Документ представляет собой лекцию по комбинаторике в рамках курса дискретной математики, обучающего студентов основным принципам подсчета конечных множеств, их свойств и действий. Рассматриваются ключевые понятия, такие как принципы сложения и умножения, вероятности, перестановки и выборки, с примерами и задачами для закрепления материала. Также обсуждаются задачи различных уровней сложности, чтобы продемонстрировать применение комбинаторных формул на практике.

1. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Курс лекций
Московский государственный университет
имени М.В.Ломоносова
Экономический факультет
1

2. Лекция 4
Комбинаторика
2

3. Комбинаторика
3
В этой лекции мы узнаем, как подсчитывать элементы
конечных множеств, удовлетворяющих определенным
свойствам. Мы познакомимся с типичными ситуациями,
в каждой из которых можно для упрощения расчетов
использовать определенную свою формулу.
Мы познакомимся также с главной областью приложения
комбинаторики - расчетом вероятностей, полная
теория которых изучается на втором курсе.

4. Основная задача комбинаторики
4
С элементами конечных множеств можно производить различные
действия: упорядочивать их, объединять в группы, отбирать
подмножества по дополнительным признакам и свойствам, и т.д.
При этом возникают новые, более сложные (комбинированные)
множества, элементы которых тоже нужно уметь пересчитывать.
.
Иногда комбинаторику определяют также как науку о подсчете
числа подмножеств, удовлетворяющих определенным свойствам.
Предмет комбинаторики: подсчет числа
способов выполнить определенные действия.

5. Основные принципы комбинаторики.
5
Большинство задач комбинаторики можно решить, используя один из
двух простых принципов, интуитивно очевидных, легко проверяемых
на примерах, и используемых в качестве аксиом.
Практически гораздо чаще применяется принцип умножения,
поскольку очень часто сложные действия приходится разлагать на
последовательность простых.
Принцип сложения применим к ситуациям,
когда есть выбор между двумя
альтернативными действиями (когда два
действия исключают друг друга).
Принцип умножения, напротив, применяется к
действиям, которые выполняются совместно
(последовательно или одновременно)

6. Принцип сложения
6
Принцип сложения: если действие 1 можно
выполнить n способами, а действие 2 можно
выполнить m способами, то сложное действие,
состоящее в выполнении одного из действий 1
или 2 (но не обоих), можно выполнить n+m
способами.
Пример: как провести вечер: куда пойти?
В кино В гости
«Она» «Помпеи 3D» Миша Маша Леша
Всего 2 + 3 = 5 способов провести вечер.

7. Принцип умножения
7
Принцип умножения: если действие A можно
выполнить n способами, а действие B можно
выполнить m способами, то сложное действие,
состоящее в выполнении обоих действий A и B
(одновременно или последовательно) можно
выполнить nm способами.
В кино!!! (но с кем?)
Наташа Таня Оля
«Академия вампиров»
«В спорте только девушки»
Всего: 2*3=6 способов сходить в кино.

8. Вероятность
8
Вероятность - мера уверенности в том, что некоторое
событие произойдет (измеряется числом от 0 до 1). В
простейшем случае вероятность вычисляется комбинаторно.
Практически, вычисление всегда начинают со знаменателя,
разбираются с тем, что считать действием, какие действия
считать различными, вычисляют общее количество таких
действий, и только после этого переходят к числителю. Разбивают
сложный благоприятный исход на простейшие или стандартные, и
используют принципы комбинаторики.
Определение вероятности для простейшего
случая равновероятных исходов – отношение
числа благоприятных действий (или их исходов)
к общему числу действий (их исходов):
n
m
p 

9. 9
Один из студентов каждую минуту задумывает
одну из цифр (от 0 до 9), и записывает ее, а
другой, находящийся в другом месте, пытается
ее «принять телепатически», и также
записывает (часы синхронизированы). В
предположении, что телепатии не существует,
какова вероятность, что задуманная цифра
будет угадана правильно? Какова вероятность,
что три задуманные подряд цифры будут
угаданы правильно?
Телепатия.
Потусторонняя задача…

