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![量子コンピュータの回路
• 量子コンピュータは可逆(=Unitary)な回路で組まれる
– 古典の場合はAND/OR/NOTさえあれば任意のBool関数が表現できた
(universal)。
– 実は可逆な古典回路も存在する
• どんな回路があれば、universal = 任意のユニタリ変換が可
能か?
– Solovay-Kitaevの定理より近似が可能[arXiv:quant-ph/0505030]
– 例えば2 qubitの場合はHadamard gateとcontrolled not gateの2つが
あればok!
• 余談: n qubitを用意できたらそのn体のunitary変換を行うとHartree-Fock波動関数から
厳密解の波動関数に変換できる](https://image.slidesharecdn.com/201806192nd-180817074015/85/fullCI-40-320.jpg)
![なぜ解けないか?
• 基底状態が密集している場合がある
– 最悪のケースも考慮に入れる必要あり
– 大抵の問題は解けるはず
• もし解けたら巡回セールスマン問題、ハミルトン閉路問題な
ども解けるはず。
• k<=2 Local HamiltonianはQMA-complete(NP-completeの量子
版)と示された[arXiv:0406180]
• 残念ながら1Dの量子系の基底状態を求めることもQMA-
completeと示された
– the problem of approximating the ground state energy of a system
composed of a line of quantum particles is QMA-complete
[arXiv:0705.4077]
つまり量子コンピュータはものすごく強力
というわけではない](https://image.slidesharecdn.com/201806192nd-180817074015/85/fullCI-50-320.jpg)
![議論
• 初期波動関数はHartree-Fock状態
– 鍵は厳密解とHartree-Fock波動関数の重なりが十分大きいこと
• 初期波動関数に多配置のものは作れないか?
– 任意のものが多項式程度で作れる[Sokilakov, Schack 2006]
– 初期波動関数がHartree-Fockと直交している場合がある (分子の結
合が切れる場合など)
– http://pubsdc3.acs.org/doi/abs/10.1021/acs.jpca.6b04932
– 初期波動関数を改良した論文
• Hubbardモデルに適用するには
– 良い初期波動関数が必要。それがわかればphase
estimationは可能。
– Hubbardモデルへの適用例[arXiv:1506.05135v2]
d-wave resonating valence bond statesから出発](https://image.slidesharecdn.com/201806192nd-180817074015/85/fullCI-68-320.jpg)
![その後
• Variational Eigen solver[arXiv:1304.3061]
– パラメータを用意、初期波動関数と期待値を計算してパラメータを最適化する(Unitary CCに
適用)
• Hardware-efficient Variational Quantum Eigensolver for Small Molecules and
Quantum Magnets[1704.05018] BeH2まで実際に計算した例
• Qubitの数をより少なくする方法
– Bravyi-Kitaev Superfast simulation of electronic structure on a quantum computer
– J Chem Phys 148, 164104 (2018)](https://image.slidesharecdn.com/201806192nd-180817074015/85/fullCI-70-320.jpg)
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量子コンピュータで量子化学のfullCIが超高速になる(かも
量子コンピュータで量子化学のfullCIが超高速になる(かも)。量子コンピュータを使うと位相推定が行えて、巨大な行列の対角化が可能になる場合があります。量子化学における分子の基底状態(や低い励起状態)を求めるfullCIはこの場合になります。
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Similar to 量子コンピュータで量子化学のfullCIが超高速になる(かも
量子コンピュータで量子化学のfullCIが超高速になる(かも
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- 2. 自己紹介 1997年 京都大学工学部工業化学科卒業 博士前期課程入学 1999年 京都大学、博士後期課程入学 2003年博士(工学)@京都大学 2003-学術振興会特別研究員 2007-基礎科学特別研究員@理研 2011-技師・開発研究員@理研 専門分野: 量子化学、ハイパフォーマンス・コン ピューティング(線形代数演算)、最適化
- 3. 量子コンピュータは高速! • 重要な問題が超高速に解けるようになる – 因数分解が高速になる古典では – 離散対数問題も高速になる • 上の２つから、公開鍵暗号が破られる可能性がある – フーリエ変換が高速になる • 量子化学のfullCIは超高速になる – 物性物理でいうところのexact diagonalizationだが、こ ちらは高速にならないかも… • どういう意味???
