The document contains 10 problems involving calculating partial derivatives of multivariate functions. The problems cover finding partial derivatives of functions with respect to different variables, taking partial derivatives of higher order, and determining partial derivatives of composite functions involving operations like logarithms, exponents, trigonometric functions and their inverses. The solutions provide the step-by-step workings to arrive at the partial derivative expressions for each problem.

1. LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Misalkan 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥𝑦2
− sin⁡
(𝑥𝑦). Tentukanlah derivatif parsial fungsi tersebut?
2. Carilah turunan parsial terhadap x1 dan x2 dari fungsi
𝑦 = 𝑓(𝑥1,𝑥2) = 3𝑥1
2
+ 𝑥1𝑥2 + 4𝑥2
2
3. Tentukan
x
z


dan
y
z


dari 𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3
+ 6𝑥𝑦𝑧 = 1.
4. Tentukanlah turunan parsial 𝑧 = ln⁡
(𝑥2
+ 𝑦2
) terhadap x dan y!
5. Jika 𝑧 = 𝑥2
⁡sin⁡
(𝑥𝑦2
). Carilah
x
z


6. Tentukan turunan parsial terhadap 













z
w
y
w
x
w
z
y
x ,
,
,
, dari fungsi berikut:
𝑤 = 𝑥2
− 𝑥𝑦 + 𝑦2
+ 2𝑦𝑧 + 2𝑧2
+ 𝑧
7. Tentukan turunan parsial dari fungsi 𝑦 = 𝑥3
+ 5𝑧2
− 4𝑥2
𝑧 − 6𝑥𝑧2
+ 8𝑧 − 7.
8. Tentukan turunan parsial x dan y dari fungsi berikut: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥𝑦
+ 𝑦 ln 𝑥
9. Tentukan semua turunan parsial orde 2 dari 𝑤 = 𝑥3
𝑦2
− 𝑥𝑦5
10. Ditentukan f(x,y,z) = xyz + 2 tan 





x
y
. Carilah turunan parsial pertamanya.

2. PENYELESAIAN:
1. Misalkan )
sin(
)
,
(
2
xy
y
x
f xy 
 . Tentukanlah derivatif parsial fungsi terebut!
Penyelesaian:
)
cos(
2 xy
x
xy
y
f




)
cos(
2
xy
y
x
f
y 



xy
xy
y
x
x
f
x
f
y
y
x
sin
)
cos(
2
2
2
2






 
















  )
cos(
cos
2
)
cos(
2 xy
xy
xy
y
xy
x
xy
x
y
f
x



















)
cos(
cos
2
)
cos(
2
xy
xy
xy
y
xy
y
y
x
f
y
y 







 













  xy
x
xy
x
xy
y
y
f
y
y
f
x sin
2
)
cos(
2
2
2
2





















Maka diperoleh,























x
f
y
y
f
x
2. Carilah turunan parsial terhadap x1 dan x2 dari fungsi
𝑦 = 𝑓(𝑥1,𝑥2) = 3𝑥1
2
+ 𝑥1𝑥2 + 4𝑥2
2
Penyelesaian:
Turunan terhadap x1
x
x
x
y
2
1
1
6 



Turunan terhadap x2
x
x
x
y
1
2
1
8 



3. Tentukan
x
z


dan
y
z


dari 1
6
3
3
3



 xyz
z
y
x .
Penyelesaian:
Misalkan 1
6
)
,
,
(
3
3
3




 xyz
z
y
x
f z
y
x . Maka:

3. xy
yz
xy
yz
z
f
x
f
x
z
z
x
z
x
2
2
6
6
2
2
2
2
3
3













dan
xy
xz
xy
xz
z
f
y
f
y
z
z
y
z
y
2
2
6
6
2
2
2
2
3
3













4. Tentukanlah turunan parsial 




 
 y
x
z
2
2
ln terhadap x dan y
Penyelesaian:
y
x
y
x x
x
x
z
2
2
2
2
2
ln








 




dan
y
x
y
x y
y
y
z
2
2
2
2
2
ln








 




Maka diperoleh,
2
2
2
2
2
2
2










y
x
y
x
y
y
x
x
y
z
y
x
z
x
5. Jika 





 xy
x
z
2
2
sin . Carilah
x
z


Penyelesaian:
 
x
xy
xy
x x
x
x
z 2
2
2
2
sin
sin














 










x
x
x
z
xy
xy
xy
x 2
sin
cos
2
2
2
2








































xy
y
xy
x x
x
z 2
2
2
2
sin
2
cos
















xy
xy
y
x x
x
z 2
2
2
2
sin
2
cos

















xy
x
xy
x y
xy
x
z 2
3
2
2
cos
2
cos 2
6. Tentukan turunan parsial terhadap 













z
w
y
w
x
w
z
y
x ,
,
,
, dari fungsi berikut:
z
yz
xy
w z
y
x 




 2
2
2
2
2
Penyelesaian:
y
x
x
w




2

4. z
y
x
y
w
2
2 





1
4
2 




z
y
z
w
7. Tentukan turunan parsial dari fungsi 7
8
6
4
5
2
2
2
3





 z
z
y xz
x
z
x .
Penyelesaian:
Turunan pertama y terhadap x dan z
z
x xz
x
y
6
3
2
2
8 




x
x
y
x
8
6
2
2




z
x
z
x
y
12
8
2






Turunan kedua y terhadap x dan z
8
12
4
10
2





 xz
z
y
x
z
x
y
z
12
10
2
2




z
x
x
z
y
12
8
2






8. Tentukan turunan parsial x dan y dari fungsi berikut:
x
y
y
x
f e
xy
ln
)
,
( 

Penyelesaian:
x
y
x
y
y
x
y
x
f
ye
e
f
xy
xy
x








 1
)
,
(
x
x
x
y
y
x
f
xe
e
f
xy
xy
x
ln
ln
1
)
,
(









9. Tentukan semua turunan parsial orde 2 dari xy
y
x
w
5
2
3

 .
Penyelesaian:

5. y
y
x
x
w 5
2
2
3 



xy
x y
y
w
5
2
4
3




xy
x x
w
x
w
6
2
2
2














xy
x
y y
w
y
w
20
2 3
3
2
2


 













y
y
x
y
w
x
y
x
w
5
6 2
4
2

 















y
y
x
y
w
y
x
y
w
5
6 2
4
2

 















10. Ditentukan f(x,y,z) = xyz + 2 tan 





x
y
. Carilah turunan parsial pertamanya.
Penyelesaian:
yz
x
z
y
x
f


 )
,
,
(
+
2
2
1
2
x
y







 2
x
y
=
)
1
(
2
2
2
2
y
x
yx
yz


xz
y
z
y
x
f


 )
,
,
(
+
2
2
1
2
x
y







x
1
=
)
1
(
2
2
2
y
x
x
xz


xy
z
z
y
x
f


 )
,
,
(