1. ความนาจะเปน
ในชีวิตประจําวันเคยไดยินประโยคเหลานี้หรือเปลา
- พรุงนี้จะมีฝนตก 70% ของพื้นที่
- คาดวานักทองเที่ยวแถบอันดามันลดลง 20%
- การแขงขันฟุตบอลระหวางทีมไทยกับทีมเวียดนาม คาดวาไทยชนะ 5 ตอ 2
จากขอมูลขางตนเปนการคาดคะเน การทํานาย โอกาส หรือความเปนไปไดที่จะ
เกิดเหตุการณ ซึ่งเราไมสามารถบอกไดชัดวาเหตุการณเหลานั้นจะเกิดขึ้นหรือไม จนกวา
จะถึงเวลาที่กําหนด แตในทางคณิตศาสตร อาจหาจํานวนจํานวนหนึ่งที่บงบอกถึงโอกาส
มากนอ ยที่จะเกิ ดแตละเหตุก ารณเ กลานั้น และเรียกจํานวนนั้นวา ความนาจะเปน ของ
เหตุการณ
รูจักความหมาย
ความนาจะเปนของเหตุการณ คือ จํานวนหนึ่งที่บงบอกถึงโอกาสมากนอยที่จะ
เกิดแตละเหตุการณเหลานั้น
การทดลองสุม คือ การกระทํ า ที่ เ ราไมส ามารถบอกลว งหน าได วา ผลลั พธ ที่
เกิ ดขึ้น จากแตล ะการกระทําเปน อะไร แตสามารถบอกไดวามีผลลั พธอ ะไรบางที่ จ ะ
เกิดขึ้นได

2. ตัวอยาง ที่ 1
1. ถาโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 ครั้ง หนาที่หงายขึ้นอาจจะออกดาน...............
(ตอบ ออกหัว หรือออกกอย)
2. ขวดโหลใบหนึงมีลูกปงปองสีเขียว สีฟา สีสม และสีแดง ถาหยิบ
่
ลูกปงปอง 1 ลูกจาก ขวดโหลก็อาจจะไดลูกปงปองสี........................................
(ตอบ สีเขียว สีฟา สีสม หรือสีแดง)
3. ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง หนาที่หงายขึนอาจเปนแตม...................................
้
(ตอบ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6 )
ตัวอยางที่ 2 โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 ครั้ง
เมื่อกําหนดให H แทน ผลลัพธที่ออกหัว และ T แทน ผลลัพธที่ออกกอย
การหาผลลัพธทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 ครั้ง
อาจใชแผนภาพตนไมดังนี้
ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 ผลลัพธ
H HH
H
T HT
H TH
T
T TT
จะไดผลลัพธทงหมดทีอาจจะเกิดขึนจากการทดลองสุมขางตนมี 4 แบบ
ั้ ่ ้
คือ HH, HT, TH และ TT

3. ตัวอยางที่ 3 สุมหยิบลูกปงปอง 2 ลูกพรอมกันจากกลองใบหนึง ที่มีลูกปงปอง
่
สีแดง 1 ลูก , สีเขียว 1 ลูกและสีเหลือง 1 ลูก
การหาผลลัพธทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นจากการสุมหยิบลูกปงปอง 2 ลูก
อาจใชแผนภาพดังนี้
เหลือง
แดง เหลือง เขียว หรือ แดง เขียว
เหลือง เขียว
จะไดผลลัพธทอาจจะเกิดขึนจากการทดลองสุมขางตนมี 3 แบบ คือ แดง
ี่ ้
เหลือง, แดง เขียว และ เหลือง เขียว

4. ตัวอยางที่ 4 สุมหยิบสลาก 2 ใบ ใบที่หนึ่งจากกลองที่หนึ่ง และใบที่สองจากกลอง
ที่สอง ซึ่งกลองใบที่หนึ่งมีสลากหมายเลข 1 และ 2 สวนกลองใบที่สองมีสลากหมายเลข
1 , 2 และ 3 ใหนักเรียนหาผลลัพธจากการหยิบสลาก 2 ใบนี้
เฉลย การหาผลลัพธทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดจากการสุมหยิบสลาก 2
ใบดัง กลาว อาจใชแผนภาพตน ไม และเราสามารถใชคูอัน ดับเขียนแทนแตล ะ
ผลลัพธที่อาจเกิดขึ้น
1 (1 , 1)
1 2 (1 , 2)
3 (1 , 3)
1 (2 , 1)
2 2 (2 , 2)
3 (2 , 3)
จะไดผลลัพธทงหมดทีอาจจะเกิดขึนจากการทดลองสุมขางตนมี 6 แบบ
ั้ ่ ้
คือ (1 , 1) , (1 , 2) , (1 , 3) , (2 , 1) , (2 , 2) และ (2 , 3)
เหตุการณ คือ สิ่งที่เราสนใจจะพิจารณาจากการทดลองสุม

