建築計画第二　講義資料（2020.06.05前半）

1. 2020年度 建築計画第二
（第9回 2020.06.05）
建築・都市における
相関・因果関係の分析手法 １
東京工業大学 環境・社会理工学院 建築学系
沖 拓弥
12020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）

2. 2020 9年度 建築計画第二 第 回（沖 拓弥） 2
適宜，質問時間を設けるようにしますが，
授業内容についての質問は，随時，チャット
に入力してください。

3. 2020 9年度 建築計画第二 第 回（沖 拓弥） 3
 ２つの事柄の関連性を調べたい。
 例１：人口と蔵書数の関係
 例２：蔵書数と貸出冊数の関係
 例３：駅の乗降・乗り換え者数とトイレ利用者数の関係
 例４：建物階数と建物高さの関係
 例５：高齢化率と空き家率の関係
 例６：写真と実空間での印象評価の関係
 例７：築年数と建替え割合の関係
 相互に関連があることをどのように判断すれば良いか？
 関係の強さをどのように表せば良いか？
以上の背景を念頭に置きながら
今回の講義を聞いてください
背景

4. 4
第９回のテーマ
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
相関分析 と 回帰分析
相関分析（Correlation analysis）
２種類の変数XY間の因果関係を考えずに，変数
間の関係の強さを測定する方法。
回帰分析（Regression analysis）
２種類の変数XY間の因果関係を仮定し，変数X
が変数Yに与える影響の測定や，予測に用いら
れる方法。

5. 5
相関分析の例１
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
身長と体重の関係
正の相関
http://www.toukei.metro.tokyo.jp/manabou/tyuu/sirou2/tokutyou2/ma1206t24b.htm
散布図を描くことで
視覚的に確認する

6. 6
相関分析の例２
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
年間の平均気温と積雪日数の関係
負の相関
https://bellcurve.jp/statistics/course/9589.html

7. 7
相関分析の例３
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
道路延長と下水道延長の関係
中澤 良太, 山崎 文雄, 被害想定のための道路網データに基づく下水道管
路の分布推定, 日本地震工学会論文集, 2015, 15 巻, 7 号, p. 7_368-7_377
250mメッシュ毎の道路延長と下水道延長の比較

8. 8
回帰分析の例１
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
親の身長と子の身長の関係
背の高い親たちの子どもの
平均身長は親たちより低く，
背の低い親たちの子どもの
平均身長は親たちより高くな
る傾向がある。
子どもの平均身長は，全体
の子どもの身長に近づく（回
帰する）。
親（原因）の身長から子ども（結果）の身長を予測
⇒逆は意味をなさない。よって回帰分析。

9. 9
回帰分析の例２
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
建物棟数と下水道延長の関係
中澤 良太, 山崎 文雄, 被害想定のための道路網データに基づく下水道管
路の分布推定, 日本地震工学会論文集, 2015, 15 巻, 7 号, p. 7_368-7_377
建物棟数が増えるほど
下水道延長も長くなる。
建物（原因）があることで，
下水道（結果）が整備される。

10. 10
相関係数
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
２種類の変数XY間の相関関係/因果関係の強さ
を表すために，相関係数（Correlation coefficient）と
いう指標を用いる。

11. 11
相関係数
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
中澤 良太, 山崎 文雄, 被害想定のための道路網データに基づく下水道管
路の分布推定, 日本地震工学会論文集, 2015, 15 巻, 7 号, p. 7_368-7_377
250mメッシュ毎の道路延長と下水道延長の比較
左図は，計N個のメッシュにお
ける道路延長と下水道延長の
関係をプロットした散布図であ
るとする。
x：
y：
平均値
分散
(xi, yi)
( )
22
1
1 N
x i
i
x x
N
σ
=
= −∑
1
1 N
i
i
x x
N =
= ∑
※yについても同様。
共分散 ( )( )
1
1 N
xy i i
i
x x y y
N
σ
=
= − −∑

12. 12
相関係数
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
中澤 良太, 山崎 文雄, 被害想定のための道路網データに基づく下水道管
路の分布推定, 日本地震工学会論文集, 2015, 15 巻, 7 号, p. 7_368-7_377
250mメッシュ毎の道路延長と下水道延長の比較 このとき，（ピアソンの積率）
相関係数rxyは以下のように
定義される。
x：
y：
(xi, yi)
xy
xy
x y
r
σ
σ σ
= （σxとσy は標準偏差）
＝分散の平方根
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
N
i i
i
N N
i i
i i
x x y y
x x y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
（-1≦rxy≦1）

13. 13
相関係数
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
相関係数rと散布図上の点分布の関係
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95
%B0#/media/File:Correlation_examples2.svg
無相関
正の相関 負の相関
絶対値が1に近いほど変数xと変数yは直線的な
関係にあり，相関関係/因果関係が強いといえる。

