量子コンピュータの量子化学計算への応用の現状と展望
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QIQB（大阪大学先導的学際研究機構量子情報・量子生命研究部門）セミナー でのスライドを加筆したもの。量子コンピュータを用いた量子化学計算の現在の状況と展望を述べた. 伝統的なゲート式位相推定による方法とvariational eigen solverによるものと２つ。ごく最近虚時間発展法の実装もされており、それは別スライドで概観した。
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量子コンピュータの量子化学計算への応用の現状と展望
- 3. 量子コンピュータとは 通常、メモリは0,1のbitで表される 量子コンピュータも |0>, |1> のqubitで表される。 ただ|0> + |1> のように1 qubitの「線形重ね合わ せ」も表現できる 線形重ね合わせで超高速化!! n qubitで2nの状態の重ね合わせが可 量子化学もfullCIが超高速化する場合がある
- 4. 量子コンピュータとは 通常、メモリは0,1のbitで表される 量子コンピュータも |0>, |1> のqubitで表される。 ただ|0> + |1> のように1 qubitで「線形重ね合わ せ」も表現できる 線形重ね合わせで超高速化!! n qubitで2nの状態の重ね合わせが可 量子化学もfullCIが超高速化する場合がある スポーツ新聞?
- 6. 計算できるってどういうこと? • 古典コンピュータは“0” “1”の列を処理して、“0” “1”の列を出力する。 – 例: スパコン、mac, windows, iPhone – どうやって複雑な計算を“0” “1”の列の処理と結びつ けるのか – チューリングマシン (1936) – チャーチの提唱 • チューリングマシンでできること = アルゴリズム • 「プログラムとして表現可能なものとアルゴリズムは等価」 0 0 111 0 無限に長いテープ ヘッド ヘッドはテープを読み取り、遷移規則を 適用、書き込みを行ったあと移動する
- 7. 回路を作る:ブール関数 • チューリングマシンに必要な関数 – 有限個の“0”, “1”を与えたとき “0” or “1”を出力す る関数(ブール関数) – 通りあるのが自明にわかる – Bool関数の例 (論理演算) X Y X ∧Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 X Y X ∨Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 x ¬x 0 1 1 0
- 8. どんなBool関数も AND/OR/NOTで作れる X Y X ∧Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 X Y X ∨Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 x ¬x 0 1 1 0 AND/OR/NOTは完全系。以下のXORやNANDもAND/OR/NOTの組み合わせでかける NOT X = X NAND X X xor Y = (X or Y) and not (X and Y)… NANDも完全系。実はNANDだけを用いてAND/OR/NOTを書ける。 X Y X xor Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 X Y X nand Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
- 10. NOT回路の実現(リレー) 1. コイル 2. 接点1 3. 接点2 Off: 電球がつく On: 電球が消える: コイルにより 鉄板が引き寄せられ、接点1,2 が触れ合い、電流が流れるため Wikipedia/wikimediaよりOffならば点灯 Onならば消灯
- 11. ゲートと集積回路 NOTゲート ANDゲート ORゲート AND/OR/NOTゲートは完全系だったため、これらを使ってあらゆるBool関数(=アルゴリズム を表現できる) これら基本素子はリレーを使って実装できることを示したが、 いまでは半導体をもちいるのが一般的である。On/Offは5V/0Vなど電位差で示す。 そうすることで安価で小さく、高速かつ安定して動かすことができる。 IC (Integrated Circuitsは)これらが小さいパッケージに入っているだけである。 7432TTL 7400 TTL (1966)
