1

1. Довільна плоска системасил. Теоремапро момент рівнодійної системи сил
відносно точки (теорема Варіньона).
Вказівки до завдань С3.
Сили, що довільно розташовані в одній площині, утворюють довільну
плоску систему сил.
Нехай задана довільна плоска система сил, що прикладена до твердого
тіла в точках А, В, ... (рис. 1). Виберемо довільну точку О (центр зведення) і на
підставі теореми про паралельне перенесення сили перенесемо всі сили в точку
О. Одержуємо систему збіжних сил, що прикладені в точці О, та систему пар
сил з моментами, які дорівнюють моментам відповідних сил відносно точки О.
Складаючи сили та пари сил, знайдемо (рис. 2)
𝑅⃗ 𝑂 = ∑ 𝐹 𝑘
𝑛
𝑘=1 𝑀 𝑂 = ∑ 𝑀 𝑂(𝐹𝑘)𝑛
𝑘=1 (1)
тобто довільна плоска система сил еквівалентна одній силі 𝑅⃗ 𝑂, що
прикладена в центрі зведення , та одній парі сил з моментом 𝑀 𝑂. Сила 𝑅⃗ 𝑂
носить назву головного векторасистеми, а пара сил з моментом 𝑀 𝑂 – головного
момента системи. З рівностей (1) випливає, що головний вектор дорівнює
геометричній сумі сил системи, а головний момент дорівнює алгебраїчній сумі
моментів всіх сил системи відносно центра зведення.
Побудуємо систему координат з початку у точці О (центрі зведення) і
визначимо числове значення головного вектора 𝑅⃗ 𝑂 за формулою:
𝑅⃗ 𝑂 = √ 𝑅 𝑂𝑥
2
+ 𝑅 𝑂𝑦
2
= √(∑ 𝐹𝑘𝑥
𝑛
𝑘=1 )
2
+ (∑ 𝐹𝑘𝑦
𝑛
𝑘=1 )
2
(2)
де 𝑅 𝑂𝑥 = ∑ 𝐹𝑘𝑥
𝑛
𝑘=1 , 𝑅 𝑂𝑦 = ∑ 𝐹𝑘𝑦
𝑛
𝑘=1 .
Для рівноваги плоскої довільної системи сил необхідно й достатньо, щоб
одночасно виконувались умови 𝑅⃗ 𝑂 = 0⃗ ; М 𝑂 = 0. Тоді з рівностей (1) та (2)
випливає:

2. ∑ 𝐹𝑘𝑥 = 0;𝑛
𝑘=1 ∑ 𝐹𝑘𝑦 = 0;𝑛
𝑘=1 ∑ 𝑀 𝑂(𝐹𝑘) = 0;𝑛
𝑘=1 (3)
Рівняння (3) виражають аналітичні умови рівноваги довільної плоскої
системи сил. Ці умови носять назву основних умов рівноваги, або основних
форм рівнянь рівноваги довільної плоскої системи сил.
Якщо змінити центр зведення, наприклад взяти довільну точку О1, то
головний вектор 𝑅⃗ 𝑂 не змінюється, а головний момент М 𝑂 змінюється і
визначається за формулою:
М 𝑂1
= М 𝑂 + М 𝑂1
(𝑅⃗ 𝑂) (4)
Рис.1
Визначенням 𝑅⃗ 𝑂 і М 𝑂 не обмежується подальше зведення плоскої системи
сил до більш простої, так, наприклад, якщо 𝑅⃗ 𝑂 ≠ 0⃗ і М 𝑂 ≠ 0, то цю систему сил
можна звести до однієї сили – рівнодійної.
Дамо додаткові форми рівнянь рівноваги довільної плоскої системи
сил,тобто
∑ 𝑀𝐴(𝐹𝑘) = 0;𝑛
𝑘=1 ∑ 𝑀 𝐵(𝐹𝑘 ) = 0;𝑛
𝑘=1 ∑ 𝐹 𝑘𝑥 = 0𝑛
𝑘=1 (5)
де вісь x не перпендикулярна до прямої, що проходить через дві вибрані точки
А та В
∑ 𝑀𝐴(𝐹𝑘) = 0;𝑛
𝑘=1 ∑ 𝑀 𝐵(𝐹𝑘 ) = 0;𝑛
𝑘=1 ∑ 𝑀𝐶 (𝐹𝑘 ) = 0;𝑛
𝑘=1 (6)
А, В, С – довільні точки, що не лежать на одній прямій. Необхідність цих
рівнянь очевидна. Розглянемо їх достатність. Якщо виконуються тільки дві
перші умови рівняння (5), то головний момент системи дорівнює нулю. Така
система не перебуває у рівновазі, а має рівнодійну, яка може проходити через
точки А та В. Але згідно з третьою умовою 𝑅 𝑥 = ∑ 𝐹𝑘𝑥
𝑛
𝑘=1 = 0, оскільки вісь х

