4.1 Материалы модуля
4.2 k-перестановки из n элементов
4.3 Урновые схемы и схемы раскладки по ящикам.
4.4 Подсчет отображений конечных множеств
4.5 Рекуррентные соотношения
This document discusses trigonometric substitutions that can be used to evaluate integrals containing expressions of the form √a2 - x2, √a2 + x2, and √x2 - a2. It provides the substitutions x = a*sin(θ), x = a*tan(θ), and x = a*sec(θ) respectively, and shows the resulting algebraic relationships. It also includes an example problem demonstrating the use of these substitutions.
4.1 Материалы модуля
4.2 k-перестановки из n элементов
4.3 Урновые схемы и схемы раскладки по ящикам.
4.4 Подсчет отображений конечных множеств
4.5 Рекуррентные соотношения
This document discusses trigonometric substitutions that can be used to evaluate integrals containing expressions of the form √a2 - x2, √a2 + x2, and √x2 - a2. It provides the substitutions x = a*sin(θ), x = a*tan(θ), and x = a*sec(θ) respectively, and shows the resulting algebraic relationships. It also includes an example problem demonstrating the use of these substitutions.
The document discusses periodic compound interest and continuous compound interest formulas. It provides an example to calculate the accumulation in an account over 20 years with an annual 8% interest rate compounded 100, 1000, and 10000 times per year. Compounding more frequently results in a larger return, approaching the continuous compound interest formula value. Compounding 10000 times per year yields the highest return of $4953.
The document discusses exponential and logarithmic expressions. Exponential expressions like 43, 82, 26 all equal 64. Their corresponding logarithmic forms are log4(64), log8(64), log2(64) and equal 3, 2, 6 respectively. When working with exponential or logarithmic expressions, the base number must be identified first. Both numbers in the logarithmic expression logb(y) must be positive.
The document discusses matrix algebra and operations on matrices. It defines a matrix as a rectangular table of numbers with rows and columns. A matrix with R rows and C columns is denoted as an R x C matrix. Individual entries in a matrix are denoted by their row and column position, such as a32 for the entry in the 3rd row and 2nd column. There are two main types of operations on matrices - adding/subtracting same-sized matrices entry by entry, and multiplying matrices. Matrix multiplication involves multiplying corresponding entries of a row and column and summing the products.
Los modelos de mixturas finitas tienen una larga historia en la estadística, se han utilizado para análisis de homogeneidad de poblaciones en varias disciplinas, y últimamente, en minería de datos, reconocimiento de patrones, aprendizaje automático, es decir son una herramienta que brinda un marco teórico y práctico para agrupación y clasificación. Esta presentación ofrece una introducción a la teoría de los modelos de mixturas de distribuciones normales y proporciona los resultados de una serie de experimentos que tienen la finalidad de ilustrar su amplia flexibilidad y versatilidad.
Teks tersebut membahas tentang kombinatorika dan konsep-konsep dasarnya seperti permutasi dan kombinasi. Secara singkat, teks tersebut menjelaskan cara menghitung jumlah kemungkinan susunan objek-objek tanpa harus menyebutkan satu per satu susunannya menggunakan aturan perkalian dan penjumlahan, serta rumus-rumus permutasi dan kombinasi.
This document discusses integrating rational functions. It begins by defining rational functions as functions of the form P(x)/Q(x) where P and Q are polynomials. It states that integrating rational functions involves decomposing them into simpler fractions using the Rational Decomposition Theorem. Examples are then provided to demonstrate how to decompose rational functions and integrate each term using substitution.
24 exponential functions and periodic compound interests pina xmath260
The document discusses exponential functions and their properties. It defines exponential functions as functions of the form f(x) = bx where b > 0 and b ≠ 1. It provides examples of calculating exponential expressions using rules for positive integer, fractional, and real number exponents. Exponential functions are important in fields like finance, science, and computing. Common exponential functions include y = 10x, y = ex, and y = 2x. An example shows how to calculate compound interest monthly over several periods using the exponential function formulation.
This document discusses two types of log and exponential equations: those that do not require calculators and numerical equations that do require calculators. Equations that do not require calculators can be solved by putting both sides into a common base, consolidating exponents, and dropping the base to solve the resulting equation. For log equations, logs are consolidated on each side first before dropping the log. Two examples demonstrating these solution methods are provided.