- 12. 回路の例:半加算器 加算はand/or/notの組み合わせでかける。これを回路で作ってみる 1bitの加算は4パターン 入力 入力 出力 出力 A B C S 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0
- 13. 量子力学＋量子化学
- 14. 量子力学について • 状態 = 波動関数 系のすべての情報を持っている • 波動関数の線形重ね合わせも波動関数。 – αψ+βφも波動関数(α, βは複素数) • 波動関数への数学的な条件:ψは絶対二乗可積分 • 物理量は演算子に – 例えば、運動量は 、位置は 、エネルギーはハミルトニアン • 系の時間発展はシュレーディンガー方程式に従う • 量子化学/物性物理で重要な、時間によらないシュレーディ ンガー方程式は固有値問題 量子力学=Hilbert空間論 (≒無限次元の線形代数学)
- 15. 測定(I) • 測定可能な物理量はエルミート的な演算子である。 • エルミート演算子の固有関数は完全形をなす。 • 系の状態がΦのとき、Hの測定を行うとHの固有関数のどれ かにジャンプする(波束の収縮)
- 17. 量子化学 • 万物は原子からなっているとする • 原子核(=陽子+中性子)、電子から成る • 原子核は電子に比べて1000倍以上重い。 • 原子と原子が結合して分子になる • 分子、原子の性質を説明するのに量子力学は必須 – 非常に小さいため、量子力学的効果が大きい。 • シュレーデンガー方程式を解いて 固有値、固有関数を求めると化学がわかる – 量子化学はこれをコンピュータプログラム をもちいて行う
- 18. 量子化学のHamiltonian ほとんどの量子化学計算では • 核は止まっていると考える(Born-Oppenhimer近似) • 特殊相対論は考えない 原子核の電荷、位置、電子の個数(=電荷)を数えてHamiltonianを作成すれ ばよい。 電子の運動量 核-電子引力 エネルギー 電子-電子反発 エネルギー 核間反発 エネルギー
- 19. 電子たちは区別がつかない • 電子は同じ粒子であり、原理的に区別がつかない。波動関 数は粒子の座標の入れ替えについて反対称(Fermi粒子) • 電子は1/2 spinを持つ – 上向きスピンおよび下向きスピンを基底とする。
- 20. 第二量子化したHamiltonian Hamiltonianは基底関数(=一体波動関数の完全系)を導入すると、見通しが良くなる。 v, w はスカラー量。また核間反発は定数なので計算後いれてやる シュレーディンガー方程式を解くことが行列計算になった。さらに基底関数を少数で十分化 学ができるように選ぶ -> 長年の量子化学者の努力(STO-3G, double-zeta, 6-31G*, ccpvdz…) ここまで近似なし!! 近似が入った
- 22. 一周回ってやっぱり量子化学は解くのが難しい • 全く近似を入れないとすると、無限次元になってしまっ てどうやっても解けない。 • 基底関数を有限にしても、天文学的な次元の行列の 対角化が必要(通常これを厳密対角化と呼ぶ)。 – 今回はこれが高速化される可能性をレビュー • 近似(Hartree-Fock/CCSD/MP2…)を入れると、非線形 の方程式を解くから、解が局所解になっているかもし れない。局所解でないことを示すには膨大なマシンパ ワーが必要。 – 量子化学/計算化学では、局所解でokとしている場合が ほとんど。確かめられることも殆ど無い。化学現象が十分 追えればいいので
- 23. 量子コンピュータのレビュー
- 24. 量子bit (qubit)とはなんぞや? • 量子コンピュータでも、 “0” “1”のビットを取り扱う: qubitとよぶ – 1 qubit • たとえば電子の上向きスピンを1 下向きのスピンを0とする – 2 qubits系 – 3 qubits系 – N qubitsあれば、2N次元の空間を一つの状態ベクトルで考えられる
- 25. 量子bit/古典bitの本質的な違い この状態ベクトルたちは、独立なベクトルであるが、量子力学 によると、波動関数の線形重ね合わせもqubitである。 • 2qubits系の例 • もqubitである。 量子コンピュータでの高速化の基本的アイディア • qubit線形重ね合わせで、n個のqubitのゲートを操作する =2n個の状態を一気に操作できる≒exponentialなスピードアップ + 観測などによる結果の分離 • 古典だとbitたちの線形重ね合わせはできない!!
