Download as PDF, PPTX
![Φύλλα εργασίας Γεωμετρίας για την Α και Β Λυκείου [2018 - 19]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/geoabsxetos1819-180926132349-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Παραγοντοποίηση LU
- 1. παραγοντοποίηση lu Μανόλης Βάβαλης 30/10/2015 ΤμήμαΗλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
- 2. Διαδικαστικά ∙ Μην ξεχάσετετα Φροντιστήρια την ερχόμενη Δευτέρα και Τρίτη. ∙ Προετοιμαστείτε για την πρώτη εξέταση προόδου. 1
- 3.
- 4. Παραγοντοποίηση A =LU Κάθε τετραγωνικός πίνακας A μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L με μονάδες στην διαγώνιο και ενός άνω τριγωνικού πίνακα U. ∙ Ο L έχει τους πολλαπλασιαστές της απαλοιφής κάτω απο την διαγώνιο ∙ Ο U τα στοιχεία του A όπως αυτά προκύπτουν μετά την απαλοιφή 3
- 5. Ύπαρξη και µοναδικότηταLU Θεώρημα Οι πίνακες L U που περιγράφθηκαν παραπάνω ∙ υπάρχουν και ∙ και αν ο A είναι αντιστρέψιμος είναι μοναδικοί. Proof. LkLk−1 · · · L3L2L1A = U → A = (L1)−1 (L2)−1 (L3)−1 · · · (Lk−1)−1 (Lk)−1 U L1U1 = L2U2 → (L2)−1 L1 = U2 (U1)−1 4
- 6. Παράδειγµα A = −1 −11 2 2 1 −3 6 0 0 −1 2 0 1 −1 4 5
- 7. Παράδειγµα A = −1 −11 2 2 1 −3 6 0 0 −1 2 0 1 −1 4 → −1 −1 1 2 0 −1 −1 10 0 0 −1 2 0 1 −1 4 5
- 8. Παράδειγµα A = −1 −11 2 2 1 −3 6 0 0 −1 2 0 1 −1 4 → −1 −1 1 2 0 −1 −1 10 0 0 −1 2 0 1 −1 4 → −1 −1 1 2 0 −1 −1 10 0 0 −1 2 0 0 −2 14 5
- 9. Παράδειγµα A = −1 −11 2 2 1 −3 6 0 0 −1 2 0 1 −1 4 → −1 −1 1 2 0 −1 −1 10 0 0 −1 2 0 1 −1 4 → −1 −1 1 2 0 −1 −1 10 0 0 −1 2 0 0 −2 14 → −1 −1 1 2 0 −1 −1 10 0 0 −1 2 0 0 0 10 5
- 10. Παράδειγµα A = LU −1−1 1 2 2 1 −3 6 0 0 −1 2 0 1 −1 4 6
- 11. Παράδειγµα A = LU −1−1 1 2 2 1 −3 6 0 0 −1 2 0 1 −1 4 = 1 0 0 0 −2 1 0 0 0 0 1 0 0 −1 2 1 −1 −1 1 2 0 −1 −1 10 0 0 −1 2 0 0 0 10 6
- 12. Επίλυση Συστήµατος µεΠαραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του 7
- 13. Επίλυση Συστήµατος µεΠαραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του ∙ Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b 7
- 14. Επίλυση Συστήµατος µεΠαραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του ∙ Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b ∙ Θέτω y = Ux και έχω Ly = b 7
- 15. Επίλυση Συστήµατος µεΠαραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του ∙ Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b ∙ Θέτω y = Ux και έχω Ly = b ∙ Λύνω το Ly = b για να υπολογίσω το y 7
