Fungsi Eksponensial
& Fungsi Logaritma
Oleh :
KBK MATEMATIKA TERAPAN
MATA KULIAH BERSAMA
FMIPA UGM
MATEMATIKA KONTEKSTUAL
Eksponen
Sifat-sifat Eksponen
Soal Latihan
1. Tentukan x, y, w
2. Tentukan x dan z
Sifat-sifat Eksponen
Soal Latihan
1. Tentukan x dan y
2. Tentukan x, y dan z
Aturan Dasar Eksponen
Aturan Contoh
1. x y x y
b b b 
 
2.
x
x y
y
b
b
b


 4.
x x x
ab a b
 3.
y
x xy
b b
5.
x x
x
a a
b b
 
 
 
1/ 2 5/ 2 6/ 2 3
2 2 2 2 8   
512
53
= 512-3
= 59
 
6
1/3 6/3 2 1
8 8 8
64

 
  
 
3 3 3 3
2 2 8m m m 
1/3 1/3
1/3
8 8 2
27 327
 
  
 
Contoh:
1. Sederhanakan permasalahan
2. Selesaikan persamaan
 
4
2 1/ 2
3 7
3x y
x y
4 8 2
3 7
3 x y
x y

5
5
81x
y

3 1 4 2
4 2x x 

 2 3 1 4 2
2 2
x x 

6 2 4 2
2 2x x 

6 2 4 2x x  
2 4x  
2x  
Latihan
Soal Latihan
1. Tentukan x & y
2. Hitung
Latihan
3. Hitung
Fungsi Eksponensial
 ( ) 0, 1x
f x b b b  
Suatu fungsi eksponensial dengan
basis b and eksponen x
Co:
( ) 3x
f x 
Domain: Real
Range : y > 0
(0,1)
( )y f x
0 1
1 3
2 9
11
3

x y
Sifat Fungsi Eksponensial
1. Domain:
2. Range:
3. Melewati titik (0, 1).
4. Kontinu di seluruh domain.
5. Jika b > 1, fungsi naik pada
Jika b < 1, fungsi turun pada  , 
 ( ) 0, 1x
f x b b b  
 , 
 , 
(0,¥)
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Expo02.svg
y = b( )
x
Fungsi Eksponensial
Logaritma
Logaritma dari x dengan basis b>0 dan b≠1 didefinisikan sebagai
Contoh.
3
7
1/3
5
log 81 4
log 1 0
log 9 2
log 5 1


 

x = by
x > 0( )y = logb
x jika dan hanya jika
Contoh
Selesaikan persamaan berikut
a.
b.
2log 5x 
5
2 32x  
27log 3 x
3 27x

3
3 3 x

1 3x
1
3
x
 m n
a a m n  
Notasi:
Logaritma Umum
Logaritma Natural
10log log
ln loge
x x
x x


Aturan Logaritma
1. log log log
2. log log log
3. log log
4. log 1 0
5. log 1
b b b
b b b
n
b b
b
b
mn m n
m
m n
n
m n m
b
 
 
  
 



eln x
= x x > 0( )
ln ex
= x (untuk seluruh x real)
ex
& ln x
Contoh: Selesaikan
2 11
10
3
x
e 

2 1
30x
e 

2 1 ln(30)x  
ln(30) 1
1.2
2
x

 
ln utk ruas kiri & kanan
Contoh
Sederhanakan:
7 1/2
5 5 5 5log 25 log log logx y z   
7
5
25
log
x y
z
5 5 5
1
2 7log log log
2
x y z   
Fungsi Logaritma dan sifat-sifatnya
 ( ) log 0, 1bf x x b b  
0,¥( )
1. Domain:
2. Range:
3. Melewati titik (1, 0).
4. Kontinyu pada
5. Jika b > 1, fungsi naik pada
Jika b < 1, fungsi turun pada
0,¥( )
 , 
0,¥( )
0,¥( )
Grafik Fungsi Logaritmik
Ex.
3( ) logf x x
(1,0)
3x
y 
3logy x
1
3
x
y
 
  
 