The document discusses periodic compound interest and continuous compound interest formulas. It provides an example to calculate the accumulation in an account over 20 years with an annual 8% interest rate compounded 100, 1000, and 10000 times per year. Compounding more frequently results in a larger return, approaching the continuous compound interest formula value. Compounding 10000 times per year yields the highest return of $4953.
The document discusses exponential and logarithmic expressions. Exponential expressions like 43, 82, 26 all equal 64. Their corresponding logarithmic forms are log4(64), log8(64), log2(64) and equal 3, 2, 6 respectively. When working with exponential or logarithmic expressions, the base number must be identified first. Both numbers in the logarithmic expression logb(y) must be positive.
The document discusses matrix algebra and operations on matrices. It defines a matrix as a rectangular table of numbers with rows and columns. A matrix with R rows and C columns is denoted as an R x C matrix. Individual entries in a matrix are denoted by their row and column position, such as a32 for the entry in the 3rd row and 2nd column. There are two main types of operations on matrices - adding/subtracting same-sized matrices entry by entry, and multiplying matrices. Matrix multiplication involves multiplying corresponding entries of a row and column and summing the products.
Los modelos de mixturas finitas tienen una larga historia en la estadística, se han utilizado para análisis de homogeneidad de poblaciones en varias disciplinas, y últimamente, en minería de datos, reconocimiento de patrones, aprendizaje automático, es decir son una herramienta que brinda un marco teórico y práctico para agrupación y clasificación. Esta presentación ofrece una introducción a la teoría de los modelos de mixturas de distribuciones normales y proporciona los resultados de una serie de experimentos que tienen la finalidad de ilustrar su amplia flexibilidad y versatilidad.
Teks tersebut membahas tentang kombinatorika dan konsep-konsep dasarnya seperti permutasi dan kombinasi. Secara singkat, teks tersebut menjelaskan cara menghitung jumlah kemungkinan susunan objek-objek tanpa harus menyebutkan satu per satu susunannya menggunakan aturan perkalian dan penjumlahan, serta rumus-rumus permutasi dan kombinasi.
This document discusses integrating rational functions. It begins by defining rational functions as functions of the form P(x)/Q(x) where P and Q are polynomials. It states that integrating rational functions involves decomposing them into simpler fractions using the Rational Decomposition Theorem. Examples are then provided to demonstrate how to decompose rational functions and integrate each term using substitution.
24 exponential functions and periodic compound interests pina xmath260
The document discusses exponential functions and their properties. It defines exponential functions as functions of the form f(x) = bx where b > 0 and b ≠ 1. It provides examples of calculating exponential expressions using rules for positive integer, fractional, and real number exponents. Exponential functions are important in fields like finance, science, and computing. Common exponential functions include y = 10x, y = ex, and y = 2x. An example shows how to calculate compound interest monthly over several periods using the exponential function formulation.
This document discusses two types of log and exponential equations: those that do not require calculators and numerical equations that do require calculators. Equations that do not require calculators can be solved by putting both sides into a common base, consolidating exponents, and dropping the base to solve the resulting equation. For log equations, logs are consolidated on each side first before dropping the log. Two examples demonstrating these solution methods are provided.
This document introduces asymptotic notation used to analyze the runtime of algorithms. Big O notation describes upper bounds on function growth, while Ω notation describes lower bounds. Functions are asymptotically equivalent (Θ) if they have matching upper and lower bounds. Limits can be used to establish relationships between asymptotic classes in some cases, but not always - examples show membership in a class does not necessarily imply limits exist.
This document defines continuity and uniform continuity of functions. A function f is continuous on a set S if small changes in the input x result in small changes in the output f(x). A function is uniformly continuous if the same relationship holds for all inputs and outputs simultaneously, not just for a fixed input. Several examples are provided to illustrate the difference. The key difference is that a continuous function may depend on the specific input point, while a uniformly continuous function does not. Functions that satisfy a Lipschitz inequality are proven to be uniformly continuous.
Опечатки в слайдах на видео: в псевдокоде алгоритма решения непрерывной задачи о рюкзаке предметы должны сортироваться по убыванию (а не возрастанию) удельной стоимости.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
7.1 Материалы модуля
7.2 Основные понятия дискретной вероятности.
