Εισαγωγή στην Απαλοιφή του Γκάους

1. επίλυση τριγωνικών εξισώσεων - απαλοιϕή του
γκάους
Μανόλης Βάβαλης
05/10/2015
Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

2. Τετραγωνικά Συστήµατα
m = n
1

3. Απο τα εύκολα στα δύσκολα
∙ Τριγωνικά Συστήματα
∙ Μπορώ να υπολογίσω την λύση (με n2
2 περίπου πράξεις)
∙ Μοναδική λύση υπάρχει ανν όλοι οι συντελεστές των διαγώνιων
αγνώστων είναι μη-μηδενικοί.
∙ Τετραγωνικά Συστήματα
∙ Μπορώ να υπολογίσω την λύση (με n3
3 περίπου πράξεις)?
∙ Μοναδική λύση υπάρχει ανν ??.
2

4. Τρεις Ισοδύναµες Παραστάσεις Συστηµάτων
Βασική μορφή εξισώσεων
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi
...
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
Συμπαγής μορφή εξισώσεων
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi, i = 1, · · · , n
Επαυξημένος πίνακας 3

5. Επίλυση Τριγωνικών Συστηµάτων

6. Επίλυση Τριγωνικών Συστηµάτων ai,j = 0, ∀i > j
ai,ixi + ai,i+1xi+1 + . . . + ai,nxn = bi, i = 1, · · · , n
4

7. Επίλυση Τριγωνικών Συστηµάτων ai,j = 0, ∀i > j
ai,ixi + ai,i+1xi+1 + . . . + ai,nxn = bi, i = 1, · · · , n
⇓
xi =
(
bi −
{
ai,i+1xi+1 + . . . + ai,nxn
})
/ai,i i = 1, · · · , n
4

8. Επίλυση Τριγωνικών Συστηµάτων

9. Επίλυση Τριγωνικών Συστηµάτων ai,j = 0, ∀i > j
ai,ixi + ai,i+1xi+1 + . . . + ai,nxn = bi, i = 1, · · · , n
⇓
xi =
(
bi −
{
ai,i+1xi+1 + . . . + ai,nxn
})
/ai,i i = 1, · · · , n
⇓
xi =

bi −
n∑
j=i+1
ai,jxj

 /ai,i, i = n, n − 1, · · · , i − 2, i − 1
4

10. Θεώρηµα ύπαρξης και µοναδικότητας λύσης
Ένα τριγωνικό σύστημα έχει
μοναδική λύση ανν ai,i ̸= 0 ∀i.
5

11. Παράδειγµα
Επαυξημένος Πίνακας








1 2 2 −6 1
0 1 5 −6 15
0 0 1 −17
5 4
0 0 0 1 0








6

12. Παράδειγµα
Επαυξημένος Πίνακας








1 2 2 −6 1
0 1 5 −6 15
0 0 1 −17
5 4
0 0 0 1 0








Τελευταία εξίσωση x4 = 0.
3η εξίσωση x3 − 17
5 x4 = 4 ⇒ x3 = 4.
2η εξίσωση x2 + 5x3 − 6x4 = 15 ⇒ x2 = −5.
1η εξίσωση x1 + 2x2 + 2x3 − 6x4 = 1 ⇒ x1 = 3.
6

13. Παράδειγµα
Επαυξημένος Πίνακας








1 2 2 −6 1
0 1 5 −6 15
0 0 1 −17
5 4
0 0 0 1 0








Τελευταία εξίσωση x4 = 0.
3η εξίσωση x3 − 17
5 x4 = 4 ⇒ x3 = 4.
2η εξίσωση x2 + 5x3 − 6x4 = 15 ⇒ x2 = −5.
1η εξίσωση x1 + 2x2 + 2x3 − 6x4 = 1 ⇒ x1 = 3.
6

14. Θεώρηµα ύπαρξης και µοναδικότητας λύσης
Κάθε άνω τριγωνικό σύστημα έχει
∙ μοναδική λύση ανν ai,i ̸= 0 ∀i
∙ καμμία λύση ανν για κάποιο i, ai,i = 0 και
bi −
∑n
j=i+1 ai,jxj ̸= 0
∙ άπειρες λύσεις ανν για κάποιο i, ai,i = 0 και
bi −
∑n
j=i+1 ai,jxj = 0
7

15. επίλυση γενικών συστηµάτων

16. Επίλυση Γενικών Συστηµάτων (m = n)
Για να λύσω (μελετήσω) ένα γενικό σύστημα
∙ το μετατρέπω σε ισοδύναμο τριγωνικό
∙ λύνω (μελετώ) το τριγωνικό
9

17. Επίλυση Γενικών Συστηµάτων (m = n)
Για να λύσω (μελετήσω) ένα γενικό σύστημα
∙ το μετατρέπω σε ισοδύναμο τριγωνικό
∙ λύνω (μελετώ) το τριγωνικό
Δύο συστήματα εξισώσεων είναι ισοδύναμα ανν όλες οι λύσεις
του ενός είναι και λύσεις του άλλου.
9

18. Επίλυση Γενικών Συστηµάτων (m = n)
Για να λύσω (μελετήσω) ένα γενικό σύστημα
∙ το μετατρέπω σε ισοδύναμο τριγωνικό
∙ λύνω (μελετώ) το τριγωνικό
Δύο συστήματα εξισώσεων είναι ισοδύναμα ανν όλες οι λύσεις
του ενός είναι και λύσεις του άλλου.
Το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος δεν αλλάζει αν
9

19. Επίλυση Γενικών Συστηµάτων (m = n)
Για να λύσω (μελετήσω) ένα γενικό σύστημα
∙ το μετατρέπω σε ισοδύναμο τριγωνικό
∙ λύνω (μελετώ) το τριγωνικό
Δύο συστήματα εξισώσεων είναι ισοδύναμα ανν όλες οι λύσεις
του ενός είναι και λύσεις του άλλου.
Το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος δεν αλλάζει αν
∙ πολλαπλασιάσω μια εξίσωσή του με έναν μη-μηδενικό
αριθμό 9

20. Επίλυση Γενικών Συστηµάτων (m = n)
Για να λύσω (μελετήσω) ένα γενικό σύστημα
∙ το μετατρέπω σε ισοδύναμο τριγωνικό
∙ λύνω (μελετώ) το τριγωνικό
Δύο συστήματα εξισώσεων είναι ισοδύναμα ανν όλες οι λύσεις
του ενός είναι και λύσεις του άλλου.
Το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος δεν αλλάζει αν
∙ πολλαπλασιάσω μια εξίσωσή του με έναν μη-μηδενικό
αριθμό 9

21. Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
∙ Εναλλάξουμε την σειρά των
εξισώσεων
10

22. Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
∙ Εναλλάξουμε την σειρά των
εξισώσεων
∙ Πολλαπλασιάσουμε κάποια
εξίσωση με έναν αριθμό
c ̸= 0
10

23. Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
∙ Εναλλάξουμε την σειρά των
εξισώσεων
∙ Πολλαπλασιάσουμε κάποια
εξίσωση με έναν αριθμό
c ̸= 0
∙ Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
10

24. Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
∙ Εναλλάξουμε την σειρά των
εξισώσεων
∙ Πολλαπλασιάσουμε κάποια
εξίσωση με έναν αριθμό
c ̸= 0
∙ Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
Πράξεις:
∙ Ενάλλαξε την σειρά δύο
γραμμών (εναλλαγή)
10

25. Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
∙ Εναλλάξουμε την σειρά των
εξισώσεων
∙ Πολλαπλασιάσουμε κάποια
εξίσωση με έναν αριθμό
c ̸= 0
∙ Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
Πράξεις:
∙ Ενάλλαξε την σειρά δύο
γραμμών (εναλλαγή)
∙ Πολλαπλασιασμός μια
γραμμής με c ̸= 0
(στάθμιση)
10

26. Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
∙ Εναλλάξουμε την σειρά των
εξισώσεων
∙ Πολλαπλασιάσουμε κάποια
εξίσωση με έναν αριθμό
c ̸= 0
∙ Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
Πράξεις:
∙ Ενάλλαξε την σειρά δύο
γραμμών (εναλλαγή)
∙ Πολλαπλασιασμός μια
γραμμής με c ̸= 0
(στάθμιση)
∙ Αντικατάσταση μια
γραμμλης με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης γραμμής
(Αντικατάσταση)
10

27. Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
∙ Εναλλάξουμε την σειρά των
εξισώσεων
∙ Πολλαπλασιάσουμε κάποια
εξίσωση με έναν αριθμό
c ̸= 0
∙ Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
Πράξεις:
∙ Ενάλλαξε την σειρά δύο
γραμμών (εναλλαγή)
∙ Πολλαπλασιασμός μια
γραμμής με c ̸= 0
(στάθμιση)
∙ Αντικατάσταση μια
γραμμλης με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης γραμμής
(Αντικατάσταση)
στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να
απλοποιήσεις το πρόβλημα. 10

28. Παράδειγµα
1x1 + 2x2 = 3
2x1 + 1x2 = 3
11

29. Παράδειγµα
1x1 + 2x2 = 3
2x1 + 1x2 = 3
δύο φορές την 1η απο την 2η:
1x1 + 2x2 = 3
−3x2 = −3
11

