υπολογισμός όλων των λύσεων

1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Επίλυση m × n συστήματος
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
25 Νοεμβρίου 2013

2. Παρατήρηση
Θεώρημα
Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός
μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση του
αντίστοιχου ομογενούς συστήματος.

3. Παρατήρηση
Θεώρημα
Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός
μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση του
αντίστοιχου ομογενούς συστήματος.
Απόδειξη.
΄Εστω w και v δύο λύσεις του Ax = b

4. Παρατήρηση
Θεώρημα
Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός
μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση του
αντίστοιχου ομογενούς συστήματος.
Απόδειξη.
΄Εστω w και v δύο λύσεις του Ax = b
τότε Aw = b και Av = b

5. Παρατήρηση
Θεώρημα
Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός
μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση του
αντίστοιχου ομογενούς συστήματος.
Απόδειξη.
΄Εστω w και v δύο λύσεις του Ax = b
τότε Aw = b και Av = b
συνεπώς A(w − v ) = 0.

6. ΄Υπαρξη Λύσης Ax = b
Ax = b

7. ΄Υπαρξη Λύσης Ax = b
Ax = b ⇒ LUx = b

8. ΄Υπαρξη Λύσης Ax = b
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ Ux = L−1 b

9. ΄Υπαρξη Λύσης Ax = b
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ Ux = L−1 b
 
 
u
b
1 0 0
1 3 3 2  
v   1
Ax = LUx =  2 1 0   0 0 3 1    = b2
w
b3
−1 2 1
0 0 0 0
y




10. ΄Υπαρξη Λύσης Ax = b
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ Ux = L−1 b

Ax = LUx = 

1 3 3
0 0 3
0 0 0
 
 
u
b
1 0 0
1 3 3 2  
v   1
2 1 0   0 0 3 1    = b2
w
b3
−1 2 1
0 0 0 0
y
 
 u


b1
2  
v
b2 − 2b1 
1   = 
w 
0
b3 − 2b2 + b1
y



11. Ορισμοί
xγ
νικη :
όλες οι λύσεις του Ax = b

12. Ορισμοί
xγ
xoµoγ
όλες οι λύσεις του Ax = b
νoυς : όλες οι λύσεις του Ax = 0
νικη :

13. Ορισμοί
xγ
όλες οι λύσεις του Ax = b
xoµoγ νoυς : όλες οι λύσεις του Ax = 0
xειδικη : μια οποιαδήποτε λύση του Ax = b
νικη :

14. Ορισμοί
xγ
όλες οι λύσεις του Ax = b
xoµoγ νoυς : όλες οι λύσεις του Ax = 0
xειδικη : μια οποιαδήποτε λύση του Ax = b
Ελεύθερες μεταβλητές: όλες οι συνιστώσες της λύσης που
δεν αντιστοιχούν σε στήλη με οδηγό.
νικη :

15. Υπολογισμός Γενικευμένης Λύσης Ax = b
1
Απαλοιφή στο Ax = b (Ax = b ⇒ Ux = c)
2
Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε (xειδικη )
3
4
Θέσε b = 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερη μεταβλητή 1
θέτοντας ταυτόχρονα τις υπόλοιπες μεταβλητές ίσες με 0
και βρες μια ομογενή λύση (xoµoγ νoυς )
xγ
νικη
= xειδικη + xoµoγ
νoυς

16. Παράδειγμα


1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3 
1 3 1 6 −4

17. Παράδειγμα




1 0 0
1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3  →  0 1 0   0 0 1 4 −3 
1 1 1
0 0 0 0 −0
1 3 1 6 −4


18. Παράδειγμα




1 0 0
1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3  →  0 1 0   0 0 1 4 −3 
1 1 1
0 0 0 0 −0
1 3 1 6 −4
 

 x1
 
1 3 0 2 −1 x2 
0
 
 0 0 1 4 −3  x3  = 0 ⇒
 
0 0 0 0 −0 x4 
0
x5


19. Παράδειγμα




1 0 0
1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3  →  0 1 0   0 0 1 4 −3 
1 1 1
0 0 0 0 −0
1 3 1 6 −4
 

 x1
 
1 3 0 2 −1 x2 
0
 
 0 0 1 4 −3  x3  = 0 ⇒
 
0 0 0 0 −0 x4 
0
x5
 
−3
 1
 
s1 =  0 ,
 
 0
0


20. Παράδειγμα




1 0 0
1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3  →  0 1 0   0 0 1 4 −3 
1 1 1
0 0 0 0 −0
1 3 1 6 −4
 

 x1
 
1 3 0 2 −1 x2 
0
 
 0 0 1 4 −3  x3  = 0 ⇒
 
0 0 0 0 −0 x4 
0
x5
 
 
 
−3
−2
1
 1
 0
0
 
 
 
s1 =  0 , s2 = −4 , s3 = 3
 
 
 
 0
 1
0
0
0
1


21. Παράδειγμα (συνέχεια)
 
 
 
5
5
5
2 ⇒ LUx = 2 ⇒ Ly = 2 , Ux = y
Ax =
7
7
7

22. Παράδειγμα (συνέχεια)
Ax

1 0 0
 0 1 0
1 1 1
 
 
 
5
5
5
2 ⇒ LUx = 2 ⇒ Ly = 2 , Ux = y
=
7
7
7
 
   
5
5
y1
 y2  = 2 ⇒ y1 = 5, y2 = 2, y3 = 0 ⇒ y = 2
7
0
y3

23. Παράδειγμα (συνέχεια)
Ax

1 0 0
 0 1 0
1 1 1
 
 
 
5
5
5
2 ⇒ LUx = 2 ⇒ Ly = 2 , Ux = y
=
7
7
7
 
   
5
5
y1
 y2  = 2 ⇒ y1 = 5, y2 = 2, y3 = 0 ⇒ y = 2
7
0
y3
 
 
5
 x1
 
0
1 3 0 2 −1  0
5
 
 
 0 0 1 4 −3  x3  = 2 ⇒ x1 = 5, x3 = 2 ⇒ xειδικη = 2
 
 
0
0 0 0 0 −0  0
0
0
0


24. Παράδειγμα (συνέχεια)
xγ
νικη
= xειδικη +xoµoγ
νoυς

25. Παράδειγμα (συνέχεια)
xγ
νικη
= xειδικη +xoµoγ
νoυς
 
 
 
 
5
−3
−2
1
0
 1
 0
0
 
 
 
 
= 2+c1  0+c2 −4+c3 3 .
 
 
 
 
0
 0
 1
0
0
0
0
1