7.3 Условная вероятность
7.4 Случайные величины
7.5 Основные характеристики случайных величин
Диаграммы Юнга, плоские разбиения и знакочередующиеся матрицыDEVTYPE
Сколько есть способов разбить натуральное число в сумму нескольких слагаемых, если суммы, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми? Оказывается, что на этот, казалось бы, элементарный вопрос нет простого ответа. Зато теория, начинающаяся с этого вопроса, оказывается очень интересной, а ее результаты находят применение в самых разных разделах математики и математической физики.
Настоящая брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором на летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2013 года. Она рассчитана на старшеклассников и студентов младших курсов.
The document discusses recurrences and methods for solving them. It covers:
1) Divide-and-conquer algorithms can often be modeled with recurrences. Examples include merge-sort and matrix multiplication.
2) Common methods for solving recurrences are substitution, iteration/recursion trees, and the master method. The master method provides a general solution for recurrences of the form T(n) = aT(n/b) + nc.
3) Strassen's matrix multiplication algorithm improves on the naive O(n^3) time by using a recurrence with a=7 to achieve O(n^2.81) time via the master method. Changing variables can sometimes simplify recurrences.
Точечная оценка. Определение
Пример 1
Свойства точечных оценок
Несмещенность
Пример 2
Состоятельность
Эффективность
Асимптотическая нормальность
Робастность
Описательная статистика, цели. Вариационный ряд
Полигон частот
Гистограмма
Гистограмма, пример. Выбор числа интервалов
Выборочные характеристики
Характеристики положения и рассеяния
Выборочные характеристики двумерной выборки
Основные задачи математической статистики. Примеры задач
Выборка.Выборочное пространство. Примеры
Простой случайный выбор. Реальные виды выборов
Функция распределения выборки
Эмпирическая вероятностная мера
Теорема Гливенко-Кантелли
This document discusses algorithms for solving the coin change problem of finding the minimum number of coins needed to make a given monetary value. It describes greedy, recursive, and dynamic programming approaches. The greedy algorithm works optimally for coin denominations of 10, 5, 1 by always selecting the highest value coin first. However, the greedy approach does not always give the optimal solution in general. Dynamic programming improves on the recursive solution by storing intermediate results in an array to avoid recomputing the same subproblems.
- Определение чисел Фибоначчи, скорость роста
- Общая формула, экспоненциальная скорость роста
- Наивный алгоритм и анализ его времени работы
- Более быстрый алгоритм и анализ его времени работы, заключение
- Более детальный анализ алгоритма вычисления чисел Фибоначчи
- Определения O(⋅), преимущества и недостатки их использования для оценки времени работы алгоритмов
- Определения Ω(⋅),Θ(⋅),o(⋅), общие правила сравнения скорости роста стандартных функций
- Графики нескольких часто используемых функций
- Скорости часто используемых функций на практике, заключение
- понимание принципов отображения видео в ОС Windows (OpenGL, DirectX, другие);
- понимание форматов хранения видео информации (контейнеры видео файлов);
- понимание работы «кодеков» для конвертации видео из одного формата в другой;
- распознавание образов на видео;
El documento describe el progreso de un programa de mejora continua para el desarrollo de programas educativos. Explica que se realizó un análisis de necesidades, se diseñó un plan de acción y ahora se está implementando con el objetivo de mejorar los resultados para los estudiantes.
1. Дискретная вероятность
1 Понятие дискретной вероятности
1.1. На заводе по производству бытовой химии есть специальная машина, которая рассыпает
стиральный порошок по коробкам. Эта машина несовершенна и насыпает необходимое коли-
чество порошка только с вероятностью 0.99. С вероятностью 0.009 машина насыпает порошка
сверх нормы. С какой вероятностью машина недосыпает стиральный порошок?
Решение. Множество Ω элементарных исходов состоит из трех элементов:
A – машина насыпает необходимое количество порошка;
B – машина насыпает порошка сверх нормы;
C – машина недосыпает порошок.
По правилу нормировки,
Pr(A) + Pr(B) + Pr(C) = 1 =⇒ Pr(C) = 1 − Pr(A) − Pr(B) = 1 − 0.99 − 0.009 = 0.001.
1.2. Рассмотрим лотерею “пять из тридцати шести”, победителем которой является человек,
правильно угадавший пять из тридцати шести чисел 1, 2, . . . , 36. Определить вероятность того,
что какой-то наугад выбранный набор из пяти чисел выиграет.