10. Применение принципа умножения
10
ПРИМЕР: камера хранения. Для того, чтобы открыть
камеру хранения, используется комбинация из 4 цифр (от 0
до 9), набираемая на 4 колесиках.
а) Найти вероятность наугад открыть камеру хранения.
РЕШЕНИЕ: Устанавливаем цифры на каждом из колесиков
по очереди; каждый раз у нас есть 10 вариантов (цифры от 0
до 9), по принципу умножения они перемножаются:
10101010 = 10000 вариантов. Открывает дверцу из них
только один, так что вероятность наудачу открыть ее равна
1/10000 = 0,0001. Довольно безнадежное занятие.
Даже в простейших случаях удобно раскладывать сложные
действия на простейшие, например, представляя себе, что они
выполняются поочередно.

11. Ценность информации
11
В результате использования дополнительной информации в
сообщении перебор сократился вдвое, отсюда можно в принципе
подсчитать, сколько стоит сообщенная информация, если ее можно
было бы купить.
Продолжение: б) Найти вероятность наугад открыть
камеру хранения, если дополнительно стало известно, что
все цифры на правильном номере разные.
РЕШЕНИЕ: Теперь на втором колесике нужно не повторить
цифру, набранную на первом, так что число вариантов
сокращается до 9, далее уже две цифры становятся
запрещенными, так что всего вариантов остается 8, а на
последнем – уже 7 вариантов: 10987 = 5040 вариантов.
Открывает дверцу по-прежнему только один, откуда
вероятность открыть дверцу становится 1/5040  0,0002.

12. Задачка на дом
12
1. N человек становятся случайным образом в
очередь на концерт известной группы. Какова
вероятность того, что два определенных
человека (назовем их A и B) будут стоять
рядом (и будут иметь шанс как бы случайно
познакомиться).
2. N человек приглашены в гости и
располагаются за круглым столом. Какова
вероятность того , что те же A и B случайно
окажутся на соседних местах.
А и B сидели …и стояли.

13. Задачка на дом
13
В ночной электричке, состоящей из 8 вагонов,
едут 6 человек. При посадке каждый человек
выбирает свой вагон наугад и далее в другой
вагон не переходит. Найти вероятность того,
что:
1. все едут в разных вагонах
2. не менее двух человек оказываются в одном
вагоне.
3. все набьются в один вагон и будут дрожать
вместе.
Последняя электричка

14. Стандартные действия комбинаторики
14
Основных правил для решения комбинаторных задач в принципе
достаточно. Но практически их используют только в
нестандартных задачах. Большинство же решаемых в
комбинаторике задач являются типовыми, стандартными. Для них
удобнее прямо использовать готовые формулы, каждая из которых
ассоциируется с определенным стандартным действием.
Стандартные действия комбинаторики:
Перестановки
Размещения Выборки
Разбиения (на группы)

15. Перестановки
15
Две перестановки отличаются друг от друга только порядком
элеметов, все элементы у них общие.
Первый элемент можно поставить на любое из
n мест, следующий – на любое из (n-1) мест, и
так далее. Последний элемент занимает
единственное оставшееся место. Это приводит
к формуле n!=n(n-1)(n-2)...1 (n-факториал).
ПРИМЕР: Число перестановок 5 книг на полке равно 5!.

16. Размещения
16
Два размещения отличаются друг от друга составом и
порядком элементов.
k
nA – число размещений k элементов по n местам.
Для первого элемента есть n мест, далее– (n-1)
мест, и так далее. Для последнего k-го элемента
остается (n–k+1) мест. Это приводит к формуле
)1)...(2)(1(  knnnnAk
n . ("недоделанный
факториал"). По сути это перестановка k
элементов на n местах k<n
ПРИМЕР: Красный, белый и синий шары укладываются не
более чем по одному в 5 лунок. Всего есть 5*4*3 способов
размещения шаров.

