1. Nome originario: Giuseppe Luigi
Lagrangia
Nato a Torino il 25 gennaio 1736;
morto a Parigi il 10 aprile 1813
2. VITA
Joseph-Louis Lagrange, nato Giuseppe Luigi Lagrangia è stato
un matematico e astronomo italiano attivo, nella sua maturità
scientifica, per ventuno anni a Berlino e per ventisei a Parigi.
Lagrange viene unanimemente considerato tra i maggiori e più influenti
matematici del XVIII secolo. La sua più importante opera è Mécanique
analytique, pubblicata nel 1788. In campo matematico Lagrange è
ricordato per i contributi dati alla teoria dei numeri, per aver sviluppato
il calcolo delle variazioni, per aver delineato i fondamenti
della meccanica razionale, nella formulazione nota come meccanica
lagrangiana, per i risultati nel campo delle equazioni differenziali e per
essere stato uno dei pionieri della teoria dei gruppi.
Nel settore della meccanica celeste condusse ricerche sul fenomeno
della librazione lunare e, in seguito, sui movimenti dei satelliti
del pianeta Giove; indagò con il rigore del calcolo matematico
il problema dei tre corpi e del loro equilibrio dinamico.
3. TEOREMA DI LAGRANGE
In analisi matematica il teorema di Lagrange (o del valor
medio o dell'incremento finito) è un risultato che si applica
a funzioni di variabile reale e afferma, dal punto di vista
geometrico, che dato il grafico di una funzione tra due estremi,
esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela
alla secante passante per gli estremi.
5. SPIEGAZIONE SIGNIFICATO
GEOMETRICO
Supponiamo di avere una funzione f di
variabile reale definita
nell'intervallo [a,b], come
nell'immagine. Supponiamo che essa
sia continua e che in ogni punto del
suo grafico - esclusi (a,f(a)) e (b,f(b)) -
sia ben definita la retta tangente,
quest'ultima non parallela all'asse
delle ordinate (supponiamo cioè che la
funzione f sia derivabile in (a,b)).
Tracciamo la retta secante il grafico,
passante per i punti (a,f(a)) e (b,f(b)).
Il teorema di Lagrange afferma che
esiste almeno un punto in (a,b) tale
che la tangente al grafico di f nel
punto (c,f(c)) abbia la stessa
pendenza della retta passante per i
punti (a,f(a)) e (b,f(b)).
6. 1° COROLLARIO DEL
TEOREMA DI LAGRANGE
L’importanza fondamentale del teorema
di Lagrange è legata al fatto che essa ci
consente di trarre informazione su una
funzione a partire da proprietà della sua
derivata.
COROLLARIO:
Sia f una funzione derivabile in un
intervallo I è tale che f’(x) = 0 per ogni x
ϵ I; allora f è costante in I.
7. DIMOSTRAZIONE
Siano x1 , x2 due punti qualsiasi appartenenti all’intervallo I,
con x1 < x2 . Poiché f è derivabile in I, allora deve essere
derivabile anche in [x1 ,x2 ], quindi possiamo applicare il
teorema di Lagrange alla funzione f in [x1 , x2 ]. Ne segue
che esiste c ϵ (x1 , x2 ) tale che:
f’(c)= f(x2)-f(x1) / x2 – x1
Poiché per ipotesi f’ (X)= 0 per ogni x ϵ I , deve essere
f’(c) =0 , quindi: f(x2)=f(x1)
Data l’arbitrarietà di x1, x2 possiamo concludere che la
funzione f assume lo stesso valore per ogni coppia di
punti appartenenti all’intervallo I, quindi è constante in I.
8. 2°COROLLARIO DEL
TEOREMA DI LAGRANGE
Se f e g sono due funzioni derivabili in
un intervallo I e tali che f’(x)=g’(x) per
ogni x ϵ I, allora esse differiscono per
una costante c ϵ R, cioè:
f(x)=g(x)+c per ogni x ϵ I
9. Dimostrazione
Consideriamo la funzione F(x)= f(x)-g(x).
Abbiamo, per l’ipotesi, che:
F’(x)= f’(x)-g’(x)=0
per ogni x ϵ I. Allora, per il primo corollario,
la funzione F è costante in I, vale a dire
f(x)-g(x)= c per un opportuno c ϵ R,
ossia: f(x) = g(x)+c
Occorre prestare attenzione a non
applicare i due corollari ad insiemi che
non sono intervalli.