Решение. Событие, состоящее в том, что выпадает конкретный набор из пяти чисел, является
в данном случае элементарным исходом. Каждое такое элементарное событие равновероятно,
поэтому вероятность элементарного события ω равна
Pr(ω) =
1
|Ω|
,
где Ω есть множество всех возможных элементарных событий. Мощность этого множества сов-
падает с количеством 5-элементных подмножеств 36-элементного множества, то есть равна 36
5
.
Следовательно,
Pr(ω) =
1
36
5
=
5! · 31!
36!
=
5!
32 · 33 · 34 · 35 · 36
=
1
376992
= 2, 65 · 10−6
.
1.3. Вычислить вероятность того, что при игре в лотерею “пять из тридцати шести” в произ-
вольно выбранном наборе из пяти чисел хотя бы одно будет правильным.
Решение. Для решения данной задачи введем два события — событие A, заключающееся в том,
что человек угадывает хотя бы одно правильное число из пяти, и событие B = ¯A, состоящее в
том, что он все пять чисел угадал неправильно. В этой задаче легче найти вероятность события
B, а затем из формулы
Pr(A) = 1 − Pr(B)
определить вероятность искомого события A. Действительно, вероятность того, что все пять чи-
сел будут неправильными, определяется количеством всех пятиэлементных подмножеств (36 −
− 5) = 31-элементного множества. Следовательно,
Pr(A) = 1 −
31
5
36
5
= 0.549.
2. 1.4. Вычислить вероятность угадывания ровно трех из правильных пяти номеров в лотерее
“пять из тридцати шести”.
Решение. Один из возможных способов решения задачи следующий: выберем два числа из пяти
выигрышных ( 5
2
способами) и заменим их на любые два из тридцати одного невыигрышных
числа ( 31
2
способами). Согласно правилу произведения, эти операции можно сделать 5
2
· 31
2
способами, и поэтому вероятность угадать ровно три числа равна
Pr(A) =
5
2
· 31
2
36
5
= 0.0123.
1.5. Рассматривается вероятностный эксперимент, заключающийся в бросании двух игральных
кубиков. Мощность множества элементарных исходов в таком эксперименте равна 36, так как
исходы вида “на первом кубике выпала единица, на втором — двойка” и “на первом кубике
выпала двойка, на втором — единица”, считаются различными. Какова вероятность того, что
сумма значений на кубике равна семи, если известно, что сумма — нечетная?
Решение. Существует всего шесть элементарных исходов, отвечающих событию “на паре куби-
ков выпало семь очков”. При этом общее количество элементарных исходов, дающих нечетную
сумму, составляет ровно половину от общего количества элементарных исходов. Следовательно,
вероятность выпадения семи очков равна 6/18 = 1/3.
1.6. Рассмотрим произвольную перестановку трех различных чисел вида σ = (p1p2p3). Обозна-
чим через A событие, состоящее в том, что p1 > p2, а через B — событие, заключающееся в
том, что p2 > p3. Являются ли эти события независимыми?
Решение. Для ответа на поставленный вопрос нам нужно сосчитать вероятность Pr(A ∩ B) и
сравнить ее с произведением вероятностей Pr(A) и Pr(B). Последние, очевидно, равны Pr(A) =
= Pr(B) = 1/2, так как для любой перестановки, у которой, например, p1 > p2, существует
обратная ей перестановка, у которой p1 < p2. Событие A ∩ B отвечает перестановке, у которой
p1 > p2 > p3, и вероятность появления такого рода перестановки равна, очевидно, 1/6. Это
число отлично от 1/4 = Pr(A) · Pr(B), что означает, что события A и B являются зависимыми.
1.7. Монету подбрасывают три раза. Нам не показывают результат, но говорят, что решка
выпала хотя бы один раз. Какова вероятность того, что решка выпала все три раза?
Решение. Обозначим через A событие, состоящее в том, что хотя бы при одном подбрасывании
монеты выпала решка, а через B — событие, состоящее в том, что все три раза у нас выпала
решка. Нам необходимо найти условную вероятность Pr(B|A). Воспользуемся для этого фор-
мулой (??). Заметим, что A ∩ B = B, и потому Pr(A ∩ B) = Pr(B) = (1/2)3
= 1/8. Далее,
вероятность ¯A того, что во всех трех подбрасываниях монеты выпали три орла, также равна
1/8, и поэтому Pr(A) = 1 − Pr( ¯A) = 7/8. Следовательно,
Pr(B|A) =
Pr(A ∩ B)
Pr(A)
=
Pr(B)
Pr(A)
=
1
7
.