- 16. Επίλυση Συστήµατος µεΠαραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του ∙ Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b ∙ Θέτω y = Ux και έχω Ly = b ∙ Λύνω το Ly = b για να υπολογίσω το y ∙ Λύνω το Ux = y για να υπολογίσω το x 7
- 17. Παράδειγµα Να λυθεί το −1−1 1 2 2 1 −3 6 0 0 −1 2 0 1 −1 4 x = 1 6 1 4 8
- 18. Παράδειγµα Να λυθεί το −1−1 1 2 2 1 −3 6 0 0 −1 2 0 1 −1 4 x = 1 6 1 4 Ly = b ⇒ 1 0 0 0 −2 1 0 0 0 0 1 0 0 −1 2 1 y1 y2 y3 y4 = 1 6 1 4 8
- 19. Παράδειγµα Να λυθεί το −1−1 1 2 2 1 −3 6 0 0 −1 2 0 1 −1 4 x = 1 6 1 4 Ly = b ⇒ 1 0 0 0 −2 1 0 0 0 0 1 0 0 −1 2 1 y1 y2 y3 y4 = 1 6 1 4 ⇒ y = 1 8 1 10 8
- 20. Παράδειγµα Να λυθεί το −1−1 1 2 2 1 −3 6 0 0 −1 2 0 1 −1 4 x = 1 6 1 4 Ly = b ⇒ 1 0 0 0 −2 1 0 0 0 0 1 0 0 −1 2 1 y1 y2 y3 y4 = 1 6 1 4 ⇒ y = 1 8 1 10 Ux = y ⇒ −1 −1 1 2 0 −1 −1 10 0 0 −1 2 0 0 0 10 x1 x2 x3 x4 = 1 8 1 10 8
- 21. Παράδειγµα Να λυθεί το −1−1 1 2 2 1 −3 6 0 0 −1 2 0 1 −1 4 x = 1 6 1 4 Ly = b ⇒ 1 0 0 0 −2 1 0 0 0 0 1 0 0 −1 2 1 y1 y2 y3 y4 = 1 6 1 4 ⇒ y = 1 8 1 10 Ux = y ⇒ −1 −1 1 2 0 −1 −1 10 0 0 −1 2 0 0 0 10 x1 x2 x3 x4 = 1 8 1 10 ⇒ x = 1 1 1 1 8
- 22. Παραγοντοποίηση A =PLU Κάθε τετραγωνικός πίνακας A μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο ενός πίνακα αντιμετάθεσης P, ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L με μονάδες στην διαγώνιο και ενός άνω τριγωνικού πίνακα U. ∙ Ο P καθορίζεται απο τις εναλλαγές γραμμών που απαιτεί η διαδικασία της απαλοιφής με οδήγηση. ∙ Ο L έχει τους πολλαπλασιαστές της απαλοιφής κάτω απο την διαγώνιο. 9
- 23. Παράδειγµα A = 0 0−1 2 0 1 −1 4 −1 −1 1 2 2 1 −3 6 10
- 24. Παράδειγµα A = 0 0−1 2 0 1 −1 4 −1 −1 1 2 2 1 −3 6 → −1 −1 1 2 0 1 −1 4 0 0 −1 2 2 1 −3 6 10
- 25. Παράδειγµα A = 0 0−1 2 0 1 −1 4 −1 −1 1 2 2 1 −3 6 → −1 −1 1 2 0 1 −1 4 0 0 −1 2 2 1 −3 6 → −1 −1 1 2 0 1 −1 4 0 0 −1 2 0 −1 −1 10 10
- 26. Παράδειγµα A = 0 0−1 2 0 1 −1 4 −1 −1 1 2 2 1 −3 6 → −1 −1 1 2 0 1 −1 4 0 0 −1 2 2 1 −3 6 → −1 −1 1 2 0 1 −1 4 0 0 −1 2 0 −1 −1 10 → −1 −1 1 2 0 1 −1 4 0 0 −1 2 0 0 −2 14 10
- 27. Παράδειγµα A = PLU 00 −1 2 0 1 −1 4 −1 −1 1 2 2 1 −3 6 = 11
- 28. Παράδειγµα A = PLU 00 −1 2 0 1 −1 4 −1 −1 1 2 2 1 −3 6 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 −2 −1 2 1 −1 −1 1 2 0 1 −1 4 0 0 −1 2 0 0 0 10 11
- 29. Επίλυση Συστήµατος µεΠαραγοντοποίηση A = PLU Να λυθεί το Ax = b αν γνωρίζουμε την PLU παραγοντοποίηση του 12
- 30. Επίλυση Συστήµατος µεΠαραγοντοποίηση A = PLU Να λυθεί το Ax = b αν γνωρίζουμε την PLU παραγοντοποίηση του ∙ Ax = b ⇒ PLUx = b ⇒ L(Ux) = P−1 b 12
