3y-1) = ( 3x , 20) ก็ต่อเมื่อ x – 5 และ y = 7
ตัวอย่างที่ 3 ถ้า (x + 3y, 0) = ( 8 , x – y ) แล้ว ( 2x - 3y , x + 4y )
เท่ากับเท่าใด
วิธีทา (x + 3y, 0) = ( 8 , x – y ) ก็ต่อเมื่อค่าของ
x + 3y = 8 …………….(1)
และ x - y = 0 …………….(2)
(1) – (2) 4y = 8
y = 2
แทนค่า y = 2 ในสมการ (2) จะได้ x = 2
ดังนั้น ( 2x – 3y , x + 4) = (2(2) – 3(2) , 2 + 4(2)) = ( -2, 10)
ตัวอย่างที่ 4 ( 6 , 3y )  (x , 12 ) ก็ต่อเมื่อการสรุปเกี่ยวกับ x และ y เป็นอย่างไร
วิธีทา ( 6 , 3y )  ( x , 12 ) ก็ต่อเมื่อ
6  x หรือ 3y  12
y  4
ดังนั้น ( 6 , 3y )  (x , 12 ) ก็ต่อเมื่อการสรุปเกี่ยวกับ x และ y
คือ x  6 หรือ y  4

5. ~ 5 ~
บัตรกิจกรรมที่ 1.1 กิจกรรมคู่อันดับทาได้ไหม
1. 2)
y
6,
(
3,8)
(x 


 ก็ต่อเมื่อค่าของ x และ y มีค่าเท่ากับเท่าใด
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2. 2)
(a,
1)
b
5,
( 

 ก็ต่อเมื่อ a หรือ b มีค่าเท่าใด
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
3. m)
(n,
n)
(m,  ดังนั้น ................... = ..........................
4. y)
x
(10,
y,6)
x
( 

 ก็ต่อเมื่อค่าของ x และ y มีค่าเท่ากับเท่าใด
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
5. ถ้า y)
3y,
(x
2y)
6,3x
( 

 แล้ว )
y
5y,3x
(x 
 เท่ากับเท่าใด
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

6. ~ 6 ~
บัตรกิจกรรมที่ 1.2 กิจกรรมคู่อันดับทาได้ไหม
1. )
1
y
(12,
3)
7,
x
( 


 ก็ต่อเมื่อค่าของ x และ y มีค่าเท่ากับเท่าใด
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2. )
3
2,
(a
2)
b
(3, 


 ก็ต่อเมื่อ a หรือ b มีค่าเท่าใด
..........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
3. )
w
(z,
z)
(w,  ดังนั้น ................... = ..........................
4. y)
x
(13,
y,3)
(x 

 ก็ต่อเมื่อค่าของ x และ y มีค่าเท่ากับเท่าใด
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
5. ถ้า 2y,20)
(x
2y)
7,2x
( 

 แล้ว )
y
4y,2x
x
( 
 เท่ากับเท่าใด
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

7. ~ 7 ~
บัตรเฉลยกิจกรรมที่ 1.1 กิจกรรมคู่อันดับทาได้ไหม
1. 2)
y
6,
(
3,8)
(x 


 ก็ต่อเมื่อค่าของ x และ y มีค่าเท่ากับเท่าใด
x + 3 = - 6 และ 8 = y + 2
x + 3 - 3 = - 6 - 3 และ 8 – 2 = y + 2 - 2
x = - 9 และ y = 6
2. 2)
(a,
1)
b
5,
( 

 ก็ต่อเมื่อ a หรือ b มีค่าเท่าใด
5 ≠ a หรือ b + 1 ≠ - 2
b ≠ -3
3. m)
(n,
n)
(m,  ดังนั้น m ≠ n หรือ n ≠ m
4. y)
x
(10,
y,6)
x
( 

 ก็ต่อเมื่อค่าของ x และ y มีค่าเท่ากับเท่าใด
x + y = 10 …………….(1)
และ x - y = 6 …………….(2)
(1) – (2) 2y = 4
y = 2
แทนค่า y = 2 ในสมการ (1) จะได้ x = 8
ดังนั้น ( x + y , 6 ) = ( 10 , x – y ) ก็ต่อเมื่อ (x, y) = ( 8, 2 )
5. ถ้า y)
3y,
(x
2y)
6,3x
( 