- 4. 古典コンピュータの復習 • 量子コンピュータをやる前にある程度知っておいたほうが良い • 古典コンピュータor フォン・ノイマン型コンピュータ(1945) – 「メモリ」「CPU」「外部との入出力」と三要素からなっている。 CPU 記憶装置 (メモリ 外部 出力 外部 入力 • データは、矢印の方向に流れる • データとは? “0” “1”の列 “0” “1”の区別は例えば電圧で表す 0V: 0 5V: 1
- 5. 計算できるってどういうこと? • 古典コンピュータは“0” “1”の列を処理して、“0”“1”の列を出力す る。 – 例: スパコン、mac, windows, iPhone…どうやって複雑な計算を “0” “1”の列の処理と結びつけるのか – チューリングマシン (1936) • 計算できるってどういうこと? – チャーチの提唱 (計算 ノイマン型コンピュータ チューリングマシン 抽象化具体化0 0 111 0 無限に長いテープ ヘッド ヘッドはテープを読み取り、遷移規則を 適用、書き込みを行ったあと移動する
- 6. 量子コンピュータは 古典コンピュータと同じ問題が解ける • アルゴリズム(=チャーチの提唱) – チューリングマシンで表現された計算手続き –計算を実行できるような有限の手続き = あるゴリスム • 量子コンピュータでは、古典コンピュータを超えた表現能力はある か? – No (SIAM J. Comput., 26(5), 1411–1473.) – 帰納的関数のみ計算できる(=古典と同じ) – 停止問題は古典でも量子でも解けない(あるプログラムを入力として、 これが停止するかどうかを決定するプログラムを書け、という問題) • 科学基礎論研究 Vol.28 No.2 (2001) 小澤 量子計算とチャーチの提唱 – 量子コンピュータでも古典コンピュータでもできることは同 じ。ただ高速か低速かの違いしかない
- 7. 回路を作る:ブール関数 • チューリングマシンに必要な関数 – 有限個の“0”,“1”を与えたとき “0” or “1”を出力す る関数(ブール関数) – 通りあるのが自明にわかる – Bool関数の例 (論理演算) X Y X ∧Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 X Y X ∨Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 x ¬x 0 1 1 0
- 8. どんなBool関数も AND/OR/NOTで作れる {and, or, not}のようなBool関数(=素子)を回路に実装する事が多い。 問 任意のBool関数を表現するのに必要な素子の種類は? 答 {and, or, not} この３つの素子を組み合わせれば、どんなBool関数も作る ことが可能。ある素子たちを組み合わせるとどんなBool関数も作れるという 組を完全系とよぶ。 注意: and, or, notの３つの組だけではなく、他の組み合わせもある。たとえば、 {nand}, {xor, 1, and}, {xor, 1, or} の組たちはそれぞれ完全系である。 And, or, not 以外の回路もある xor, nand, norなどは、必要に応じて使う。
- 9. どんなBool関数も AND/OR/NOTで作れる X Y X∧Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 X Y X ∨Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 x ¬x 0 1 1 0 AND/OR/NOTは完全系。以下のXORやNANDもAND/OR/NOTの組み合わせでかける NOT X = X NAND X X xor Y = (X or Y) and not (X and Y)… NANDも完全系。実はNANDだけを用いてAND/OR/NOTを書ける。 X Y X xor Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 X Y X nand Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
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- 11. リレーによるNOT回路 1. コイル 2. 接点1 3.接点2 Off: 電球がつく On: 電球が消える: コイルにより 鉄板が引き寄せられ、接点1,2 が触れ合い、電流が流れるため Wikipedia/wikimediaより
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- 14. ゲート記号と集積回路 NOTゲート ANDゲート ORゲート AND/OR/NOTゲートは完全系だったため、これらを使ってあらゆるBool関数(=アルゴリズム を表現できる)これら基本素子はリレーを使って実装できることを示したが、 いまでは半導体をもちいるのが一般的である。On/Offは5V/0Vなど電位差で示す。 そうすることで安価で小さく、高速かつ安定して動かすことができる。 IC (Integrated Circuitsは)これらが小さいパッケージに入っているだけである。 7400 TTL (1966)
