Matematika

1. SMA/MA Kelas X Semester 1
Matematika
Disusun oleh:
Miyanto
Disklaimer Daftar isi
Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam

2. • Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna
membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran.
• Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI)
dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013.
• Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini
disajikan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar
saja.
• Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat
mengembangkannya sesuai kebutuhan.
• Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru
dapat mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan
interaktif.
Disklaimer

3. Bab I Fungsi Eksponensial
Bab II Fungsi Logaritma
Daftar Isi

4. BAB
Fungsi Eksponensial
I
A. Sifat-Sifat Eksponensial
B. Grafik Fungsi Eksponensial
C. Persamaan dan Pertidaksamaan
Eksponensial
Kembali ke daftar isi

5. A. Sifat-Sifat Eksponensial
1. Pangkat Bulat Positif
Untuk a anggota himpunan bilangan real dan n anggota
himpunan bulat positif berlaku:
an dibaca: a pangkat n. an didefinisikan sebagai perkalian
berulang a sebanyak n kali (n faktor).
an disebut bilangan berpangkat
a disebut bilangan pokok
n disebut pangkat (eksponen)
2. Pangkat Bulat Nol
Untuk a anggota himpunan bilangan real dan a  0, berlaku:
a0 = 1.
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

6. 3. Pangkat Bulat Negatif
Untuk a anggota himpunan bilangan real dengan a  0 dan n
 bilangan bulat positif, berlaku:
a–n =
4. Sifat-Sifat Pangkat Bilangan
Untuk a dan b anggota himpunan bilangan real serta p dan q
anggota himpunan bilangan bulat, berlaku sifat-sifat berikut.
1
n
a
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

7. Contoh Soal
Sederhanakan bentuk berikut.
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

8. B. Grafik Fungsi Eksponensial
1. Pengertian Fungsi Eksponensial
Diketahui x anggota himpunan bilangan real. Fungsi eksponensial
merupakan fungsi yang memetakan setiap x ke f(x) = ax, dengan a > 0 dan
a  1.
2. Bentuk Umum Fungsi Eksponensial
Bentuk umum fungsi eksponensial adalah y = f(x) = kax atau f : x  kax.
Keterangan:
x disebut peubah (variabel) bebas dengan daerah asal (domain)
D = {x | – < x < , x  R}.
a disebut bilangan pokok (basis) dengan syarat a > 0 dan
a  1 (0 < a < 1 atau a > 1).
y disebut variabel tak bebas.
k disebut konstanta.
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

9. 3. Bentuk dan Sifat Grafik Fungsi Eksponensial
Salah satu bentuk grafik fungsi eksponensial ditunjukkan sebagai berikut.
Grafik fungsi eksponen berupa kurva mulus.
NB: grafik g(x) dihapus
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

10. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

11. 4. Cara Menggambar Grafik Fungsi Eksponensial
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi eksponensial sebagai berikut.
a. Buatlah tabel titik bantu berupa nilai-nilai x dan y, yaitu dengan
memilih beberapa nilai x sehingga nilai y mudah ditentukan.
b. Gambarlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat.
c. Hubungkan titik-titik yang dilalui dengan kurva mulus.
5. Materi Pengayaan
a.Pertumbuhan
1) Bunga Majemuk
Jumlah tabungan setelah t tahun dihitung dengan rumus:
Mt = M + (1 + i)t
Keterangan:
Mt = jumlah tabungan setelah t tahun
M = jumlah tabungan mula-mula
i = besar suku bunga
t = lama menabung (dalam tahun)
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

12. 2) Pertumbuhan Populasi
Jika jumlah populasi mula-mula P dan jumlah populasi setelah t
tahun adalah Pt, jumlah populasi
pada saat t tahun dinyatakan sebagai Pt = Peit.
Keterangan:
Pt = populasi setelah t tahun
P = populasi mula-mula
i = tingkat pertumbuhan populasi
e = 2,718
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

13. Contoh Soal
Diketahui grafik fungsi f(x) = k × 2x – 2. Grafik tersebut
melalui titik (2, 3). Tentukan:
a. nilai k,
b. nilai f(4).
b. Peluruhan
Misalkan terdapat t lembar kaca. Setiap lembar kaca mengurangi
cahaya yang menembusnya sebanyak i (i dalam persen). Persentase
cahaya P yang menembus t lembar kaca dapat dinyatakan sebagai P =
100(1 – i)t.
Jika intensitas cahaya berkurang secara kontinu, diperoleh:
P = 100e-it.
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