- 26. 最後に観測をする • ある計算をしてqubitが以下のようになったとする • 系のqubitを測定すると、 に波束が収縮する確率は • 量子アルゴリズムには、答えとなるbitの状態に振幅を持ってくることが必要 – が答えとするとそこに確率振幅を高めるアルゴリズムが必要! • 計算と観測は何度も行い、確率的にどのqubit状態が答えなのかを得る。 – 量子コンピュータはアナログコンピュータ – 非常に運が悪いと答えを見誤る可能性はある – 量子状態複製不可能定理より、初期状態から何度も計算させて観測する必要がある。
- 27. 量子コンピュータとSIMD計算機 (≒GPU≒CUDA) ちょっと似ている点 • n個のqubitのゲートを操作する=2n個の状態を一気に操作できる • SIMD = Single instruction multiple data N qubit系の量子コンピュータと、2N プロセッサに1bitずつメモリが存在する 古典コンピュータを考える。 この２つのコンピュータのbitを反転操作を考える。 量子コンピュータ: N個のビット反転回路を通す 古典コンピュータ: 2Nのプロセッサに一斉に自分が持っている 1bitのメモリにNOT回路を通す。
- 28. 量子コンピュータとSIMD計算機 (≒GPU≒CUDA) ちょっと似ている点 X N qubitを反転操作 : 量子コンピュータ では N個のNOTゲート(Xゲート)を通す X X X X 2N bitの反転操作: 古典コンピュータ 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 １ 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1個のゲートを通すと2^Nのビット に一度に作用するのがSIMD的 2N個のゲート
- 30. 量子コンピュータは速い? • Yes : 因数分解などたくさんの古典より良いアル ゴリズムが存在する。 – 因数分解:N qubitで2N状態を操作しつつ、答えになるビット列に 確率振幅を多く与えるようなアルゴリズムが存在する場合 – https://math.nist.gov/quantum/zoo/ – https://www.qmedia.jp/algebraic-number-theoretic-algorithms/ – https://arxiv.org/pdf/1804.03719.pdf • No: 必ずしも良いアルゴリズムが存在しない場 合がある。 – 並列計算に向かないアルゴリズム…
- 31. 量子コンピュータの回路 • 量子コンピュータは可逆(=Unitary)な回路で組まれる – 古典の場合はAND/OR/NOTさえあれば任意のBool関数が表現できた (universal)。 – 実は可逆な古典回路も存在する • どんな回路があれば、universal = 任意のユニタリ変換が可 能か? – Solovay-Kitaevの定理より近似が可能[arXiv:quant-ph/0505030] – 例えば2 qubitの場合はHadamard gateとcontrolled not gateの2つが あれば任意のユニタリ変換が可能。 • 余談: n qubitを用意できたらそのn体のunitary変換を行うとHartree-Fock波動関数から 厳密解の波動関数に変換できる
- 32. よく使われる回路 • アダマールゲート: • Pauli-X ゲート: (NOTゲート) • 位相シフトゲート • CNOTゲート : 注:Hadamardゲート+CNOT = universal • Toffoliゲート(CCNOTゲート)
- 33. 量子的な加算器の作成 https://www.slideshare.net/SnehaRamshanker/classical-computation-to-quantum-computation PRA 54 1035, 1996 トフォリゲート(AND)に CNOTゲートを通すとhalf adderができる
- 35. 電子の波動関数とqubitの違い 電子はすべて同じ粒子で原理的に区別がつかない。 実際波動関数の座標を入れ替えても符号が出る (fermi粒子) 一方、qubitは一つ一つ区別がつく。素粒子はqubitではありえない。 David P. DiVincenzo arXiv:quant-ph/0002077v3 1. A scalable physical system with well characterized qubits したがって 量子コンピュータのqubitで電子波動関数をシミュレートする 際は、反対称化を考えなければならない