- 31. Επίλυση Συστήµατος µεΠαραγοντοποίηση A = PLU Να λυθεί το Ax = b αν γνωρίζουμε την PLU παραγοντοποίηση του ∙ Ax = b ⇒ PLUx = b ⇒ L(Ux) = P−1 b ∙ Θέτω y = Ux και έχω Ly = P−1 b 12
- 32. Επίλυση Συστήµατος µεΠαραγοντοποίηση A = PLU Να λυθεί το Ax = b αν γνωρίζουμε την PLU παραγοντοποίηση του ∙ Ax = b ⇒ PLUx = b ⇒ L(Ux) = P−1 b ∙ Θέτω y = Ux και έχω Ly = P−1 b ∙ Λύνω το Ly = P−1 b για να υπολογίσω το y 12
- 33. Επίλυση Συστήµατος µεΠαραγοντοποίηση A = PLU Να λυθεί το Ax = b αν γνωρίζουμε την PLU παραγοντοποίηση του ∙ Ax = b ⇒ PLUx = b ⇒ L(Ux) = P−1 b ∙ Θέτω y = Ux και έχω Ly = P−1 b ∙ Λύνω το Ly = P−1 b για να υπολογίσω το y ∙ Λύνω το Ux = y για να υπολογίσω το x 12
- 34. Παράδειγµα Χρησιμοποιήστε την ανάλυσηPLU του A που βρήκατε παραπάνω για να υπολογίστε την λύση του συστήματος 0 0 −1 2 −1 −1 1 2 2 1 −3 6 0 1 −1 4 x = 1 1 6 4 13
- 35. Ανάλυση συµµετρικού πίνακασε LDLT Θεώρημα Κάθε συμμετρικός πίνακας A μπορεί να αναλυθεί στην μορφή A = LDLT όπου ∙ L κάτω τριγωνικός με μονάδες στην διαγώνιο και τους πολλαπλασιαστές κάτω απο αυτή και ∙ D διαγώνιος πίνακας με στοιχεία τα οδηγά στοιχεία. Proof. Αν A = AT και A = LU ⇒ A = LD˜U τότε LD˜U = (LD˜U)T = ˜UT DLT 14
- 36. Ανάλυση συµµετρικού πίνακασε LDLT Θεώρημα Κάθε συμμετρικός πίνακας A μπορεί να αναλυθεί στην μορφή A = LDLT όπου ∙ L κάτω τριγωνικός με μονάδες στην διαγώνιο και τους πολλαπλασιαστές κάτω απο αυτή και ∙ D διαγώνιος πίνακας με στοιχεία τα οδηγά στοιχεία. Proof. Αν A = AT και A = LU ⇒ A = LD˜U τότε LD˜U = (LD˜U)T = ˜UT DLT Απο την μοναδικότητα της παραγοντοποίησης LU έχουμε 14
- 37. Άσκηση Θεώρημα Ο ανάστροφος τουγινομένου δύο πινάκων ισούται με το ανάστροφο γινόμενο των αναστρόφων των πινάκων. 15
- 38. Άσκηση Θεώρημα Ο ανάστροφος τουγινομένου δύο πινάκων ισούται με το ανάστροφο γινόμενο των αναστρόφων των πινάκων. Δηλαδή (AB)T = BT AT 15
- 39. Άσκηση Θεώρημα Ο ανάστροφος τουγινομένου δύο πινάκων ισούται με το ανάστροφο γινόμενο των αναστρόφων των πινάκων. Δηλαδή (AB)T = BT AT Proof. Γράφουμε το στοιχείο του πίνακα (AB)T στην θέση i, j το οποίο είναι το στοιχείο του πίνακα AB στην θέση j, i το οποίο ισούται με το εσωτερικό γινομενο της j γραμμής του A με την i στήλη του B . . . 15
- 40. Άσκηση Θεώρημα Ο αντίστροφος τουαναστρόφου ενός πίνακα ισούται με τον ανάστροφο του αντιστρόφου. Proof. Πρέπει να αποδείξουμε ότι ( AT )−1 = ( A−1 )T 16