 แล้ว )
y
5y,3x
(x 
 เท่ากับเท่าใด
x - 3y = 6 …………….(1)
และ 3x + 2y = y นั่นคือ 3x + y = 0 …………….(2)
(1) คูณ 3 ได้ 3x – 9y = 18…………….(3)
(2) – (3) 10y = -18 ได้ y = - 1.8
แทนค่า y = - 1.8 ในสมการ (2) 3x + (-1.8) = 0 จะได้ x = 0.6
ดังนั้น ( x + 5y , 3x – y ) = (0.6 + 5(- 1.8) , 3(0.6) – (- 1.8)) = ( - 8.4, 3.6 )

8. ~ 8 ~
บัตรเฉลยกิจกรรมที่ 1.2 กิจกรรมคู่อันดับทาได้ไหม
1. )
1
y
(12,
3)
7,
x
( 


 ก็ต่อเมื่อค่าของ x และ y มีค่าเท่ากับเท่าใด
x + 7 = 12 และ – 3 = y – 1
x + 7 - 7 = 12 - 7 และ - 3 + 1 = y – 1 + 1
x = 5 และ y = - 2
2. )
3
2,
(a
2)
b
(3, 


 ก็ต่อเมื่อ a หรือ b มีค่าเท่าใด
3 ≠ a + 2 หรือ b + 2 ≠ - 3
- 1 ≠ a หรือ b ≠ - 5
3. )
w
(z,
z)
(w,  ดังนั้น w ≠ z หรือ z ≠ w
4. y)
x
(13,
y,3)
(x 

 ก็ต่อเมื่อค่าของ x และ y มีค่าเท่ากับเท่าใด
x + y = 13 …………….(1)
และ x - y = 3 …………….(2)
(1) – (2) 2y = 10
y = 5
แทนค่า y = 5 ในสมการ (1) จะได้ x = 8
ดังนั้น ( x + y , 3 ) = ( 13 , x – y ) ก็ต่อเมื่อ (x, y) = ( 8, 5 )
5. ถ้า 2y,20)
(x
2y)
7,2x
( 

 แล้ว )
y
4y,2x
x
( 
 เท่ากับเท่าใด
x - 2y = 7 …………….(1)
และ 2x + 2y = 20 ...………….(2)
(1) + (2) 3x = 27 ได้ x = 9
แทนค่า x = 9 ในสมการ (1) จะได้ y = 1
ดังนั้น ( x + 4y , 2x – y ) = ( 9 + 4(1) , 2(9) – 1) = ( 13, 17 )

9. ~ 9 ~
บัตรเนื้อหาที่ 2
เรื่อง ผลคูณคาร์ทีเชียน
ผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ B เขียนแทนด้วย ด้วย A  B นั่นคือ ถ้าให้
A = {a,b} , B = {1,2,3} แล้ว A  B = { (a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
สามารถเขียน A  B โดยวิธีกาหนดเงื่อนไขของสมาชิกดังนี้
A  B = { (x,y) / x  A และ yB}
นอกจากนี้การใช้แผนภาพต้นไม้ต่อไปนี้จะช่วยในการหาคู่อันดับของ A  B ได้ดังนี้
A B A  B
1 ( a,1 )
a 2 ( a,2 )
3 ( a,3 )
1 ( b,1 )
b 2 ( b,2 )
3 ( b,3 )
ดังนั้น A  B = { (a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
ตัวอย่างที่ 1 กาหนด A = {1,4} , B = { } , และ C = 
จงหา A B , A  C , B  B , B  C , C  C
วิธีทา A  B = { (1,  ) , (4 ,  )}
A  C = 
B  B = { ( , ) }
B  C = 
C  C = 

