This document discusses algebraic expressions and factorizing notable products. It begins by defining algebra and different algebraic terms such as monomials and polynomials. It then explains operations like addition, subtraction, multiplication, and division of algebraic expressions. It also covers evaluating algebraic expressions for numeric values. The document focuses on notable products, describing different types like the square of a binomial, binomials with similar terms, conjugate binomials, and the cube of a binomial. It provides examples for each type. Finally, it discusses factorizing expressions using notable products, including the difference of squares, common factors, and perfect square trinomials.

1. Las Expresiones Algébricas y
Factorización de Productos
Notables
2a + 3b – 14c + d

2. El álgebra
Los autores Díaz, Arsuaga y Riaño (2005), coinciden con la definición del álgebra como la rama
matemática que estudia las operaciones algebraicas donde se combinan dos objetos llamados
operandos para obtener un tercero, el resultado. Además, para estos autores, el álgebra es uno de
los pilares básicos sobre los que se construye la matemática, por lo que ven importante conocer
sus principios fundamentales para el estudio de otras ramas matemáticas y sus aplicaciones
“El álgebra es la rama de
la matemática que tiene
por objeto el estudio de
las operaciones
algebraicas definidas en
conjuntos arbitrarios,
considerando operación
algebraica a toda ley
que asocia dos objetos
matemáticos (operandos)
con un tercer objeto
(resultado).” (Díaz,
Arsuaga y Riaño, 2005,
p.7).
Monomios: es el producto
entre un número real y por
una o varias variables.
Polinomios: es una expresión
algebraica formada por un monomio o
por la suma de varios monomios.
Clasificación

3. Suma y Resta De Expresiones
Algebraicas
Es aquella donde se suman todos los términos
sean monomios o polinomios indicados en una
operación o problema algebraico.
• Hallar P(x) Q(x)
P(x) + Q(x)
P(X) = 0x4 + 4x3 + 5x2 + 6x + 10
Q(x) =7x4 + 12x3 + 6x2 - 5x - 9
P(X) + Q(X) = 7X4 + 16X3 + 11X2 + X + 1
La resta o sustracción de monomios y polinomios
es una operación en la cual se quiere encontrar la
diferencia entre el minuendo y el sustraendo.
1. Se ordenan y completa los
polinomios, con los términos
faltantes.
2. Seguidamente se adiciona
algebraicamente cada termino
semejante de los Polinomio.
 Hallar P(x) + S(x)
S(x)= -5x3 +
2
3
x2 + 6x +
1
3
P(x)= 4x3 + 5x2 + 6x + 10
P(x) + S(x)= -x3 + (
2
3
+ 5)x2 + 12x + (
1
3
+
10)
P(x) + S(x)= -x3 + (
2+15
3
)x2 + 12x + (
1+30
3
)
P(x) + S(x)= -x3 + (
𝟏𝟕
𝟑
)x2 + 12x + (
𝟑𝟏
𝟑
)

4. Multiplicación De
Expresiones Algebraicas
Es una operación matemática que consiste en
obtener un resultado llamado producto a partir
de dos factores algebraicos llamada
multiplicando y multiplicador
a) De polinomios. Sean P(x)= 4x3 + 5x2 + 2x + + 6
y el binomio S(x)= 3x2 + 4x
 Hallar P(x). S(x)
4x3 + 5x2 + 2x + + 6
3x2 + 4x
12x5+ 15x4+ 6x3+ 18x2
16x4+ 20x3+ 8x2+24x
12x5+ 31x4+ 26x3+ 26x2+ 24x
b) De polinomios. Sean M(t) = 5t3 – 6t2 + 8t - 10
y el binomio Q(t) = 4t3 + 3t2 + 2t
Hallar M(t). Q(t)
M(t) = 5t3 – 6t2 + 8t - 10
Q(t) = 4t3 + 3t2 + 2t
20t6- 24t5+ 32t4 + 40t3
15t5- 18t4 +24t3- 30t2
10t4+ 12t3+162-20t
M(t). Q(t)= 20t6 -9t5+24t4+ 28t3+14t2-20t