- 15. 回路の例:半加算器+全加算器 加算はand/or/notの組み合わせでかける。これを回路で作ってみる 1bitの加算は4パターン 入力 入力 出力出力 A B C S 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0
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- 17. 全加算器+繰り上がり入力 Carry: 繰り上がりも入力される 半加算器: halfadder 全加算器: full adder 入力 入力 入力 出力 出力 X A B C S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
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- 19. 4bit全加算器 先程の回路を使うことで 4bit = 2^4= 16 (10進数) までの足し算を扱える。 Q: 3+3 = 6 をやってみよう
- 20. 古典コンピュータのまとめ • コンピュータでプログラムされるアルゴリズムは帰納的関数 (チャーチの提唱) • アルゴリズムは任意の長さの任意のブール関数を表現でき たら良い。 –{0,1}のn個の直積を{0,1}に移す関数 • ブール関数はand/or/notで完全。 – どんなブール関数もand/or/notをいくつか組み合わせたら表現可能 – 他にもnand, xor…などある。必要に応じて使う。 • ブール関数は電気回路と等価 – “0”=0V “1”=“5V” 電磁コイルを用いたリレー式から半導体へ! • あとはロジックをひたすら実装してゆく。 • 実装例として半加算器、全加算器を挙げた
- 21. 量子コンピュータも基礎は だいたい同じ 同じところ • 素子を使った回路設計をやる(のが主流) 違うところ • bit列が線形重ね合わせをとる(qubitと呼ぶ) •最後に観測してある状態の物理量を測定す る • 回路がユニタリ
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- 24. (不思議な)量子力学 • この世は量子力学で成り立っている。 – 量子力学によると自然は人間の直感からは離れていること多々 –系の状態=波動関数 – 波動関数はギリシャ文字ψやφで表すことが多い • 波動関数の線形重ね合わせも波動関数。 – αψ+βφも波動関数(α, βは複素数) • 波動関数への数学的な条件はψは絶対二乗 可積分であること 量子力学=Hilbert空間論 (≒無限次元の線形代数学)
- 25. (不思議な)量子力学 • 物理量は波動関数に作用する演算子になる。 – 例えば、運動量は、位置は – 系のエネルギーを表す演算子はハミルトニアン • 系の時間発展はシュレーディンガー方程式に従う • 時間によらないシュレーディンガー方程式は固有値問題となる
- 26. 測定(I) • 測定可能な物理量はエルミート的な演算子である。 • エルミート演算子の固有関数は完全形をなす。 •系の状態がΦのとき、Hの測定を行うとHの固有関数のどれ かにジャンプする(波束の収縮)
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- 28. 電子たちは区別がつかない • 電子は同じ粒子であり、原理的に区別がつかない。波動関 数は粒子の座標の入れ替えについて反対称(Fermi粒子) • 電子は1/2spinを持つ – 上向きスピンおよび下向きスピンを基底とする。 • このような多電子系ハミルトニアンの最低固有値、固有関数 を知りたい: 量子化学, 物性物理
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- 32. 注意 • 今回取り扱うのは回路型量子コンピュータ – 古典回路の量子力学への一般化と思えばよい •量子アニーラーとは見かけ上全然違います。 – アニーラーは本質的にスピン系のHamiltonianの 基底状態を解く • 観測型の量子コンピュータも扱いません – 回路型の特殊型ともみなせる
- 33. 量子bit (qubit)とはなんぞや? • 量子コンピュータでも、“0” “1”のビットを取り扱う: qubitとよぶ – 1 qubit • たとえば電子の上向きスピンを1 下向きのスピンを0とする – 2 qubits系 – 3 qubits系 – N qubitsあれば、2N次元の空間を一つの状態ベクトルで考えられる
- 34. 量子bit/古典bitの本質的な違い この状態ベクトルたちは、独立なベクトルであるが、量子力学 によると、波動関数の線形重ね合わせもqubitである。 • 2qubits系の例 • もqubitである。 量子コンピュータでの高速化の基本的アイディア •qubit線形重ね合わせで、n個のqubitのゲートを操作する =2n個の状態を一気に操作できる≒exponentialなスピードアップ + 観測などによる結果の分離 • 古典だとbitたちの線形重ね合わせはできない!!