10. ~ 10 ~
บัตรเนื้อหาที่ 2 (ต่อ)
เรื่อง ผลคูณคาร์ทีเชียน
ตัวอย่างที่ 2 กาหนด A = {0,{0}} , B = {0,1,  } และ C = {1}
จงหา 1) A(B C)
2) (AB) (AC)
3) A(B C)
4) (AB) (AC)
5) (A – B)C
6) (A  C) – (B  C)
7) A(B C) = (AB) (AC) หรือไม่
8) A(B C) = (AB) (AC) หรือไม่
9) (A – B)C = (A  C) – (B  C) หรือไม่
วิธีทา
1) (B C) = {1}
A  (B C) = {(0,1) , ({0} ,1)}
2) A B = { (0,0) , (0,1),(0,  ),({0},0),({0},1),({0},  )}
A  C = { (0,1) , ({0} , 1 ) }
(A  B ) ( A  C ) = { (0 , 1) , ({0},1)}
3) B C = { 0, 1,  }
A  ( B C) = {(0, 0), (0, 1), ( 0,  ), ({0},0), ({0},1), ({0},  )}
4) (AB)  (AC) = {(0,0), (0,1), ( 0,  ), ({0},0), ({0},1) ,({0},  )
5) (A – B) = {{0}}
(A – B)  C = {({0}, 1)}
6) (A C) = {(0,1), ({0},1)}
(B C) = {(0,1), (1,1), ( ,1)}
(A C) – ( B  C) = { ({0},1)}

11. ~ 11 ~
บัตรเนื้อหาที่ 2 (ต่อ)
เรื่อง ผลคูณคาร์ทีเชียน
7) A(B C) = (AB) (AC) หรือไม่ ตอบ เท่ากัน
8) A(B C) = (AB) (AC) หรือไม่ ตอบ เท่ากัน
9) (A – B)C = (A  C) – (B  C) หรือไม่ ตอบ เท่ากัน
ตัวอย่างที่ 3 กาหนด A = {1,2,3, … ,20} , B = {18,19,20, ... , 30} และ
C = {20,21,22, … ,40} จงหา n[(AB) (A  C)]
วิธีทา เนื่องจาก (A B ) ( A x C ) = A  ( B C)
n[(A B)  (A  C)] = n[ A  (B C)]
= n(A)  n(B C)
จากโจทย์จะได้ n(A) = 20
B C = { 20,21,22, … ,30}
n(B C) = 11
ฉะนั้น n[(A B)  (A  C)] = n(A)  n(B C)
= 20  11 = 220

12. ~ 12 ~
บัตรเนื้อหาที่ 2 (ต่อ)
เรื่อง ผลคูณคาร์ทีเชียน
สมบัติของผลคูณคาร์ทีเชียน
ให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆจะได้ว่า
1. A  B =  ก็ต่อเมื่อ A =  หรือ B = 
2. โดยทั่วไป AB ≠ B  A
A  B = B  A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A =  หรือ B = 
3. ถ้า A  B = A  C และ A =  แล้ว B = C
4. ถ้า A เป็นเซตจากัดซึ่ง A =  และ B เป็นเซตอนันต์
แล้ว A  B และ B  A เป็นเซตอนันต์
5. ถ้า A และ B เป็นเซตอนันต์
แล้ว A  B และ B  A เป็นเซตอนันต์
6. เมื่อ A และ B เป็นเซตจากัด n(A  B) = n(B  A) = n(A)  n(B)
7. ถ้า A  B แล้ว A  C  B  C
8. ถ้า A  B แล้ว C  D แล้ว A  C  B  D
9. ถ้า A =  และ A  B  A  C แล้ว B C
10. A  ( B C ) = ( AB )  ( A  C )
11. A  ( B C ) = ( A  B )  ( A  C )
12. A  (B – C) = (A  B) – (A  C)
13. (A  B ) ( B  A ) = (A  B)  ( A  B )

13. ~ 13 ~
บัตรกิจกรรมที่ 2.1 กิจกรรมหาผลคูณคาร์ทีเชียน
นักเรียนหาผลคูณคาร์ทีเซียนต่อไปนี้
1. กาหนดให้ A = { 0, 3}, B = { 0, 5} จะได้
A  A = ……………………………………………………………………
A  B = ……………………………………………………………………
B  A = ……………………………………………………………………
B  B = ……………………………………………………………………
n(A  B) = …………………………………………………………………
2. กาหนดให้ A = {1, 2}, B =  และ C = { } จะได้
A  B = ……………………………………………………………………
A  C = ……………………………………………………………………
B  C = ……………………………………………………………………
C  C = ……………………………………………………………………
3. กาหนดให้ A = {1, 2, 3} , B = {5, 6} และ C = {6, 7, 8} จงหา
1. A  (B – C)
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
2. (A  B) – (A  C)
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
3. n[A  (B C)]
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
4. n[(A  B) C]
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………

