Лекция 3 по курсу "Дискретная математика" для студентов экономического факультета МГУ.

1. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Курс лекций
1
Московский государственный университет
имени М.В.Ломоносова
Экономический факультет

2. Лекция 3
Логика и алгебра множеств
Конечные множества
2

3. Конечные множества
3
В этой лекции мы узнаем, что считать даже до пяти
иногда бывает непросто, особенно, если речь идет не
просто о числах, а о статистических данных. Эти
данные могут быть неполными, неточными, и даже
иногда привирать. Известно высказывание, что есть
ложь, наглая ложь и статистика. Хороший экономист
должен хорошо разбираться в цифрах, в данных, уметь
быстро находить ошибки и вранье в данных, строить
оценки для неполных и неточных данных.

4. Отношение принадлежности.
4
Множества состоят из элементов
Элемент x принадлежит множеству X
Xx
Элемент x не входит в множество X
Xx
Число 5 является натуральным числом:
N5

5. Свойства элементов.
5
Множества могут состоять из элементов, удовлетворяющих
определенным условиям
Множество x состоит их элементов x
}{xX 
Задание множества логическим условием
)}(|{ xAxX 
Пример: положительные числа
}0|{  xRxX

6. Отношение включения множеств
6
Одно из множеств может полностью содержаться в другом
(состоять из его элементов)
Пример: натуральные числа являются
подмножеством целых чисел: ZN 
Множество A включено в множество B
или A является подмножеством B ( BA  ),
если из того, что Ax следует, что Bx .
Коротко )()( BxAx 
Замечание. Иногда различают строгое BA  и нестрогое BA 
(допускающее равенство) включения. Обычно понятно по смыслу.

7. Отношение равенства множеств
7
Чтобы доказать равенство множеств, нужно взять
произвольный элемент одного множества и доказать, что он
содержится во втором множестве, и наоборот.
Большинство теорем математики - теоремы о
включении. Теоремы о равенстве – это
теоремы о взаимном включении
Пример: теорема линейной алгебры
об эквивалентности преобразования Гаусса:





2222121
1212111
bxaxa
bxaxa






2222121
212221212111 )()(
bxaxa
bbxaaxaa 

8. Пустое множество
8
Иногда неизвестно заранее, есть ли хоть один элемент в
изучаемом множестве. Поэтому удобно иметь специальную
возможность оперировать с пустым множеством как с обычным
множеством, а не просто говорить, что этого множества нет.
Множество, не содержащее ни одного
элемента, называется пустым, оно
обозначается .
Примеры неочевидных пустых множеств:
 множество четырехугольников, все углы которых прямые и
одновременно диагонали различной длины.
 Квадратное уравнение )0(07317 22
 Dxx
 Уравнение 02667 24
 xxx  01)3()4( 222
 xx
 Множество чудовищ озера Лох-Несс…

9. Пересечение множеств
9
Примеры:
Система уравнений, Система неравенств





2222121
1212111
bxaxa
bxaxa





2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
Множество, включающее одновременно
элементы множеств A и B, называется
их пересечением и обозначается BA
Иногда пишут AB и используют термин «произведение» - так
будет через год в курсе теории вероятностей.
Системы линейных неравенств - основной аппарат
математической экономики и исследования операций.

10. Пересечение множеств
10
Пересечение множеств моделирует важный логический прием
наложения одновременно нескольких условий.
Это основной способ поиска истины в науке: от микробов до
глобальных финансовыых кризисов.
В сентябре 1887 г. Шерлоку
Холмсу (“Пять зернышек
апельсина”) понадобилось узнать
название судна: в январе 1883 года
оно было в Пондишери, в январе
1885 года - в Данди, а сейчас
стояло в Лондонском порту.
Только одно судно - “Одинокая
звезда” – удовлетворяло всем
условиям.

11. Объединение множеств
11
Множество, включающее элементы хотя бы
одного из множеств A и B, называется их
объединением и обозначается BA
Иногда пишут A+B и используют термин «сумма» - так тоже
будет через год в курсе теории вероятностей.
Объединение допускает одновременное выполнение двух условий,
хотя достаточно хотя выполнения хотя бы одного.
Пример: максимум непрерывной функции на отрезке
достигается или в одной из критических точек, либо в одной
из граничных точек отрезка.

12. Разность множеств
12
Множество, включающее все элементы A,
не входящие в B, называется их разностью
и обозначается BA
Пример:
Четные числа, не кратные 3.

