Лекция 1 по курсу "Дискретная математика" для студентов Экономического факультета МГУ им. Ломоносова

1. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Курс лекций
Московский государственный университет
имени М.В.Ломоносова
Экономический факультет
1

2. Лекция 1
Конечное и бесконечное
в дискретной математике
2

3. Предмет дискретной математики
3
Дискретная математика изучает
математические объекты, разделенные на
ясно различимые части, при этом самих
объектов может быть как конечное, так и
бесконечное число.
В языке современной математики объекты
принято рассматривать как множества,
состоящие из элементов.
Удобнее всего рассматривать множества,
состоящие из натуральных чисел.

4. Натуральный ряд N и его подмножества
4
Множество натуральных чисел
},4,3,2,1{ 
Ограничена ли последовательность
натуральных чисел?

5. Самое большое число
5
Гипотетическое наибольшее
натуральное число – «Гугол» - ‘Google’
В честь этого загадочного числа даже названа самая мощная в
мире поисковая информационная машина – www.google.com

6. Неограниченность ряда натуральных чисел
6
Доказать неограниченность
натурального ряда очень
просто – достаточно к
предполагаемому последнему
числу прибавить единичку:
1 NN .
Гораздо сложнее доказать бесконечность
ряда простых чисел.

7. Ряд простых чисел
7
Простым числом называется натуральное
число, которое делится только само на себя и
на единицу
Примеры простых чисел: 2, 7, 13, 47.
Составные числа: 4=22, 24=234.

8. Проблема простых чисел
8
Найти простое число, следующее за уже
найденным простым числом
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37
41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83
89 97 101 103 107 109 113 127 131 137
139 149 151 157 163 167 173 179 181 191
193 197 199 211 223 227 229 233 239 241
251 256 263 269 271 277 281 … … …

9. 9
Самое большое простое число
Концерт группы «Самое большое число»
В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное
простое число равно 23021377 - 1. Не опечатка ли это?
Задачка на лекции

10. Задача на лекции
10
Есть ли самое большое простое число, или
ряд простых чисел бесконечен?

11. 11
Доказательство Эвклида бесконечности ряда простых
чисел оставляет открытым вопрос о том, сколько часто
встречаются простые числа в ряду натуральных чисел.
Поиск этих закономерностей до сих пор не дает покоя
математикам.
Распределение простых чисел

12. 12
Красота образов этого распределения завораживает…
Распределение простых чисел

13. Задачка на лекции
13
Черные дыры в ряде простых чисел.
Назовем пробелом отрезок числовой
прямой, не содержащий простых чисел.
Доказать, что как бы велико ни было число
N, в ряде простых чисел есть пробелы
размером больше N .

14. 14
Примерно два года назад (7 февраля 2013 года)
американские математики из проекта GIMPS во главе с
Кёртисом Купером (Curtis Cooper) из университета
Центрального Миссури, получили самое большое известное
простое число, которое состоит из более чем 17 миллионов
цифр.
Самое большое простое число
Компьютер работал над этой задачей 39
дней. Открытие позволит получить новые
стойкие шифры, которые в повседневной
жизни применяются в криптографии -
например, для банковских кодов.

15. 15
Практически все находимые сейчас простые
числа относятся к числу чисел Мерсенна.
Числа Мерсенна определяются как
12 p
, где p – обычное простое число.
Последовательность чисел Мерсенна начинается так:
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, …
Распределение простых чисел
Обнаруженное простое число - это 48-е простое
число Мерсенна 12 16188557
 , в нем 17 425 170 цифр.
ЗАДАНИЕ НА ДОМ: Включите компьютер и постарайтесь
найти простое число длиной 100 миллионов цифр, за этот
результат назначен приз в 150 тысяч долларов.
Никто не знает, бесконечна ли эта последовательность!!
Задачка: почему p должно быть простым?

16. 16
Тот же Купер 21 января 2016 года
нашел еще большее число.
Самое большое простое число
Визуализация простых и составных чисел в виде окружностей
Его запись в книге заняла бы столько же места, сколько
семь романов «Война и мир» Толстого.
За найденное число группа получила приз в 100 000 долларов.
Оно содержит 22 338 618 цифр.
Записать его можно в виде
274 207 281 – 1.

17. Задачка ЕГЭ 2017 года
17
Замечательные числа
Назовем натуральное число «замечательным», если оно
самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как
у него, суммой цифр.
а) Найдите семнадцатое замечательное число.
б) Чему равна сумма цифр две тысячи семнадцатого
замечательного числа?
в) Чему равно две тысячи семнадцатое замечательное
число?
Уже много острили о том, что год
2017 будет простым – есть шанс
сдать все контрольные по матану,
после этого следующий простой
год будет только через 10 лет.