1/3logy x
1/3( ) logf x x
Fungsi Logaritma
y = b( )
x
Û log y = xlogb
Û x =
log y
logb
Û x = logb
y
Fungsi Logaritma
adalah Invers dari Fungsi Eksponensial
Fungsi Logaritma basis e
y = loge
x = ln x e= 2.718281828
nb: Konstanta “e”
e=Konstanta Napier (e=Euler)
nb: Konstanta “e”
dx
x1
e
ò = lne =1
Luas daerah
di bawah hiperbola 1/x dan di atas sumbu x
antara x=1 dan x=e:
APLIKASI
Fungsi Eksponensial
& Fungsi Logaritma
Pertumbuhan EksponensialContoh: Film
“Pay It Forward” (th 2000)
Ide: Setiap orang menolong 3 orang yang
lain. Jika orang yg ditolong merasakan
manfaatnya, maka dia juga harus menolong
orang lain, dst…
RUMUS yg mana?
Contoh:
Pada awal tahun kita menabung A rupiah dengan
bunga tertentu (misal=r) di sebuah Bank.
Berapakah jumlah uang kita pada waktu yang
akan datang?
Untuk membuat model matematika dari masalah
ini, dapat diidentifikasi beberapa variabel yang
mempengaruhinya, misalnya
• suku bunga (interest rate) dan
• waktu.
Pertumbuhan Eksponensial
Model waktu diskrit:
Jika masalah kita sederhanakan dengan asumsi
suku bunga konstan “r” per tahun.
Waktu (t) sebagai variabel mengikuti bilangan
bulat tak negatif t=0,1,2,3,… dan
G(t) menyatakan jumlah uang pada saat setelah
tahun ke t, maka kita mendapatkan:
Pertumbuhan Eksponensial
G(t) = A 1+ r( )
t
Pertumbuhan Eksponensial
Contoh: Menyimpan uang 100 jt di bank dengan bunga r (8%)
T=0
Rp. 100 jt
T=1 T=2 T=3
100 1+0.08( )
1
100 1+0.08( )
2
100 1+0.08( )
3
G(t) = A 1+r( )
t
G(t) =100 1+0.08( )
t
t =1,2,… ,20
Pertumbuhan Eksponensial
Pertumbuhan Eksponensial
Contoh: Menyimpan uang sejumlah 100 juta di bank
dengan bunga 8% per tahun, tetapi bunga diberikan setiap
r/n periode (misal n=periode dalam setiap bulan)
T=0
Rp. 100 M
T=1 T=2 T=3
100 1+
0.08
12
æ
è
ç
ö
ø
÷
12
100 1+
0.08
12
æ
è
ç
ö
ø
÷
24
100 1+
0.08
12
æ
è
ç
ö
ø
÷
36
G(t) = A 1+
r
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
nt
Pertumbuhan Eksponensial