1.8. По статистике, 30% из общего количества студентов, которым читается данный курс, сдают
экзамен с первой попытки и в срок, 50% с первой попытки его не сдают, но успевают пересдать
экзамен в течение основной сессии, а оставшиеся 20% либо вовсе экзамен не сдают, либо сда-
ют его в допсессию. Известно, что среди студентов первой группы 95% успешно заканчивают
свое обучение в университете, среди студентов второй группы эта величина составляет 60%,
а среди тех, кто в основную сессию данный курс не сдал, доля получивших в итоге диплом
составляет 20%. Определить отношение студентов, успешно защищающих диплом, к общему
числу поступивших студентов.
3. Решение. Обозначим через A1 событие, состоящее в том, что произвольно выбранный студент
сдал данный курс с первого раза и в срок, через A2 — событие, заключающееся в том, что
этот студент сдал курс в основную сессию, и через A3 — событие, состоящее в том, что студент
данный курс в основную сессию не сдал. Эти события образуют полную группу несовместимых
событий, причем
Pr(A1) = 0.3, Pr(A2) = 0.5, Pr(A3) = 0.2.
Через B обозначим событие, заключающееся в том, что студент успешно окончил университет.
Из условия задачи имеем следующие условные вероятности Pr(B|Ai):
Pr(B|A1) = 0.95, Pr(B|A2) = 0.6, Pr(B|A3) = 0.2.
Подставляя эти значения в формулу (??) полной вероятности, получаем, что вероятность Pr(B)
произвольно выбранному вновь поступившему студенту успешно закончить университет равна
Pr(B) = 0.95 · 0.3 + 0.6 · 0.5 + 0.2 · 0.2 = 0.625.
1.9. Предположим, что тест на наркотики дает 99% истинно положительных результатов для
людей, употребляющих наркотики, и 98.5% истинно отрицательных результатов для людей,
наркотики не употребляющие. Предположим, что в мире существует 0, 5% наркоманов, и пусть
произвольно выбранный тест показал положительный результат на применение наркотиков.
Какова вероятность того, что человек, сдавший тест, действительно является наркоманом?
Решение. Обозначим через A1 гипотезу, состоящую в том, что человек наркотики употребляет,
а через A2 = ¯A1 — гипотезу, состоящую в том, что человек наркоманом не является. Из условия
задачи известно, что Pr(A1) = 0.005; следовательно, Pr(A2) = 0.995.
Предположим теперь, что у нас произошло событие B, заключающееся в том, что тест показал
положительный результат. Нам нужно сосчитать вероятность Pr(A1|B) того, что человек, для
которого тест дал положительный результат, действительно употребляет наркотики. Для этого
воспользуемся формулой (??).
Апостериорная вероятность Pr(B|A1) того, что тест дает положительный результат в случае,
когда человек действительно наркотики употребляет, по условию равна Pr(B|A) = 0.99. Апо-
стериорная вероятность Pr(B|A2) того, что тест дает положительный результат, но человек
наркотики не употребляет, равна 0.015. Таким образом, согласно формуле (??) имеем
Pr(A1|B) =
0.99 · 0.005
0.99 · 0.005 + 0.015 · 0.995
= 0.249.
Как видно, несмотря на относительную аккуратность проводимых исследований, то, что тест
оказывается положительным, означает, что с высокой вероятностью человек, сдавший этот тест,
наркоманом не является.
1.10. Из десяти стрелков пять попадают в цель с вероятностью, равной 80%, три - с вероятно-
стью, равной 50%, и два – с вероятностью 90%. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел,
поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
Решение. Обозначим через B событие, состоящее в том, что цель поражена, а через Ai — собы-
тие, заключающееся в том, что стрелял стрелок из i-й группы. Вероятности Pr(Ai) равны, по
условию задачи,
Pr(A1) = 0.5, Pr(A2) = 0.3, Pr(A3) = 0.2.
4. Далее, апостериорные вероятности попадания в цель равны
Pr(B|A1) = 0.8, Pr(B|A2) = 0.5, Pr(B|A3) = 0.9.
Нам нужно определить, при каком i достигается максимум произведения Pr(B|Ai)·Pr(Ai). Так
как
Pr(B|A1) · Pr(A1) = 0.4, Pr(B|A2) · Pr(A2) = 0.15, Pr(B|A3) · Pr(A3) = 0.18,
то вероятнее всего то, что стрелок, попавший в цель, принадлежал к первой группе.