5. R(x)= 6x3 + 3x + 9
Y(x)= x + 4
Y(x)= x +
División De
Expresiones Algebraicas
Es una operación entre dos expresiones
algebraicas llamadas dividendo y divisor
para obtener otra expresión llamado
cociente por medio de un algoritmo.
DIVISOR
X + 2
4x2- 2x + 6
COCIENTE
P(x)= 4x3+6x2+ 2x+ 12
Q(x)= x+2
Dividendo
4x3 + 6x2 + 2x + 12
4x3 – 8x2
-2x2 + 2x + 12
2x2+ 4x
6x + 12
-6 - 12
0. (Resto)
Hallar
𝑹(𝒙)
𝒀(𝒙)
1er ordenamos y completamos el Polinomio da
6x3 + 0x2 + 3x + 9
6x3 + 24x2
24x2
– 3x + 9
24x2
+ 96x
93x + 9
-93x + 372
381 (Resto)
DIVISOR
X + 4
6x2
- 24x + 93
COCIENTE
• Dado el Polinomio R(x)= 6x3 + 3x + 9
Y(x)= x + 4
• Dado el Polinomio P(x)= 4x3+6x2+
2x+ 12
Q(x)= x+2
Hallar
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
Hallar
𝑹(𝒙)
𝒀(𝒙)

6. Valor numérico De Expresiones
Algebraicas
El valor numérico de una expresión algebraica,
para un determinado valor, es el número que se
obtiene al sustituir en ésta por valor numérico
dado y realizar las operaciones indicadas.
 Sea el Polinomio P(x)= 2x2 + 4x + 6
Hallar P(x). P(-2)
P (-2) = 2(-2)2 + 4(-2) + 6
P (-2) = 2 . -4 -8 + 6
P (-2) = 8 -8 + 6
P (-2) = 6
P (3) = 2(3)2 + 4(3) + 6
P (3) = 2 . 9 + 12 + 6
P (3) = 18 + 12 + 6
P (3) = 36
• Sea el Polinomio S(t)= 2t2 – 3t + 5
Hallar S(½)= 2(𝟏
𝟐
)2 - 3(𝟏
𝟐
) + 5
S(½)= 2 .
1
4
-
3
2
+ 5
S(½)= (
1
2
-
3
2
) + 5
S(½)= (
−2
2
) + 5
S(½)= (-1) + 5
S(½)= 4

7. Productos Notables de
Expresiones Algebraicas
Son simplemente multiplicaciones especiales entre
expresiones algebraicas. Las características que hacen que
un producto sea notable, es que se cumplen ciertas reglas,
tal que el resultado puede ser obtenido de una manera mas
rápida, sin la necesidad de hacer comprobantes.
o Binomio al cuadrado
Formula: (a+b)2= a2 + 2a. b+b2
a) (3x + 2)2= (3x)2 + 2. 3x . 2 + 22
(3x + 2)2= 9x2 + 12x + 4.
b) (4z - 5)2= (4z)2 - 2. 4z. 5 + (5)2
(4z - 5)2= 16z2 - 40z + 25.
o Binomio con términos semejantes
Formula: (a+b) (a+c) = a2+a(b +c) +b.c
a) (3x+2) (3x+5) = (3x)2+3x (2+5) +(2.5)
(3x+2) (3x+5) = 9x2+21x+10
b) (3z+5) (3z-2) = (3z)2+3z (5-2) +(5. (-2))
(3z+5) (3z-2) = 9z2+9z-10
TIPOS DE
PRODUCTOS NOTABLES

8. Tipos de
Productos Notables
(continuación)
o Binomio conjugado
Formula: (a+b). (a+b) = a2-b2
a) (5x+9) (5x-9) = (5x)2-92
(5x+9) (5x-9) = 2x2-81
b) (4m2-8n2) (4m2+ 8n2) = (4m3)2 – (8n2)2
(4m2-8n2) (4m2+ 8n2) = 16m6 – 64n4
o El cubo de un binomio
Formula: (a+b)3 = a3+3a2b + 3ab2 +b3
a) (4x+2)3 = (4x)3 + 3(4x)2 .2+ 3.4x. (2)2+23
(4x+2)3 = 64x3 + 6.16x2 + 12x. 4 + 8
(4x+2)3 = 64x + 96x2 + 48x + 8
b) (5x+2y)3 = (5x)3 + 3(5x)2 (-2y) + 3.5x.(-2y)2 + (-2y)3
(5x+2y)3 = 125x3 + 6.25x2y + 15x.4y2 – 8y3
(5x+2y)3 = 125x3-150x2y + 60xy2 – 8y3

