ΘΕΩΡΊΑ

1. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
( ) ( ) ( ) ( )
επειδή η συνάρτηση log είναι 1-1
log log
x
f x g x f x g x
α
α α
= ⇔ = (με 0 1
α
< ≠ και
( ) ( )
, g 0
f x x > )
SOS. Σκοπός μας είναι να πετύχουμε να έχουμε έναν λογάριθμο στο 1ο
μέλος και έναν στο 2ο
μέλος.
Μετά, βάση της ιδιότητας ότι η λογαριθμική συνάρτηση είναι 1-1 (απλώς το γράφετε), οι λογάριθμοι
φεύγουν και καταλήγετε σε μια άλλη απλούστερη εξίσωση που λύνουμε κατά τα γνωστά.
Πως όμως θα πετύχουμε να έχουμε μόνο έναν λογάριθμο σε κάθε μέλος;
Απάντηση: Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων .
Α5 (με κάποιες αλλαγές) Να λυθούν οι εξισώσεις (Υπόδειξη: Πρώτα να κάνετε περιορισμούς. .Η ( )
log f x
α ορίζεται για ( ) 0
f x >
)
i) ( ) ( )
log 1 log 1 log18 2log3
x x
+ + −= − (Απάντηση: 3
x = )
Περιορισμοί:
1 0 1
1
1 0 1
x x
x
x x
+ > > −
 
 
⇔ ⇔ >
 
− > >
 
 
Εφαρμόζοντας ιδιότητες λογαρίθμων έχουμε:
2 18
log18 2log3 log18 log3 log18 log9 log log 2
9
− = − = − = =
Αρα με τον περιορισμό 1
x > έχουμε:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
συνάρτηση logx είναι 1-1
2
log 1 log 1 log18 2log3 log 1 1 log 2 1 1 2 1 2
x x x x x x x
Η
+ + − = − ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔
 
 
2
3 3 ή 3
x x x
=⇔ = =
−
Δεκτή είναι μόνο η ρίζα 3
x = .

2. ii) ( )
log 1 log 1 log5
x x
− + = − (Απάντηση:x=2)
Περιορισμοί:
1 0 1
1
0 0
x x
x
x x
− > >
 
 
⇔ ⇔ >
 
> >
 
 
Με τον περιορισμό αυτό έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
10
log 1 log 1 log5 log 1 log10 log5 log log log log 2
5
x x x x x x x x
− + =− ⇔ − = − ⇔ − = ⇔ − = ⇔
 
 
2 2
2 2 0
x x x x
− = ⇔ − − =
Εχει ρίζες 1
= −
x ή 2
=
x
Δεκτή είναι μόνο η ρίζα 2
=
x .
iii) ( )
2
2
log log
x x
= (Απάντηση:x=1 ή x=100)
Λύση:
Περιορισμοί:
2
0
0
0
0
0
x
x
x
x
x ≠
 
 
⇔ ⇔ >
 
>
> 
 

>
Με τον περιορισμό αυτό έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
log log 2log log log 2log 0 log log 2 0
x x x x x x x x
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ −
=
(δεκαδικού) λογαρίθμου
0 2
log 0 ή log 2 0 log 0 ή log 2 10 ή 10
ό
x x x x x x
ρισµ ς
Ο
= − = ⇔ = = ⇔ = =
0 2
10 ή 10 1 ή 100
x x x x
= = ⇔ = =
iv) ( )
2
log 1 log log 2
x x
+ − = (Απάντηση:x=1)
Λύση:
Είναι 2
0
x ≥ για κάθε x ∈ οπότε 2
1 1 0
x + ≥ > για κάθε x ∈ επομένως από το ( )
2
log 1
x + δεν έχουμε
περιορισμούς και μόνο από τον όρο log x παίρνουμε ότι πρέπει 0
x > .Με αυτόν τον περιορισμό:
( ) ( )
2 2
2 2 2
1 1
log 1 log log 2 log 1 log log 2 log log 2 2 1 2
x x
x x x x x x
x x
+ +
+ − = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ = ⇔ +=
( )
2
2
2 1 0 1 0 1 0 1
x x x x x
− + = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = δεκτή.

3. Α6. Να λυθούν οι εξισώσεις : (SOS ένας ιδιαίτερος τύπος άσκησης) Υπόδειξη: «Λογαριθμείστε» και τα δύο μέλη)
i)
1
5 2
x x
−
= (Απάντηση:x=log2)
Λύση
( )
1 1
5 2 log5 log2 log5 1 log2 log5 log2 log2 log5 log2 log2
x x x x
x x x x x x
− −
=⇔ = ⇔ =
− ⇔ = − ⇔ + =
( ) ( )
log10 1
log5 log2 log2 log 2 5 log2 log10 log2 1 log2 log2
x x x x x
=
+ = ⇔ ⋅= ⇔ = ⇔ ⋅
= ⇔=
ii)
1 1
3 2
x x
− +
= (Απάντηση:
log6
4,41902
log1,5
x =  )
Λύση:
( ) ( )
1 1 1 1
3 2 log3 log2 1 log3 1 log2 log3 log3 log2 log2
x x x x
x x x x
− + − +
= ⇔ = ⇔ − = + ⇔ − = +
( ) ( )
3
log3 log2 log2 log3 log3 log2 log 2 3 log log6 log1,5 log6
2
x x x x x
− = + ⇔ − = ⋅ ⇔ = ⇔ =
log6
log1,5
x
⇔ =
Β7. Να λύσετε τα συστήματα (Υπόδειξη:Κι εδώ μην ξεχνάμε τους περιορισμούς)
ii)
8
log 2log
xy
y x
=


=

(Απάντηση:x=2 και y=4)
Tο σύστημα ορίζεται για
2 2
8 8
8
log 2log log log
xy xy
xy
y x y x y x
= =
=  

⇔ ⇔
  
= = =
  
δείτε την συνέχεια στο λυσάρι
iii)
2
2log log log2
y x
y x
=


= +

(Απάντηση:x=1/2 και y=1)
δείτε την λύση στο λυσάρι