2 Случайные величины
2.1. Из колоды в 36 карт наудачу вытаскиваются любые три карты. Найти среди вытащенных
карт распределение вероятностей случайной величины, равной количеству карт пиковой масти.
Решение. Обозначим через Ai событие, состоящее в том, что мы вытащили ровно i карт пи-
ковой масти. Вероятность Pr(Ai) такого события равна произведению биномиальных коэффи-
циентов 9
i
и 27
3−i
, деленному на биномиальный коэффициент 36
3
. Действительно, мощность
|Ω| множества Ω всех элементарных событий определяется как количество способов выбрать
трехэлементное подмножество из множества всех 36 карт. Далее, мы для любого i можем 9
i
количеством способов выбрать i карт пиковой масти. Оставшееся количество 3 − i карт масти,
отличной от пиковой, мы выбираем 27
3−i
количеством способов. Таким образом, распределение
вероятностей случайной величины ξ = i имеет следующий вид:
Pr(A0) =
27
3
36
3
, Pr(A1) =
27
2
9
1
36
3
, Pr(A2) =
27
1
9
2
36
3
, Pr(A3) =
9
3
36
3
⇐⇒
⇐⇒ Pr(A0) =
17550
42840
, Pr(A1) =
18954
42840
, Pr(A2) =
5832
42840
, Pr(A3) =
504
42840
.
2.2. На гранях кубика вместо меток 1, 2, 3, 4, 5 и 6 нанесены метки 1, 3, 4, 5, 6, 8. Какие метки
должны быть на гранях второго кубика, чтобы распределение суммы очков при бросании двух
этих кубиков было таким же, как и для случая бросания двух обычных кубиков? Кубики, а
также их грани считаются различимыми.
Решение. Заметим, прежде всего, что на втором кубике метки, большей, чем 4, быть не может
— в противном случае у нас появится возможность выкинуть количество очков, большее 12.
Далее, двенадцать очков мы должны получить с вероятностью, равной 1/36. Сделать мы это
сможем, если на второй “неправильный” кубик нанесем метку 4. Аналогичные рассуждения
подсказывают нам, что на этом кубике должна быть также и единственная метка 1.
С помощью обычных различимых кубиков мы можем выкинуть три очка двумя способами —
1, 2 и 2, 1. На первом кубике метка 2 отсутствует, но у нас также должно быть два способа
выкинуть три очка. Как следствие, на втором кубике должны быть нанесены две метки с
цифрой 2.
Остается аккуратно убедиться в том, что все остальные варианты у нас получатся с теми же
вероятностями, что и в случае обычных кубиков, если на оставшихся двух гранях второго
кубика будут нанесены метки 3.
5. 2.3. Двенадцать людей попросили сравнить между собой качество звучания одинаковых по
качеству наушников А и B. Разницы никто из них заметить не мог, поэтому они отдавали
предпочтение какой-либо паре наушников случайным образом с вероятностью 0.5. Какова ве-
роятность того, что наушники A выберут ровно три человека?
Решение. Выбор наушников представляет собой испытания Бернулли. Поэтому искомая веро-
ятность равна
Pr(ξ = 3) =
12
3
· 0.53
· 0.512−3
=
55
1024
.
2.4. Для сдачи норм ГТО гражданину N требуется сдать норматив по стрельбе из пневма-
тической винтовки. Будучи человеком мирным, N стреляет плохо и попадает в цель только с
вероятностью 1/2 (либо попадает, либо нет). С какой вероятностью он сможет сдать зачет, если
для этого ему нужно попасть хотя бы четыре раза из пяти?
Решение. Вероятность искомого события равна сумме вероятностей событий “гражданин попал
четыре раза из пяти” и “гражданин попал пять раз из пяти”. Сам же случайный эксперимент
мы можем рассматривать как испытания Бернулли. Поэтому
Pr(ξ = 4) + Pr(ξ = 5) =
5
4
· 0.54
· 0.51
+
5
5
· 0.55
=
3
16
.
2.5. Колесо рулетки в равномерно расположенных ячейках имеет числа от 0 до 36. Ячейки
с чётными номерами в диапазоне от 2 до 36 окрашены в черный цвет, ячейки с нечетными
номерами в диапазоне от 1 до 36 окрашены в красный цвет. Игрок платит доллар и выбирает
цвет. Если игрок выигрывает, то он получает два доллара, если проигрывает, то не получает
ничего. Подсчитайте величину среднего проигрыша игрока.