Pertemuan ke 4-eksponensial

  • 1.
    Fungsi Eksponensial & FungsiLogaritma Oleh : KBK MATEMATIKA TERAPAN MATA KULIAH BERSAMA FMIPA UGM MATEMATIKA KONTEKSTUAL
  • 2.
  • 3.
    Sifat-sifat Eksponen Soal Latihan 1.Tentukan x, y, w 2. Tentukan x dan z
  • 4.
    Sifat-sifat Eksponen Soal Latihan 1.Tentukan x dan y 2. Tentukan x, y dan z
  • 5.
    Aturan Dasar Eksponen AturanContoh 1. x y x y b b b    2. x x y y b b b    4. x x x ab a b  3. y x xy b b 5. x x x a a b b       1/ 2 5/ 2 6/ 2 3 2 2 2 2 8    512 53 = 512-3 = 59   6 1/3 6/3 2 1 8 8 8 64         3 3 3 3 2 2 8m m m  1/3 1/3 1/3 8 8 2 27 327       
  • 6.
    Contoh: 1. Sederhanakan permasalahan 2.Selesaikan persamaan   4 2 1/ 2 3 7 3x y x y 4 8 2 3 7 3 x y x y  5 5 81x y  3 1 4 2 4 2x x    2 3 1 4 2 2 2 x x   6 2 4 2 2 2x x   6 2 4 2x x   2 4x   2x  
  • 7.
  • 8.
  • 9.
    Fungsi Eksponensial  () 0, 1x f x b b b   Suatu fungsi eksponensial dengan basis b and eksponen x Co: ( ) 3x f x  Domain: Real Range : y > 0 (0,1) ( )y f x 0 1 1 3 2 9 11 3  x y
  • 10.
    Sifat Fungsi Eksponensial 1.Domain: 2. Range: 3. Melewati titik (0, 1). 4. Kontinu di seluruh domain. 5. Jika b > 1, fungsi naik pada Jika b < 1, fungsi turun pada  ,   ( ) 0, 1x f x b b b    ,   ,  (0,¥)
  • 11.
  • 12.
    Logaritma Logaritma dari xdengan basis b>0 dan b≠1 didefinisikan sebagai Contoh. 3 7 1/3 5 log 81 4 log 1 0 log 9 2 log 5 1      x = by x > 0( )y = logb x jika dan hanya jika
  • 13.
    Contoh Selesaikan persamaan berikut a. b. 2log5x  5 2 32x   27log 3 x 3 27x  3 3 3 x  1 3x 1 3 x  m n a a m n  
  • 14.
    Notasi: Logaritma Umum Logaritma Natural 10loglog ln loge x x x x   Aturan Logaritma 1. log log log 2. log log log 3. log log 4. log 1 0 5. log 1 b b b b b b n b b b b mn m n m m n n m n m b            
  • 15.
    eln x = xx > 0( ) ln ex = x (untuk seluruh x real) ex & ln x Contoh: Selesaikan 2 11 10 3 x e   2 1 30x e   2 1 ln(30)x   ln(30) 1 1.2 2 x    ln utk ruas kiri & kanan
  • 16.
    Contoh Sederhanakan: 7 1/2 5 55 5log 25 log log logx y z    7 5 25 log x y z 5 5 5 1 2 7log log log 2 x y z   
  • 17.
    Fungsi Logaritma dansifat-sifatnya  ( ) log 0, 1bf x x b b   0,¥( ) 1. Domain: 2. Range: 3. Melewati titik (1, 0). 4. Kontinyu pada 5. Jika b > 1, fungsi naik pada Jika b < 1, fungsi turun pada 0,¥( )  ,  0,¥( ) 0,¥( )
  • 18.
    Grafik Fungsi Logaritmik Ex. 3() logf x x (1,0) 3x y  3logy x 1 3 x y        1/3logy x 1/3( ) logf x x
  • 19.
    Fungsi Logaritma y =b( ) x Û log y = xlogb Û x = log y logb Û x = logb y Fungsi Logaritma adalah Invers dari Fungsi Eksponensial
  • 20.
    Fungsi Logaritma basise y = loge x = ln x e= 2.718281828
  • 21.
  • 22.
    nb: Konstanta “e” dx x1 e ò= lne =1 Luas daerah di bawah hiperbola 1/x dan di atas sumbu x antara x=1 dan x=e:
  • 23.
  • 24.
    Pertumbuhan EksponensialContoh: Film “PayIt Forward” (th 2000) Ide: Setiap orang menolong 3 orang yang lain. Jika orang yg ditolong merasakan manfaatnya, maka dia juga harus menolong orang lain, dst… RUMUS yg mana?
  • 25.
    Contoh: Pada awal tahunkita menabung A rupiah dengan bunga tertentu (misal=r) di sebuah Bank. Berapakah jumlah uang kita pada waktu yang akan datang? Untuk membuat model matematika dari masalah ini, dapat diidentifikasi beberapa variabel yang mempengaruhinya, misalnya • suku bunga (interest rate) dan • waktu. Pertumbuhan Eksponensial
  • 26.
    Model waktu diskrit: Jikamasalah kita sederhanakan dengan asumsi suku bunga konstan “r” per tahun. Waktu (t) sebagai variabel mengikuti bilangan bulat tak negatif t=0,1,2,3,… dan G(t) menyatakan jumlah uang pada saat setelah tahun ke t, maka kita mendapatkan: Pertumbuhan Eksponensial G(t) = A 1+ r( ) t
  • 27.
    Pertumbuhan Eksponensial Contoh: Menyimpanuang 100 jt di bank dengan bunga r (8%) T=0 Rp. 100 jt T=1 T=2 T=3 100 1+0.08( ) 1 100 1+0.08( ) 2 100 1+0.08( ) 3 G(t) = A 1+r( ) t
  • 28.
    G(t) =100 1+0.08() t t =1,2,… ,20 Pertumbuhan Eksponensial
  • 29.
    Pertumbuhan Eksponensial Contoh: Menyimpanuang sejumlah 100 juta di bank dengan bunga 8% per tahun, tetapi bunga diberikan setiap r/n periode (misal n=periode dalam setiap bulan) T=0 Rp. 100 M T=1 T=2 T=3 100 1+ 0.08 12 æ è ç ö ø ÷ 12 100 1+ 0.08 12 æ è ç ö ø ÷ 24 100 1+ 0.08 12 æ è ç ö ø ÷ 36 G(t) = A 1+ r n æ è ç ö ø ÷ nt
  • 30.

Editor's Notes

  • #3 Pengertian dasar tentang eksponen
  • #4 Disampaikan dalam bentuk interaksi tanya jawab dengan mahasiswa... Tujuan : mengajak mahasiswa untuk mengingat kembali sifat-sifat eksponen.
  • #5 Disampaikan dalam bentuk interaksi tanya jawab dengan mahasiswa... Tujuan : mengajak mahasiswa untuk mengingat kembali sifat-sifat eksponen.
  • #6 Kesimpulan dari hasil tanya jawab pada slide sebelumnya...
  • #8 Soal latihan, dapat diberikan sebagai bentuk tugas mandiri (PR)
  • #9 Soal latihan, dapat diberikan sebagai bentuk tugas mandiri (PR)