3. не перпендикулярна до прямої АВ. Таким чином, остання умова може бути
виконана тільки тоді, коли рівнодійна системи буде дорівнювати нулю, тобто
коли буде рівновага плоскої системи сил.
Достатність умов (6) випливає з того, що коли при одночасному
виконанні цих умов дана система сил не перебувала б у рівновазі, то вона мала
б рівнодійну, лінія дії якої одночасно проходила б через точки А, В та С, що
неможливо, тому що ці точки не лежать на одній прямій. Таким чином, за
виконання умов (6) виконуватиметься рівновага плоскої системи сил.
Теорема про моментрівнодійноїсистеми сил відносно точки (теорема
Варіньона). Якщо плоска система сил має рівнодійну, то момент цієї
рівнодійної відносно довільної точки твердого тіла дорівнює алгебраїчній сумі
моментів сил цієї системи відносно тієї самої точки.
Нехай система сил 𝐹1, 𝐹2 … 𝐹𝑛, що діє на тверде тіло, має рівнодійну 𝑅⃗ ,
що прикладена в точці О (рис. 2). Очевидно, головний момент цієї системи
дорівнює нулю, якщо точка О є центром зведення. Візьмемо як центр зведення
точку О1. Головний момент системи відносно центра зведення O1 визначається
за формулою (4), тобто
М 𝑂1
= М 𝑂 + М 𝑂1
(𝑅⃗ 𝑂)
де М 𝑂 = 0, а М 𝑂1
= ∑ М 𝑂1
(𝐹𝑘)𝑛
𝑘=1
Звідси маємо
М 𝑂1
(𝑅⃗ ) = ∑ М 𝑂1
(𝐹𝑘)
𝑛
𝑘=1
що й треба було довести.

4. Рис. 2
У задачах С3 йдеться про рівновагу твердого тіла під дією довільної
плоскої системи сил.
Задачі, про рівновагу твердого тіла під дією довільної плоскої системисил
слід розв'язувати в такій послідовності:
1. виділити тіло, рівновагу якого розглядатимемо для визначення не-
відомих величин;
2. зобразити всі задані сили;
3. побудувати прямокутну систему координат;
4. на підставі аксіоми про звільнення від в'язейумовно відкинути в'язі,
замінивши їх відповідними реакціями.
5. зробити аналіз одержаної системи сил;
6. скласти рівняння рівноваги плоскої системи сил у формі (3), або (5),
або (6);
7. розв'язати систему складених рівнянь і визначити всі невідомі;
8. зробити аналіз здобутого розв'язку.
Приклад 1. Визначити реакцію шарніра А та стержня СD балки, яка
підтримує у рівновазі дефлегматор ректифікаційної колони (рис. 3). З боку
дефлегматора на балку діє сила Р = 10 кН. Кут α = 37 °. Вагою балки та стержня
нехтувати.
Розв'язання. Розглянемо рівновагу балки АВС (рис. 3). Балка – невільне
тверде тіло. В'язями для неї є нерухомий шарнір А і невагомий стержень СD.
Застосовуючи аксіому про звільнення від в'язей, уявно відкинемо в'язі і

