25

1. Практичне заняття 25.
Застосування визначеного інтеграла.
1. Обчислення площ плоских фігур.
Рис. 1
Площа криволінійної трапеції (див. рис. 1), обмеженої зверху графіком
функції  xfy    0xf , ліворуч і праворуч відповідно відрізками прямих
ax  і bx  , знизу – відрізком  ba; осі Ox, обчислюється за формулою
 
b
a
dxxfS . (1)
Якщо   0xf при  bax ; , то
 
b
a
dxxfS . (2)
Рис. 2.
У загальному випадку коли
неперервна на  ba; функція  xfy 
змінює знак скінченне число разів (рис. 2) ,
формула для обчислення площі відповідної
плоскої фігури набуває вигляду:
 
b
a
dxxfS (3)

2. Рис. 3.
Площа фігури, обмеженої
кривими  xfy 1 та  xfy 2 ,
причому    xfxf 21  , прямими ax 
та bx  (рис. 3) обчислюється за
формулою:
     
b
a
dxxfxfS 12 . (4)
Коли криволінійна трапеція обмежена кривою, заданою параметрично
 
( ),
, ,
x x t
y y t t 


  
та прямими ax  , x b , 0y , то її площа обчислюється за формулою
   S y t x t dt


  ,
де ( )x a  , ( )x b  і ( ) 0y t  на відрізку  ,a b .
Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої кривими y x та
2
y x .
Розв’язання. Зобразимо фігуру, площу якої треба знайти (рис. 4).
Координати точок перетину парабол знаходимо з рівняння:
 2 4 4 3
1 20 1 0 0, 1.x x x x x x x x x x           
Отже,
111 1 1 3
3
2 2 2
00 0 0 0
2 2 1 1
.
3 3 3 3 3
x
S x x dx xdx x dx x            
x
y
0 1
S
y=x
2
y= x
Рис. 4.
Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої лініями 2
xy  ,
x
y
1
 ,
4y та розташованої у першій чверті.
Розв’язання. Побудуємо всі графіки функцій.

3. Розв’язуючи відповідні системи рівнянь, знайдемо координати точок
перетину даних ліній: )4;4/1(A , )4;2(B та )1;1(C . Тоді шукана площа ABCS
дорівнює різниці між площею прямокутника ABHE та сумою площ двох
криволінійних трапецій ACFE та CBHF:  CBHFACFEABHEABC SSSS  .
Знайдемо:
,7)4/12(444
2
4/1
2
4/1
  xdxSABHE
,4ln4/1ln1lnln
11
4/1
1
4/1
  xdx
x
SACFE
 
2
1
33
23
2
3
7
)12(
3
1
3
1
x
dxxSCBHF .
Звідки,  2
ед.28,34ln
3
14
3
7
4ln7 





S .
Завдання для самостійної роботи:
№1. Обчислити площу фігури, яка обмежена лініями:
1) 2
2 , 2y x x y x    ; 2) 2
2 ,y x x y x    ;
3) 4, 1, 4, 0xy x x y    ; 4) , 2, 0y x y x y     ;
5) Астроїдою 3 3
2cos , 2sinx t y t  ;
6) Однією аркою циклоїди ( ), (1 cos )x a t sint y a t    і віссю Ох;
(Відповідь: 1) 4,5; 2) 4,5; 3) 8ln2 ; 4) 7
6
;
5) 3
2
 ; 6) 2
3 a ; )