R上の変な位相

1. 2次元ユークリッド空間R2 の部分集合R2+ ={x=(x1,x2)∈R2 |x1 >0, x2 >0}の
2 点 x, y について, 次の (i) (ii) のいずれかが成り立つとき, x ∼ y と書くことにする。
(i) x=y
(ii) x̸=y, かつ 線分xyの垂直2等分線が R2 の原点を通る.
以下の問いに答えよ。
(1) 関係 ∼ が同値関係であることを示せ。
x~x は(i)、 x~yならばy~xは(ii)、x~y y~zならばx~zは(ii)と図からわかる。
(2) 同値関係 ∼ による商集合 R2+/ ∼ から R への全単射を一つ与えよ。
原点から直線G:x1=x2を引くと、その上の元xがR2+/ ∼の代表元を定める。なぜなら、まずGの任意
の相違なる元は商集合上違う元であることは同値類の関係(iii)から明らか。(G上の元x,yがx~yと
なることはない)
また、同値類[y]の中でG上にある元は少なくても１つは存在する。(全写性)それはR2+ 上任意の
元zと同値なG上の点が存在するからである。(原点とzまでの距離分原点から離れたG上の点)G上
の相違なる２点は同値でないことから、同値類[y]の中でG上にある元は１つだけである。(もし
２つあると、同値関係(iii)からG上の相違なる元が同値になってしまう。(単射性) f: R2+/ ∼→G
[y]→原点までの距離だけ離れたG上の点
G上の点xと原点からの距離をd(x)とするとr:G→R x→(d(x)-1)/d(x)とすれば全単射である。(連
続であること、-無限と無限に行くこと、単射であることから)
(3) R2+ の位相を R2 の相対位相で定め, 商集合 R2 / ∼ の位相を商位相で定める. R+2 / ∼
から R への同相写像が存在することを示せ。
(2)で定めた写像が同相写像であることを示す。まず任意のR2+上の元から原点までの距離を対応
させる写像は連続である。よってG上の開集合はf
−1
𝜋−1によって同値類[y]に含まれるR2+上の元
yの開集合に写る。よって相対位相の定義からfは連続。逆にR2+の開集合は距離写像によって開
集合に写る。よってfは開写像である。rは同相写像であるから同相写像であることが示せた。