1. Batas denominator nol
Beberapa batas yang paling berguna adalah batas dimana denominator adalah 0, genap.
Meskipun teorema batas kita sebelumnya tidak dapat diterapkan secara langsung dalam kasus
ini. Jenis batas ini bisa ada hanya jika ada semacam pembatalan yang berasal dari pembilang.
Kuncinya adalah mencari faktor umum pembilang dan Penyebut yang akan dibatalkan.
MASALAH Mengevaluasi batasan berikut
a. lim
𝑥→4
𝑥3−8
𝑥−2
b. lim
ℎ→0
(5𝑥2+10𝑥ℎ+5ℎ2+2)−(5𝑥2+2)
ℎ
c. lim
ℎ→0
√𝑥+ℎ− √ 𝑥
ℎ
SOLUSI
a. lim
𝑥→4
𝑥3−8
𝑥−2
= lim
𝑥→4
(𝑥−2)+(𝑥2+2𝑥+4)
(𝑥−2)
= lim
𝑥→4
(𝑥2
+2x+4) = 28
b. lim
ℎ→0
(5𝑥2+10𝑥ℎ+5ℎ2+2)−(5𝑥2+2)
ℎ
= lim
ℎ→0
10𝑥ℎ+5ℎ2
ℎ
=lim
𝑥→4
(10𝑥 + 5ℎ) = 10x
c. lim
ℎ→0
√𝑥+ℎ− √ 𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
(√𝑥+ℎ − √𝑥)(√𝑥+ℎ +√𝑥)
ℎ(√𝑥+ℎ + √𝑥)
= lim
ℎ→0
(𝑥+ℎ)−𝑥
ℎ(√𝑥+ℎ + √𝑥)
= lim
ℎ→0
ℎ
ℎ(√𝑥+ℎ + √𝑥)
=lim
ℎ→0
1
ℎ(√𝑥+ℎ + √𝑥)
=
1
2√ 𝑥
MASALAH
Jika f(x) = 6x² + 7 , kemudian selesaikan lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
SOLUSI
lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
(6(𝑥+ℎ)2+7)−(6𝑥2+7)
ℎ
= lim
ℎ→0
6𝑥2+12𝑥ℎ+6ℎ2+7−6𝑥2−7
ℎ
=lim
ℎ→0
(12𝑥 + 6ℎ) = 12x
2. LATIHAN 2.1
Mengevaluasi batas berikut.
1. lim
𝑥→3
𝑥−3
𝑥2 + 𝑥 − 12
2. lim
ℎ→0
(𝑥+ℎ)2+𝑥²
ℎ
3. lim
𝑥→4
𝑥3−64
𝑥2−16
4. Jika f(x) = 5x + 8, kemudian selesaikan lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
5. lim
𝑥→3
5𝑥+7
𝑥2 −3
6. lim
𝑥→25
√ 𝑥−5
𝑥−25
7. Jika g(x) = x², kemudian selesaikan lim
𝑥→2
𝑔(𝑥)−𝑔(2)
𝑥−2
8. lim
𝑥→0
2𝑥2−4𝑥
𝑥
9. lim
𝑟→0
√ 𝑥+𝑟− √ 𝑥
𝑟
10. lim
𝑥→4
𝑥3−6
𝑥−4
Batasan tak terbatas dan keterbatasan yang tak
terbatas
Variabel x dikatakan mendekati ∞ (−∞) jika x meningkat (menurun) tanpa terikat.
Misalnya, x mendekati ∞ jika x mengasumsikan nilai 2, 3, 4, 5, 6, dan seterusnya, berturut-
turut. Perhatikan, bagaimanapun, y tidak mendekati tak terhingga jika y mengasumsikan nilai
2, -2, 4, -4, 6, -6, dan seterusnya, sama cara.
Fungsi menjadi tidak terbatas secara positif seperti x mendekati ∞ jika untuk setiap M > 0,
f(x) > M untuk setiap x mendekati, tapi tidak sama dengan, ∞. Demikian pula, fungsi
menjadi tidak terbatas secara negatif seperti x mendekati ∞ jika untuk setiap M < 0, f (x) <
M untuk setiap x mendekati, namun tidak sama dengan, ∞.
3. MASALAH Mengevaluasi batasan berikut
a. lim
𝑥→∞
𝑎
𝑥
, Dimana ada yang konstan
b. lim
𝑥→∞
𝑥²
c. lim
𝑥→∞
3𝑥+12
𝑥−1
d. lim
𝑥→3
4
⎸𝑥−3⎹
SOLUTION
a. lim
𝑥→∞
𝑎
𝑥
, Untuk setiap konstan
b. lim
𝑥→∞
𝑥² = ∞
c. lim
𝑥→∞
3𝑥+12
𝑥−1
= lim
𝑥→∞
3+
12
𝑥
1−
1
𝑥
=
3+0
1−0
= 3
d. lim
𝑥→3
4
⎸𝑥−3⎹
= ∞
LATIHAN 2.2
Mengevaluasi batas berikut.
1. lim
𝑥→∞
(5𝑥 − 7)
2. lim
𝑥→∞
7
𝑥³
3. lim
𝑥→∞
(3𝑥 + 95)
4. lim
𝑥→∞
𝑥3−𝑥2+47𝑥+9
8𝑥3+76𝑥−11
5. lim
𝑥→∞
8
4−𝑥
6. lim
𝑥→∞
𝑥−2
𝑥2−5𝑥+6
7. lim
𝑥→∞
𝑥5+6𝑥3−7
5𝑥6+6𝑥2−11
4. 8. lim
𝑥→∞
7𝑥4+6𝑥2−3𝑥
3𝑥3−7𝑥+5
9. lim
𝑥→∞
2𝑥3+8𝑥−5
−3𝑥2+4
10. lim
𝑥→∞
5
𝑥2−4
Batas kiri dan kanan
Batas arah diperlukan dalam banyak aplikasi dan kita menulis lim
𝑥→𝑐⁺
𝑓(𝑥) untuk menunjukkan
batasnya konsep sebagai x mendekati c melalui nilai x lebih besar dari c. Batas ini disebut
tangan kanan batas f pada c; Dan, sama halnya, lim
𝑥→𝑐¯
𝑓(𝑥) adalah notasi untuk batas kiri f pada
c.
Teorema: lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = L jika dan hanya jika lim
𝑥→𝑐⁺
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑐¯
𝑓(𝑥)= L. Teorema ini adalah alat
yang sangat berguna dalam mengevaluasi batas-batas tertentu dan dalam menentukan apakah
ada batas.
MASALAH Mengevaluasi batasan berikut
a. lim
𝑥→3⁺
4
𝑥−3
b. lim
𝑥→1¯
15
𝑥−1
c. lim
𝑥→2⁺
[𝑥] , Catatan : [𝑥] Menunjukkan fungsi bilangan bulat terbesar ( lihat lampiran
A )
d. lim
𝑥→2¯
[𝑥]
e. lim
𝑥→2
[𝑥]
SOLUTION
a. lim
𝑥→3⁺
4
𝑥−3
= ∞
b. lim
𝑥→1¯
15
𝑥−1
= -∞
c. lim
𝑥→2⁺
[𝑥] = 2
d. lim
𝑥→2¯
[𝑥] = 1
e. lim
𝑥→2
[𝑥], Tidak ada karena lim
𝑥→2⁺
[𝑥] = 2 dan lim
𝑥→2¯
[𝑥] = 1, sehingga batas kanan dan
kiri tidak sama.