- 35. 最後に観測をする • ある計算をしてqubitが以下のようになったとする • 系のqubitを測定すると、に波束が収縮する確率は • 量子アルゴリズムには、答えとなるbitの状態に振幅を持ってくることが必要 – が答えとするとそこに確率振幅を高めるアルゴリズムが必要! • 計算と観測は何度も行い、確率的にどのqubit状態が答えなのかを得る。 – 量子コンピュータはアナログコンピュータ – 非常に運が悪いと答えを見誤る可能性はある – 量子状態複製不可能定理より、初期状態から何度も計算させて観測する必要がある。
- 36. 量子コンピュータとSIMD計算機 (≒GPU≒CUDA) ちょっと似ている点 • n個のqubitのゲートを操作する=2n個の状態を一気に操作できる •SIMD = Single instruction multiple data N qubit系の量子コンピュータと、2N プロセッサに1bitずつメモリが存在する 古典コンピュータを考える。 この２つのコンピュータのbitを反転操作を考える。 量子コンピュータ: N個のビット反転回路を通す 古典コンピュータ: 2Nのプロセッサに一斉に自分が持っている 1bitのメモリにNOT回路を通す。
- 37. 量子コンピュータとSIMD計算機 (≒GPU≒CUDA) ちょっと似ている点 X N qubitを反転操作: 量子コンピュータ では N個のNOTゲート(Xゲート)を通す X X X X 2N bitの反転操作: 古典コンピュータ 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 １ 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1個のゲートを通すと2^Nのビット に一度に作用するのがSIMD的 2N個のゲート
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- 39. 量子コンピュータは速い? • Yes :因数分解などたくさんの古典より良いアル ゴリズムが存在する。 – 因数分解:N qubitで2N状態を操作しつつ、答えになるビット列に 確率振幅を多く与えるようなアルゴリズムが存在する場合 – https://math.nist.gov/quantum/zoo/ – https://www.qmedia.jp/algebraic-number-theoretic-algorithms/ – https://arxiv.org/pdf/1804.03719.pdf • No: 必ずしも良いアルゴリズムが存在しない場 合がある。 – 並列計算に向かないアルゴリズム…
- 40. 量子コンピュータの回路 • 量子コンピュータは可逆(=Unitary)な回路で組まれる – 古典の場合はAND/OR/NOTさえあれば任意のBool関数が表現できた (universal)。 –実は可逆な古典回路も存在する • どんな回路があれば、universal = 任意のユニタリ変換が可 能か? – Solovay-Kitaevの定理より近似が可能[arXiv:quant-ph/0505030] – 例えば2 qubitの場合はHadamard gateとcontrolled not gateの2つが あればok! • 余談: n qubitを用意できたらそのn体のunitary変換を行うとHartree-Fock波動関数から 厳密解の波動関数に変換できる
- 41. よく使われる回路 • アダマールゲート: • Pauli-Xゲート: (NOTゲート) • 位相シフトゲート • CNOTゲート : 注:Hadamardゲート+CNOT = universal • Toffoliゲート(CCNOTゲート)
- 42. 量子的な加算器の作成 https://www.slideshare.net/SnehaRamshanker/classical-computation-to-quantum-computation PRA 54 1035,1996 トフォリゲート(AND)に CNOTゲートを通すとhalf adderができる
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- 44. 量子化学の定式化 • 第二量子化したハミルトニアン • シュレーディンガー方程式を解く •固有値と波動関数を低い順にいくつかほしい – 真面目にやる方法 (CI法、厳密解) – 近似計算する方法 (Hartree-Fock, MP2, CCSD, … / FMO / DFT B3LYP …)
- 45. 量子化学の問題点 • 粒子数が増えると波動関数の次元がものすごく高くなる。 • 必要なslaterdetの数: n 軌道, k電子の場合 • n=2kのとき近似的に これを 量子コンピュータ で対角化する!!!