9. Factorización por Productos
Notables
Es una técnica que consiste en descomposición de
una expresión matemática (que puede ser un
numero o una suma).
 Diferencia de cuadrado
Formula: (ay-by) (ay+bx) = (ay)2-(bx)2
a) 144m2-25n2 = (12m-5n) (12m-5n)
b) 49x4- 36y2 = (7x2-6y) (7x2+6y)
c) 100r4-81q4 = (10r2-9q2) (10r2+9q2)
 Factor común
Formula: a2+ab=a(a + b)
a) 16x2 + 64x2y2= 16x2 (x2+4y2)
b) am+bm+an+bn= a(m+n) + b(m+n)
= (m+n) + (a+b)
c) 4x2 (y+4) + 12x(y+4) + 9(y+4)
(4x2 +12x+9) (y+4)
(2x+3)2 (y+4)

10. Factorización por Productos
Notables (continuación)
 Trinomio cuadrado perfecto por adición
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados
perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante una
suma para que sea el doble producto de las dos raíces (para
completar el trinomio cuadrado perfecto. El valor que se suma
es el mismo que se resta para que el ejercicio no cambie)
Le sumamos para
tener 2xy
a) =X2 + xy + y2
=X2 + xy + y2 + (Xy-Xy)
=X2+ 2xy + y2 –xy
= (x+y)2 -xy
b) 25a2 +20ab2 + 16b2
25a2 +20ab2 + 16b2+ (25a +20ab)
25a2 + 40ab + 16b2+ (-29ab)
(5a+4b)2 – 20ab
 Trinomio cuadrado perfecto
Hemos visto que al desarrollar el binomio (a+b)2 es el resultado
de obtener un trinomio de la forma a2+ 2a. b + b2 donde
podemos observar 2 (términos) positivos elevados al cuadrado
a1 b2 y el segundo término es dos veces el producto de las
raíces cuadradas.
Así 2a. b Puede ser Negativo o Positivo.
a) 16x + 40xy + 25y2 = (4x+5y)2
(4x)2 (4x.5y) (5y)2
b) 9m2n4 + 6mn4 + n4
(3mn2)2 2(3mn2. n2) (n2)2

11. Bibliografía
 (Díaz, Arsuaga y Riaño, 2005, p.7)
http://repositori.uji.es/xmlui/bitstream/handle/10234/161973/TFG_2015_felipS.pdf?sequence=1&isAllowed=y
 Suma: https://www.youtube.com/watch?v=FboTr4foiJE&feature=emb_title
 Resta: https://www.matematicas18.com/es/tutoriales/algebra/resta-de-monomios-y-polinomios/
 Multiplicación: https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/multiplicacion-
algebraica/#:~:text=La%20multiplicaci%C3%B3n%20de%20dos%20expresiones,algebraicos%20llamada%20multi
plicando%20y%20multiplicador.
 División: https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/5-division-algebraica/
 Valor numérico: https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/algebra/valor-
numerico.html#:~:text=Valor%20num%C3%A9rico%20de%20una%20expresi%C3%B3n,y%20realizar%20las%20op
eraciones%20indicadas.
 Productos notables:
http://prometeo.matem.unam.mx/recursos/Licenciatura/TallerMate_UAM_CUAJIMALPA//scorm_player/1192/co
ntent/index.html#:~:text=En%20matem%C3%A1ticas%2C%20un%20producto%20corresponde,obtiene%20al%20
realizar%20una%20multiplicaci%C3%B3n.&text=Entonces%2C%20los%20productos%20notables%20son,destaca
n%20de%20las%20dem%C3%A1s%20multiplicaciones.
 Factorización de productos notables: (Osal Kevin, 2021)