14. C. Persamaan dan Pertidaksamaan
Eksponensial
1. Persamaan Eksponensial
Persamaan eksponensial adalah persamaan dengan eksponensial
berbentuk variabel. Variabel tersebut dapat terletak pada eksponen atau
bilangan pokoknya. Persamaan eksponensial mempunyai beberapa bentuk
persamaan dan penyelesaian. Bentuk-bentuk persamaan eksponensial
dijelaskan sebagai berikut.
a. af(x) = am
Jika af(x) = am, a > 0 dan a  1 maka f(x) = m
b. af(x) = ag(x)
Jika af(x) = ag(x), a > 0 dan a  1 maka f(x) = g(x)
c. af(x) = bf(x)
Jika af(x) = bf(x), a > 0, a  1, b > 0, b 1, dan a  b maka f(x) = 0
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

15. d. h(x)f(x) = h(x)g(x)
Jika h(x)f(x) = h(x)g(x), penyelesaiannya sebagai berikut.
1) f(x) = g(x)
2) h(x) = 1
3) h(x) = 0, dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya positif
4) h(x) = –1, dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya
ganjil
e. f(x)h(x) = g(x)h(x)
Jika f(x)h(x) = g(x)h(x), penyelesaiannya sebagai berikut.
1) f(x) = g(x)
2) h(x) = 0, dengan syarat f(x)  0 dan g(x)  0.
f. A(af(x))2 + B(af(x)) + C = 0, a > 0, a  1, A  0, dan A, B, C  R
Untuk menyelesaikan bentuk persamaan ini digunakan pemisalan y = af(x)
sehingga diperoleh
Ay2 + By + C = 0. Setelah nilai y diperoleh, substitusikan kembali pada
pemisalan y = af(x) sehingga
diperoleh nilai x.
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

16. 2. Pertidaksamaan Eksponensial
Pertidaksamaan eksponensial adalah pertidaksamaan yang eksponennya
memuat variabel. Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial
menggunakan sifat kemonotonan grafik fungsi eksponensial. Perhatikan
grafik fungsi eksponensial f(x) = ax berikut.
Grafik f(x) = ax, a > 1 Grafik f(x) = ax, 0 < a < 1
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

17. Berdasarkan kedua grafik di atas diperoleh kesimpulan sebagai
berikut.
a. Untuk a > 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi monoton naik.
Artinya untuk setiap x1, x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika
f(x1) < f(x2).
b.Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi monoton turun.
Artinya untuk setiap x1, x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika
f(x1) > f(x2).
Tetap atau berubahnya tanda ketidaksamaan tergantung dari nilai
bilangan pokoknya.
Untuk a > 1
Jika af(x) > ag(x) maka f(x) > g(x)
Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x)
Jika af(x) < ag(x) maka f(x) < g(x)
Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x)
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

18. Untuk 0 < a < 1
Jika af(x) > ag(x) maka f(x) < g(x)
Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x)
Jika af(x) < ag(x) maka f(x) > g(x)
Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x)
Contoh Soal
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponensial berikut.
a. (x + 3)2x – 1 = (x + 3)x + 2
b. (x + 2)x + 1 = (2x + 6)x + 1
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

19. BAB
Fungsi Logaritma
II
A. Bentuk Logaritma
B. Fungsi Logaritma
dan Grafiknya
C. Persamaan dan Pertidaksamaan
Logaritma
Kembali ke daftar isi

20. A. Bentuk Logaritma
1. Pengertian Logaritma
Logaritma merupakan kebalikan (invers) dari eksponen
(pemangkatan). Suatu bentuk eksponen dapat diubah menjadi bentuk
logaritma dan sebaliknya.
an = b ⇔ alog b = n dengan syarat a > 0, a ≠ 1, b > 0
a merupakan bilangan pokok (basis) logaritma;
b merupakan numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya;
n merupakan hasil logaritma (nilai pangkat).
Dari bentuk logaritma an = b ⇔ alog b = n, diperoleh bentuk-bentuk
berikut.
a. alog 1 = 0 sebab a0 = 1.
b. alog a = 1 sebab a1 = a. a.
c. alog an = n.
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

21. 2. Nilai Logaritma
Nilai logaritma suatu bilangan dapat dicari menggunakan tabel
logaritma atau kalkulator.
Perhatikan bagian-bagian hasil logaritma berikut.
Dalam tabel logaritma hanya tertulis bilangan desimal (mantisa) yang
menyatakan hasil logaritma suatu bilangan. Adapun bilangan bulat
(karakteristik) harus ditentukan atau dicari.
Nilai karakteristik log x sebagai berikut.
a. 1 < x < 10 ---> log x = 0, . . . (misal: log 2 = 0,3010)
b. 10 ≤ x < 100 ---> log x = 1, . . . (misal: log 55,9 = 1,7474)
c. 100 ≤ x < 1.000 ---> log x = 2, . . . (misal: log 871,2 = 2,9401)
d. 1.000 ≤ x < 10.000 ---> log x = 3, . . . (misal: log 7035,3 = 3,8473)
dan seterusnya.
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