13. Универсальное множество
13
Множество, включающее все элементы,
потенциально подлежащие рассмотрению,
называется универсальным множеством и
обозначается I.
Это принципиально важная идея, отличающая точную науку:
заранее указывать все мыслимые возможности: пространство
элементарных исходов в теории вероятностей, ансамбль
сообщений в теории информации, множества потребителей и
производителей в математической экономике.
Пример: В математическом анализе:
 Все действительные числа.
 Все непрерывные функции на отрезке.
В алгебре:
 Все определители второго порядка,
 Все трехмерные векторы

14. Дополнение до множества
14
Дополнение множества соответствует логическому отрицанию.
Элементы дополнения обладают свойством, противоположным к
тому, которым обладают элементы исходного множества.
Если I – универсальное множество, то
разность AI называется дополнением
множества A. Оно обычно обозначается как
A, иногда как )(ACI , или простоA .
Пример: Если I=N (множество натуральных чисел), и A –
множество всех нечетных чисел, то A’ – все четные числа.

15. Алгебраические свойства операций над множествами.
15
Многие свойства операций над множествами копируют
известные свойства операций над числами:
.
Например, A+B=B+A,
Доказывается включением в обе стороны.
При этом роль нуля играет пустое множество, а роль единицы -
универсальное множество.
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
a+0=a
a+(-a)=a-a=0
ab=ba
(ab)c=a(bc)
a(b+c)=ab+ac
a1=a

16. Алгебраические свойства операций над множествами.
16
Вначале алгебра множеств кажется обычной.
Пример: Если I=N (множество натуральных чисел), и A –
множество всех нечетных чисел, то A’ – все четные числа.
Чуть сложнее доказать
A(B+C)=AB+AC
Доказательство. Пусть x входит в A(B+C). Тогда x входит
в A и x входит в B+C. Это значит, что он входит по
крайней мере в одно из множеств x AB или AC, то есть
входит в AB+AC.
Наоборот, если x входит в AB+AC, то он входит по крайней
мере в одно из множеств AB или AC. Это означает, что он
обязательно входит в A, а также по крайней мере в одно из
множеств B или C, а это и означает, что он входит в
A(B+C). Оба включения доказаны.
Остальные свойства доказываются с использованием аналогичной
техники рассуждения.

17. Алгебраические свойства операций над множествами.
17
Вообще вся алгебра сохраняется
Пример: Если I=N (множество натуральных чисел), и A –
множество всех нечетных чисел, то A’ – все четные числа.
(A+B)2
=A2
+2AB + B2
Но начинаются чудеса!
(A+B)2
= (A + B),
так как A2
=A, B2
= B, ABA, A2
+ 2AB=
A+2AB=A

18. Необычная алгебра.
18
Появляется и новый распределительный закон, какого нет у чисел
Пример: Если I=N (множество натуральных чисел), и A –
множество всех нечетных чисел, то A’ – все четные числа.Операция “дополнение” вообще не имеет аналогов в алгебре, зато
на этой основе в теории вероятностей появляется особая алгебра
рискованных событий – там противоположные события
соответствуют “успеху” и “неудаче”
A+BC = (A+B)(A+C)
Непохожа и операция вычитания на обычное вычитание
A+(B - C)  (A+B) - C
Например, если все три множества
совпадают, A=B=C, то справа - пустое
множество, а слева - просто A.

19. Задачка на дом
19
Обычные и необычные свойства.
Найдите примеры «обычных» и «необычных»
свойств операций над множествами.
Приведите обоснование некоторых из
обнаруженных Вами свойств.

20. Свойства операции дополнения
20
Важные законы логики выражаются с помощью операции
дополнения множеств.
если BA  , то AB 
BABA  или BABA 
BABA  или BAAB 
Докажем последнее утверждение.
Пусть BAx  , тогда BAx  , значит x не принадлежит хотя
бы одному из множеств A или B. Но тогда он точно принадлежит
одному из дополнений A или B , а значит принадлежит их
объединению BA  .
Обратно, пусть )( BAx  , тогда верно хотя бы одно из
включений Ax или Bx . Значит, неверно хотя бы одно из
утверждений Ax или Bx , а это значит, что утверждение
BAx  неверно, и значит, верно BAx  .