14. ~ 14 ~
บัตรกิจกรรมที่ 2.2 กิจกรรมหาผลคูณคาร์ทีเชียน
นักเรียนหาผลคูณคาร์ทีเซียนต่อไปนี้
1. กาหนดให้ A = {2,3} , B = {1,5,7}
1.1 AA = …………………………………………………………………………
1.2 AB = …………………………………………………………………………
1.3 BA = …………………………………………………………………………
2. กาหนดให้ A = {a,b,c} , B = {0,1,2,3} จงหาผลคูณคาร์ทีเซียน
2.1 AB = …………………………………………………………………………
2.2 BA = …………………………………………………………………………
2.3 BB = …………………………………………………………………………
3. จงพิจารณาว่าในแต่ละข้อถูกหรือผิด โดยใส่เครื่องหมาย  หรือ 
ลงหน้าข้อในแต่ละข้อ
1. A = {1, 2 } , B = { 3, 4, 5 } แล้ว n(AB) = 6
2. A = { a, b, c } , B =  แล้ว n(AB) = 3
3. A = { 0 }, B = { 0,  } และ C =  แล้ว AC  BC
4. เมื่อ A และ B เป็นเซตจากัดแล้ว n(AB) = n(BA)
5. ถ้า A เป็นเซตอนันต์และ B เป็นเซตจากัด
โดยที่ B 
 แล้ว AB เป็นเซตอนันต์

15. ~ 15 ~
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 2.1 กิจกรรมหาผลคูณคาร์ทีเชียน
นักเรียนหาผลคูณคาร์ทีเซียนต่อไปนี้
1. กาหนดให้ A = { 0, 3}, B = { 0, 5} จะได้
A  A = { (0,0), (0,3), (3,0), (3,3) }
A  B = { (0,0), (0,5), (3,0), (3,5) }
B  A = { (0,0), (0,3), (5,0), (5,3) }
B  B = { (0,0), (0,5), (5,0), (5,5) }
n(A  B) = 2 × 2 = 4 , n (B×A) = 2×2 = 4
2. กาหนดให้ A = {1, 2}, B =  และ C = { } จะได้
A  B = { } หรือ 
A  C = { (1,  ), (2,  ) }
B  C = { }
C  C = {( , )}
3. กาหนดให้ A = {1, 2, 3} , B = {5, 6} และ C = {6, 7, 8} จงหา
1. A  (B – C)
วิธีทา B – C = { 5 }
A × (B – C) = { 1, 2, 3} × { 5} = { (1,5), (2,5), (3,5) }
2. (A  B) – (A  C)
วิธีทา A × B = { (1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6) }
A × C = { (1,6), (1,7), (1,8), (2,5), (2,6), (2,8), (3,5), (3,6), (2,8)}
(A × B) – (A × C) = { (1,5) }
3. n[A  (B C)]
วิธีทา = n(A) × n (B C)
= 3 × 4 = 12
4. n[(A  B) C]
วิธีทา = n(A B) × n (C)
= 5 × 3 = 15

16. ~ 16 ~
×
×
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 2.2 กิจกรรมหาผลคูณคาร์ทีเชียน
นักเรียนหาผลคูณคาร์ทีเซียนต่อไปนี้
1. กาหนดให้ A = {2,3} , B = {1,5,7}
1.1 AA = { (2,2),(2,3),(3,2),(3,3) }
1.2 AB = { (2,1),(2,5),(2,7),(3,1),(3,5),(3,7) }
1.3 BA = { (1,2),(1,3),(5,2),(5,3),(7,2),(7,3) }
2. กาหนดให้ A = {a,b,c} , B = {0,1,2,3} จงหาผลคูณคาร์ทีเซียน
2.1 AB = { (a,0),(a,1),(a,2),(a,3),(b,0),(b,1),(b,2),(b,3),(c,0),(c,1),(c,2),(c,3) }
2.2 BA = { (0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c) }
2.3 BB = { (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),
(3,0),(3,1),(3,2),(3,3) }
3. 3. จงพิจารณาว่าในแต่ละข้อถูกหรือผิด โดยใส่เครื่องหมาย  หรือ 
ลงหน้าข้อในแต่ละข้อ
1. A = {1, 2 } , B = { 3, 4, 5 } แล้ว n(AB) = 6
2. A = { a, b, c } , B =  แล้ว n(AB) = 3
3. A = { 0 }, B = { 0,  } และ C =  แล้ว AC  BC
4. เมื่อ A และ B เป็นเซตจากัดแล้ว n(AB) = n(BA)
5. ถ้า A เป็นเซตอนันต์และ B เป็นเซตจากัด
โดยที่ B 
 แล้ว AB เป็นเซตอนันต์