17. Задачка на дом
17
Студентка садится в лифт вместе с
другими 6 студентами (до этого момента
они не были знакомы). Лифт идет на
любой из 7 этажей (не считая нижнего).
Выйдя из лифта на своем этаже, девушка
заметила, что вместе с ней вышел юноша.
Следует ли ей рассматривать это как нечто
большее, чем случайность?
А может это… .

18. Задачка на дом
18
Будем считать, что день рождения наугад
выбранного человека может прийтись на
любой день из 365 дней в году. Какова
вероятность того, что в группе из 23
человек у двух или более человек день
рождения придется на один и тот же день?
Гулянка по крупному.

19. 19
Один человек придумал, как ему кажется,
способ наверняка выиграть в рулетку. Он
рассуждает так: шарик может остановиться на
любом из 36 чисел: 1, 2, …36 (для простоты
будем игнорировать 0). Если я буду ставить на
определенное число 36 раз, я наверняка
выиграю хотя бы раз.
Прав ли он? Какова на самом деле вероятность
хотя бы одного выигрыша? Найдите способ
оценить ее приближенно без калькулятора).
Утешительный приз
Задачка на дом

20. Выбор
20
Две выборки отличаются друг от друга только составом
элементов, их порядок безразличен (поэтому в знаменателе
появляется факториал числа элементов).
Число способов выбора k элементов из имеющихся n
элементов ввиду стандартности и широкой
распространенности задачи выбора носит специальное
название – число сочетаний из n элементов по k.
ПРИМЕР: Число способов распределить 5 флаеров на
дискотеку в компании из 7 человек равно 21
12345
345675
7 


C .
Число выборок, обозначаемое k
nC , равно
!
)1)...(2)(1(
k
knnnn
Ck
n



21. Вывод формулы для числа сочетаний
21
Для получения формулы для числа выборок сводим задачу к уже
изученному случаю (размещение с учетом порядка). Таким
образом, мы исходим из числа размещений, но которое теперь
(поскольку порядок k элементов безразличен) требуется
разделить на число перестановок k элементов:
!
)1)...(2)(1(
! k
knnnn
k
A
C
k
nk
n

 .
Обратите внимание, что в числителе всего k
сомножителей, столько же, сколько и в знаменателе.

22. Свойство симметрии сочетаний
22
Выбранные и оставшиеся с точки зрения разбиения на группы
равноправны, поэтому число способов выбрать k элементов равно
числу способов оставить невыбранными n-k элементов
kn
n
k
n CC 

ПРИМЕР: В задаче о распределении флаеров получаем
гораздо более удобную формулу 21
12
672
7
5
7 


 CC .

23. Вероятность для учебы
23
Каждый студент получает на экзамене 3
вопроса, случайно выбранных из 25 вопросов
программы. Студент получит «5», если
ответит правильно на все вопросы, «4» –
только на два, «3» – только на один, и «2» - ни
на один. Каковы вероятности получения
пятерки, четверки, тройки и двойки?
Экзаменационная ловушка.

24. Математика риска
24
Лет двадцать назад в России была популярна
лотерея «Спортлото», где нужно было, купив
билет, зачеркнуть 6 названий видов спорта из
45. В еженедельном тираже объявлялись 6
выигрышных видов. Призовой фонд делился
между угадавшими. Какова вероятность
угадать три вида спорта? Все шесть?
Счастливый билетик

25. Выбор как разбиение на две группы
25
Можно придать формуле для сочетаний удобный для запоминания
симметричный вид. Умножим числитель и знаменатель на (n-k)!,
дополняющий числитель до полного факториала.
)!(!
!
123)...(!
123)...()1)...(2)(1(
knk
n
knk
knknnnn




Итак,
)!(!
!
knk
n
Ck
n


Симметрия поученной формулы позволяет рассматривать выбор
как ситуацию разбиения на две группы (выбранные – оставшиеся)
Итак, число способов ),( knkPn  разбить множество,
состоящее из n элементов, на две группы, первая из которых
содержит k элементов, а вторая – n-k элементов, равно
)!(!
!
),(
knk
n
knkPn