- 46. 量子化学の問題の楽な点 • 平均場近似で既にかなり良いエネルギーと波動関数が得られる – 分子理論の展開p.39 (永瀬、平尾) • 基底状態と第一励起状態のエネルギーギャップが十分ある。 • Hamiltonianの形は似ているけども – Spinglassは基底状態付近に状態が密集している – Hubbard modelは基底状態がHartree-Fockからは遠いからphaseが読め ない これらのheuristicsを使うことで、量子コンピュータを使って高速に厳密 対角化を行うことが可能になる
- 47. 量子コンピュータを使っても 高速にならないかもしれない系 • たとえばSpin glass系の基底状態を求める問題 •ひと目ではわかりにくいが の形に直せる この問題は実はNP-hardな問題として知られている(Barahona 1982) もしかしたらこれも量子コンピュータで高速に解ける?
- 48. 量子コンピュータを使っても 高速にならない系 • 例えばSpin glass系の基底状態を求める問題 •ひと目ではわかりにくいが の形に直せる この問題はNP-hardな問題として知られている(Barahona 1982) もしかしたらこれも量子コンピュータで高速に解ける? 残念ながら量子コンピュータ でも多分解けません
- 49. Seth Loydの論文 • S.Loyd, Universal Quantum Simulator, Science 273 1073 (1996) • ファインマンの予想 – 量子的な系のシミュレートは量子コンピューターでできるようになる – O(exp N) をO(poly(N)) に迂回できる • ファインマンの予想を示した – 任意の量子的な系、ローカルな相互作用を持つ場合 • 鍵となるアイディア – CIベクトルをqubitで持つ; CI ベクトルはoccpation number vectorなので – Solovay-Kitaev定理: n qubit系の任意のユニタリ行列への近似を生成することが可能 (この論文では鈴木-Trotter分解を使っている)
- 50. なぜ解けないか? • 基底状態が密集している場合がある – 最悪のケースも考慮に入れる必要あり –大抵の問題は解けるはず • もし解けたら巡回セールスマン問題、ハミルトン閉路問題な ども解けるはず。 • k<=2 Local HamiltonianはQMA-complete(NP-completeの量子 版)と示された[arXiv:0406180] • 残念ながら1Dの量子系の基底状態を求めることもQMA- completeと示された – the problem of approximating the ground state energy of a system composed of a line of quantum particles is QMA-complete [arXiv:0705.4077] つまり量子コンピュータはものすごく強力 というわけではない
- 51. (もう一度)量子化学の問題の楽な点 • 平均場近似で既にかなり良いエネルギーと波動関数が得られる – 分子理論の展開p.39 (永瀬、平尾) • 基底状態と第一励起状態のエネルギーギャップが十分ある。 • Hamiltonianの形は似ているけども – Spinglassは基底状態付近に状態が密集している – Hubbard modelは基底状態がHartree-Fockからは遠いからphaseが読め ない これらのheuristicsを使うことで、量子コンピュータを使って高速に厳密 対角化を行うことが可能になる
- 52. 量子化学への応用 • Simulated QuantumComputation of Molecular Energies, A. Asupuru-Guzik et al., (Science 2005) • 手法: qubitを分子の波動関数とみなす • Qubit数=分子軌道の数x2 + レジスタ部分(定数10-20?) 電子数には依存しない これで fullCIの空間を扱える!!