17. ~ 17 ~
บัตรเนื้อหาที่ 3
เรื่อง โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
นิยาม r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A  B
ตัวอย่างที่ 1 ให้A = {2,4} และ B = {2,4,6,8} จงเขียนความสัมพันธ์ต่อไปนี้
ในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิกและบอกเงื่อนไขของสมาชิก
r1 คือความสัมพันธ์ “ หารลงตัว ” จาก A ไป B
r2 คือความสัมพันธ์ “ เป็นครึ่งหนึ่ง ” จาก B ไป A
r3 คือความสัมพันธ์ “ เป็นสองเท่า ” จาก A ไป A
วิธีทา
r1 เป็นสับเซตของ A  B จะได้
เซตแบบแจกแจงสมาชิก r1 = {(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(4,4),(4,8)}
เซตบอกเงื่อนไขของสมาชิก r1 = {(x,y)  A  B / x หาร y ลงตัว}
r2 เป็นสับเซตของ B  A จะได้
เซตแบบแจกแจงสมาชิก r2 = {(2,4)}
เซตบอกเงื่อนไขของสมาชิก r2 = {(x,y)  B  A / x =
2
y
}
r3 เป็นสับเซตของ A  A จะได้
เซตแบบแจกแจงสมาชิก r3 = {(4,2)}
เซตบอกเงื่อนไขของสมาชิก r3 = {(x,y)  A  A / x = 2y}

18. ~ 18 ~
บัตรเนื้อหาที่ 3 (ต่อ)
เรื่อง โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
นิยาม ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัว
หน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Dr
ให้ A = {1,2,3,4}
B = {a,b,c,d}
และ r = {(2,a),(3,b),(4,c)}
ถ้าเรานาสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับใน r มาเขียนเป็นสมาชิกของเซต เราเรียก
เซตใหม่นี้ว่าโดเมนของ r นั่นคือ โดเมนของ r = {2,3,4} หรือเขียนแทนด้วย Dr={2,3,4}
และนาสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับใน r มาเขียนเป็นสมาชิกของเซต เราเรียก
เซตใหม่นี้ว่าเรนจ์ของ r นั่นคือ เรนจ์ของ r = {a,b,c} หรือเขียนแทนด้วย Rr = {a,b,c}
เขียน Dr และ Rr ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้
Dr = {x / (x,y)r}
Rr = {y / (x,y)r}
ตัวอย่างที่ 1 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
r1 = {(-1,1),(-2,2),(-3,3),(-4,4)}
r2 = {(4,a),(5,b),(6,c)}
วิธีทา r1 = {(-1,1),(-2,2),(-3,3),(-4,4)}
1
r
D = {-1,-2,-3,-4} 1
r
R = {1,2,3,4}
r2 = {(4,a),(5,b),(6,c)}
2
r
D = {4,5,6} 2
r
R = {a,b,c}

19. ~ 19 ~
บัตรเนื้อหาที่ 3 (ต่อ)
เรื่อง โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
ตัวอย่างที่ 2 ให้ A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} และ r = {(x,y)AA / y = x2
}
จงหาโดเมนและเรนจ์
วิธีทา A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
r = {(x,y)A A / y = x2
}
r = {(1,1),(2,4),(3,9)}
ดังนั้น Dr = {1,2,3}
Rr = {1,4,9}
การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดในเซตแบบบอกเงื่อนไขที่ไม่
สามารถแจกแจงสมาชิกของเซตได้หมดทุกตัวคือ
วิธีที่ 1 พิจารณาโดเมนและเรนจ์จากกราฟของความสัมพันธ์
วิธีที่ 2 พิจารณาจากสมการของความสัมพันธ์ดังนี้
การหาโดเมน เขียนความสัมพันธ์โดยจัด y ในรูปของ x นั่นคือ y = f(x) แล้ว
พิจารณาค่าของ x ที่ทาให้ y เป็นจริงตามเงื่อนไขในเซตที่กาหนด
การหาเรนจ์ เขียนความสัมพันธ์โดยจัด x ในรูปของ y นั่นคือ x = f(y) แล้ว
พิจารณาค่าของ y ที่ทาให้ x เป็นจริงตามเงื่อนไขในเซตที่กาหนด

