4. Kontekstual
Ketika ada roda sepeda motor yang berdiri berputar, kemudian roda
tersebut terkena permukaan jalan yang datar. Titik sentuhan antara
roda sepeda motor dan jalan itulah yang disebut dengan garis
singgung lingkaran. Contoh lainnya, yakni kertas berbentuk lingkaran
yang ditempelkan batang lidi di atasnya. Berdasarkan contoh itu,
diketahui bahwa lidi adalah garis singgung lingkaran.
5. Definisi
Garis singgung lingkaran adalah garis yang
menyentuh lingkaran dan tepat di satu titik. Ketika
lingkaran berdiri dan bersentuhan sisi bawahnya,
maka titik sentuhan antara lingkaran terluar dengan
permukaan bawahnya adalah garis singgung.
6. Pembuktian rumus
( garis singgung lingkaran)
Perhatikan Δ OAB
Pada ΔOAB berlaku teorema
Pythagoras, yaitu:
OA² + AB² = OB²
AB² = OB² – OA²
AB = √OB²-OA²
AB = √OB²-r²
Perhatikan gambar berikut.
Pada ΔOCB juga berlaku teorema
Pythagoras, yaitu:
OC² + BC² = OB²
BC² = OB² – OC²
BC = √OB² - OC²
BC = √OB² - r²
Ternyata, AB = BC = √OB²-r².
Uraian tersebut menggambarkan
definisi berikut.
Kedua garis singgung lingkaran yang
ditarik dari sebuah titik di luar
lingkaran mempunyai panjang yang
sama.
7. Pembuktian rumus
( Garis singgung persekutuan luar )
Perhatikan gambar berikut
Perhatikan ∆SPQ karena QSP = 90˚ maka
kita bisa menggunakan teorema
Pythagoras untuk mencari panjang SQ.
∆SPQ siku-siku di S sehingga
PQ² = SQ² + SP²
SQ² = PQ² – SP²
I² = k² – (R – r) ; R > r
l = √k²-(R-r)²
Jadi, panjang garis singgung
persekutuan luar dua lingkaran
adalah:
l = √k²- (R-r)², untuk R > r
dengan:
l = panjang garis singgung
persekutuan luar
k = jarak kedua titik pusat
lingkaran
R= jari-jari lingkaran pertama
r = jari-jari lingkaran kedua
8. Pembuktian rumus
( garis singgung persekutuan dalam)
Perhatikan gambar berikut ini
Sekarang perhatikan ΔPSQ, karena
ΔPSQ merupakan segitiga siku-
siku dengan PSQ = 90˚ maka kita
bisa menggunakan teorema
Pythagoras untuk mencari panjang
SQ.
Q² =PS² +SQ²
SQ² =PQ² – PS²
d² =k² – (R +r)²
d = √k²-(R+r)²
Jadi, panjang garis singgung
persekutuan dalam dua lingkaran
adalah
d =√ k²-(R+r)²
dengan:
d = panjang garis singgung
persekutuan dalam
k = jarak kedua titik pusat lingkaran
R = jari-jari lingkaran pertama
r = jari-jari lingkaran kedua
9. Contoh soal konsep
Jika diketahui jari-jari
lingkaran r = 6 cm
dan OB = 10 cm,
tentukan panjang
garis singgung AB
Jawab:
Pada ΔOAB berlaku teorema
Pythagoras sehingga
AB²= OB² – r²
AB = √10²-6²
= √100 - 36
= √64 = 8
Jadi, panjang AB adalah 8 cm.
10. Gerhana bulan terjadi jika posisi matahari , bumi dan bulan berada pada
posisi yang sejajar yang dapat dilihat pada skema gambar gerhana bulan
berikut ini . Jika jari-jari matahari dan jari-jari bumi
adalah 11 juta km dan 4 juta km. Jika jarak matahari dengan bumi sekitar
25 Juta Km. tentukan garis yang menyinggung bagian luar antara matahari
dan bumi?
jawab:
Contoh soal kontekstual
=√k²-(R-r) ²
=√25²-(11-4) ²
=√625-7²
=√625-49
=√576
=24
Sehingga jarak bagian luar antara matahari dan bumi adalah 24 juta km
12. Kontekstual
Maya, seorang petani di desa, ingin meningkatkan hasil
panennya. Dia memanfaatkan area segitiga di kebunnya
dengan menanam tanaman dalam bentuk lingkaran di
dalamnya. Dengan menggunakan konsep matematika,
Maya menemukan bahwa jari-jari lingkaran yang tepat
adalah setengah dari panjang sisi segitiga. Tanaman-
tanaman yang ditanam dalam bentuk lingkaran tumbuh
subur dan menghasilkan panen yang melimpah. Maya
membuktikan bahwa pemahaman matematika dapat
memberikan manfaat dalam kehidupan sehari-hari.
