初期波動関数を用意し、虚時間発展をさせると厳密な基底状態に落ちることはよく知られている。それを量子コンピュータで行う方法を提案した。虚時間発展はユニタリ的ではないため通常の虚時間発展ではなく、時間依存変分法を解いてフィッティングを行っている。LiH / STO-3G 4軌道 6qubitの系で試して厳密解を非常に効率よく再現した。

1. Qubitによる波動関数の虚時間発
展のシミュレーション : a review
2018/9/28
中田真秀
Variational quantum simulation of imaginary time evolution with applications in
chemistry and beyond arXiv [1804.03023]

2. 虚時間発展で基底状態を求める
• Fermionの虚時間発展をqubitでsimulateする
• 基底状態が求まる(運が悪いと励起状態)。
• Non unitaryな時間発展
– Quantum computerでは直接simulateできない。
Unitaryな時間発展のみ

3. 実時間発展/虚時間発展
• 時間依存シュレーディンガー方程式の微分表示
• 時間依存シュレーディンガー方程式の積分表示
• 虚時間
• 虚時間発展 させる( は規格化定数)
iを落としただけ、にどんな意味があるの??

4. 虚時間発展の意味
• 時間に依存しないSchrodinger方程式の解を使って
• 初期状態を展開したあと
• 適当な状態から虚時間発展させる
• C0=1とおいて少し式変形
• 右辺の二項目についてτの無限大の極限を考えると
• したがって、

5. 虚時間発展の意味
• つまり、任意の状態を十分長い時間虚時間発展させると基
底状態に落ちる事がわかる(規格化定数を除く)。
• しかも係数は、expで落ちてゆくので
• 十分長い時間といいつつ効率よく基底状態に落とせる
• 時間が虚軸で流れるといいね…

6. 虚時間発展は可能?
• 量子コンピュータで虚時間発展させればよいのでは?
– だめ! 量子コンピュータでは実時間発展しかできない。
– 古典ではできるじゃない?
• たしかに、古典コンピュータでできることは量子コンピュータでもできるはず
– なんとかならないかな…

7. 虚時間発展は可能?
• 量子コンピュータで虚時間発展させればよいのでは?
– だめ! 量子コンピュータでは実時間発展しかできない。
– 古典ではできるじゃない?
• たしかに、古典コンピュータでできることは量子コンピュータでもできるはず
– なんとかならないかな…
• なんとかなりました!
• “Variational quantum simulation of imaginary time
evolution with applications in chemistry and beyond”
Sam McArdle, Suguru Endo, Tyson Jones, Ying Li, Simon Benjamin,and Xiao
Yuan [1804.03023]

8. 実現方法(理論式)
• 微小だけτを時間発展させる
• McLachlan’s variational principleを利用
– 時間依存変分原理を虚時間に適用
– 制限はノルム保存
– ラグランジュの未定乗数法をつかってworking equationを
得る。

9. 疑問とその答え
• 量子力学では非ユニタリな時間発展は不可
能なはずなのになぜ?
• 微小虚時間発展での状態ベクトルの変位は
ユニタリで書ける。それへのフィッティングを
行えば模擬的に可能

10. 実現方法(量子回路)
• AijCi はquantum computerで効率的に測定できる。
PHYSICAL REVIEW X 7, 021050 (2017)
• 微小時間推進は
– を用いて行う
• Aij Cjを観測するための量子回路

11. 結果
H2分子
LiH分子
H2/STO-3G
LiH/STO-3G 6qubits/4軌道(8 spin orbital) 1s/2py/2pxは含めず。42 parameters

12. 結果

13. 議論
• 量子コンピュータで虚時間発展する方法を提
案
• H2/LiHに適用して厳密な基底状態のエネル
ギーが得られた
• ランダム初期値から112回の試行で103回は
厳密な基底状態に10-3hatree以内に入った
– ノイズに強いと思われる