20. ~ 20 ~
บัตรเนื้อหาที่ 3 (ต่อ)
เรื่อง โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
ตัวอย่างที่ 3 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1) r = {(x,y)RR / y = x + 5 }
2) r = {(x,y)RR / y = x2
– 4 }
3) r = {(x,y)RR / y = 9 – x2
}
วิธีทา 1) r = {(x,y)RR / y = x + 5 }
วิธีที่ 1 พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์
y
จากกราฟ พบว่า จุดทุกจุดบนแกน x และ
ทุกจุดบนแกน y
สามารถเขียนกราฟของ y = x + 5
แสดงว่า Dr = { x / xR } Rr = { y / yR }
หรือ Dr = Rr = { x / xR }
หรือ Dr = Rr = { y / yR }
วิธีที่ 2 พิจารณาจากสมการของความสัมพันธ์ y = x + 5
จากความสัมพันธ์ พบว่าไม่ว่าจะแทนค่า x ด้วยจานวนจริงใด ๆ สามารถหาค่า y
ที่เป็นจริงสอดคล้อง กับสมการ y = x + 5 ได้เสมอ
x

21. ~ 21 ~
บัตรเนื้อหาที่ 3 (ต่อ)
เรื่อง โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
วิธีทา 2) r = {(x,y)RR / y = x2
– 4 }
วิธีที่ 1 พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ y = x2
– 4
y
จากกราฟ พบว่าจุดทุกจุดบนแกน x และ
เขียนกราฟของ y = x2
– 4 ได้เสมอ
แสดงว่า Dr = { x / xR }
จากกราฟ พบว่าจุดทุกจุดบนแกน y ที่ y > - 4
สามารถเขียนกราฟของ y = x2
– 4 ได้เสมอ
แสดงว่า Rr = { y / y > - 4 }
วิธีที่ 2 พิจารณาจากสมการของความสัมพันธ์ y = x2
– 4
จากความสัมพันธ์ y = x2
จะได้y > 0 สาหรับทุก xR
ดังนั้น ถ้าความสัมพันธ์ y = x2
– 4 จะได้y > 0 - 4 สาหรับทุก xR
ฉะนั้น Dr = { x / xR } หรือ y > - 4 สาหรับทุก xR
Rr = { y / y > - 4 }
x

22. ~ 22 ~
บัตรเนื้อหาที่ 3 (ต่อ)
เรื่อง โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
วิธีทา 3) r = {(x,y)RR / y = 9 – x2
}
วิธีที่ 1 พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์
y
จากกราฟ พบว่าจุดทุกจุดบนแกน x สามารถ
เขียนกราฟ y = 9 – x2
ได้เสมอ
ฉะนั้น Dr = { x / xR }
จากกราฟ พบว่าจุดทุกจุดบนแกน y ที่ y < 9
สามารถเขียนกราฟของ y = 9 – x2
ได้เสมอ
แสดงว่า Rr = { y / y < 9 }
วิธีที่ 2 พิจารณาจากสมการของความสัมพันธ์ y = 9 – x2
จากความสัมพันธ์ y = –x2
จะได้y < 0 สาหรับทุก xR
ดังนั้น ถ้าความสัมพันธ์ y = –x2
+ 9 จะได้y < 9 สาหรับทุก xR
ฉะนั้น Dr = { x / xR }
Rr = { y / y < 9 }
x

23. ~ 23 ~
บัตรเนื้อหาที่ 3 (ต่อ)
เรื่อง โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
ตัวอย่างที่ 4 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1. r = { (x,y) / y = x }
2. r = { (x,y) / y = 4

x }
3. r = { (x,y) / y = x + 4 }
4. r = { (x,y) / y = 1
2 
x + 4 }
วิธีทา 1. r = { (x,y) / y = x }
Dr = { x / xR } Rr = { y / y > 0}
2. r = { (x,y) / y = 4

x }
Dr = { x / xR } Rr = { y / y > 0}
3. r = { (x,y) / y = x + 4 }
Dr = { x / xR } Rr = { y / y > 4}
4. r = { (x,y) / y = 1
2 
x + 4 }
Dr = { x / xR } Rr = { y / y > 4}