Решение. Вероятность выигрыша составляет 18
37
, а вероятность проигрыша равна, соответствен-
но, 19
37
. Пусть ξ — случайная величина, равная выигрышу в игре. Тогда
E(ξ) = 2 ·
18
37
+ 0 ·
19
37
=
36
37
= 0.973.
Таким образом, в среднем за игру игрок теряет 0.027 доллара.
2.6. Восемь шаров, пронумерованных числами 0, 1, 1, 2, 2, 2, 5 и 10 соответственно, помещены
в урну. Экспериментатор вытягивает три из них и подсчитывает сумму чисел на вытянутых
шарах. Каково математическое ожидание получаемой в результате серии таких экспериментов
суммы?
Решение. Пусть ξ1, ξ2, ξ3 — случайные величины, значения которых совпадает с числами на вы-
тянутых шарах. Эти случайные величины принимают значения из одного и того же множества
чисел, поэтому
E(ξ1) = E(ξ2) = E(ξ3) =
0
8
+
1
8
+
1
8
+
2
8
+
2
8
+
2
8
+
5
8
+
10
8
=
23
8
Теперь остается воспользоваться линейностью математического ожидания:
E(ξ1 + ξ2 + ξ3) = E(ξ1) + E(ξ2) + E(ξ3) = 3 · E(ξ1) =
69
8
.
6. 2.7. Предположим, что игральным картам присвоены следующие стоимости: туз имеет стои-
мость, равную одному доллару, двойка — 2 доллара, . . . , десятка — 10 долларов, валет — 11,
дама — 12, король — 13. Игрок вытягивает одну карту. В случае, если эта карта бубновой масти,
игрок получает её стоимость. Если червовой, то ее стоимость удваивается. Если карта чёрной
масти, то игрок платит 10 долларов. Чему равно математическое ожидание выигрыша?
Решение. Пусть ξ есть случайная величина, равная выигранной сумме. По определению мате-
матического ожидания,
E(ξ) =
1
52
+
2
52
+
3
52
+ · · · +
13
52
+
2 · 1
52
+
2 · 2
52
+
2 · 3
52
+ · · · +
2 · 13
52
− 10 ·
1
2
=
= 3 ·
13 · 14
2
·
1
52
− 5 = 5.25 − 5 = 0.25.
2.8. У игрока есть выбор из обычной игральной кости и кости с метками (1, 1, 1, 6, 6, 6). Резуль-
татом игры становится сумма очков, выпавших в результате трех бросаний. Какую из костей
следует предпочесть?
Решение. Математическое ожидание случайной величины ξ, равной сумме выпавших очков по-
сле трех бросаний, в силу линейности математического ожидания равно утроенному математи-
ческому ожиданию случайной величины ξ1, равной сумме очков в результате одного бросания.
Для обычной игральной кости E(ξ1) равно
E(ξ1) =
6
i=1
i
6
=
7
2
= 3.5 =⇒ E(ξ) = 10.5,
а для модифицированной кости
E(ξ1) =
3
i=1
1
6
+
3
i=1
6
6
= 3.5 =⇒ E(ξ) = 10.5.
Как видно, математические ожидания случайной величины ξ для обоих кубиков совпадают
между собой. Следовательно, нам все равно, какой кубик выбрать.
2.9. Какую из двух костей, описанных в предыдущей задаче, нам следует выбрать, если мы,
рассчитывая, что нам повезет, хотим получить в результате трех бросков как можно большую
сумму очков?
Решение. Так как математические ожидания случайной величины ξ, описанной в решении
предыдущей задачи, одинаковы для двух костей, то для азартных игроков, уверенных в своей
победе, наилучшей будет та кость, для которой у случайной величины ξ дисперсия Var(ξ) будет
наибольшей.
Последовательные броски кости являются независимыми испытаниями, поэтому дисперсия слу-
чайной величины ξ для первого кубика равна утроенной дисперсии Var(ξ1), а последняя, в свою
очередь, равна
Var(ξ1) = E(ξ2
1) − E
2
(ξ1) =
91
6
−
49
4
=
35
12
.
Аналогично, для второго кубика
Var(ξ1) = E(ξ2
1) − E
2
(ξ1) =
111
6
−
49
4
=
75
12
.
Как следствие, азартным игрокам следует предпочесть второй кубик.