14. 14
相関係数
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
相関係数rと散布図上の点分布の関係
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95
%B0#/media/File:Correlation_examples2.svg

15. 15
相関係数
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
２種類の変数XY間の相関関係/因果関係の強さ
を表すために，相関係数（Correlation coefficient）と
いう指標を用いる。
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
N
i i
xy i
xy N N
x y
i i
i i
x x y y
r
x x y y
σ
σ σ
=
= =
− −
= =
− −
∑
∑ ∑
（-1≦rxy≦1）

16. 16
回帰分析の基本的考え方
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
大佛 俊泰, 沖 拓弥, 密集市街地における大地震時の避難困難
率について, 日本建築学会計画系論文集, 2012, 77 巻, 681 号,
p. 2561-2567
都内A・B地区内の町丁目における
木造建物密度と大地震時道路閉塞率
（推定値）の関係 ① ２種類の変数のうち，原因に
あたる変数（説明変数）をx軸，
結果にあたる変数（目的変
数）をy軸として，散布図を作
成する。
② 線形回帰式 y = ax + b の未
知パラメータa（傾き），b（y切
片）を最小二乗法によって求
め，回帰直線を描く。
③ 決定係数R2を算出する（⇔相
関係数rxy）。
x：
y：

17. 17
回帰分析の基本的考え方
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
大佛 俊泰, 沖 拓弥, 密集市街地における大地震時の避難困難
率について, 日本建築学会計画系論文集, 2012, 77 巻, 681 号,
p. 2561-2567
都内A・B地区内の町丁目における
木造建物密度と大地震時道路閉塞率
（推定値）の関係 ① ２種類の変数のうち，原因に
あたる変数（説明変数）をx軸，
結果にあたる変数（目的変
数）をy軸として，散布図を作
成する。
② 線形回帰式 y = ax + b の未
知パラメータa（傾き），b（y切
片）を最小二乗法によって求
め，回帰直線を描く。
③ 決定係数R2を算出する（⇔相
関係数rxy）。
x：
y：

18. 18
回帰式のパラメータ推定
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
大佛 俊泰, 沖 拓弥, 密集市街地における大地震時の避難困難
率について, 日本建築学会計画系論文集, 2012, 77 巻, 681 号,
p. 2561-2567
都内A・B地区内の町丁目における
木造建物密度と大地震時道路閉塞率
（推定値）の関係
x：
y：
y = ax + b という回帰式のパラ
メータa,bを推定することを考える。
(xi, yi)
y = ax + b
i i iy ax b ε= + +
誤差項
変形すると，
( )i i iy ax bε = − +
すべての点における誤差の2乗
の和（誤差自乗和）が最小にな
るときのa,bを採用する。
( ){ }
22
1 1
N N
i i i
i i
y ax b minimizeε
= =
= − + →∑ ∑
εi
b
xi
axi
yi
最小二乗法
正のみ

19. 19
回帰式のパラメータ推定
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
最小二乗法 ( ){ }
22
1 1
N N
i i i
i i
S y ax b minimizeε
= =
= = − + →∑ ∑
aとbについてそれぞれ変形すると，
( ) ( ){ }
( ) ( ){ }
22 2
1
22
1
2
2
N
i i i i
i
N
i i i i
i
S x a x y b a y b
S b y ax b y ax
=
=
= − − + −
= − − + −
∑
∑
下に凸
下に凸
S
a
ˆa
Smin
0
S
a
∂
=
∂
傾き
つまり，誤差自乗和Sが最小（Smin）となるのは，
0
S
a
∂
=
∂
かつ 0
S
b
∂
=
∂
のとき

20. 20
回帰式のパラメータ推定
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
最小二乗法 ( ){ }
22
1 1
N N
i i i
i i
S y ax b minimizeε
= =
= = − + →∑ ∑
( ) ( ){ }22
1
2
N
i i i i
i
S b y ax b y ax
=
= − − + −∑bについて，
( )
1
2 2 0
N
i i
i
S
bN y ax
b =
∂
= − − =
∂
∑
1 1
1 1N N
i i
i i
b y a x
N N= =
= −∑ ∑
b y ax= − ・・・①

21. 21
回帰式のパラメータ推定
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
最小二乗法 ( ){ }
22
1 1
N N
i i i
i i
S y ax b minimizeε
= =
= = − + →∑ ∑
( ) ( ){ }22 2
1
2
N
i i i i
i
S x a x y b a y b
=
= − − + −∑aについて，
( )2
1 1
2 2 0
N N
i i i
i i
S
a x x y b
a= =
∂
= − −=
∂
∑ ∑
2
1 1 1
N N N
i i i i
i i i
a x x y b x
= = =
= −∑ ∑ ∑
前のスライドの式①を代入すると，
( )2
1 1
2 2
1 1
N N
i i i
i i
N N
i i i
i i
a x x y y ax Nx
a x Nx x y Nxy
= =
= =
= − −
 