5. ตัวอยางที่ 5 โยนเหรียญบาท 3 เหรียญ 1 ครั้ง จงหาผลลัพธของเหตุการณ
ตอไปนี้
1) เหตุการณทออกกอยอยางนอย 2 เหรียญ
ี่
2) เหตุการณที่จะออกหัว 2 เหรียญ
การหาผลลัพธทั้งหมดทีอาจจะเกิดขึนจากการโยนเหรียญบาท
่ ้
3 เหรียญ 1 ครั้ง อาจใชแผนภาพตนไมดังนี้
เหรียญ 1 เหรียญ 2 เหรียญ 3 ผลลัพธ
H HHH
H
HHT
T
H
T H HTH
T HTT
H THH
H
T
T THT
T H
TTH
T
TTT
จะไดผลลัพธทั้ง หมดที่อ าจจะเกิ ดขึ้นจากการทดลองสุม มี 8 แบบ คือ
HHH , HHT , HTH , HTT , HHT , HTH , THT , TTH และ TTT
1) เหตุการณที่ออกกอยอยางนอย 2 เหรียญ มีผลลัพธ 4 แบบ คือ
HTT , THT , TTH และ TTT
2) เหตุการณที่จะออกหัว 2 เหรียญ มีผลลัพธ 3 แบบ คือ HHT, HTH
และ HHT

6. ตัวอยางที่ 6 สุมหยิบสลาก 2 ใบจากกลองที่มีสลากหมายเลข 1 , 2 , 3
และ 4 จงหาผลลัพธของเหตุการณที่จะไดผลบวกของสลากทั้งสองใบเทากับ 5
เมื่อกําหนดดังนี้
1) หยิบสลาก 2 ใบพรอมกัน
2) หยิบสลากทีละใบโดยไมใสคืนกอนจะหยิบใบทีสอง ่
1) หยิบสลาก 2 ใบพรอมกัน
2
3
1 3 2 3 4
4
4
จะไดผลลัพธทั้งหมดที่อ าจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุมมี 6 แบบ คือ
(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4) และ (3,4)
เหตุการณที่ผลบวกของสลากทั้งสองใบเทากับ 5 มีผลลัพธ 2 แบบ คือ
(1,4) และ (2,3)

7. 2) หยิบสลากทีละใบโดยไมใสคืนกอนจะหยิบใบทีสอง
่
1
2
3 2
1 3
4
4
1
1
4 2
2 3
3
4
จะไดผลลัพธทั้ง หมดที่ อาจจะเกิ ดขึ้นจากการทดลองสุมมี 12 แบบ คือ
(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2) และ (4,3)
เหตุการณที่ผลบวกของสลากทั้งสองใบเทากับ 5 มีผลลัพธ 4 แบบ คือ
(1,4), (2,3), (3,2) และ (4,1)
ความนาจะเปนของเหตุการณ
สูตร
จํานวนผลลัพ ธของเหตุการณ
ความนาจะเ ปนของเหตุ การณ =
จํานวนผลลัพธทั้งหมดท ี่อาจเกิดข ึ้นได
เมื่อแตละ ผลลัพธทอาจจะเกิดข ึ้นจากการท ดลองสุมมี โอกาสเกิดข ึ้นไดเทา ๆกัน
ี่
หรือ P(E) = n(E)
n(S)

