Документ описывает метод математической индукции как способ доказательства утверждений, действующий от общего к частному через полную и неполную индукцию. Приведены примеры применения индукции и ошибки, возникающие в индуктивных рассуждениях. Также рассматриваются специфические случаи, такие как сумма последовательных чисел и гипотезы о простых числах.

1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. 27.09.04

2. В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы . Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, то есть рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом - частный результат. Дедуктивный метод рассуждений

3. В математике мы применяем дедуктивный метод, проводя рассуждения такого типа: Данная фигура - прямоугольник, а у каждого прямоугольника диагонали равны, следовательно, и у данного прямоугольника диагонали равны. Дедуктивный метод рассуждений

4. полная индукция . По своему первоначальному смыслу слово «индукция» применяется к рассужде­ниям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция . Вот пример подобного рассуждения.

5. Пусть требуется установить, что каждое чётное натуральное число n в пределах 4  n  20 представимо в виде суммы двух простых чисел. 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=11+7; 20=13+7. полная индукция .

6. Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а дос­таточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция Результат, полученный неполной индукцией, остаётся, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Неполная индукция

7. Формула четного числа 2n

8. Формула нечетного числа 2n + 1 или 2n - 1

9. Пусть, например, требуется найти сумму первых n последовательных нечётных чисел. Рассмотрим частные случаи: 1=1=1 2 ; 1+3=4=2 2 ; 1+3+5=9=3 2 ; 1+3+5+7=16=4 2 ; 1+3+5+7+9=25=5 2 . После рассмотрения этих немногих частных случаев напрашивается следующий общий вывод: 1+3+5+...+(2 n -1)= n 2 , то есть сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n 2 .

10. Ошибки в индуктивных рассуждениях Разность двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в об­ратном порядке, делится на 9. Разность трёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 99. Возникает предположение о том, что разность четырёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрам, но в об­ратном порядке, разделится на 999. Это, однако, неверно, например, 2231-1322= =909, но 909 не делится на 999.

11. 2. Рассматривая числа вида 2 2 +1, французский математик П. Ферма заметил, что при n =1, 2, 3, 4 получаются простые числа. Он предположил, что все числа такого вида - простые. Однако Л. Эйлер нашёл, что уже при n =5 это неверно: число 2 32 +1 не является простым - оно делится на 641. Ошибки в индуктивных рассуждениях

12. Рассмотрим ещё один пример. Подставляя в квадратный трёхчлен P ( x )= x 2+ x +41 вместо x натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, найдём: P (1)=43, P (2)=47, P (3)=53, P (4)=61, P (5)=71. Все полученные значения данного трёхчлена являются простыми числами. Подставляя вместо x числа 0, -1, -2, -3, -4, получим: P (0)=41, P (-1)=41, P (-2)=43, P (-3)=47, P (-4)=53. Значения данного трёхчлена при указанных значениях переменной x также являются простыми числами. Возникает гипотеза, что значение трёхчлена P ( x ) является простым числом при любом целом значении x . Но высказанная гипотеза ошибочна, так как, например, P (41)=412+41+41=41  43. Ошибки в индуктивных рассуждениях

13. Если предложение А ( n ), зависящее от натурального числа n , истинно для n =1 из того, что оно истинно для n = k (где k - любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n = k +1, то предложение А ( n ) истинно для любого натурального числа n . Принцип математической индукции

14. Метод математической индукции состоит в следующем: для справедливости любого утверждения, высказанного для всех натуральных чисел n > 1 , достаточно: доказать это утверждение для n =1 предположить его справедливость при n=k ≥ 1 доказать, что оно верно при n=k+1

15. Пример: Доказать, что 1 + 3 + 5 + ... + ( 2 n – 1 ) = n 2 . Предположим, что оно справедливо при некотором k , т.е. имеет место 1 + 3 + 5 + ... + ( 2 k – 1 ) = k 2 . Докажем, что тогда оно имеет место и при k + 1 . Рассмотрим соответствующую сумму при n = k + 1 : 1 + 3 + 5 + ... + ( 2 k – 1 ) + ( 2 k + 1 ) = k 2 + ( 2 k + 1 ) = ( k + 1 ) 2 . Таким образом, из условия, что это равенство справедливо при n= k вытекает, что оно справедливо и при k + 1, значит оно справедливо при любом натуральном n , что и требовалось доказать.

16. Доказать, что c умма первых чисел натурального ряда равна n(n+1) 2

17. Доказать, что сумма первых n чисел вида 3n-2 равна n(3n-1) 2

18. Доказать, что 1 3 +2 3 +...+n 3 = (1+2+...+n) 2 1 3 = 1 2 (истина) Гипотеза, пусть при n=k истинно: 1 3 +2 3 +...+к 3 = (1+2+...+к) 2 Докажем истинность при n=k+1 1 3 +2 3 +...+к 3 = (1+2+...+к) 2