18. Задачка
18
Где спрятались простые числа или ‘на троих’
Разольем по стаканам все числа поровну на троих: одному
достанутся числа вида 3n, второму - числа вида 3n+1,
третьему – все числа вида 3n+2. Справедлив ли такой
способ разлива? Кому достанется простых чисел больше?

19. Неограниченность и индукция
19
Отсутствие верхней границы у натуральных чисел
позволяет доказывать теоремы, справедливые для
всех чисел (обычно начиная с некоторого
наименьшего, зависящего от конкретной задачи).
Метод, с помощью которого это удается сделать,
называется методом математической индукции.

20. Два метода исследования в науке.
20
Существуют два метода исследования:
индуктивный (от частного к общему) и
дедуктивный (от общего к частному).
Индуктивный метод часто ассоциируется с
экспериментальным подходом, тогда как
дедуктивный – со строгим математическим.
Реально оба подхода комбинируются в каждом
исследовании, иначе ничего нового нельзя было
бы открыть и доказать.
Метод математической индукции, безусловно, относится к
дедуктивному, как и все строгие методы математики.

21. Интуитивная индукция и эксперимент
21
Пример Рассмотрим трехчлен 412
 xx , на который обратил
внимание еще Л. Эйлер. Подставим вместо х нуль, получим
простое число 41. Подставляя единицу, получим опять
простое число 43. Продолжая подставлять вместо х
последовательно 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, получаем всякий раз
простое число 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. На
основании полученных результатов утверждаем, что при
подстановке в трехчлен вместо х любого целого
неотрицательного числа всегда в результате получается
простое число.
Хотя это остается справедливым до x = 39, уже при x = 40
получается составное число 2
41

22. Математическая индукция
22
Утверждение может быть справедливым в целом ряде
частных случаев и в то же время несправедливым вообще.
Возникает вопрос: пусть есть утверждение, справедливое в
нескольких частных случаях. Все частные случаи
рассмотреть невозможно. Как же узнать, справедливо ли
это утверждение вообще?
Этот вопрос иногда удается решить применением особого
метода рассуждений, называемого методом
математической индукции (полной индукции,
совершенной индукции).

23. Принцип математической индукции
23
В основе этого метода лежит принцип математической
индукции, заключающийся в следующем:
Утверждение справедливо для всякого
натурального n, если:
1) оно справедливо для n=1 и
2) из справедливости утверждения для какого-
либо произвольного натурального n = k следует
его справедливость для n = k + 1.

24. Принцип мат. индукции как аксиома
24
Можно попытаться доказать принцип
математической индукции, но придется
воспользоваться тем, что в любой совокупности
натуральных чисел содержится наименьшее число.
Это свойство в свою очередь можно вывести как
следствие из принципа математической индукции.
Таким образом, оба эти предложения равносильны.
Любое из них можно принять за одну из аксиом,
определяющих натуральный ряд, тогда другое будет
теоремой.
Обычно за аксиому принимают как раз сам
принцип математической индукции.

25. Пример применения мат. индукции
25
Вычислить сумму первых n нечетных чисел.
)12(...531  nSn
Задачка на лекции
Попробуем догадаться, чему может быть равна такая сумма.
Имеем ,...9,4,1 321  SSS Похоже, что формула будет
такой: 2
nSn  . Остается доказать ее по индукции…
Зная формулу сумму арифметической прогрессии, нетрудно
получить результат прямо. А как быть тому, кто ничего не
учил, а просто скачал ЕГЭ по математике? Надо ему
помочь!

26. Пример применения мат. индукции
26
1)При 1n формула 2
nSn  верна: при 1n сумма
)12(...531  nSn превращается просто в 2
11 .
2) Пусть она верна при kn  , то есть 2
kSk  . Докажем, что
она верна и для 1 kn , то есть что 2
1 )1(  kSk .
Действительно, )12(1  kSS kk . Но 2
kSk  , значит
22
1 )1()12(  kkkSk , что и требовалось доказать.
Задачка на лекции

27. Задачка на дом
27
Сам себе математик.
Найти сумму
13210
2...2222 
 n
nS
(требуется сначала понять экспериментальным
путем, чему МОЖЕТ быть равна эта сумма,
придумать простую формулу, и уже только потом ее
доказать).
Предложите интерпретацию (аналогию, объяснение
на простом примере) этого равенства, делающую его
понятным и даже очевидным.