24. ~ 24 ~
บัตรเนื้อหาที่ 3 (ต่อ)
เรื่อง โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
ตัวอย่างที่ 5 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1. r =







x
1
y)/y
(x,
2. r =








4
x
3
y)/y
(x,
3. r =








2x
3
8x
y)/y
(x,
4. r =  
16
x
y)/y
(x, 2


วิธีทา 1. r =







x
1
y)/y
(x,
การหาโดเมน เขียนในรูป y = f(x) นั่นคือ y =
x
1
ดังนั้น Dr = { x / x  0 }
เพราะว่า x = 0 ทาให้ไม่มีค่า y ในระบบจานวนจริงที่จะทาให้ y =
x
1
เป็นจริง
หรือ Dr = R – {0}
Rr = { y / y  0 }
เพราะว่าจาก y =
x
1
เขียนใหม่ในรูป x = f(y) เป็น x =
y
1
จะได้ y  0
หรือ Rr = R – {0}

25. ~ 25 ~
บัตรเนื้อหาที่ 3 (ต่อ)
เรื่อง โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
วิธีทา 2. r =








4
x
3
y)/y
(x,
การหาโดเมน เขียนในรูป y = f(x) นั่นคือ y =
4
x
3

ดังนั้น Dr = { x / x  4 } เพราะว่า x - 4  0 ดังนั้น x  4
การหาเรนจ์เขียนใหม่ในรูป x = f(y) จะได้ x – 4 =
y
3
x =
y
3
+ 4 นั่นคือ y  0
ดังนั้น Rr = { y / y  0 }
วิธีทา 3. r =








2x
3
8x
y)/y
(x,
การหาโดเมน เขียนในรูป y = f(x) นั่นคือ y =
x
2
3
8x

จะได้ x 
2
3
และ x
2
3


ดังนั้น Dr = { x / x 
2
3
}
การหาเรนจ์เขียนใหม่ในรูป x = f(y)
จะได้ y(3 – 2x) = 8x
3y - 2xy = 8x
3y = 8x + 2xy = x(8 + 2y)
x =
2y
8
3y

ทาให้ y
2
8

 - 4
ดังนั้น Rr = { y / y  - 4 }

26. ~ 26 ~
บัตรเนื้อหาที่ 3 (ต่อ)
เรื่อง โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
วิธีทา 4. r =  
16
x
y)/y
(x, 2


การหาโดเมน เขียนในรูป y = f(x) นั่นคือ y = 16
x2

จาก y = 16
x2
 แสดงว่า y จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ x2
– 16 > 0
( x - 4) ( x + 4 ) > 0
+ - +
– 4 4
นั่นคือ x < - 4 หรือ x > 4
ดังนั้น Dr = { x / x < - 4 หรือ x > 4 }
การหาเรนจ์เขียนใหม่ในรูป x = f(y)
จาก y = 16
x2

จะได้ y2
= x2
– 16 , y > 0
x2
= y2
+ 16 , y > 0
x = 16
y2
 , y > 0
x หาค่าได้เมื่อ y2
+ 16 > 0 นั่นคือ yR แต่ y > 0 ฉะนั้น y > 0
ดังนั้น Rr = { y / y > 0 }

27. ~ 27 ~
บัตรกิจกรรมที่ 3.1 กิจกรรมหาโดเมนและเรนจ์
ให้นักเรียนหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1. กาหนดให้ A = {5, 6, 7, 8, 9}, B = {3, 4, 5}
1) 4}
y
7,
B/x
A
y)
{(x,
r 




...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2) 2}
x
A/y
A
y)
{(x,
r 




...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
3) }
x
B/y
B
y)
{(x,
r 



...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2. กาหนดให้ A = {1, 3, 5, 6}, B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 6}
1) }
3
x
B/y
A
y)
{(x,
r 




...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2) 2x}
B/y
A
y)
{(x,
r 



...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

28. ~ 28 ~
บัตรกิจกรรมที่ 3.2 กิจกรรมหาโดเมนและเรนจ์
1. จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1) 9}
y
/x
I
I
y)
{(x,
r 



 
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2) 2x}
R/y
R
y)
{(x,
r 



...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
3) 2x}
I/y
I
y)
{(x,
r 



...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
4) }
x
2
I/y
I
y)
{(x,
r 



...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
5) }
x
1
I/y
I
y)
{(x,
r 2





...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

29. ~ 29 ~
บัตรกิจกรรมที่ 3.3 กิจกรรมหาโดเมนและเรนจ์
จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1)