- 53. Qubitの使い方 • Qubitの波動関数部分(S) およびレジスター部分(R)を用意 •HamiltonianからUnitaryをつくり、位相部に固有値を入 れる • レジスター部分は、「結果を読み出す」ために使う。計算の最 後には以下の様なqubitになっている • レジスタ部に逆フーリエ変換を通してφを求める レジスタ部のqubit数で計算結果の精度を決める。
- 54. 鍵となるアルゴリズムと仮定 • 量子フーリエ変換 – 位相の読み出し •量子位相推定 – QubitにfullCI波動関数をいれる。 – 波動関数をユニタリ変換して位相に系のエネルギー固有値を入れる • 任意のユニタリ行列を作る – Hartree-Fockから、CI波動関数を作る。 • 仮定: c0が十分大きいこと が十分大きいことが必要 – 平均場近似と重なりが大きいから位相推定が可能 – エネルギーギャップがある=固有値が分離していて密集してない。
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- 59. 量子フーリエ変換 • 離散フーリエ変換を量子的に行った • オーダーはQFTがO(n2)なので、FFT(nlog n)よ りかは遅い。
- 60. 量子位相推定 Unitary行列の固有値を求めたい! 近似的にφを求めるアルゴリズムを考える。２進数表記で について0 or 1で求めてゆく。 固有ベクトルはすでに求まっているとする さて、から、 と、位相を計算し、それを 状態ベクトルに一桁ずつ埋め込む、ということをしてみる。 これはどうやってやるべきか?
- 61. 量子位相推定 • 量子フーリエ変換を思い出すと • 状態ベクトルをその基底での成分に分解できる。ということは逆 はどうか?係数を状態ベクトルに埋め込める。N=2nだから • jはn bitの２進数なので、各ビットをjlとして、 を に変えてやれば、 結局I-QFTをかければ、|φ>が得られる。尚exp(2πikφ)|ψ>=Uk|ψ>
- 62. 量子位相推定 1. まずすべてのqubitが等しく重ね合わせされている状態を作る 2. 上の変換はアダマールゲートをn回通せば良い 3.次に に対応した を掛ける。 4. まとめると
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- 64. 量子化学に適用 • Unitary行列はTrotter-鈴木分解で代用する • 用意された波動関数は、厳密解に十分近い exp(iHt) を|ΦHF>にかけても位相が十分読み取れる
- 65. 鍵となるアルゴリズムと仮定 • 量子フーリエ変換 – 位相の読み出し •量子位相推定 – QubitにfullCI波動関数をいれる。 – 波動関数をユニタリ変換して位相に系のエネルギー固有値を入れる • ゲートで任意のユニタリ行列を作れること – Hartree-Fockから、CI波動関数を作る。 • 仮定: c0が十分大きいこと が十分大きいことが必要 – 平均場近似と重なりが大きいから位相推定が可能 – エネルギーギャップがある=固有値が分離していて密集してない。
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- 67. 計算方法 • 次はV1を作用させる • 更に次は •と、位相を少しずつrefineしてゆく。 • 水分子での位相の 計算の様子
- 68. 議論 • 初期波動関数はHartree-Fock状態 – 鍵は厳密解とHartree-Fock波動関数の重なりが十分大きいこと •初期波動関数に多配置のものは作れないか? – 任意のものが多項式程度で作れる[Sokilakov, Schack 2006] – 初期波動関数がHartree-Fockと直交している場合がある (分子の結 合が切れる場合など) – http://pubsdc3.acs.org/doi/abs/10.1021/acs.jpca.6b04932 – 初期波動関数を改良した論文 • Hubbardモデルに適用するには – 良い初期波動関数が必要。それがわかればphase estimationは可能。 – Hubbardモデルへの適用例[arXiv:1506.05135v2] d-wave resonating valence bond statesから出発
- 69. 議論 • 大きな系で位相推定が可能か(size-extensiveか)? – Hartree-Fock状態は系が大きくなるとどんどん重みが小さくなる –Coupled-Cluster wavefunctionなどはsize extensiveなのでそのような 初期波動関数を用意できる（Scientific Reports volume 4, Article number: 3589 (2014), https://arxiv.org/abs/1506.00443)
- 70. その後 • Variational Eigensolver[arXiv:1304.3061] – パラメータを用意、初期波動関数と期待値を計算してパラメータを最適化する(Unitary CCに 適用) • Hardware-efficient Variational Quantum Eigensolver for Small Molecules and Quantum Magnets[1704.05018] BeH2まで実際に計算した例 • Qubitの数をより少なくする方法 – Bravyi-Kitaev Superfast simulation of electronic structure on a quantum computer – J Chem Phys 148, 164104 (2018)