28. Хитрое неравенство (1)
28
Определите, начиная с какого натурального n выполняется
неравенство
122  nn
.
Докажите его, используя метод математической индукции.
Можно ли его доказать, не используя индукцию?
Задачка на лекции

29. 29
Определите, с какого натурального n выполняется неравенство
2
2 nn
 .
Докажите его, используя метод математической индукции.
Возможно вы сможете также доказать это другим способом.
Хитрое неравенство (2)
Задачка на дом

30. 30
В аудитории, в которой находится п человек есть «шпион» —
человек, который знает каждого члена собравшейся компании,
но его не знает никто из них.
Шпион!
Задачка на дом
Вы можете спросить любого
из членов компании про
любого другого человека,
знает он его или нет, и
получить честный ответ.
Сколько вам понадобится
вопросов, чтобы выявить
«шпиона»?
Подсказка: примените мат.индукцию или
другой метод

31. Taste The Feeling (2016)
31
*На правах рекламы
доктор Пембертон
1886
1931
Disclaimer — эта задача в силу
своей сложности может быть
опасной для вашего здоровья

32. В «КОКА-КОЛЕ» явно есть что-то еще…
(Рекламный лозунг фирмы 1942 г)
32
На МКАДе (Московской Кольцевой Авто-Дороге)
стоят несколько большегрузных фур с кока-колой.
Если весь бензин, находящийся в фурах, слить в одну
из них, то она сможет проехать по всей кольцевой
дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что
хотя бы одна фура может проехать по всей кольцевой
дороге в заданном направлении, забирая по пути
бензин у остальных стоящих фур.
*На правах рекламы математической индукции
Это - Кока
(Рекламный
лозунг 1982 г)

33. Парадоксы индукции
33
Являясь мощным инструментом для исследования и
доказательства, математическая индукция требует
большой внимательности в использовании.
Неаккуратное применение принципа математической
индукции легко может привести к удивительным
результатам, при этом найти ошибку в рассуждении
оказывается очень непросто.
Парадоксы индукции

34. Парадоксы индукции
34
Теорема. Через любое число точек на плоскости
можно провести прямую, и притом только одну.

35. 35
Теорема. Через любое число точек на плоскости можно
провести прямую, и притом только одну.
Доказательство. При 1n и 2n теорема справедлива
(аксиомы геометрии). Пусть даны произвольные 1k точек
121 ...,,, kMMM . По предположению индукции через k
точек kMMM ...,,, 21 проходит некоторая прямая l. В силу
того же предположения через k точек 132 ...,,, kMMM
также проходит некоторая прямая 1l . Эти две прямые имеют
по крайней мере две общие точки 2M и kM . Но две точки
определяют единственную прямую. Поэтому прямые l и 1l
должны совпадать.
Задачка на дом
Найдите ошибку в доказательстве

36. 36
Из проведенного рассуждения следуют удивительные
выводы: известно (курс линейной алгебры), что через n
различных точек на плоскости всегда можно провести
кривую, описываемую многочленом порядка n-1 (кстати,
интересно, можете ли Вы это доказать?!). Теперь
получается, что эта кривая – на самом деле прямая!!!
Неизвестно до чего можно договориться, если не найти
ошибку в проведенном рассуждении.
Задачка на дом
Найдите ошибку в доказательстве

37. Парадоксы индукции
37
Теорема. Все девушки – блондинки
Save the blondes
Демографы доказали, что блондинок
становится все меньше – в Европе их
почти не осталось. Последняя блондинка
(скорее всего, в Финляндии) родится уже в
нынешнем веке). Как их спасти?
Есть идея! Надо просто доказать теорему:

38. Теорема: все девушки - блондинки
38
Док-во: 1) К счастью, в аудитории во время лекции
оказалось несколько блондинок (даже более одной), так что
с базисом индукции проблем нет: для n=1 теорема
выполняется.
2) Пусть теорема верна для n=k, то есть любые k девушек –
блондинки. Попросим одну из них на время выйти, и
пригласим на ее место любую другую, теперь их снова k и,
по нашему предположению, все они блондинки. После
возвращения той, что на время вышла, блондинок
становится k+1, ч.т.д.

39. Задачка на дом
39
Save the blondes!
Есть ли ошибка в доказательстве теоремы,
приведенном на предыдущем слайде?
Если есть, то в чем она состоит?
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ : если вам не удастся найти
ошибку, вам придется перекрасить к следующей
лекции свои волосы в соответствии с доказанной
теоремой!!!!

40. Конец лекции