8. ตัวอยาง 1
1) โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 ครั้ง ผลลัพธทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได คือ ออกหัว
หรือออกกอยโอกาสที่เหรียญจะออกหัวหรือกอยจะมีไดเทา ๆ กัน กลาวคือ ออกหัวเปน
ผลลัพธแบบหนึ่งในผลลัพธทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได 2 แบบ และออกกอยเปนผลลัพธแบบ
หนึ่งในผลลัพธที่อาจเกิดขึ้นได 2 แบบจึงกลาวไดวาความนาจะเปนของเหตุการณทเี่ หรียญ
จะออกหัวเปน 1 และความนาจะเปนของเหตุการณที่เหรียญจะออกกอยเปน 1
2 2
2) ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง ผลลัพธทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได คือ หงายแตม 1, 2, 3,
4, 5 และ 6 โอกาสที่ลูกเตาจะหงายแตมในแตละหนามีไดเทา ๆ กัน กลาวคือ ขึ้นแตม 1
ผลลัพธแบบหนึ่งในผลลัพธทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได 6 แบบ และขึ้นแตม 3 เปนผลลัพธ
แบบหนึ่งในผลลัพธที่อาจเกิดขึ้นได 6 แบบ จึงกลาวไดวาความนาจะเปนของเหตุการณที่
ลูกเตาหงายขึ้นแตม 1 เปน 1 และความนาจะเปนของเหตุการณที่ลูกเตาหงายขึ้นแตม 3
6
เปน 1
6
2.1 ) คําถามชวนคิด?
ความนาจะเปนที่ลกเตาจะหงายแตมเปนแตมคู................................
ู
ความนาจะเปนที่ลกเตาจะหงายแตมเปนแตมคี่................................
ู

9. ตัวอยาง 2 สุมหยิบลูกปงปอง 2 ลูกจากขวดโหลที่มีลูกปงปองหมายเลข 1 , 3 ,
5 , 7 จงหาความนาจะเปนของเหตุการณตอไปนี้ ตามเงื่อนไขตอไปนี้
3. 1 หยิบ 2 ลูก พรอมกัน
1) เหตุการณที่หยิบไดลูกปงปองแตมรวมกันมากกวา 6
S = {(1 , 3) , (1 , 5), (1 , 7), (3 , 5), (3 , 7), (5 , 7)}
n(S) = 6
E = {(1 , 7), (3 , 5), (3 , 7), (5 , 7)}
n(E) = 4
P(E) = 4 = 2
6 3
2) เหตุการณที่หยิบไดลูกปงปองแตมตางกัน 2
E = {(1 , 3) (3 , 5), (5 , 7)}
n(E) = 3
n(S) = 6
P(E) = 3 = 1
6 2
3. 2 หยิบ 2 ลูก โดยหยิบลูกที่หนึ่งแลวไมใสคืนกอนหยิบลูกที่สอง
1) เหตุการณที่หยิบไดลูกปงปองแตมรวมกันไมเกิน 8
S = {(1 , 3) , (1 , 5), (1 , 7), (3 , 1), (3 , 5), (3 , 7) ,(5 , 1),
(5 , 3), (5 , 7) , (7 , 1), (7 , 3), (7 , 5)}
n(S) = 12
E = {(1 , 3) ,(1 , 5), (1 , 7), (3 , 1), (3 , 5), (5 , 1), (5 , 3), (7 ,1)}
n(E) = 8
P(E) = 8 = 2
12 3

10. 2) เหตุการณที่หยิบไดลูกปงปองนอยกวาหรือเทากับ 10
E = {(1 , 3) , (1 , 5), (1 , 7), (3 , 1), (3 , 5), (3 , 7) ,(5 , 1),
(5 , 3), (7 , 1), (7 , 3)}
n(E) = 10
n(S) = 12
P(E) = 10 = 5
12 6
3. 3 หยิบ 2 ลูก โดยหยิบลูกที่หนึ่งแลว ใสคืนกอนหยิบลูกที่สอง
1) เหตุการณที่หยิบไดลูกปงปองแตมรวมกันไมนอยกวา 9
S = {(1 , 1) ,(1 , 3) , (1 , 5), (1 , 7), (3 , 1), (3 , 3), (3 , 5),
(3 , 7) , (5 , 1), (5 , 3), (5 , 5) , (5 , 7) , (7 , 1), (7 , 3),
(7 , 5) ,(7 , 7)}
n(S) = 16
E = {(3 , 7) , (5 , 5) , (5 , 7) , (7 , 3), (7 , 5) ,(7 , 7)}
n(E) = 6
P(E) = 6 = 3
16 8
2) เหตุการณที่หยิบไดลูกปงปองเหมือนกัน
E = {(1 , 1) , (3 , 3), (5 , 5), (7 , 7)}
n(E) = 4
n(S) = 16
P(E) = 4 = 1
16 4
เอาชนะสิ่งใดไมเทา.............เอาชนะใจตัวเอง สู ๆๆ J