- 36. Qubitの対称化 ナイーブに考えるとqubitの対称化は、波動関数をn qubitsで表すとして、n! 足し算と引き算がかかる(行列 式と同じ考え方)。Aを反対称化演算子とする。3 電子 系の場合、3! = 6 回操作する必要性あり AΨ(x1,x2,x3) = 1/√6 ( Ψ(x1,x2,x3) - Ψ(x2,x1,x3) - Ψ(x1,x3,x2) + Ψ(x2,x3,x1) + Ψ(x3,x1,x2) -Ψ(x3,x2,x1) ) この効率化については後述
- 37. 量子化学の定式化 • 第二量子化したハミルトニアン は一電子軌道を走る • シュレーディンガー方程式を解く: n体の波動関数 • 固有値と波動関数を低い順にいくつかほしい – 真面目にやる方法 (CI法、厳密解) – 近似計算する方法 (Hartree-Fock, MP2, CCSD, … / FMO / DFT B3LYP …) 今回はこれが主眼 : 1電子軌 道の基底関数を有限にした時 点で近似にはなるが、その部 分空間では最善の解が得られ
- 38. 量子化学での対角化の問題点 • 1電子軌道のn個の積で、n体の波動関数を作れる(slater det)。 • 1電子軌道の数は厳密には無限個あるが、Lで打ち切る – L個まで打ち切った1電子軌道の基底関数 • n体の波動関数の空間の次元は、 • Hamiltonian行列の大きさは • 対称性を使うともう少し小さくはなる
- 39. 量子化学での対角化の問題点 • 粒子数が増えると波動関数の次元がものすごく大きくなる。 • 必要なslater detの数: n 軌道, k電子の場合 • 20軌道20電子系でさえ341億次元 • ベンゼン C6H6 最小基底で72軌道 / 42電子 たかがベンゼン分子程度で天文学的な大きさの行列を 対角化せねばならない… これを 量子コンピュータ で対角化する!
- 41. 量子化学の問題の楽な点 • 平均場近似で既にかなり良いエネルギーと波動関数が得られる – 分子理論の展開 p.39 (永瀬、平尾) – 厳密な波動関数と平均場近似の波動関数がかなり近い • 基底状態と第一励起状態のエネルギーギャップが十分ある。 これらのheuristicsを使うことで、量子コンピュータを使って高速 に厳密対角化を行うことが可能になる
- 42. 量子コンピュータを使っても 高速にならないかもしれない系 • たとえばSpin glass系の基底状態を求める問題 • ひと目ではわかりにくいが の形に直せる この問題は実はNP-hardな問題として知られている(Barahona 1982) これが解けたら難問である巡回セールスマン問題なども 高速にとけるはず.. もしかしたらこれも量子コンピュータで高速に解ける?
- 43. 量子コンピュータを使っても 高速にならない系 • 例えばSpin glass系の基底状態を求める問題 • ひと目ではわかりにくいが の形に直せる この問題はNP-hardな問題として知られている(Barahona 1982) もしかしたらこれも量子コンピュータで高速に解ける? 残念ながら量子コンピュータ でも多分解けません
- 44. (もう一度)量子化学の問題の楽な点 • 平均場近似で既にかなり良いエネルギーと波動関数が得られる – 分子理論の展開 p.39 (永瀬、平尾) – 厳密な波動関数と平均場近似の波動関数がかなり近い • 基底状態と第一励起状態のエネルギーギャップが十分ある。 これらのheuristicsを使うことで、量子コンピュータを使って高速 に厳密対角化を行うことが可能になる
- 45. 本質的には高速化されないのはなぜか? • k<=2 Local HamiltonianはQMA-complete [arXiv:0406180] – QMAの中で最も難しい問題。 • なお、NP⊆QMAである。量子化学の問題はNPで最も難しい問題よ りも難しい。 • つまり…もし効率的に解けるなら巡回セールスマン問題、ハミルト ン閉路問題なども量子コンピュータで効率的に解けるはず。 • では、一次元と限定すれば? (DMRGで一次元は解ける) やっぱりダメ (cf. [arXiv:0705.4077] the problem of approximating the ground state energy of a system composed of a line of quantum particles is QMA- complete) つまり量子コンピュータはものすごく強力 というわけではない