21. Задачка на дом
21
Верно или неверно? Какие из указанных
свойств верны. Приведите обоснование.
• AA+BA
• AAB+B
• BA+B
• В  АB +A' B
• А  АB + A' B
• AB+BC A+C
• А+ABB
• AB'+BB'+A

22. Число элементов конечного множества
22
В течение всей этой лекции мы будем рассматривать конечные
множества. Их особенность состоит в том, что можно точно
сказать, сколько элементов есть в этом множестве.
На самом деле это утверждение о точном знании числа элементов
часто не реализуемо на практике. Например, никто в нашей стране
не знает, сколько в России жителей.
Будем обозначать символом N(X) количество
(численность) элементов множества X.
Символом N будем обозначать количество
элементов универсального множества I.
Очевидно, для любого множества X всегда
выполняется соотношение N(X)  N.

23. Число элементов, обладающих данным свойством.
23
Множества и подмножества могут задаваться заданием свойств,
которым удовлетворяют их элементы.
Пусть некоторое свойство обозначено как
A(x). Тогда число элементов, обладающих
таким свойством, будет обозначено как
N(A(x)), или, короче, N(A), где под A
понимается свойство A или множество
обладающих им элементов.
Пример: игральная кость имеет шесть граней, занумерованных
числами от 1 до 6, четных граней – половина (в силу
симметрии), так что N(четных граней) = 6/2 = 3.
Здесь и дальше используется терминология и примеры, обычные для
теории вероятностей, также лежащей в основании статистики.

24. Соотношение численностей для включения.
24
Если одно множество является подмножеством другого, то в нем не
больше элементов, чем в большем множестве.
Если BA  , то )()( BNAN 
Если BA  , то )()( BNAN 
Поскольку всегда XXY  , то
AAB  и BAB  , а значит
)()( ANABN  и )()( BNABN  .
Для простоты записи мы используем символ произведения вместо
пересечения (так принято в теории вероятностей и статистике).
Удобный способ получения новых свойств - «ограничение
совокупности» указанием дополнительного условия, то есть взятие
пересечения с другим множеством в обеих частях включения.

25. Соотношение численностей для суммы.
25
Чтобы получить точное равенство, нужно устранить «двойной счет»
Для простоты записи мы используем символ суммы вместо
объединения (так принято в теории вероятностей и статистике).
Как известно, всегда
)( ABBABA 
Следовательно, всегда
)()()( BNANBAN  .
)()()()( ABNBNANBAN 
Если два множества A и B не пересекаются, то
)()()( BNANBAN 

26. 26
Доказательство воспроизводит простое соображение на уровне
здравого смысла: сначала складываем численности отдельных
множеств, затем устраняем двойной счет для множеств AB, AC и BC
– мы делаем это трижды, поэтому для элементов ABC возникает
“перехлест”, который устраняем в самом конце.
)(
)()()(
)()()(
)(
ABCN
BCNACNABN
CNBNAN
CBAN




Принцип включения и исключения
Это - обобщение соотношения для суммы на
произвольное количество множеств.

27. Проблема совместимости численностей
27
Знание основных формул для численностей и условий совместимости
дает возможность обнаруживать ошибки и вранье в данных, и даже,
как мы увидим дальше, частично восстанавливать отсутствующие
(утраченные или скрытые) данные.
Численности подмножеств не могут быть
произвольными натуральными числами.
Различные формулы для численностей и
получаемые на их основе оценки требуют,
чтобы численности всех подмножеств
были согласованными или совместимыми

28. Условия совместимости для двух множеств
28
Два множества описывают два различных качественных признака.
Здесь четыре заключающих численности, дающих четыре условия.
0)( ABN
NBNANABN  )()()(
)()( ANABN 
)()( BNABN 
Второе условие, не такое очевидное, как остальные,
вытекает из следующей оценки
)()()()( ABNBNANBANN 

29. Условия совместимости для трех множеств
29
Два множества описывают три различных качественных признака.
Здесь восемь заключающих численностей, дающих восемь условий.
0)( ABCN
)()()()( ANACNABNABCN 
)()()()( BNBCNABNABCN 
)()()()( CNBCNACNABCN 
)()( ABNABCN 
)()( ACNABCN 
)()( BCNABCN 
NCNBNAN
BCNACNABNABCN


)()()(
)()()()(

30. Производные условия совместимости
30
Если мы математически выразим условие, что нижняя граница для
N(ABC) по формулам для двух множеств (с ограничением
совокупности) должна быть не больше верхней границы по
формулам для трех множеств, то получим еще 16 неравенств, из
которых только 4 условия являются содержательно новыми:
.