5. прикладемо відповідні їм реакції. Реакція 𝑆 стержня СD напрямлена вздовж
стержня, як це подано на рис. 3. Реакцію нерухомого шарніра (шарнірно-
нерухомої опори) подаємо двома складовими Х⃗⃗ 𝐴, 𝑌⃗ 𝐴 напрямленими паралельно
координатним осям, як це показано на рис. 3.
Матимемо довільну плоску систему сил (рис. 3). Для такої системи сил
можна скласти три рівняння рівноваги, які містять три невідомі сили реакцій Х⃗⃗ 𝐴,
𝑌⃗ 𝐴 і 𝑆.
Рис. 3
Визначенняреакцій Х⃗⃗ 𝑨, 𝒀⃗⃗ 𝑨 та 𝑺⃗⃗ за допомогоюосновноїформи рівнянь
рівноваги (3) довільної плоскої системи сил. Щоб визначити величину і
напрям реакцій Х⃗⃗ 𝐴, 𝑌⃗ 𝐴 і 𝑆 користуємося рівняннями рівноваги (3).
Побудуємо систему координат з початком у точці А (рис. 3) та складемо
рівняння (3):
∑ 𝐹𝑘𝑥 = 0;
𝑛
𝑘=1
𝑋𝐴 − 𝑆 cos 53° = 0
∑ 𝐹𝑘𝑦 = 0;
𝑛
𝑘=1
𝑌𝐴 − 𝑃 + 𝑆 sin 53° = 0
∑ 𝑀𝐴(𝐹𝑘) = 0;
𝑛
𝑘=1
𝑆 sin 53° ∙ 1,7− 𝑃 ∙ 1,2 = 0
де момент сили 𝑆 відносно точки А визначений на підставі теореми Варіньона.

6. Розв'язуючи цю систему рівнянь, матимемо:
𝑆 =
𝑃∙1,12
sin 53°∙1,7
=
10∙1,12
0,799∙1,7
= 8,84 кН;
𝑋𝐴 = 𝑆 cos 53° = 8,83∙ 0,602 = 5,32 кН;
𝑌𝐴 = 𝑃 − 𝑆 sin53° = 10 − 8,83∙ 0,799 = 2,95 кН;
Дійсний напрям реакцій Х⃗⃗ 𝐴, 𝑌⃗ 𝐴 показаний на рис. 3.
Знаючи складові реакції 𝑅⃗ 𝐴 вздовж координатних осей Х⃗⃗ 𝐴, 𝑌⃗ 𝐴 можна
визначити і саму реакцію 𝑅⃗ 𝐴 як за величиною, так і за напрямом. Величину
реакції знаходять за формулою:
𝑅⃗ 𝐴 = √𝑋𝐴
2
+ 𝑌𝐴
2
= √5,322 + 2,952 = 6,08 кН.
Напрям реакції 𝑅⃗ 𝐴 визначають за напрямними косинусами:
cos (𝑅⃗ 𝐴, 𝑥
̂
) =
𝑋𝐴
𝑅 𝐴
=
5,32
6,08
= 0,875; (𝑅⃗ 𝐴, 𝑥
̂
) = 29°
cos (𝑅⃗ 𝐴, 𝑦
̂
) =
𝑌𝐴
𝑅 𝐴
=
2,95
6,08
= 0,485; (𝑅⃗ 𝐴, 𝑦
̂
) = 61°
Визначення реакцій Х⃗⃗ 𝑨, 𝒀⃗⃗ 𝑨 та 𝑺⃗⃗ за допомогою додаткової форми
рівнянь рівноваги (5) довільної плоскої системи сил.
Щоб визначити величину і напрям реакцій Х⃗⃗ 𝐴, 𝑌⃗ 𝐴 та 𝑆 користуємося
рівняннями рівноваги (5).
Побудуємо систему координат з початком у точці А (рис. 3) та складемо
рівняння (5):
∑ 𝑀𝐴(𝐹𝑘) = 0;
𝑛
𝑘=1
− 𝑃 ∙ 1,2 + 𝑆 sin 53° ∙ 1,7 = 0;
∑ 𝑀𝐶 (𝐹𝑘 ) = 0;
𝑛
𝑘=1
𝑃 ∙ 0,5 − 𝑌𝐴 ∙ 1,7 = 0;
∑ 𝐹𝑘𝑥 = 0;
𝑛
𝑘=1
𝑋𝐴 − 𝑆 cos 53° = 0;