− = − 
 
∑ ∑
∑ ∑

22. 22
回帰式のパラメータ推定
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
最小二乗法 ( ){ }
22
1 1
N N
i i i
i i
S y ax b minimizeε
= =
= = − + →∑ ∑
（つづき）
2 2
1 1
N N
i i i
i i
a x Nx x y Nxy
= =
 
− = − 
 
∑ ∑
1
2 2
1
1
1
N
i i
i
N
i
i
x y xy
N
a
x x
N
=
=
−
=
−
∑
∑
2 2 2 2 2
1 1 1
1 1 1
2 2
N N N
i i i
i i i
x x x x x x x
N N N= = =
 
= − += − + 
 
∑ ∑ ∑
( ) ( )
22 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1
2 2
N N N N
i i i i i
i i i i
x x x Nx x xx x x x
N N N= = = =
 
= − + = − + = − 
 
∑ ∑ ∑ ∑
（分母）
2
xσ=
xの分散

23. 23
回帰式のパラメータ推定
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
最小二乗法 ( ){ }
22
1 1
N N
i i i
i i
S y ax b minimizeε
= =
= = − + →∑ ∑
（つづき）
2 2
1 1
N N
i i i
i i
a x Nx x y Nxy
= =
 
− = − 
 
∑ ∑
1
2 2
1
1
1
N
i i
i
N
i
i
x y xy
N
a
x x
N
=
=
−
=
−
∑
∑
1 1 1 1
1 1 1 1
2
N N N N
i i i i i i
i i i i
x y xy xy x y y x x y xy
N N N N= = = =
= − += − − +∑ ∑ ∑ ∑（分子）
( ) ( )( )
1 1
1 1N N
i i i i i i
i i
x y x y xy xy x x y y
N N=
= − − += − −∑ ∑ xyσ=
xとyの共分散

24. 24
回帰式のパラメータ推定
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
最小二乗法 ( ){ }
22
1 1
N N
i i i
i i
S y ax b minimizeε
= =
= = − + →∑ ∑
（つづき）
2 2
1 1
N N
i i i
i i
a x Nx x y Nxy
= =
 
− = − 
 
∑ ∑
1
2
2 2
1
1
1
N
i i
xyi
N
x
i
i
x y xy
N
a
x x
N
σ
σ
=
=
−
= =
−
∑
∑
・・・②

25. 25
回帰式のパラメータ推定（まとめ）
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
大佛 俊泰, 沖 拓弥, 密集市街地における大地震時の避難困難
率について, 日本建築学会計画系論文集, 2012, 77 巻, 681 号,
p. 2561-2567
都内A・B地区内の町丁目における
木造建物密度と大地震時道路閉塞率
（推定値）の関係
x：
y：
(xi, yi)
y = ax + b
i i iy ax b ε= + + 誤差項
εi
b
xi
axi
yi
最小二乗法
( ){ }
22
1 1
N N
i i i
i i
S y ax b minimizeε
= =
= = − + →∑ ∑
0
S
a
∂
=
∂
と 0
S
b
∂
=
∂
を連立させ解くと
2
ˆ xy
x
a
σ
σ
= ， ˆ ˆb y ax= −
このとき，観測値の各点に最も
あてはまりの良い回帰直線を
引くことができている。

26. 26
回帰式のパラメータ推定（まとめ）
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
大佛 俊泰, 沖 拓弥, 密集市街地における大地震時の避難困難
率について, 日本建築学会計画系論文集, 2012, 77 巻, 681 号,
p. 2561-2567
都内A・B地区内の町丁目における
木造建物密度と大地震時道路閉塞率
（推定値）の関係
x：
y：
(xi, yi)
i i iy ax b ε= + + 誤差項
xi
axi
最小二乗法
( ){ }
22
1 1
N N
i i i
i i
S y ax b minimizeε
= =
= = − + →∑ ∑
0
S
a
∂
=
∂
と 0
S
b
∂
=
∂
を連立させ解くと
2
ˆ xy
x
a
σ
σ
= ， ˆ ˆb y ax= −
このとき，観測値の各点に最も
あてはまりの良い回帰直線を
引くことができている。
残差ˆieˆiy

27. 27
回帰式のあてはまりの良さの評価
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
最小二乗法により求めた回帰式のあてはまりの
良さを評価するために，決定係数（Coefficient of
Determination）という指標を用いる。
( )
( )
2
2 1
2
1
ˆ
1
N
i i
i
N
i
i
y y
R
y y
=
=
−
= −
−
∑
∑