- 46. 量子コンピュータは 量子化学の問題にどう利用すべきか? • 高速になるのかならないのかよくわからない? – すべての問題が高速になるとは限らない – 一部 – いま興味を持っていない- 大変難しい問題も含んで いる。難しい問題を難しいまま解いているため。
- 47. 量子コンピュータは 量子化学の問題にどう利用すべきか? • ほとんどの量子化学の系の厳密対角化はでき ていないのが現状 – 古典コンピュータではできない大きさの厳密対角化 が実用的に出来ればそれでok!とし実際に量子化 学の役に立てることが重要 • ベンゼン分子の厳密対角化は古典コンピュータではまず 不可能だが量子コンピュータではできるかもしれない。 • QMA-complete/NP-completeだが、最悪の場合も考慮す ると、なのでとりあえず置いておく。
- 48. 量子化学への応用 • Simulated Quantum Computation of Molecular Energies, A. Asupuru-Guzik et al., (Science 2005) • 手法: qubitを分子の波動関数とみなす • Qubit数=分子軌道の数x2 + レジスタ部分(定数10-20?) 電子数には依存しない これで fullCIの空間を扱える!! • 鍵となるアルゴリズム 量子位相推定& 量子フーリエ変換 この２つはかなり似ている
- 49. 鍵となるアルゴリズムと仮定 • 量子フーリエ変換 – 位相の読み出し • 量子位相推定 – QubitにfullCI波動関数をいれる。 – 波動関数をユニタリ変換して位相に系のエネルギー固有値を入れる • 任意のユニタリ行列を作る – Hartree-Fockから、CI波動関数を作る。 • 仮定: c0が十分大きいこと が十分大きいことが必要 – 平均場近似と重なりが大きいから位相推定が可能 – エネルギーギャップがある=固有値が分離していて密集してない。
- 52. 3qubitでの例
- 53. 3qubitでの例
- 54. 量子フーリエ変換 • 離散フーリエ変換を量子的に行った • オーダーはQFTがO((log n)2)なので、 – FFT(n log n)より高速。
- 55. 量子位相推定 Unitary行列の固有値を求めたい! 近似的にφを求めるアルゴリズムを考える。２進数表記で について0 or 1で求めてゆく。 固有ベクトルはすでに求まっているとする さて、 から、 と、位相を計算し、それを 状態ベクトルに一桁ずつ埋め込む、ということをしてみる。 これはどうやってやるべきか?
- 56. 量子位相推定 • 量子フーリエ変換を思い出すと • 状態ベクトルをその基底での成分に分解できる。ということは逆 はどうか? 係数を状態ベクトルに埋め込める。N=2nだから • jはn bitの２進数なので、各ビットをjlとして、 を に変えてやれば、 結局I-QFTをかければ、|φ>が得られる。尚exp(2πikφ)|ψ>=Uk|ψ>
- 57. 量子位相推定 1. まずすべてのqubitが等しく重ね合わせされている状態を作る 2. 上の変換はアダマールゲートをn回通せば良い 3. 次に に対応した を掛ける。 4. まとめると
- 58. 量子位相推定
- 59. 量子化学に適用 • Unitary行列はTrotter-鈴木分解で代用する • 用意された波動関数は、厳密解に十分近い exp (iHt) を|ΦHF>にかけて位相を読み取る
- 60. 鍵となるアルゴリズムと仮定 • 量子フーリエ変換 – 位相の読み出し • 量子位相推定 – QubitにfullCI波動関数をいれる。 – 波動関数をユニタリ変換して位相に系のエネルギー固有値を入れる • ゲートで任意のユニタリ行列を作れること – Hartree-Fockから、CI波動関数を作る。 • 仮定: c0が十分大きいこと が十分大きいことが必要 – 平均場近似と重なりが大きいから位相推定が可能 – エネルギーギャップがある=固有値が分離していて密集してない。
- 61. 計算方法 • |R>を4 qubitとして、V0を作用させると1/16の精度で位相 が 求まる。