7. де момент сили 𝑆 відносно точки А визначений на підставі теореми Варіньона.
Розв'язуючи цю систему рівнянь, матимемо:
𝑆 =
𝑃∙1,2
sin 53°∙1,7
=
10∙1,2
0,799∙1,7
= 8,84 кН;
𝑌𝐴 =
𝑃 ∙ 0,5
1,7
=
10 ∙ 0,5
1,7
= 2,94 кН;
𝑋𝐴 = 𝑆 cos 53° = 8,83 ∙ 0,602 = 5,32 кН.
Дійсний напрям реакцій Х⃗⃗ 𝐴, 𝑌⃗ 𝐴 та 𝑆 показаний на рис. 3.
Визначаємо величину реакції 𝑅⃗ 𝐴 за формулою
𝑅⃗ 𝐴 = √𝑋𝐴
2
+ 𝑌𝐴
2
= √5,322 + 2,942 = 6,08 кН.
Визначаємо напрям реакції 𝑅⃗ 𝐴 за напрямними косинусами:
cos (𝑅⃗ 𝐴, 𝑥
̂
) =
𝑋𝐴
𝑅 𝐴
=
5,32
6,08
= 0,875; (𝑅⃗ 𝐴, 𝑥
̂
) = 29°
cos (𝑅⃗ 𝐴, 𝑦
̂
) =
𝑌𝐴
𝑅 𝐴
=
2,94
6,08
= 0,484; (𝑅⃗ 𝐴, 𝑦
̂
) = 61°
Визначення реакцій Х⃗⃗ 𝑨, 𝒀⃗⃗ 𝑨 та 𝑺⃗⃗ за допомогою додаткової форми
рівнянь рівноваги (6) довільної плоскої системи сил.
Щоб визначити величину і напрям реакцій Х⃗⃗ 𝐴, 𝑌⃗ 𝐴 та 𝑆 користуємося
рівняннями рівноваги (6).
Приймаючи за центр моментів системисил, що діє на балку АВС точки А,
С і D складемо рівняння рівноваги (6) див. рис. 3:
∑ 𝑀𝐴(𝐹𝑘) = 0;
𝑛
𝑘=1
− 𝑃 ∙ 1,2 + 𝑆 sin 53° ∙ 1,7 = 0;
∑ 𝑀𝐶 (𝐹𝑘 ) = 0;
𝑛
𝑘=1
𝑃 ∙ 0,5 − 𝑌𝐴 ∙ 1,7 = 0;
∑ 𝑀 𝐷(𝐹𝑘) = 0;
𝑛
𝑘=1
𝑆 cos 53° ∙ 2,5− 𝑆 sin53° ∙ 2,5 ∙ 𝑡𝑔37° + 𝑃(0,5
+ 2,5 ∙ 𝑡𝑔37°) − 𝑋𝐴 ∙ 2,5 −YA(1,7 + 2,5∙ 𝑡𝑔37°) = 0;

8. де момент сили 𝑆 відносно точки А і D визначені на підставі теореми Варіньона.
Розв'язуючи цю систему рівнянь, матимемо:
𝑆 =
𝑃∙1,2
sin 53°∙1,7
=
10∙1,2
0,799∙1,7
= 8,84 кН;
𝑌𝐴 =
𝑃 ∙ 0,5
1,7
=
10 ∙ 0,5
1,7
= 2,94 кН;
𝑋𝐴 =
𝑆 cos 53° ∙ 2,5 − 𝑆 sin 53° ∙ 2,5𝑡𝑔37° + 𝑃(0,5+ 2,5 ∙ 𝑡𝑔37°)
2,5
−
YA(1,7+ 2,5∙ 𝑡𝑔37°)
2,5
=
8,84 ∙ 0,602 ∙ 2,5− 8,84∙ 0,799∙ 2,5 ∙ 0,754
1,7
+
10(0,5 + 2,5 ∙ 0,754) − 2,94(1,7 + 2,5∙ 0,754)
2,5
= 5,32 кН;
Дійсний напрям реакцій Х⃗⃗ 𝐴, 𝑌⃗ 𝐴 та 𝑆 показаний на рис. 3. Визначаємо
величину реакції 𝑅⃗ 𝐴 за формулою:
𝑅⃗ 𝐴 = √𝑋𝐴
2
+ 𝑌𝐴
2
= √5,322 + 2,942 = 6,08 кН.
Визначаємо напрям реакції 𝑅⃗ 𝐴 за напрямними косинусами:
cos (𝑅⃗ 𝐴, 𝑥
̂
) =
𝑋𝐴
𝑅 𝐴
=
5,32
6,08
= 0,875; (𝑅⃗ 𝐴, 𝑥
̂
) = 29°
cos (𝑅⃗ 𝐴, 𝑦
̂
) =
𝑌𝐴
𝑅 𝐴
=
2,94
6,08
= 0,484; (𝑅⃗ 𝐴, 𝑦
̂
) = 61°
Результати проведених розрахунків реакцій Х⃗⃗ 𝐴, 𝑌⃗ 𝐴 та 𝑆, а також (див.
завдання С1) повністю збігаються.