28. 28
回帰式のあてはまりの良さの評価
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
最小二乗法により求めた回帰式のあてはまりの
良さを評価するために，決定係数（Coefficient of
Determination）という指標を用いる。
( )
( )
2
2 1
2
1
ˆ
1
N
i i
i
N
i
i
y y
R
y y
=
=
−
= −
−
∑
∑
x：
y：
(xi, yi)
xi
axi
残差ˆieˆiy
yi

29. 29
回帰式のあてはまりの良さの評価
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
最小二乗法により求めた回帰式のあてはまりの
良さを評価するために，決定係数（Coefficient of
Determination）という指標を用いる。
( )
( )
2
2 1
2
1
ˆ
1
N
i i
i
N
i
i
y y
R
y y
=
=
−
= −
−
∑
∑
x：
y：
(xi, yi)
xi
axi
残差ˆieˆiy
yi
「全変動」
データそのものの分散の程度
（yの分散σyをN倍した値）
「残差変動」
残差の二乗和
回帰式のあてはまりが良いほど，
決定係数R2の値は1に近づく。

30. 30
回帰式のあてはまりの良さの評価
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 1 1 1 1
2 2 2
1 1 1
ˆ ˆ ˆ
1
N N N N
i i i i i i
i i i i
N N N
i i i
i i i
y y y y y y y y
R
y y y y y y
= = =
= =
− − − − −
=− = =
− − −
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
「全変動」
「残差変動」 「回帰変動」
「全変動」
ここで，最小二乗法により求めた回帰式を用いる。
2 2
ˆˆ ˆ xy xy
i i i
x x
y ax b x y x
σ σ
σ σ
 
= + = + − 
 

31. 31
回帰式のあてはまりの良さの評価
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
( )
( )
2
2
2 2
12 1
2
2
1
ˆ
NN
xy xy
ii
i x xi
N
y
i
i
x y x yy y
R
N
y y
σ σ
σ σ
σ
==
=
   
+ − −  −
   = =
−
∑∑
∑
( )
( )
22
22
2
2 22
1
2 2 2 2
N xy
xy
x
i
xi xyx
y y x y
Nx x
N N
σσ σ
σ σσ
σ σ σ σ
=
 
− 
 = = =
∑
2
2xy
xy
x y
r
σ
σ σ
 
= =  
 
相関係数の２乗に等しくなる！

32. 32
回帰式のあてはまりの良さの評価
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
最小二乗法により求めた回帰式のあてはまりの
良さを評価するために，決定係数（Coefficient of
Determination）という指標を用いる。
( )
( )
( )
( )
2 2
2 21 1
2 2
1 1
ˆ ˆ
1
N N
i i i i
i i
xyN N
i i
i i
y y y y
R r
y y y y
= =
= =
− −
=− = =
− −
∑ ∑
∑ ∑

33. 33
相関分析/回帰分析での注意点
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
 相関関係と因果関係の混同に気をつける。
 外れ値の影響に気をつける。
 相関係数や決定係数は，外れ値の影響を受けやすい。
必ず散布図を描いて確認すること。
 分割相関の問題
 擬似相関の問題

34. 2020 9年度 建築計画第二 第 回（沖 拓弥） 34
 ２つの事柄の関連性を調べたい。
 例１：人口と蔵書数の関係
 例２：蔵書数と貸出冊数の関係
 例３：駅の乗降・乗り換え者数とトイレ利用者数の関係
 例４：建物階数と建物高さの関係
 例５：高齢化率と空き家率の関係
 例６：写真と実空間での印象評価の関係
 例７：築年数と建替え割合の関係
 相互に関連があることをどのように判断すれば良いか？
 関係の強さをどのように表せば良いか？
背景（再掲）

35. 2020 9年度 建築計画第二 第 回（沖 拓弥） 35
 ２つの事柄の関連性を調べたい。
 例１：人口と蔵書数の関係
 例２：蔵書数と貸出冊数の関係
 例３：駅の乗降・乗り換え者数とトイレ利用者数の関係
 例４：建物階数と建物高さの関係
 例５：高齢化率と空き家率の関係
 例６：写真と実空間での印象評価の関係
 例７：築年数と建替え割合の関係
 相互に関連があることをどのように判断すれば良いか？
 関係の強さをどのように表せば良いか？
背景（再掲）
最後に実際の例を
見てみましょう

36. 2020 9年度 建築計画第二 第 回（沖 拓弥） 36
築年数と建替え割合の関係

37. 37
第９回のテーマ
2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
相関分析 と 回帰分析
相関分析（Correlation analysis）
２種類の変数XY間の因果関係を考えずに，変数
間の関係の強さを測定する方法。
回帰分析（Regression analysis）
２種類の変数XY間の因果関係を仮定し，変数X
が変数Yに与える影響の測定や，予測に用いら
れる方法。