NCNBNAN
BCNACNABN


)()()(
)()()(
 )()()()( ANBCNACNABN 
 )()()()( BNBCNACNABN 
 )()()()( CNBCNACNABN 
Именно эти условия оказываются на практике в большинстве
случаев наиболее полезными.

31. Задачка на дом
31
Голая правда о факультативах
1. 105 студентов первого курса выбрали курс «Дискретная
математика», а 187 – курс «Непрерывная экономика». При
этом нашлись 33 энтузиаста, которые записались на оба
курса. Сколько студентов выбрали только один из курсов?
2. 45 студентов первого курса выбрали факультатив «Культура
речи», 75 студентов – «Культура деловой переписки» и 80
студентов – курс-практикум «Культура пития». При этом была
предоставлена возможность совмещать различные курсы, так
что 10 студентов записались на три курса одновременно, но все
же на каждом из курсов оказалось ровно 20 студентов, которые
учились исключительно на данном курсе, не совмещая его с
каким-либо другим. Сколько студентов выбрали ровно два курса
«Культура речи» и «Культура деловой переписки»?

32. Задачка на дом
32
В ожесточенном бою 70 из 100 пиратов потеряли один
глаз, 75 -одно ухо, 80 - одну руку и 90 - одну ногу.
Страховая компания “Веселый Роджер”, в которой
застрахованы пираты, задалась вопросом: каково
минимальное число потерявших одновременно глаз,
ухо, руку и ногу (страховой случай Total Permanent
Disablement, при котором выплаты компании
максимальны)?
Задача Льюиса Кэрролла
(Lewis Carrol – псевдоним математика
Чарльза Лютвиджа Доджсона).
A Tangled Tale - “Запутанная сказка”.

33. Задачка на дом
33
В одном из районов Англии обследовано 10 000
мальчиков школьного возраста, при этом были
обнаружены: A - недостатки физического развития,
B - признаки нервности, D - умственная вялость.
Точные данные таковы: N=10 000; N(A)=877;
N(B)=1 086; N(D)=789; N(AB)=336; N(BD)=455.
Показать, что некоторые умственно вялые мальчики
не обнаруживают недостатков физического развития и
установить минимальное число их.
Неутешительные результаты
переписи 1891 года в Англии.

34. Задачка на дом
34
В отчете об опросе 10000 покупателей было
указано, что 5010 покупателям нравится шоколад, 3470
любят конфеты, и 4820 покупателей обожают леденцы.
При этом в отчете также указано, что все три продукта
любят 500 покупателей, шоколад и конфеты (и возможно
также леденцы) – 1000 покупателей, шоколад и леденцы
(и возможно также конфеты) – 840 покупателей, конфеты
и леденцы (и возможно также шоколад) – 1410
покупателей. В действительности оказалось, что
последнее число 1410 ошибочно. Обозначим его истинное
значение через X. Найдите X, предположив, что каждому
покупателю нравится хоть один из указанных продуктов.
Сладкий детектив.
Продолжение на след. странице

35. 35
Увы, предположение оказалось неверным: было
обнаружено, что некоторым покупателям не нравится ни
один из перечисленных продуктов. Теперь однозначно
найти X уже невозможно. Можно ли найти максимально
возможное значение X? А минимально возможное
значение X?
(Две последние задачи были предложены недавно на экзамене по
математике за первый курс в Лондонском университете.
Кстати, по правилам Лондонского университета первая
пересдача проводится только через год.)
Задачка на дом (продолжение)

36. 36
Недавно Рэй Курцвейл озвучил подробно расписанный по годам
прогноз Google технических достижений, ожидающих человечество
(http://slon.ru/biz/1213655/). Но неужели все эти чудеса будут
соседствовать с безумно устаревшей моделью экономики, неужели
студенты будущего будут все так же заучивать еще более устаревшие
экономические догмы и в семнадцатый раз пересдавать матанализ?
Давайте попробуем сделать свой прогноз экономики и экономического
образования будущего! Как будут учиться ваши дети и внуки? Что они
будут изучать? Что их будет волновать?
Пожалуйста, отнеситесь к этому серьезно, никому не интересна фигня,
скачанная из интернет. Запишите именно свои авторские мысли и соображения.
Мы соберем все прогнозы, выберем хранителей этого богатства (я уже не
подойду на эту роль), и через много лет посмотрим, кто оказался прав!
ГЛАВНОЕ ЗАДАНИЕ КУРСА:
мой личный прогноз экономики
и экономического образования будущего.

37. Конец лекции