- 62. 計算方法 • 次はV1を作用させる • 更に次は • と、位相を少しずつrefineしてゆく。 • 水分子での位相の 計算の様子
- 63. 議論 • 実効的なpolynomialなアルゴリズム • 欲しい解はHartree-Fock状態に十分近くないといけ ない。 – 十分近いと位相推定が効率よく行える – 解離極限、電子相関が強い系は上手くゆかないかもしれ ない。 • ゲートの数が多くなりすぎる。 – H2分子/STO-3G (2軌道2電子)、最小規模、ゲート操作無 誤差で1000ゲートの規模の適用が必要。 – H2O分子程度でも数百万ゲート? – ベンゼンだと? – ただし、ゲートの数は軌道の数の4乗でスケール
- 64. 量子コンピュータでの波動関数の反対称化 Jordan-Wigner変換とBravyi-Kitaev変換 “The Bravyi-Kitaev transformation for quantum computation of electronic structure” Jacob T. Seeley, Martin J. Richard, Peter J. Love [arXiv:1208.5986v1]のご紹介
- 65. 電子の波動関数とqubitの違い 電子はすべて同じ粒子で原理的に区別がつかない。 実際波動関数の座標を入れ替えると符号が出る (fermi粒子) 一方、qubitは一つ一つ区別が明確につく。 David P. DiVincenzo arXiv:quant-ph/0002077v3 1. A scalable physical system with well characterized qubits したがって 量子コンピュータのqubitで電子波動関数をシミュレートする 際は、反対称化を考えなければならない
- 66. Qubitの対称化 ナイーブに考えるとqubitの対称化は、波動関数をn qubitsで表すとして、n! 足し算と引き算がかかる(行列 式と同じ考え方)。Aを反対称化演算子とする。3 電子 系の場合、3! = 6 回操作する必要性あり AΨ(x1,x2,x3) = 1/√6 ( Ψ(x1,x2,x3) - Ψ(x2,x1,x3) - Ψ(x1,x3,x2) + Ψ(x2,x3,x1) + Ψ(x3,x1,x2) -Ψ(x3,x2,x1) )
- 67. 粒子の統計性は実装できるか? そこで湧き上がる疑問 粒子の統計性は実装できるか? – 少し考えたらわかるが、できる。 • 古典コンピュータでもboson/fermionは扱える。 • 古典コンピュータでも量子コンピュータでもTuring machineとしては同じ問題が解 けるのみである。 – Qubitを直接反対称化するとO(n!)計算が必要。 – 演算子を作用させるときに粒子数を数えさせて、explictに計算すると、 計算量がO(n)に減る。 • Jordan-Wigner変換 – もう少し頑張るとO(log n)に減る。 • Bravyi-Kitaev変換
- 68. Fermionの第二量子化について(Jordan-Wigner) • Occupation number vectorを考える。これは線形空間をなす (ni=0 or 1) ベクトルは単に0,1を記録してる&n bit目が明確にわかる qubitと同じ • このベクトルに作用する反交換関係を満たす生成・消滅演算子を定義す る これらから、 1. 軌道に２つ同じ粒子は入らない 2. 粒子数演算子の固有値は0 or 1 (辻褄が合っている) 3. が出てくる
- 70. Jordan-Wignerの実装 occpation number vectorをqubitと同一視する 1 qubitに作用する演算子 は、量子回路 として実装できる。 フェルミ粒子の生成・消滅演算子はこれらから、量子回路として実装できる 基本的なところはこれでok
- 71. Jordan-Wignerの実装 もう少しコンパクトな表記を用いる。 この がparity operatorで、i番目まで電子が奇数個あれば-1, 偶数ならば1 となる量子回路である。 だからbitが立っていれば = 占有数ベクトルに電子が存在 するならば -1 しなければ 1 となる。これをi番目まで積をとると、i番目の軌道 までに電子が奇数個(-1)か偶数個(+1)入っているかがわかる。 を確かめるのも簡単。 が、このparity operatorのために、O(n)の計算が必要となる!