30. Παράδειγµα
1x1 + 2x2 = 3
2x1 + 1x2 = 3
δύο φορές την 1η απο την 2η:
1x1 + 2x2 = 3
−3x2 = −3
[
1 2 3
2 1 3
]
11

31. Παράδειγµα
1x1 + 2x2 = 3
2x1 + 1x2 = 3
δύο φορές την 1η απο την 2η:
1x1 + 2x2 = 3
−3x2 = −3
[
1 2 3
2 1 3
]
[
1 2 3
0 −3 −3
]
11

32. Πρώτο βήμα:
Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να
απαλοίψετε όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα
υπόλοιπα στοιχεία της πρώτης στήλης 0]:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8
L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5
12

33. Πρώτο βήμα:
Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να
απαλοίψετε όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα
υπόλοιπα στοιχεία της πρώτης στήλης 0]:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8
L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5
Αφαίρεσε 2× 1η απο την 2η
Πρόσθεσε 3× 1η στην 3η:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 − 2L1 : 2x2 + x3 = −4
3L1 + L3 : −3x2 + 2x3 = 13
12

34. Πρώτο βήμα:
Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να
απαλοίψετε όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα
υπόλοιπα στοιχεία της πρώτης στήλης 0]:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8
L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5
Αφαίρεσε 2× 1η απο την 2η
Πρόσθεσε 3× 1η στην 3η:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 − 2L1 : 2x2 + x3 = −4
3L1 + L3 : −3x2 + 2x3 = 13



1 −3 −2 6
2 −4 −3 8
−3 6 8 −5



12

35. Πρώτο βήμα:
Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να
απαλοίψετε όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα
υπόλοιπα στοιχεία της πρώτης στήλης 0]:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8
L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5
Αφαίρεσε 2× 1η απο την 2η
Πρόσθεσε 3× 1η στην 3η:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 − 2L1 : 2x2 + x3 = −4
3L1 + L3 : −3x2 + 2x3 = 13



1 −3 −2 6
2 −4 −3 8
−3 6 8 −5






1 −3 −2 6
0 2 1 −4
0 −3 2 13



12

36. Δεύτερο βήμα:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x2 + x3 = −4
L3 : −3x2 + 2x3 = 13
13

37. Δεύτερο βήμα:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x2 + x3 = −4
L3 : −3x2 + 2x3 = 13
Πρόσθεσε 3
2 × L2 στην L3:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x2 + x3 = −4
L3 +
3
2
L2 :
7
2
x3 = 7
13

38. Δεύτερο βήμα:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x2 + x3 = −4
L3 : −3x2 + 2x3 = 13
Πρόσθεσε 3
2 × L2 στην L3:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x2 + x3 = −4
L3 +
3
2
L2 :
7
2
x3 = 7



1 −3 −2 6
0 2 1 −4
0 −3 2 13






1 0 −1
2 0
0 2 1 −4
0 0 7
2 7



Ορίστε η λύση: (x1, x2, x3) = (1, −3, 2)
13

39. Μελετήστε το σύστηµα
3x1 + 2x2 + 4x3 = 0 3x1 + 2x2 + 4x3 = 0
x1 − x2 + 2x3 = 1 x1 − x2 + 2x3 = 1
2x1 + 2x2 + 3x3 = 2 2x1 + 2x2 + 3x3 = 2
x1 + x3 = 3
14

40. Θα υπάρξουν προβλήματα?
x1 + 2x2 = 3
x1 + 2x2 = 4
15

41. Θα υπάρξουν προβλήματα?
x1 + 2x2 = 3
x1 + 2x2 = 4
Αφαίρεσε την L1 απο την L2:
x1 + 2x2 = 3
0= 1
ασυνέπεια
ΚΑΜΜΊΑ ΛΎΣΗ
15

42. Θα υπάρξουν προβλήματα?
x1 + 2x2 = 3
x1 + 2x2 = 4
Αφαίρεσε την L1 απο την L2:
x1 + 2x2 = 3
0= 1
ασυνέπεια
ΚΑΜΜΊΑ ΛΎΣΗ
x1 + 2x2 = 3
2x1 + 4x2 = 6
15

43. Θα υπάρξουν προβλήματα?
x1 + 2x2 = 3
x1 + 2x2 = 4
Αφαίρεσε την L1 απο την L2:
x1 + 2x2 = 3
0= 1
ασυνέπεια
ΚΑΜΜΊΑ ΛΎΣΗ
x1 + 2x2 = 3
2x1 + 4x2 = 6
Αφαίρεσε 2L1 απο L2:
x1 + 2x2 = 3
0= 0
ασάφεια
ΆΠΕΙΡΕΣ ΛΎΣΕΙΣ
15