Лекция 6 по курсу "Дискретная математика" для студентов экономического факультета МГУ.

1. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Курс лекций
Московский государственный университет
имени М.В.Ломоносова
Экономический факультет
1

2. Лекция 6
Все, что вы хотели знать о
кроликах, но боялись спросить
2

3. Лекция 6
Рекуррентные соотношения
и числа Фибоначчи
3

4. Комбинаторика повторяющихся объектов.
4
Иногда требуется рассматривать объекты, не отличающиеся друг
от друга (или когда различия не существенны). Зато этих
однородных объектов может быть много и даже неограниченно
много. В общем случае рассматривается несколько типов объектов,
каждый из которых может быть представлен в нескольких
экземплярах. Учитываются различия только в составе выборки.
Ситуации повторения объектов могут быть сведены к уже
рассмотренным с помощью кодировки таких ситуаций в
специальном алфавите. Объекты (любых типов) обозначаются
символом 1, а чтобы отделить друг от друга элементы разных
типов, используются разделители, обозначаемые символом 0.
Теперь любые ситуации кодируются последовательностями
нулей и единиц (называемыми перестановками с повторениями).
ПРИМЕР: 1110110111100 обозначает выборку пяти типов
объектов (разделяющих нулей четыре), причем выборка
содержит 3 объекта первого типа, 2 – второго, 4 – третьего, и
не содержит элементов четвертого и пятого типов.

5. Сочетания с повторениями.
5
Пусть заданы два числа: k – число выбираемых элементов, и n
– число типов элементов, из которых производится выбор.
Число способов составить выборку с повторяющимися
элементами различных типов общим числом k называется k-
сочетанием с повторениями и обозначается k
nC .
ПРИМЕР: В университетском буфете продаются 4 сорта пирожных:
наполеоны, эклеры, песочные и картошка. Сколькими способами можно
купить 7 пирожных?
РЕШЕНИЕ: Попросим положить пирожные в коробку: обозначим 0
(картонки-разделители) и 1 – пирожные, например 1110101101 – три
наполеона, 1 эклер, 2 песочных и 1 картошка. Всего нужно 3 разделителя.
Итак два класса объектов: 1 (7 штук) и 0 (3 штуки) – вся покупка
включает 10 объектов. Различные покупки различаются только тем, в
какое место ставятся картонки
!7!3
!103
10
7
10
7
4  CCC

6. Сочетания с повторениями и без повторений.
6
Теорема:
!)1(!
!)1(
1


 
nk
nk
CC k
kn
k
n
Изучим теперь ситуацию рассмотренного примера в общем виде.
Доказательство: чтобы определить число k
nC k-сочетаний с
повторениями из элементов n типов нужно добавить к k
элементам n-1 разделителей (всего стало n+k–1 объектов), и
затем выбрать k мест для элементов разных типов среди этих
объектов, поэтому искомое число равно числу перестановок с
повторениями из n–1 нулей и k единиц или k
knC 1

7. Задачки на дом
7
В условиях задачи из лекции о покупке четырех
сортов пирожных найдите число способов купить
семь пирожных так, чтобы среди них обязательно
было хотя бы два наполеона.
Мания величия.
В условиях задачи о покупке четырех сортов
пирожных найдите число способов купить семь
пирожных так, чтобы среди них обязательно были
пирожные всех видов.
Красиво жить не запретишь.
Попытайтесь сформулировать теорему, обобщающую
ситуации, рассмотренные в двух предыдущих
задачах. А доказать?
Сам себе математик.

8. Число способов составить сумму.
8
Развитие комбинаторики началось с переписки между Паскалем и Ферма
о задачах, связанных с игрой в кости. Одной из этих задач был подсчет
числа способов получить N очков, бросая n костей. Мы заменим
бросание костей на вытаскивание из ящика бумажек с числами.
Пусть в ящике находится n бумажек с написанными на них
m числами: 0, 1, . . ., т–1. После регистрации вытащенного
числа бумажку возвращают в ящик. Таким образом получаем
вектор длины п из чисел 0,1, . .., т–1. Число векторов, имеющих
сумму координат N, обозначим через ),( NnCm .
ПРИМЕР: пусть m=6, n=7, N=13, тогда нас интересует
получение суммы 13, используя 7 слагаемых вида 0, 1, 2, 3, 4,
5. Вектор (2, 5, 0, 0, 3, 0, 3) является одним из решений,
выражение )13,7(6C дает общее число различных решений.

9. Рекуррентные соотношения
9
Для расчета общего числа решений проведем классификацию по
последней координате вектора.
Если последняя координата вектора равна 0, то сумму N дают
первые п–1 координат. Их число согласно нашему определению
равно ),1( NnCm  . Точно так же, если последняя координата
равна 1, то сумма первых п –1 координат должна равняться N–1, а
таких векторов имеется )1,1(  NnCm . Продолжая, получаем
)1,1(...)1,1(),1(),(  mNnCNnCNnCNnC mmmm
Бессмысленные отрицательные значения заменяем нулями.
Пользуясь этим равенством, можно свести задачу о вытаскивании п
чисел к задаче о вытаскивании п – 1 чисел, и так далее. Для п = 0 все
очевидно, 0 можно получить одним способом. Такой способ решения
задач, при котором не дается готовой формулы для ответа, а лишь
указывается процесс, позволяющий сводить задачу к более простой
ситуации, называется рекуррентным соотношением.

10. Число разбиений суммы на слагаемые и сочетания
10
При т = 2 в ящике лежат лишь две бумажки, на которых
написаны числа 0 и 1. Поэтому получаются векторы длины п из
нулей и единиц, а сумма координат вектора равна числу единиц
в нем. Но количество векторов из N единиц и n–N нулей равно
N
nC . Иными словами, N
nCNnC ),(2 .
При т =3 полученная формула превращается в уже знакомое
нам соотношение k
n
k
n
k
n CCC 1
1
1 

  , лежащего в основе
треугольника Паскаля, поэтому по аналогии с треугольником
Паскаля можно получить обобщенный арифметический
треугольник.
Полученное соотношение обобщает свойства сочетаний.

11. Обобщенный арифметический треугольник
11
Для случая игральной кости, при m=6 получаем
1
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1
……………………………………………………………
На обычных игральных костях очки идут от 1 до 6, а не от 0 до 5.
Поэтому, чтобы узнать, сколькими способами можно получить N
очков, выбросив 6 костей, надо сначала вычесть по 1 от чисел на
каждой грани. В результате сумма очков уменьшится на п. Иными
словами, число способов получить N очков при бросании п костей
равно ),(6 nNnC  . Например, если число костей равно 3, а сумма
очков — 8, то число способов равно )5,3(6C . Это 6-е число в 4-й
строке обобщенного треугольника, т. е. 21.

12. Производящие функции
12
Согласно формуле бинома Ньютона
nn
n
kk
nnnn
n
xCxCxCxCCx  ......)1( 2210
Функция n
xxf )1()(  как бы “производит” коэффициенты
k
nC , иначе говоря, служит для них производящей функцией.
Вообще выражение )(xf называется производящей функцией
для чисел 0a , 1a , … na , … если разложение )(xf по степеням х
имеет вид
......)( 2
210  n
n xaxaxaaxf

13. Производящие функции для числа способов
разложения суммы на слагаемые
13
ПРИМЕР: Найдем производящую функцию для числа способов
представить N в виде суммы n слагаемых, каждое из которых
равно одному из чисел 1k , 2k ,. . ., mk ,. Чтобы в показателе
степени получились такие слагаемые, надо возводить в степень
сумму mkkk
xxx  ...21
,. А так как число слагаемых равно п, то
и возводить надо в п-ю степень. Иными словами, при
разложении
nkkk m
xxx )...( 21
 по степеням х коэффициентом
при
N
x и окажется искомое число способов.
Рассмотрим частный случай производящей функции, когда
значениями слагаемых являются числа 0,1, ..., т–1.
Мы обозначили число способов получить сумму N, складывая п
слагаемых, через ),( NnCm . Поэтому
 
N
N
m
nm
xNnCxxx ),()...1( 12

14. 14
Сила метода производящих функций состоит в том, что с ними можно
производить обычные алгебраические преобразования, в качестве
следствия получая выводы о комбинаторных коэффициентах.
Алгебра производящих функций
Упростим нашу производящую функцию, воспользовавшись
формулой для суммы геометрической прогрессии:
nnm
n
nm
nm
xx
x
x
xxx 



 )1()1(
)1(
)1(
)...1( 12
Разложим функции, стоящие справа по формуле бинома
Ньютона (она остается справедливой и для отрицательных n,
что доказывается методом математической индукции):

s
sms
n
nmn
n
m
n
m
nn
nm
xCxCxCxCCx ...)1( 2210
...)1( 2210
 

xCxCCx nnn
n
(здесь получается бесконечный ряд)

15. 15
Отрицательные предметы
Биномиальные коэффициенты с отрицательными параметрами
лишены комбинаторного смысла, но будучи определены чисто
алгебраически как многочлены
m
maaa
Ck
a



...321
)1)...(1(
,
сохраняют необходимые алгебраические свойства.
При отрицательном целом a получаем
k
kn
kk
k
n
C
k
knnn
k
knnn
C
1)1(
...321
)1)...(1)((
)1(
...321
)1)...(1)((










Итак
k
k
k
kn
k
nnn
n
xCxCxCCx  

 1
2210
)1(...)1(

16. 16
Достаем кролика из шляпы
Перемножая выражения для полученных функций, находим
 
k
kk
kn
k
s
sms
n
N
N
m xCxCxNnC 1)1(),(
Собирая вместе все случаи, при которых получается
заданная степень N, получаем окончательно
 

k
n
kmNn
k
n
k
m CCNnC 1
1)1(),(
Суммирование здесь ведется до тех пор, пока
выполняется неравенство 0 kmN .

17. Задачка на дом
17
На билетах, выдаваемых кондукторами в автобусах,
нанесены шестизначные номера. Билет считается
счастливым, если сумма первых трех цифр равна сумме
последних трех цифр (например, билет 631 352
счастливый. Найти
• а) общее число счастливых билетов;
• б) вероятность получить счастливый билетик;
• в) при какой сумме первых трех цифр (она не меняется
в течение всей поездки) автобус наиболее счастливый?
(подсказка на следующем слайде)
Прощание с автобусными билетами.

18. Задачка на дом
18
Подсказка: как решать задачу?
• Можно воспользоваться методом рекуррентных
соотношений, самостоятельно рассчитав нужный
обобщенный арифметический треугольник.
• Можно также использовать готовую формулу для
производящей функции этой задачи, для чего
предварительно все цифры второй половинки билета
заменить их дополнениями до 9 (тогда сумма всех цифр
билета будет постоянной).
• Можно придумать свой метод или написать
программу для компьютера – у него голова большая,
пусть думает.
Прощание с автобусными билетами.

19. Числа Фибоначчи
19
Самый известный и знаменитый пример рекуррентного
соотношения был открыт почти тысячу лет назад, и
до сих пор он поражает нас богатством все новых и
новых приложений в математике, искусстве,
естественных науках, экономике, анализе финансовых
рынков и многих других сферах.
Мы рассмотрим также связь чисел Фибоначчи с
классической геометрической задачей «золотого
сечения» и кратко познакомимся с современными
приложениями принципа преобразования подобия -
теорией фракталов.

20. Леонардо Фибоначчи
20
Леонардо Фибоначчи - выдающийся
математик средневековья
(род. около 1170). Жил в г. Пиза
(Италия) - современник
строительства Пизанской башни.
Основной труд “Liber Abacci”
Познакомил европейцев с десятичной
системой, благодаря которой стало
возможно развитие математики,
коммерции и учета, решил множество
сложных математических и практических
проблем, опередив на столетия развитие
науки. Почти на тысячу лет был забыт,
сейчас его идеи - в центре огромного
множества исследований.

21. Задача Фибоначчи о семье кроликов.
21
В книге “Liber Abaci”, появившейся в 1202 году, итальянский
математик Фибоначчи среди многих других задач привел следующую:
Единицей подсчета является пара кроликов.
Пара кроликов приносит раз в месяц приплод из двух
крольчат (самки и самца), причем новорожденные
крольчата через два месяца после рождения уже приносят
приплод. Сколько кроликов появится через год, если в
начале года была одна пара кроликов?
Из условия задачи следует, что через месяц будет две пары
кроликов. Через два месяца, приплод даст только первая пара
кроликов, и получится 3 пары. А еще через месяц приплод дадут и
исходная пара кроликов, и пара кроликов, появившаяся два месяца
тому назад. Поэтому всего будет 5 пар кроликов, и так далее.
Итак: 1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, …

22. Таблица демографического перехода.
22
В демографии для отображения динамики процессов роста и взросления
населения используют таблицы демографического перехода.
Таблица кроличьего демографического перехода
Число месяцев 0 1 2 3 4 5 …
Число взрослых пар 1 1 1 2 3 5 …
Число пар новорожденных 1 1 2 3 5 …
Число пар тинэйджеров 1 1 2 3 …
Общее число пар кроликов 1 2 3 5 8 13 …

23. Рекуррентное соотношение Фибоначчи.
23
Обозначим через F(n) количество пар кроликов по истечении n
месяцев с начала года.
Итак F(12)=377. Числа F(n) называют числами Фибоначчи.
Мы видим, что через n+1 месяцев будут эти )(nF пар и еще
столько новорожденных пар кроликов, сколько было в конце
месяца n–1, то есть еще )1( nF пар кроликов. Иными словами,
имеет место рекуррентное соотношение
)1()()1(  nFnFnF
Так как, по условию, 1)0( F и 2)1( F , то последовательно
находим 3)2( F , 5)3( F , 8)4( F , и т. д.
Заполним таблицу числа пар кроликов в конце каждого месяца
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

24. Паспортизация кроликов
24
Попробуем выразить закономерность Фибоначчи явной
формулой вместо неявного рекуррентного соотношения.
Две единицы подряд не встречаются, так как кролики приносят приплод
только на второй месяц после рождения. Таким образам задача эквивалентна
задаче определения числа n-последовательностей, состоящих из нулей и
единиц, в которых никакие две единицы не идут подряд.
Для этого присвоим двоичный номер каждой паре кроликов.
единицам соответствуют месяцы появления на свет одной из
пар «предков» данной пары (включая и исходную), а нулями—
все остальные месяцы.
Например, последовательность 010010100010 устанавливает
такую «генеалогию» — сама пара появилась в конце 11-го
месяца, ее родители — в конце 7-го месяца, «дед» — в конце 5-
го месяца и «прадед» — в конце второго месяца. Исходная пара
кроликов (кроличьи Адам и Ева) зашифровывается при этом
последовательностью 000000000000.

25. Подсчет числа кодовых комбинаций.
25
Подсчитаем число последовательностей из нулей и единиц, где
все единицы разделены нулями.
К сожалению, задачу нельзя считать решенной, так как хотя получено
выражение, явно зависящее от n, но его вычисление оказывается даже сложнее
рекуррентных расчетов. Мы пойдем другим путем.
Пусть в последовательность есть k единиц и n–k нулей.
Требование не допускать двух единиц подряд уменьшает общее
число мест на k–1 (нельзя ставить вторую единицу после уже
поставленной, это правило действует для всех единичек, кроме
последней). Итак, для k единиц искомое число равно k
knC 1
Очевидно, 1 knk , так что k изменяется от 0 до 




 

2
1n
Ep ,
где  xE – целая часть числа x. Применяя правило суммы,
получаем
p
pnnnn CCCCnF 1
2
1
10
1)(   

26. Линейные рекуррентные соотношеия с
постоянными коэффициентами.
26
Мы рассмотрим рекуррентное соотношение вида
)()1()2( 21 nfanfanf  (*)
Решением данного рекурретного соотношения называется
последовательность )(nf , любые три последовательных члена
которой удовлетворяют соотношению (*)
Для решения рекуррентных соотношений общих правил,
вообще говоря, нет. Мы используем метод, весьма похожий на
те, что используются при поиске собственных значений
линейных экономических моделей.

27. Линейное свойство решений.
27
Метод основан на следующих двух утверждениях.
Теорема 1. Если )(1 nf и )(2 nf являются решениями
рекуррентного соотношения (*), то при любых числах
A и В последовательность )()( 21 nfBnfA  также
является решением этого соотношения.
Доказательство. По условию, )()1()2( 12111
nfanfanf 
и )()1()2( 22212 nfanfanf 
Умножим эти равенства на A и В соответственно и сложим
полученные тождества. Мы получим, что
)]()([)]1()1([
)2()2(
212211
21
nfBnfAanfBnfAa
nfBnfA


А это и означает, что )()( 21 nfBnfA  является решением
соотношения (*).

28. Характеристическое уравнение.
28
Алгебраическое уравнение, к которому сводится решение
математической задачи, обычно называется характеристическим.
Теорема 2. Если число 1r является корнем квадратного
уравнения 21
2
arar  , то последовательность
 ,,,,,1 1
1
2
11
n
rrr является решением рекуррентного
соотношения(*).
Доказательство. В самом деле, если 1
1)( 
 n
rnf , то
n
rnf 1)1(  и 1
1)2( 
 n
rnf . Подставляя эти значения в
соотношение (*), получаем равенство 1
1211
1
1

 nnn
rarar .
Оно справедливо, так как по условию имеем 211
2
1 arar  .
Метод решения рекуррентного соотношения комбинирует две теоремы.

29. Правило решения.
29
Данное правило применимо к решению любых линейных
рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами.
Пусть дано рекуррентное соотношение
)()1()2( 21 nfanfanf  (*)
Составим квадратное уравнение 21
2
arar  , которое
называется характеристическим для данного соотношения.
Если это уравнение имеет два различных корня 1r и 2r то общее
решение соотношения (*) имеет вид
1
22
1
11)( 
 nn
rCrCnf

30. Вывод правила.
30
Доказательство. По теореме 2 1
11 )( 
 n
rnf и 1
22 )( 
 n
rnf
являются решениями нашего соотношения. А тогда по теореме
1 и 1
22
1
11)( 
 nn
rCrCnf является его решением. Надо только
показать, что любое решение соотношения (*) можно записать
в этом виде. Но любое решение соотношения второго порядка
определяется значениями )1(f и )2(f . Поэтому достаточно
показать, что система уравнений





brCrC
aCC
2211
21
имеет решение при любых a и b.
Поскольку определитель системы 0
11
12
21
 rr
rr
, то по
теореме Крамера она имеет решение. Правило полностью
доказано.

31. Корни характеристического уравнения Фибоначчи
31
Применим построенное правило для решения рекуррентного
соотношения Фибоначчи.
Рассмотрим снова рекуррентное соотношение Фибоначчи
)()1()2( nfnfnf  .
Для него характеристическое уравнение имеет вид
12
 rr .
Корнями этого квадратного уравнения являются числа
2
51
1

r ,
2
51
2

r
Поэтому общее решение соотношения Фибоначчи имеет вид
1
2
1
1
2
51
2
51
)(






 





 

nn
CCnf .

32. Расширенная последовательность Фибоначчи
32
Вместе с }{ 1
1
n
r любая последовательность вида
,...2,1,)( 1  
nrnf mn
также является решением соотношения
Фибоначчи (положить в теореме 1 1
1

 m
rA , 0B ). Это значит,
что решение можно записать как
1
2
1
1
2
51
2
51
)(






 





 

nn
CCnf (**)
Рассмотрим расширенную последовательность Фибоначчи
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (номера первых двух членов: –1 и 0).
Она удовлетворяет тому же рекуррентному соотношению.

33. Формула Бине
33
Удивительно, что такое сложное выражение при всех n принимает
целое значение.
Полагая в формуле
1
2
1
1
2
51
2
51
)(






 





 

nn
CCnf
1n и 0n , получаем для 1C и 2C систему уравнений






1)(
0
21
21
CC
CC
2
5
Отсюда находим, что
5
1
21  CC и поэтому получаем
(формула Бине):













 





 

 11
2
51
2
51
5
1
)(
nn
nf

34. Задачка для 9 класса
34
Решение рекуррентных уравнений.
Про последовательность }{ na известно, что 71 a , 272 a , и
nnn aaa 56 12   . Используя метод характеристического
многочлена, получите формулу для произвольного члена
последовательности na , а затем докажите ее методом
математической индукции.

35. Золотое сечение
35
Числа,
2
51
1

r и
2
51
2

r , возникшие в решении
рекуррентного соотношения Фибоначчи, возникают в задачах
пропорционального деления отрезка .
Пусть длина AB равна x, требуется найти такую точку,
которая делит отрезок на части, отношение которых
совпадает с отношением большей из частей ко всем
отрезку: «золотое сечение»:
AB
CB
CB
AC


36. Коэффициент золотого сечения
36
Запишем это в виде уравнения
x
x 1
1
1


, откуда 012
 xx , что
дает положительный корень
2
51
x , что совпадает с одним из
чисел, участвующих в формировании ряда Фибоначчи (другое
число можно также получить, просто переобозначив отрезки).

37. Магия золотого сечения
37
Коэффициент золотого сечения ...618,1
2
51


x является
пределом отношения двух последовательных чисел Фибоначчи
667,1
3
5
 ; 600,1
5
8
 ; 625,1
8
13
 ; 615,1
13
21
 ; 619,1
21
34
 ; 618,1
34
55

Числа Фибоначчи сами служат эталоном правильных пропорций
и отношений в огромном числе реальных процессов.
Красота этих соотношений зачаровывает...
618,0
618,1
1
 =
2
51

618,01618,0 2
 ; 618,01618,1 2
 ; 23
618,0618,1618,0 
324
618,0618,1618,0  ; …… 618,2618,1618,1  ….

38. Фракталы - часть подобна целому
38
Есть огромная литература, посвященная приложениям золотого
сечения в живописи, архитектуре, анализе финансовых рынков ...
Широким обобщением идеи
пропорционального
деления, когда часть
оказывается подобной
целому, являются
фракталы, также имеющие
огромное число
приложений, в том числе в
анализе экономической и
финансовой динамики.

39. Открытие фракталов
39
Значение фракталов открыл математик Бенуа
Мандельброт (хотя и до него получали подобные
объекты, не придавая им значения)
Понятие фрактала, введенное в научный обиход
Бенуа Мандельбротом, не имеет строгого
определения. Мандельброт поясняет понятие
фрактала как некоего образования, подобного себе
неограниченное число раз в том или ином смысле.
«Фрактальная геометрия природы» Б.Мандельброта открывается
следующими словами: " Почему геометрию часто называют
"холодной" и "сухой" ? Одна из причин заключается в ее
неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или
дерева… Природа обладает не просто большей сложностью, а
сложностью совершенно иного уровня..
Красота фракталов сочетает в себе красоту симметричных
объектов типа кристаллов с красотой "живых"природных
объектов, привлекательных именно своей неправильностью.

40. Простейший фрактал – снежинка Коха
40
Шесть симметричных лучей последовательно воспроизводятся подобно
первоначальной фигуре ...
Снежинка Коха после одной итерации
…после двух итераций
… трех
Снежинка Коха после четырех итераций имеет
типичную фрактальную структуру

41. Триадная кривая Коха
41
Другой тип фрактала – подобное преобразование линии –
хорошо виден на примере триадной прямой Коха
Кривая Коха после нескольких
последовательных итераций
Результат нескольких итераций
построения кривой Коха – линия
имеет типично фрактальную
структуру

42. Фракталы теории множеств
42
Некоторые множества, известные еще со времен Кантора, теперь
осознаются как фракталы – они получаются последовательной
операцией удаления части множества
Процесс построения множества
Кантора на экране компьютера
В результате пустота содержится в
окрестности любой точки двумерного
множества – оно становится одномерным

43. Множества и геометрия природы
43
Абстрактные конструкции математической теории в теории
фракталов оказываются созвучны многообразию природы
Похожий процесс дает множество
Серпинского
Математические деревья
такие же причудливые
как настоящие…
После 50 000 итераций фрактальный папоротник
неотличим от настоящего

44. Компьютерная математика
44
Компьютерные технологии выявили удивительную
красоту классических фрактальных объектов
Классическое множество Мандельброта
Вариант множества
Мандельброта после
компьютерной
обработки
Множество Мандельброта
– «кривая дракона»

45. Задачка на дом
(факультативное задание)
45
(принимаются только новые самостоятельные работы,
качественно оформленные в виде презентации)
Постарайтесь узнать что-то дополнительное и
интересное о приложениях чисел Фибоначчи,
золотого сечения и фракталов в различных областях
науки и искусства, особенно в экономике,
расскажите об этом в своем сообщении.
Экономика: наука или искусство?.

46. Конец лекции