13. Definisi
Lingkaran dalam suatu segitiga
adalah lingkaran yang berada di
dalam segitiga dan menyinggung
semua sisi segitiga, berpusat di
titik potong ketiga garis bagi
sudut segitiga.
14. Rumus Mencari Jari-Jari Lingkaran Dalam
Segitiga
Keterangan:
r : jari jari lingkaran
L : luas segitiga
s : setengah keliling
segitiga ( 1/2 ( a + b+ c))
15. Pembuktian rumus
Diketahui: ∆ ABC dengan sisi-sisinya a, b, dan c
L= ½ ×Alas x Tinggi
s = setengah keliling segitiga(1/2 (a+b+c))
Bukti:
Luas ∆ BOC = ½ a x r
Luas ∆ AOC = ½ b × r
Luas ∆ AOB = ½ c × r
Maka, Luas ∆ABC (L)= luas ∆ BOC+ luas ∆ AOC + luas ∆ AOB
= ( ½ a × r) + ( ½ b × r ) + ( ½ c x r)
= ½ ( a + b + c) r
L = sr
r = L/s ( terbukti)
16. Contoh soal konsep
Tentukan jari- jari lingkaran dalam segitiga berikut ini.
Diketahui AB Tegak lurus BC
LΔ = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
LΔ = √(30 (30-20)(30-15)(30-25))
LΔ = √(30(10)(15) (5))
LΔ = √22500
LΔ = 150 cm
17. Contoh soal
kontekstual
Sebuah kolam renang memiliki bentuk segitiga
dengan panjang sisi-sisi 9cm, 15cm, dan 12cm.
Untuk mempercantik kolam renang, pemilik
ingin menambahkan sebuah pemandian air
panas berbentuk lingkaran di dalam segitiga
tersebut. Berapakah nilai jari jari Lingkaran
pemandian air panas yang dapat menempati
seluruh area segitiga?
20. Kontekstual
Seorang tukang kayu bernama Arief menerima pesanan
dari seorang arsitek bernama Maya. Arief dengan hati-
hati membuat segitiga yang indah dan menempatkan
lingkaran di luar segitiga dengan jari-jari yang tepat.
Hasilnya memukau dan membuat Maya sangat senang.
Arief menjadi terkenal sebagai tukang kayu yang mahir
dalam membuat segitiga dan lingkaran.
21. Definisi
Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang
melalui tiga titik sudut sebuah segitiga. Pusat
lingkaran luar segitiga terletak di persimpangan
garis yang membagi dua garis yang ditarik dari
sudut-sudut segitiga ke titik tengah sisi
berlawanan. Jarak antara pusat lingkaran dan
salah satu titik sudut segitiga disebut sebagai jari-
jari lingkaran luar segitiga.
24. Contoh soal
Diketahui panjang sisi-sisi sebuah
segitiga adalah 15cm, 20cm dan 25cm.
Hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga
dan luas daerah yang diarsir.
Jawab :
s = ½ keliling segitiga
s = ½ (a + b + c)
s = ½ (15 + 20 + 25)
s = 1/2 ( 60)
S = 30 cm
LΔ = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
LΔ = √(30(30-15)(30-20)(30-25))
LΔ = √(30(15)(10)(5))
LΔ = √22500
LΔ = 150cm²
r = (a × b × c)/ (4 × LΔ)
r = (15×20×25)/ (4 × 150)
r = 7500/600
r = 12,5 cm
Untuk mencari luas lingkaran gunakan rumus luas lingkaran
yaitu:
LΘ = πr²
LΘ = 3,14 x (12,5cm)²
LΘ = 490,62 cm²
Untuk mencari luas mencari luas yang diarsir yaitu:
L = LΘ - LΔ
L = 490,62cm²- 150 cm²
L = 340,62 cm²