- 72. 基底を変えたらどうなる?: parity basis i番目までの軌道に何個電子が入っているか、を調べるのにO(n)の手間がかかるの であれば、最初からparityを入れた基底を使えばどうか。 以下の基底変換を行う (演算は2で割った余りを考える) 例: を変換してみる。 値について 説明する こと
- 73. parity basis • Parity basisとoccupation number vector は一対一対応するつ まり、変換は単に基底の入れ替えをしただけ。 – Parity basisは完全規格直交系だとは容易にわかる • これで、j-番目のqubitに を作用させると、パリティが出る。 • しかしながら、occupationは陽に持ってない。 に相当するｊ 番目のqubitに作用する演算子は、 となる。j番目の軌道に電子を入れるとすると、j-1までのparityが 0ならば1、j-1のparityが1ならば-1がかかる。
- 74. parity basis • わかりにくいので具体例 を考えてみる ｊ−1番目の軌道までに 偶数個電子がある から占有数ベクトルと 同じ考えでok ｊ−1番目の軌道までに 奇数個電子があるから j番目に生成演算子を 作用させるなら 符号を出す必要がある。 偶数個? 奇数個? j-1番目までの軌道に奇数個電子 j番目までの軌道に偶数個 -> j番目は占有 ->さらにj番目の軌道に生成演算子を掛ける = 0
- 75. Parity basisと生成消滅演算子 結局、生成・消滅演算子はparity basisでは となる。Xはupdate operatorとよぶ 粒子を入れるとそれ以後の電子のparityが全部 変わるのでそれはupdateしてやらねばならない 結局O(n)かかる。簡単になってない。
- 76. Bravyi-Kitaev basis • 本題 – Jordan-Wignerではoccupation vectorで張るので、 occupationの変更はO(1)だが交換関係がO(n)= 生成 消滅演算子一つ波動関数に掛ける、あたりO(n)程度 のコスト – Parity basisでは交換関係はO(1)だがoccupationは O(n) = 生成消滅演算子一つあたりO(n) – この中間を目指したBravyi-Kitaev basisでは、生成・消 滅演算子を一つ波動関数に掛けるときのコストが O(log n)程度になっている。 – 方法論はわかったが、理論はよく理解してない…
- 77. Bravyi-Kitaev basisの基本戦略 • WavefunctionはBravyi-Kitaev basisで持つ • Occupationの変更はO(1)で行えるJordan- Wigner basisに線形変換して行う • 交換関係での符号処理はO(1)で行えるparity basisに線形して行う • この変換の手間がO(log n) – 普通に変換するとO(n)
- 78. Bravyi-Kitaev変換 • Occupation number vectorからの変換行列βは2nx2n行列
- 79. 変換行列 • Bravyi-Kitaev基底からoccupation number vectorへの変換 • Bravyi-Kitaev基底からparity basisへの変換 n=8での例
- 80. 変換行列とindex • 必要な行列の要素はすべて0 or 1、従って非ゼロ要素をリストアップする とよい。
- 83. Hamiltonianの表式を Bravyi-Kitaev基底で表す 具体的には、Hamiltonianに 先程の ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff を代入すればよい 基底はnumber operatorを対角化するものを用いOperatorを分類する
- 84. Hamiltonianの表式を Bravyi-Kitaev基底で表す Number operator は変形すると Coulomb & exchangeは 以下の様になる
- 92. Bravyi-Kitaev / Jordan Wignerと比較
- 95. 量子コンピュータへの実装 • Pauli-Zの回路 • Pauli-X(-Y)の回路 • これらとSuzuki-Trotter分解で位相推定を行う
- 96. 量子コンピュータへの実装 • Pauli-Zの回路 • Pauli-X(-Y)の回路 • これらとSuzuki-Trotter分解で位相推定を行う
- 99. 量子コンピュータシミュレータでの結果 • BK、JWでの回路数の比較 328 -> 222へと改善した
