Simmetrie specchi incidenti

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Simmetrie specchi incidenti

  1. 1. SimmetrieGiochi di specchi
  2. 2. Osserviamo in natura qualcosa che abbia unasse di simmetria, per esempio una farfalla.Ne disegniamo una metà [disegno di Davì] …
  3. 3. Se appoggiamo un solo specchio,che è come se appoggiassimo gli specchiincidenti aprendoli di un angolo di 180°,vediamo la farfalla intera!
  4. 4. Se segniamo sul bordo del foglio un angolo da90° e apriamo gli specchi su questangolo,vediamo 4 mezze farfalle. La farfallaraddoppiata!
  5. 5. Allora, se pensiamo a qualcosa cha abbia piùassi di simmetria o una simmetria centrale.Per esempio un fiore [disegno Davì]. Nedisegniamo un quarto …
  6. 6. Se apriamo gli specchi a 90° suilati che sono metà asse disimmetria, vediamo il fiore intero!
  7. 7. Altro fiore [disegno di Andrea F.]
  8. 8. Ora passiamo a disegnare figuregeometriche: i poligoni regolari.Partiamo da un quadrato.Apriamo gli specchi a 90°, sui latidel quadrato …
  9. 9. Le riflessioni suglispecchi ci dannoun quadrato intero(quadruplo delprimo):Osserviamo dueassi di simmetria,le mediane!E annotiamo:Quadrato, 4 lati,angolo di aperturadegli specchi: 90°
  10. 10. Quadrato su cartoncino [lavori di Davì a casa]
  11. 11. Mediane
  12. 12. Ma vogliamo evidenziare gli altri due assidi simmetria: le diagonali. Queste passano per i vertici del quadrato.Il quarto di quadrato lo dobbiamopreparare diversamente: triangolare.
  13. 13. Un triangolo rettangolo isoscele: cateti uguali,mezze diagonali. Appoggiamo gli specchisull’angolo retto …
  14. 14. Ecco il quadrato intero con le due diagonali, assidi simmetria.
  15. 15. Ma se posizioniamo gli specchisull’angolo acuto (45°) dello stessotriangolo rettangolo isoscele …
  16. 16. Ecco tutti gli assi di simmetria del quadrato: mediane ediagonali!
  17. 17. Annotiamo anche:apertura degli specchi a 45°, la figura dipartenza si è riflessa 7 volte.Come se avessimo ottenuto un ottagono, 8 lati.Ma i lati sono a due a due uno prolungamentodell’altro e allora abbiamo un quadrato.
  18. 18. Cominciamo a capire che :per ottenere un esagono, lafigura deve riflettersi 5 volte.«Infatti, tutti diciamo subito,possiamo costruire un triangoloequilatero, che è 1/6dell’esagono regolare»
  19. 19. Appoggiamo gli specchi lungo due lati: apertura 60°e…
  20. 20. Ecco l’esagono, con 3 assi di simmetria: le 3 diagonali!
  21. 21. Ancora unafoto. E…aperturaspecchi60°,poligono di6 lati
  22. 22. Ma, come per il quadrato e per tutti ipoligoni regolari con numero pari di lati:assi di simmetria sono diagonali emediane.Per vedere le mediane con gli specchi,costruiamo un triangolo rettangolometà del triangolo equilatero.
  23. 23. Appoggiamo gli specchi sui lati cheformano l’angolo acuto da 30° e…
  24. 24. Ecco l’esagono con i 6 assi di simmetria:3 diagonali e 3 mediane!
  25. 25. Questa è un’immagine dei tentativi, tracciando l’altezza deltriangolo equilatero… ma poi appoggiavamo gli specchisempre sull’angolo di 60°! Ma così abbiamo potuto vedere untriangolo equilatero inscritto in un esagono: è la metà!
  26. 26. A questo punto, con commenti e osservazioni di …tanti di noi!E con le annotazioni, abbiamo capito che:per ottenere con gli specchi il pentagono regolare,dobbiamo costruire un triangolo isoscele conl’angolo al vertice di 72°: 360°/5Abbiamo voluto fare le costruzioni con Geogebra. Simulandogli specchi…Le immagini sono la sintesi dei lavori di Igor, Stefano, Davì,Davide D., Beatrice, Marco N., Daniele.
  27. 27. Appoggiando gli specchiincidenti sui lati obliqui deltriangolo isoscele, angoloda 72°, ecco ilpentagono regolare. I 5triangoli isosceli sonoreciprocamente simmetricirispetto a uno dei lati obliqui.Ma non vediamo gli assi disimmetria del pentagono!
  28. 28. Ora lo sappiamo:dividiamo in 2 parti ugualiil triangolo che riflessonello specchio forma ilpentagono. Otteniamo untriangolo rettangolo, conuno degli angoli acuti di36°
  29. 29. Appoggiando gli specchiincidenti sui lati che formanolangolo di 36° otteniamo ilpentagonocon tutti i suoi assi disimmetria, sono tuttemediane: 5!Il poligono regolare ha unnumero dispari di lati.
  30. 30. Questo è l’ettagono, ottenuto dalle riflessioni di untriangolo isoscele con angolo acuto di 51,42…° : 360/7Non vediamo assi di simmetria. Succede come per ilpentagono, il poligono ha numero dispari di lati …
  31. 31. Come il triangolo equilatero, 3 lati, angolo di apertura deglispecchi: 120° [qualcuno ha usato uno specchio rotondo, si abbiapazienza… ! ]
  32. 32. Abbiamo raccolto in una tabella la corrispondenza:numero di lati del poligono visualizzato – angolo diapertura degli specchi incidenti Lati Gradi 3 120° 4 90° 5 72° 6 60° 7 51°,42 8 45° 9 40°
  33. 33. La tabella ci dice: dimezzando l’ampiezzaLati Gradi dell’angolo, raddoppia il numero di lati, se 3 120° l’ampiezza diventa 1/3, 4 90° il numero di lati triplica, ecc… Il 5 72° prodotto dei valori 6 60° corrispondenti delle due 7 51°,42 grandezze è costante: è 360! 8 45° Si tratta di una legge 9 40° matematica che impareremo a conoscere bene!

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