22. 3. Sifat Logaritma
Misalkan a, b, dan c bilangan real positif dan a ≠ 1, berlaku sifat-sifat
berikut.
log
a. log log log
b. log log log
c. log log
log
d. log dengan 1
log
e. log log log dengan 1
f. log log
g.
m
a
a a a
a a a
a c a
c
a
c
a b a
a n a
b
bc b c
b
b c
c
b c b
b
b c
a
b c c b
n
b b
m
a b
 
 

 
  


Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

23. Contoh Soal
Diketahui log 2 = 0,301, log 3 = 0,477, dan log 5 = 0,699. Tentukan nilai:
a. log 30;
b. log 8; dan
c. log 0,3.
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

24. B. Fungsi Logaritma dan Grafiknya
1. Pengertian Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma merupakan fungsi yang memuat variabel x
dalam operator logaritma, yaitu memuat
variabel x sebagai numerus. Bentuk paling sederhana dari fungsi
logaritma adalah f(x) = alog x dengan a > 0 dan a ≠ 1 0 < a < 1
atau a > 1).
Domain fungsi logaritma tersebut adalah D = {x | x > 0, x
bilangan real}.
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

25. 2. Grafik Fungsi Logaritma
Perhatikan grafik fungsi logaritma berikut.
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

26. Dari grafik tersebut diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
a. Grafik f(x) = kalog x dan g(x) = simetris terhadap
sumbu X.
b. b. Grafik f(x) dan g(x) memotong sumbu X di titik (k, 0).
c. Sumbu Y merupakan asimtot, yaitu garis yang didekati grafik
fungsi tetapi tidak sampai berpotongan dengan fungsi tersebut.
d. Grafik fungsi f(x) = kalog x merupakan fungsi monoton naik
karena untuk setiap x1 < x2 berlaku f(x1) < f(x2).
a. Grafik fungsi g(x) = merupakan fungsi monoton turun
karena untuk setiap x1 < x2 berlaku g(x1) > g(x2).
1
log
a
k x
1
log
a
k x
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

27. 3. Menggambar Grafik Fungsi Logaritma
Langkah-langkah menggambar grafik tersebut sebagai berikut.
a. Buatlah tabel titik bantu berupa nilai-nilai x dan y, yaitu dengan
memilih beberapa nilai x sehingga nilai y mudah ditentukan.
b. Gambarlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat.
c. Hubungkan titik-titik yang dilalui dengan kurva mulus.
Contoh Soal
Diketahui fungsi logaritma f(x) = 4 – 2log (x + 3).
Tentukan:
a. domain fungsi;
b. nilai fungsi untuk x = 1 dan x = –1.
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

28. C. Persamaan dan
Pertidaksamaan Logaritma
1. Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan pada bentuk logaritma
yang di dalamnya memuat variabel. Variabel tersebut dapat
menempati numerus atau bilangan pokok. Beberapa bentuk
persamaan logaritma beserta penyelesaiannya dijelaskan sebagai
berikut.
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

29. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

30. 2. Pertidaksamaan Logaritma
Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan pada bentuk
logaritma yang memuat variabel sebagai numerus. Pertidaksamaan
logaritma dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat
kemonotonan grafik fungsi logaritma. Perhatikan grafik fungsi
logaritma f(x) = alog x berikut.
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

31. Berdasarkan kedua grafik tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.
a. Untuk a > 1, fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi monoton naik.
Artinya untuk setiap x1 dan x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika
f(x1) < f(x2).
b. Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi monoton turun.
Artinya untuk setiap x1 dan x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika
f(x1) > f(x2).
Untuk a > 1:
a. Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) > g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
b. Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
c. Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) < g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
d. Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

32. Contoh Soal
1.Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut.
a. 2log (x – 3) + 2log (x – 2) = 1
b. 3log (x2 – 8) = 4log (x2 – 8)
c. xlog (2x2 – 7x + 6) = 2
2. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut.
a. xlog (4x – 5) > xlog (2x – 6)
b. (x – 1)log (3x + 1) ≤ (x – 1)log (2x – 1)
Untuk 0 < a < 1:
a. Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) < g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
b. Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
c. Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) > g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
d. Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab