1. Лекция 7
Корреляционная функция.
Отображение «пекаря»
Малышев А.И.
Физический факультет ННГУ им. Н.И.Лобачевского

2. Как известно, возможен переход к хаосу через серию удвоений
периода. Рассмотрим теперь иной механизм и используем новый
метод анализа – метод корреляционной функции.
Рассмотрим отображение вида xn+1 = {K·xn}, где xn  [0; 1], K –
управляющий параметр, фигурные скобки означают взятие дробной
части.
При K < 1 последовательность xn – бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия → x = 0 – устойчивое положение
равновесия.
При K = 1 решение имеет вид: xn = x0, т.е. система находится в
режиме «безразличного равновесия».
При K > 1 динамика системы становится сложной…
2

3. При K > 1 преобразование вида xn+1 = K·xn является
преобразованием растяжения. Отбрасывание целой части приводит к
невозможности бесконечного разбегания двух соседних траекторий.
Оно заставляет их перемешиваться…
Для анализа динамики системы введем корреляционную функцию:
Rn 
x mn  xm n xm  xm 
,
x m  xm 
2
где черта сверху означает усреднение по начальной переменной xm:
1
a   a dxm .
0
Функция Rn связывает произвольный m-й шаг и (m + n)-й. В
хаотическом режиме система быстро «забывает» о начальных
условиях, отчего Rn   0.
n

Заметим также, что согласно определению R0 = 1.
3

4. Обратимся к расчетам.
Так, например,
1 1 2
1
xm   xm dxm  , а также x m  xm 
2  1
   xm   dxm 
1
.
0
0
2 2 12
Выражение для корреляционной функции упрощается:
Rn 
x mn  xm n xm  xm 

 x 
Rn  12   xm n xm  m n  .
x m  xm 
2
 2 
Дальнейшие расчеты при произвольном K > 1 довольно сложны.
Чтобы избежать громоздких вычислений, ограничимся далее
рассмотрением случаев, когда K является целым числом.
4

5. 1
Рассчитаем среднее значение xm+n: xm n   K K K ...Kxm   dxm ,
... 
0
где фигурные скобки повторяются n раз.
Введем переменную y = Kxm и разобьем интервал интегрирования по
y от нуля до K на K единичных интервалов. Интеграл преобразуется в
сумму:
i 1
1 K 1
xm n    K K K ...K y  i   dy .
... 
K i 0 i
Здесь число фигурных скобок стало на одну меньше, т.к. {y} = y – i
при условии, что i < y < i + 1.
1 K 1
Обозначив теперь y – i за xm, получим xm n   xm n 1  xm n 1 .
K i 0
Проделав подобный трюк с заменами переменных еще n – 1 раз,
придем к результату:
1
xm n  xm n 1  ...  xm  .
2
5

6. Для расчета среднего значения произведения xmxm+n воспользуемся
тем же способом.
1
xm xm n   xm K K K Kxm  dxm  

0
Далее y = Kxm и перейдем интегрированию по единичным отрезкам:
1 K 1
1
  2   y K K K K y  i  dy  

K i 0 0
Далее снова обозначаем y – i за xm, тогда
1 K 1 K 1
1
1
  2   xm  i xm n 1 dxm  xm xm n 1  xm n 1 .
K i 0 0 K 2K
Подставляя найденные средние в корреляционную функцию, найдем:
Rn 1
Rn  , откуда Rn  K n  e n lnK .
K
6

7. Запись корреляционной функции в виде exp(– n lnK) позволяет
ввести время расцепления корреляций:
1
 .
ln K
Это характерное время, по истечении которого система «забывает» о
начальном условии. Так при K = 2
1
  1.44,
ln 2
т.е. при K = 2 «забывание» происходит уже через 1-2 шага
отображения.
Корреляция исчезает полностью при n → ∞, и поведение системы
становится хаотическим.
7

8. Поскольку поведение системы случайно, возможен статистический
подход…
Введем вероятность dW(x) того, что система на n-м шаге попадает в
интервал от х до х + dx. Для того, чтобы на n-м шаге попасть в точку
х, на предыдущем шаге нужно находиться в одной из точек yi :
x x 1 x  K 1
y1  , y2  , , y K  .
K K K
Тогда вероятность dW(x) = ρ(x)dx можно вычислить так:
 ( x)dx   ( y1)dy1   ( y 2 )dy 2     ( y K )dy K .
С учетом того, что dyi = dx/K, получим уравнение
x  x  1  x  K  1
K ( x )           .
K   K   K 
Его решение ρ(x) = 1, т.е. отображение xn+1 = {K·xn} при K > 1
порождает случайные числа с равномерным распределением на
отрезке [0, 1].
8

9. Другой пример отображения, реализующего перемешивание –
отображение «пекаря».
Его название происходит из-за сходства отображения с процессом
замешивания теста.
Это двумерное отображение, задаваемое равенствами:
 xn 1  2 xn mod 1 ,

 y n 1  y n  2xn  2 ,
где x, y  0, 1, а квадратные скобки означают взятие целой части.
9

10. Пример нескольких первых шагов отображения «пекаря»:
Отображение «пекаря» консервативно: оно сохраняет площадь, т.е.
количество красного и синего на всех рисунках одинаково!
10

11. В чем причина перемешивания?
Если исключить разрезание прямоугольника с последующим
перемещением правой половинки поверх левой, то для расстояния
между двумя изначально близкими точками имеем:
xn  x0 2n ,
 n
 d n  xn  y n  1  x0 2n ,
2 2

n 
y n  y 0 2 .
т.е. расстояние растет экспоненциально!
Разрез и сдвиг, которые при этом осуществляет «пекарь», не дают
двум точкам расходиться на бесконечное расстояние, но их
поведение становится совершенно некоррелированным.
11

12. Задания по теме
Визуализируйте отображения
xn 1  2xn  и xn 1  3xn ,
построив для них «лестницу Ламерея».
1. В чем выражается наличие свойства перемешивания?
2. Возможны ли здесь периодические решения? Если «да», то
каковы их условия?
12