2
x
3x
y)/y
(x,
r
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2)










7
2x
x
1
y)/y
(x,
r
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
3)










2
x
2
x
y)/y
(x,
r
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
4)  
36
x
y)/y
(x,
r 2



...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
5)









2
x
64
1
y)/y
(x,
r
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

30. ~ 30 ~
บัตรเฉลยกิจกรรมที่ 3.1 กิจกรรมหาโดเมนและเรนจ์
1. กาหนดให้ A = {5, 6, 7, 8, 9}, B = {3, 4, 5}
1) }
4
y
7,
B/x
A
y)
{(x,
r 




Dr = { 8, 9 }
Rr = { 4 }
2) 2}
x
A/y
A
y)
{(x,
r 




Dr = { 5, 6, 7 }
Rr = { 7, 8, 9 }
3) }
x
B/y
B
y)
{(x,
r 



Dr = { 3, 4, 5 }
Rr = { 3, 4, 5 }
2. กาหนดให้ A = {1, 3, 5, 6}, B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 6}
1) 3}
x
B/y
A
y)
{(x,
r 




Dr = { 1, 3, 5, 6 }
Rr = { -2, 0, 2, 3 }
2) 2x}
B/y
A
y)
{(x,
r 



Dr = { 1, 3 }
Rr = { 2, 6 }

31. ~ 31 ~
บัตรเฉลยกิจกรรมที่ 3.2 กิจกรรมหาโดเมนและเรนจ์
1. จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1) 9}
y
/x
I
I
y)
{(x,
r 



 
Dr = { x I / x ≤ 8 }
Rr = { y I+
/ y ≤ 9 }
2) 2x}
R/y
R
y)
{(x,
r 



Dr = { x R }
Rr = { y R }
3) }
2x
I/y
I
y)
{(x,
r 



Dr = { x I }
Rr = { y I }
4) }
x
2
I/y
I
y)
{(x,
r 



Dr = { x I }
Rr = { y I+
}
5) }
x
1
I/y
I
y)
{(x,
r 2





Dr = { x I }
Rr = { y I / y  1 }

32. ~ 32 ~
บัตรเฉลยกิจกรรมที่ 3.3 กิจกรรมหาโดเมนและเรนจ์
จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1)









2
x
3x
y)/y
(x,
r
วิธีทา หาโดเมน จัด y ในรูป x ได้
2
x
3x
y


ดังนั้น Dr = { x R/ x ≠ - 2 }
หาเรนจ์ จัด x ในรูป y ได้ y(x + 2) = 3x
yx + 2y = 3x
yx – 3x = – 2y
x =
3
-
y
2y
-
ดังนั้น Rr = { y  R/ y ≠ 3 }
2)










7
2x
x
1
y)/y
(x,
r
วิธีทา หาโดเมน จัด y ในรูป x ได้
7
2x
x
-
1
y


ดังนั้น Dr = { x R/ x ≠
2
7
 }
หาเรนจ์ จัด x ในรูป y ได้ y(2x + 7) = 1 – x
2yx + 7y = 1 – x
2yx + x = 1 – 7y
x =
1
2y
7y
-
1

ดังนั้น Rr = { y  R /y ≠
2
1
 }

33. ~ 33 ~
บัตรเฉลยกิจกรรมที่ 3.3 กิจกรรมหาโดเมนและเรนจ์(ต่อ)
3)










2
x
2
x
y)/y
(x,
r
วิธีทา หาโดเมน จัด y ในรูป x ได้
2
x
2
x
y



ดังนั้น Dr = { x R/ x ≠ - 2 }
Rr = { y  R/ y ≠ 0 }
4)  
36
x
y)/y
(x,
r 2



วิธีทา หาโดเมน จัด y ในรูป x ได้ 36
x
y 2

 แล้ว x2
– 36  0
(x – 6)(x + 6)  0
ดังนั้น Dr = { x R/ x ≥ 6 หรือ x ≤ - 6 }
Rr = { y  R/ y ≥ 0 }
5)









2
x
64
1
y)/y
(x,
r
วิธีทา หาโดเมน จัด y ในรูป x ได้ 2
x
-
64
1
y  แล้ว 64 – x2
> 0
x2
– 64 < 0
(x – 8)(x + 8) < 0
ดังนั้น Dr = { x R/ -8 < x < 8 }
Rr = { y  R/ y > 0 }