- 101. まとめ • “The Bravyi-Kitaev transformation for quantum computation of electronic structure”Jacob T. Seeley, Martin J. Richard, Peter J. Love [arXiv:1208.5986v1] • 量子化学の問題を量子コンピュータで、より効率よく解ける 方法の説明と実装、数値実験を行った。 – qubitは粒子の統計性が入ってないので、fermi粒子の多体問題を解 くには反対称化しなければならない。 • NaïveにやるとO(n)程度コストがかかる (n:電子数) – Bravyi-Kitaev基底を用いると反対称化の手続きがO(log n)に減らされる。 • Jordan-Wignerの方法(普通の第二量子化)よりゲートの数が少なくできる • H2/STO-3G という最も簡単な系では、328-> 222回路数となった。 • 若干速い収束 • 他にも変換方法はある(Bravyi-Kitaev Super fast変換等)。
- 103. Yet another Quantum solver • もう一つの量子コンピュータ – ゲート式ではない – 測定を主眼にした方法 • ゲートの数が多くなりすぎる点を解消 • 量子計算の誤差の影響を比較的受けにくい • 古典計算機でやりにくかった変分法を行うの が主眼
- 105. 変分法の特徴 • N電子の空間は広すぎて扱えない。 – 20電子20軌道で340億程度 • コンピュータで扱えるなるべく広い空間を探索したい。 – Hartree-Fock空間 : 最も狭い – 打ち切りCI空間 : 昔はよく使ったが致命的な弱点もあり – DMRG : Matrix Product Stateを扱う。 • どんな場合も近似解Eは真の解の上界となる。
- 107. 励起演算子:クラスター展開 • 励起演算子をTを定義する – T(1)は1電子励起演算子:参照波動関数と比較して２つ配 置が違う波動関数の重ねなわせ(ti jはスカラーパラメータ) – T(2)は2電子励起演算子:参照波動関数と比較して4つ配置 が違う波動関数の重ねなわせ(ti jはスカラーパラメータ) – これを続けてn電子励起演算子まで定義
- 110. Cluster展開の物理的解釈 • Thouless theorem – １電子励起のみを考えるとHartree-Fockを改善しない • 2電子励起 – 2電子励起は「2電子が衝突する」ものと「1電子が励起す る」の２つの事象の和 T1はそもそも小さいと考えられる ため、C2 ≒T2 (CC2近似) • 4電子励起 – 「3,4電子が衝突する」過程は非常に少ない。とす ると、C4 ≒ T2^2 /2!
- 111. CCSD (coulped cluster single and doubles) としたとき を考える。この波動関数展開をCCSD展開と呼ぶ。 CCSDは2電子励起までを考慮にいれるにもかかわらず、非常に良 い近似となる。 - C_nまで、T1, T2の積という形で考慮可能。 古典コンピュータでは、 をT1 / T2 空間へ射影し、(未知数と方程式数の数合わせをし) 非変 分的に解く。
- 113. Variational Eigen Solver Nature Communications, 5:4213, (2014) 0. 波動関数の非線形に変分展開する たとえばunitary coupled cluster このパラメータは古典的に持っておき、その波動関数を 初期状態として作れるようにする。θの最適化問題を解く 1. あるθについて を作る(on 量子コンピュータ 2. エネルギーを測定する(on 量子コンピュータ 3. エネルギーを最適化するような次のθを作る(ここは 多変数関数の最適化を古典コンピュータで行う) 4. 繰り返す
- 114. Variational Eigen Solverはどこが面白いのか?? 1. 波動関数の変分的非線形展開が可能 qubitたちが線形重ね合わせをしてくれるため。古典では実質 的に不可能。たとえばUnitary CCができた! O(n!) から O(poly(n))程度に落ちる 2. 全エネルギーの測定を効率的に実施 2-RDMを一要素ずつ測定して、最後に和を取れば良い。 O(n4)の手間! 3. デコヒーレンスに強い ゲート型では大量のゲートを正確に適用する必要性あり。
- 115. Variational Eigen solverで分子の Potential曲面を書いた例 [1704.05018] BeH2まで実際に計算した例
- 117. 展望 • まだ始まったばかり • 多項式程度のリソースで量子化学の厳密対角化 (FullCI)が可能(になる場合多々) • ハードウェアの発展は不可欠 • アルゴリズムの改良は必須 • 波動関数は物理量ではない。できれば波動関数の展 開係数を見たい… 中田が生きている間に量子コンピュータが古典コン ピュータを超えられるかも!!