สรุปเนื้อหา Matrix พร้อมตัวอย่าง

1. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท
ถาให =
−1
2
1
3
4
−2
5
6
7
1
0
8 ×
แลวจะไดวา เปนเมตริกซ มีมิติ เทากับ 3 × 4
หมายถึง มีขนาด 3 แถว 4 หลัก
ถา ∈ แลว
หมายถึง สมาชิกของ ที่อยูในตําแหนง แถวที่ 2 หลักที่ 3
ดังนั้น = 6 , = 1 , = 0 ,
= −2, = 8
ถาให = ×
โดยที่ = 1,2,3 = 1,2,3,4
แลวเราสามารถเขียนไดวา
=
×
กําหนดให =
3×3
โดยที่ =
2 + , <
+ , =
3 − , >
จงหา
ให =
11
21
31
12
22
32
13
23
33 3×3
= 2(1) + 2 = 4 , = 2(1) + 3 = 5
= 2(2) + 3 = 7 , = 1 + 1 = 2
= 2 + 2 = 4 , = 3 + 3 = 6
= 3(2) − 1 = 5 , = 3(3) − 1 = 8
= 3(3) − 2 = 7
ดังนั้น =
2
5
8
4
4
7
5
7
6 ×
.
2.1)การทรานสโพส( ) ของ สัญญลักษณคือ
ถาให =
−1
2
1
3
4
−2
5
6
7
1
0
8 ×
แลวจะไดวา =
−1 2 1
3 4 −2
5 6 7
1 0 8 4×3
.
∗ ถา ∈ แล ∈ แลวจะไดวา = =
ให =
3×3
โดยที่ =
+ , <
+ 2 , =
− , >
จงหา
=
11
21
31
12
22
32
13
23
33
= 1 + 2(1) = 3 , = 1 + 2 = 3
= 1 + 3 = 4 , = 2 − 1 = 1
= 2 + 2(2) = 6 , = 2 + 3 = 5
= 3 − 1 = 2 , = 3 − 2 = 1
= 3 + 2(3) = 9
ดังนั้น =
3
1
2
3
6
1
4
5
9
∴ =
3
3
4
1
6
5
2
1
9 3×3
.
ถา =
×
, =
×
แลว = ก็ตอเมื่อ =
2.3) การบวกลบของเมตริกซ
ถา = ×
, = ×
และ = ± = ×
± ×
ดังนั้น = ± ×
∴ = ±
2.4) การคูณเมตริกซดวยจํานวนจริง
ถา = ×
, = ×
แลว 1) =
×
2) ( ± ) = ± ×

2. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท
จงหา + , − เมื่อกําหนดให
=
3
1
2
7
8
−4
2
9
−5
5
0
−6 ×
=
2
11
3
4
6
5
1
2
8
0
1
3 ×
+ =
3 + 2
1 + 11
2 + 3
7 + 4
8 + 6
−4 + 5
2 + 1
9 + 2
−5 + 8
5 + 0
0 + 1
−6 + 3 ×
+ =
5
12
5
11
14
1
3
11
3
5
1
−3 ×
− =
3 − 2
1 − 11
2 − 3
7 − 4
8 − 6
−4 − 5
2 − 1
9 − 2
−5 − 8
5 − 0
0 − 1
−6 − 3 ×
− =
1
−10
−1
3
2
−9
1
7
−13
5
−1
−9 ×
.
กําหนดให
=
3 2
−1 0
=
1 −3
−2 2
=
2 −3
−2 3
จงหาเมตริกซ จากสมการตอไปนี้
+ 2 = 3 +
+ 2
3 2
−1 0
= 3
1 −3
−2 2
+
2 −3
−2 3
+
6 4
−2 0
=
3 −9
−6 6
+
2 −3
−2 3
+
6 −2
4 0
=
5 −12
−8 9
=
5 −12
−8 9
−
6 −2
4 0
=
11 −10
−12 9
=
11 −12
−10 9
.
ให =
3×3
โดยที่ = 2 +
ถา ∈ (2 − 3 )
จงหา −
= 2 − 3
= 2[2(2) − 3] − 3[2(2) + 3]
= 2[1] − 3[7] = 2 − 21 = 19
= 2 − 3
= 2[3(3) − 2(1)] − 3[2(3) + 1]
= 2[7] − 3[7] = 14 − 21 = −7
ดังนั้น − = 19—7 = 26 .
× . × = ×
∈ แลวจะหาคาไดดังนี้
= = + + ⋯ +

3. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท
กําหนดให =
1
3
2
2
0
−1
0
1
3 3×3
=
2
0
1
3
1
0
1
2
−1 ×
จงหา –
ให ∈ แลวจะหาคาไดดังนี้
= + +
= (1)(2) + (2)(0) + (0)(1) = 2
= + +
= (3)(2) + (0)(0) + (1)(1) = 7
= + +
= (2)(2) + (−1)(0) + (3)(1) = 7
= + +
= (1)(3) + (2)(1) + (0)(0) = 5
= + +
= (3)(3) + (0)(1) + (1)(0) = 9
= + +
= (2)(3) + (−1)(1) + (3)(0) = 5
= + +
= (1)(1) + (2)(2) + (0)(−1) = 5
= + +
= (3)(1) + (0)(2) + (1)(−1) = 2
= + +
= (2)(1) + (−1)(2) + (3)(−1) = −3
ดังนั้นจะได =
2
7
7
5
9
5
5
2
−3 ×
ให ∈ แลวจะหาคาไดดังนี้
= + +
= (2)(1) + (3)(3) + (1)(2) = 13
= + +
= (0)(1) + (1)(3) + (2)(2) = 7
= + +
= (1)(1) + (0)(3) + (−1)(2) = −1
= + +
= (2)(2) + (3)(0) + (1)(−1) = 3
= + +
= (0)(2) + (1)(0) + (2)(−1) = −2
= + +
= (1)(2) + (0)(0) + (−1)(−1) = 3
= + +
= (2)(0) + (3)(1) + (1)(3) = 6
= + +
= (0)(0) + (1)(1) + (2)(3) = 7
= + +
= (1)(0) + (0)(1) + (−1)(3) = −3
ดังนั้นจะได =
13
7
−1
3
−2
3
6
7
−3 ×
ดังนั้น −
=
2
7
7
5
9
5
5
2
−3
−
13
7
−1
3
−2
3
6
7
−3
=
−11
0
8
2
11
2
−1
−5
0
.

4. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท
กําหนดให =
2
0
1
1
3
−1
0
1
2 3×3
=
1
0
1
3
−1
0
−1
2
−3 ×
ถา ∈ และ ∈ แลวจงหาคาของ 21 + 23
= + +
= (0)(1) + (3)(0) + (1)(1) = 1
= + +
= + +
= (0)(1) + (−1)(−1) + (2)(2) = 5
ดังนั้น + = 1 + 5 = 6 .
โดยกําหนดให , , เปนเมตริกซขนาด แลวจะไดวา
1) + 2 = 2 +
2) + [0] =
แลว [0]เปนเอกลักษณของการบวกของเมทริกซ
3) ( ) =
4) ( ± ) = ±
5) 2 (3 ± ) = 6 ± 2
6) 2( ± 3 ) = 2 ± 6
7) ( ) = ( )
8) (2 ) = 2
9) = = แลว เปนเอกลักษณของการคูณของเมทริกซ
10) = แลว = ก็ตอเมื่อ | | ≠ 0
11) = 0 แลวไมจําเปนที่ = [0]
12) = 0 แลวไมจําเปนที่ = [0] หรือ = [0]
กําหนดให =
2 5 1
−2 0 −1
−3 4 2 3×3
=
3 4 5
−4 2 3
1 −3 −2 ×
1) ถา ∈ จงหา
= แถวที่ 3 ของ คูณกับหลักที่ 2 ของ
= (−3)(4) + (4)(2) + (2)(−3) = −10
2) ถา ∈ จงหา
= แถวที่ 1 ของ คูณกับหลักที่ 3 ของ
= (3)(1) + (4)(−1) + (5)(2) = −9
3) ถา ∈ จงหา
= หลักที่ 1 ของ คูณกับหลักที่ 3 ของ
= (2)(5) + (−2)(3) + (−3)(2) = −2
4) ถา ∈ จงหา
= แถวที่ 2 ของ คูณกับแถวที่ 1 ของ
= (−4)(2) + (2)(5) + (3)(1) = 5
5) ถา ∈ ( − ) จงหา
= แถวที่ 3 ของ ( − ) คูณกับหลักที่ 1 ของ
= (−3 − 1)(2) + (4 + 3)(−2) + (2 + 2)(−3)
= −8 − 14 − 12 = −34
6) ถา ∈ ( + ) จงหา
= แถวที่ 2 ของ ( + ) คูณกับแถวที่ 3 ของ
= (−6)(1) + (0)(−3) + (2)(−2) = −10

5. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท
จงหาเมตริกซ จากสมการตอไปนี้
+
1 4
2 1
=
0 1
1 2
1 3
2 2
วิธีทํา +
1 2
4 1
=
2 2
5 7
=
2 2
5 7
−
1 2
4 1
=
1 0
1 6
=
1 1
0 6
.
จงหาเมตริกซ จากสมการตอไปนี้
−
1 3
2 1
0 1
1 2
= 2
2 1
3 0
1 1
1 0
วิธีทํา −
1 2
3 1
0 1
1 2
= 2
3 2
3 3
−
2 5
1 5
=
6 4
6 6
=
6 4
6 6
+
2 5
1 5
=
8 9
7 11
=
8 7
9 11
Ans.
กําหนดให , , , เปนเมทริกซขนาด มิติ
จงกระจายเมทริกซตอไปนี้
1) ( − 2 − ) 2) ( − )
3) ( + )( − ) 4) (3 − 2 )
5) (3 − 5 )
วิธีทํา
1) ( − 2 − ) = − 2 −
2) ( − ) = −
3) ( + )( − ) = − + −
4) (3 − 2 ) = (3 − 2 )(3 − 2 )
= 9 − 6 − 6 + 4
5) (3 − 5 )
= (3 − 5 )
= 3 − 5 ) .
ให เปนเมทริกซจตุรัสขนาด มีสมาชิกเปนจํานวนจริง
ดีเทอรมิแนนตของ เขียนแทนดวยสัญญลักษณ ( ) , | |
1) ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซขนาด มิติ 1 1
ถา = [5] เปนเมทริกซขนาดมิติ 1 1 ∴ | | = 5
ถา = [−2] เปนเมทริกซขนาดมิติ 1 1 ∴ | | = −2
2) วิธีหา ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซขนาด มิติ 2 2
ถา = ∴ | | = −
ถา =
3 5
2 4
∴ | | = (3)(4) − (5)(2) = 2
3) วิธีหา ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซขนาด มิติ 3 3
ถา =
1 2 3
4 3 2
2 1 1
∴ | | =
1 2 3
4 3 2
2 1 1
1 2
4 3
2 1
∴ | | = (12 + 8 + 12) − (18 + 2 + 12) = 0
4) การหาดีเทอรมิแนนตของเมทริกซ กรณี > 2
( ) = ดีเทอรมิแนนตของ ที่ตัดแถวที่ หลักที่ ออก
ถา =
2 1 3
3 2 2
2 1 1
จงหา 12 + 23
∴ + = (1) + (0) = 1 .

6. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท
( ) = (−1) ( )
ถา =
2 1 3
3 2 2
2 1 1
จงหา 12 + 13
( ) = (−1) ( ) = (−1)(1) = −1
( ) = (−1) ( ) = (1)(−1) = −1
∴ + = (−1) + (−1) = −2 .
ให =
4 5
2 3
, =
3 3
4 5
จงหาคาของ
1) ( ) 2) ( + ) 3)
1
6
วิธีทํา
| | =
4 5
2 3
= 12 − 10 = 2
| | =
3 3
4 5
= 15 − 12 = 3
+ =
4 5
2 3
+
3 3
4 5
=
7 8
6 8
1) ( ) = ( ) ( ) = (2)(3) = 6
2) | + | =
7 8
6 8
= 56 − 48 = 8
3)
1
6
=
1
6
| || | =
1
6
| | | |
∴
1
6
=
1
6
(3) (2) = 12 .
ให =
2
3 1 1
5
และ 32 = 4 , 33 = 1
จงหาคาของ −
= 4 ∴
2
3 1
= 4 ∴ − 6 = 4 ∴ = 10
= 1 ∴ (−1)
3 1
= 1 ∴ − 3 = 1
∴ 10 − 3 = 1 ∴ = 3
∴ =
10 3 2
3 1 1
3 10 5
∴ − = (−1) 10 3
3 10
−
3 1
3 10
∴ − = −(100 − 9) − (30 − 3) = −118
.
ให =
ℎ
และ = 2
3 3 3
2 2 2
ℎ
และ ( ) = 3 จงหา ( )
= 2
3 3 3
2 2 2
ℎ
=
6 6 6
4 4 4
2 2 2ℎ
| | =
6 6 6
4 4 4
2 2 2ℎ
= (6)(4)(2)
ℎ
∴ | | = 48
ℎ
= −48
ℎ
∴ | | = (−)(−)48
ℎ
= 48(3) = 144 .

7. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท
กําหนดให ( × ) = −0.5
จงหา (2 × )
(2 3×3
5
) = |2 3×3
5
| = 23
| 3×3|5
= 2 (−
1
2
) = −
1
4
.
ให =
1 −2
3 −4
และ (2 ) = 96
จงหา ( × )
| | =
1 −2
3 −4
= −4 − (−6) = 2
|2 | = 96 ∴ 2 | | | | = 96
∴ 2 2 | | = 96 ∴ | | =
3
8
∴ | | =
8
3
.
ให 5 4
3 2
+ −
3 0
2 4
=
4 3
1 3
จงหาคาของ (3 )
5 4
3 2
+
3 0
−2 4
=
1 3
−1 3
5 4
3 2
=
4 3
1 3
−
3 0
−2 4
5 4
3 2
=
1 3
3 −1
∴
5 4
3 2
| | =
1 3
3 −1
∴ (10 − 12)| | = (−1 − 9)
∴ −2| | = −10 ∴ | | = 5
∴ |3 | = 3 | | = 3 | | = 3 . 5 = 225 .
( ) =
จงหา ( ) เมื่อ =
1 −3 2
2 0 1
2 1 3
( ) = =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
= (−1)
0 1
1 3
= (1)(0 − 1) = −1
= (−1)
2 1
2 3
= (−1)(6 − 2) = −4
= (−1)
2 0
2 1
= (1)(2 − 0) = 2
= (−1)
−3 2
1 3
= (−1)(−9 − 2) = 11
= (−1)
1 2
2 3
= (1)(3 − 4) = −1
= (−1)
1 −3
2 1
= (−1)(1 + 6) = −7
= (−1)
−3 2
0 1
= (1)(−3 − 0) = −3
= (−1)
1 2
2 1
= (−1)(1 − 4) = 3
= (−1)
1 −3
2 0
= (1)(0 − 6) = −6
( ) =
−1 −4 2
11 −1 −7
−3 3 −6
=
−1 11 −3
−4 −1 3
2 −7 −6
.
| | =
=1
=
=1
, = 1,2,3, . . ,
| | = + +
| | = (1)(−1) + (−3)(−4) + (2)(2) = 15
| | = + +
| | = (−3)(−4) + (0)(−1) + (1)(3) = 15
−1
=
1
| |
( ) =
1
| |
โดยที่ | | ≠ 0

8. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท
จงหา เมื่อ =
1 −3 2
2 0 1
2 1 3
จาก −1
=
1
| |
( ) =
1
| |
และจากขอมูล 18 จะได
=
1
| |
=
1
15
−1 11 −3
−4 −1 3
2 −7 −6
.
ถา = แลว
−1
=
1
−
−
−
ให =
5 8
1 2
จงหา
−1
=
1
10 − 8
2 −8
−1 5
=
1
2
2 −8
−1 5
=
1 −4
−0.5 2.5
.
ให | × | = 2 , | × | = 3
จงหา ( ) + ( ( ))
จาก | ( × )| − | ( × )|
= | | − | | = 3 − 2 = 9 − 8 = 1 .
จงหา จากสมการ
2 1
0 4
+
4 1
−2 1
=
1 1
2 3
+
1 0
3 2
1 1
0 2
2 1
0 4
−
1 1
2 3
=
1 0
3 2
1 1
0 2
−
4 1
−2 1
1 0
−2 1
=
0 1
3 7
−
4 1
−2 1
=
−4 0
5 6
1 0
−2 1
=
−4 0
5 6
∴
1 0
−2 1
=
−4 0
5 6
∴
1 0
−2 1
=
−4 0
5 6
∴
−4 0
5 6
1 0
−2 1
=
∴
1
−24
6 0
−5 −4
1 0
−2 1
=
∴ =
1
−24
6 0
3 −4
.
กําหนดให , , , เปนเมทริกซ มิติ
1) | | = | || | 2) | | = | |
3) | | = | |
4) | | =
1
| |
, | | =
1
| |
โดยที่ | | ≠ 0
5) | × | = | × | , ∈
6) ถา เปน จะไดวา
6.1) | | ≠ 0
6.2) เปน ดวย
6.3) | | = | |
7) | ± | ≠ | | ± | |
8)
2 3 4
1 2 3
3 4 5
=
2 3 4
1 2 3
3 4 5
=
2 3 4
1 2 3
3 4 5
9)
ℎ
=
ℎ
10)
2 3 4
1 2 3
3 4 5
= −
1 2 3
2 3 4
3 4 5
=
1 3 2
2 4 3
3 5 4
11)
0 0 0
1 2 3
3 4 5
=
1 0 3
2 0 4
3 0 5
= 0
12)
1 2 3
1 2 3
3 4 5
=
1 1 3
2 2 4
3 3 5
= 0
13)
0 0
1 0
3 4
=
0 0
0 0
0 0
=
14) ( ) =
15) | ( × )| = | |

9. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท
ℎ
=
∆ =
ℎ
, ∆ =
ℎ
∆ = , ∆ =
ℎ
=
∆
∆
, =
∆
∆
, =
∆
∆
จงแกสมการหาคา , , โดยใช ’
จากสมการตอไปนี้ 1 − 1 2
3 − 2 − 2 = 1 … … (1)
2 − + 4 = 9 … … (2)
+ 3 + 3 = 4 … … (3)
จัดสมการใหมดังนี้
3 − 2 − 2 = 1 … … (1)
4 − + 2 = 9 … … (2)
+ 3 + 3 = 4 … … (3)
จะไดวา
3 −2 −2
4 −1 2
1 3 3
=
1
9
4
| | =
3 −2 −2
4 −1 2
1 3 3
∴ | | = [−9 − 4 − 24] − [2 + 18 − 24]
∴ | | = [−37] − [−4] = −33
| | =
1 −2 −2
9 −1 2
4 3 3
∴ | | = [−3 − 16 − 54] − [8 + 6 − 54]
∴ | | = [−73] − [−40] = −33
| | =
3 1 −2
4 9 2
1 4 3
∴ | | = [81 + 2 − 32] − [−18 + 24 + 12]
∴ | | = [51] − [18] = 33
| | =
3 −2 1
4 −1 9
1 3 4
∴ | | = [−12 − 18 + 12] − [−1 + 81 − 32]
∴ | | = [−18] − [48] = −66
∴ =
| |
| |
=
−33
−33
= 1
∴ =
| |
| |
=
33
−33
= −1
∴ =
| |
| |
=
−66
−33
= 2 .