26. Сложная выборка из двух типов элементов
26
Сложная выборка – это выборка из неоднородной совокупности,
которая включает элементы двух или более типов.
Чтобы составить сложную выборку, нужно
сначала выбрать m элементов из M,
обладающих нужным свойством, а затем
отдельно выбрать n-m элементов из N-M не
обладающих нужным свойством: mn
MN
m
M CC 

Вероятность такого факта равна n
N
mn
MN
m
M
C
CC
p


Пусть совокупность содержит N элементов, из которых только M
обладают некоторым свойством (а значит N-M им не обладают).

27. Приложение сложной выборки
27
Практически удобно представлять себе, что действия по
формированию составляющих частей сложной выборки производятся
отдельно, например, различными людьми
В курсе теории вероятностей эта формула получит гордое имя
гипергеометрического распределения.
ПРИМЕР: Покупка телевизора на Митинском рынке. В
ларьке имеется 10 телевизоров, из которых только 6
работают. За день продано 7 телевизоров. Найти вероятность
того, что из них 4 работают.
Рассчитываем по формуле сложной выборки
2
1
123
8910
4
21
56
7
10
3
4
4
6







C
CC
p

28. Сложная выборка. Общий случай.
28
Рассмотрим теперь случай k различных типов элементов.
Пусть совокупность содержит n элементов, из которых только
n1 обладают свойством 1, n2 обладают свойством 2, …,
nk обладают свойством k.
Действуя по аналогии с случаем двух групп, и
набирая в выборке элементы разных типов по
отдельности, получаем
k
k
n
nnn
n
nnn
n
nn
n
n CCCC
11
3
21
2
1
1
......

Прямым подсчетом можно убедиться, что это
равно
!!...!
!
21 knnn
n


29. Разбиения на группы
29
Два разбиения отличаются друг от друга составом элементов групп,
порядок элементов в группах безразличен, порядок групп существенен.
Для вывода формулы для числа разбиений на группы можно пойти и другим
путем: обобщить на случай k групп симметричную формулу для сочетаний.
Количество способов )...,,,( 21 kn nnnP ,
которыми можно разбить множество из n
предметов на k различимых групп,
содержащих соответственно 1n , 2n , …, kn
предметов, равно
!!...!
!
21 knnn
n

ПРИМЕР: руководитель отдела, состоящего из 10 сотрудников, составляет
график дежурств по пяти дням недели (каждый день должны дежурить два
сотрудника, каждый сотрудник дежурит один день). У нас пять групп. По
стандартной формуле числа разбиений получаем 10!/(2!2!2!2!2!)=1134000.

30. Задачка на дом
30
На карточках складной азбуки написаны
буквы: две «М», три «А», две «Т», и по
одной «Е», «И» и «К». Маленький ребенок
играет с карточками, прикладывая их друг
к другу. Какова вероятность того, что
случайно с первого раза он получит слово
«МАТЕМАТИКА»? .
Юный математический гений

31. Задачка на дом
31
Найти вероятность того, что при
вытаскивании трех карт из колоды из 52 карт
получатся тройка, семерка и туз.
Бедный Германн.

32. Основные формулы комбинаторики.
32
Подведем итог, соберем вместе полученные результаты.
Перестановки различаются только порядком элементов.
Число перестановок n элементов равно n!=n(n-1)(n-2)...1
Размещения различаются составом и порядком
элементов. Число размещений k элементов по n местам
равно )1)...(2)(1(  knnnnAk
n .
Выборки отличаются друг от друга составом элементов,
порядок безразличен. Число выборок по k элементов из
n элементов равно
!
)1)...(2)(1(
k
knnnn
Ck
n


Число разбиений множества из n предметов на k групп,
содержащих 1n , 2n , …, kn элементов, равно
k
k
n
nnn
n
nn
n
n
k
kn CCC
nnn
n
nnnP 11
2
1
1
...
21
21 ...
!!...!
!
),...,,( 



33. Конец лекции