4. Jumlah sudut-sudut suatu segitiga
Teorema 6. Jika ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut 180Ā°,
maka akan ada sebuah persegipanjang.
5. Bukti:
No Pernyataan Alasan
1 Diketahui āš“šµš¶ Premis
2 ā š“ + ā šµ + ā š¶ = 180Ā° 1 dan Teorema 5
3 āš“šµš¶ dipotong menjadi dua segitiga siku-siku
dengan menarik garis tinggi, misal AD
1 dan Konstruksi
4 Terbentuk āš“šµš· dan āš¶šµš· 3
5 Misal ā š“ + ā šµ1 + ā š·1 = p
dan ā š¶ + ā šµ2 + ā š·2 = q
4
6 p + q = 180o + 2 (90o) = 360o 2, 5
7 Akan ditunjukkan bahwa p = 180o Premis
8 š ā¤ 180Ā° 7 & Teorema 1 (Saccheri ā
Legendre)
9 Jika p < 180Ā° , maka q > 180o 6, 8 dan bertentangan dengan
Teorema 1
10 p = 180o 8, 9
6. Bukti:
No Pernyataan Alasan
11 Jadi ada segitiga siku-siku, misalnya āš“šµš· dengan sudut siku-
siku di D, yang mempunyai jumlah sudut 180o
1, 3, 4, 10
12 āš“šµš· ā āšµš“šø dilukis dengan E berlainan pihak dengan D
dari sisi AB, dan BE bersesuaian dengan AD
Premis tambahan
13 ā 1 + ā 2 = 90o 11, 12
14 ā 1 = ā 1ā² dan
ā 2 = ā 2ā²
Sudut dalam
berseberangan
15 ā 1 + ā 2ā² = 90o dan
ā 1ā² + ā 2 = 90o
14
16 ā 1 + ā 2ā² = ā šøšµš· dan
ā 1ā² + ā 2 = ā šøš“š·
15
17 ā šøšµš· = ā šøš“š· = 90o 15, 16
18 ADBE persegipanjang 11, 17
7. Akibat 1 Teorema 6. Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 180Ā°, maka
setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 180Ā°.
No. Pernyataan Alasan
1 Sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 180o Premis
2 Akan ditunjukkan bahwa setiap segitiga mempunyai jumlah
1800
Premis
3 Jika ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut 180Ā°, maka akan
ada sebuah persegipanjang
Teorema 6
4 Jika ada sebuah persegi panjang, maka setiap segitiga memiliki
jumlah sudut 180Ā°.
Teorema 5
5 Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 180Ā°, maka
setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 180Ā°.
3, 4
Bukti:
8. Akibat 2 Teorema 6. Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut kurang
dari 180Ā°, maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari 180Ā°.
No Pernyataan Alasan
1 Misal āš“šµš¶ mempunyai jumlah
sudut kurang dari 180o
Premis
2 Pehatikan sebarang āššš Premis
3 Jumlah sudut āššš = p Konstruksi
4 š ā¤ 180Ā° 3 & Teorema 1 (Saccheri ā Legendre)
5 Misalkan p = 180o Pemisalan
6 āššš mempunyai jumlah sudut
180o
5 & Akibat 1 Teorema 6.
Bertentangan dengan pemisalan tersebut
7 p < 180o 6
8 Setiap segitiga mempunyai jumlah
sudut kurang dari 180Ā°
7
Bukti:
9. Dengan membandingkan teorema akibat 1 dan 2 dari
teorema 6, kita amati suatu fakta penting yang tidak
termuat dalam teorema SaccheriāLegendre. Geometri
netral adalah "homogen", dalam arti bahwa semua
segitiga mempunyai jumlah sudut 180', atau semua
segitiga mempunyai jumlah sudutya kurang dari 180Ā°.
15. Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, sudut-sudut di hadapannya sama.
Jika dua sudut suatu segitiga sama, dua sisi di hadapannya sama.
16. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik pada garis
tertentu tersebut.
Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik di luar
garis tertentu tersebut.
17. Titik T terletak pada sumbu segmen garis AB jika dan hanya jika TA = TB.
A B
T
Jika dua sisi suatu segitiga tidak sama, maka sudut-sudut di hadapanya juga tidak sama,
dan sudut yang lebih besar berhadapan dengan sisi yang lebih panjang.
18. Jika dua sudut suatu segitiga tidak sama, maka sisi-sisi di hadapannya juga tidak
sama, dan sisi yang lebih panjang berhadapan dengan sudut yang lebih besar.
Segmen garis terpendek yang menghubungkan sebuah titik dan sebuah garis
adalah segmen yang tegaklurus.
P
N
19. Jumlah panjang dua sisi lebih besar dari sisi yang ketiga.
Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing sama dengan dua
sisi dengan dua sisi yang kedua, dan sudut apit segitiga pertama lebih
besar dari sudtit apit segitiga kedua, maka sisi ketiga dari segitiga
pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua.
Jika dua sisi segitiga yang pertama masing-masing sama dengan dua
sisi segitiga yang kedua, dan sisi ketiga dari segitiga pertama lebih
panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua, maka sudut apit dari
segitiga pertama lebih besar dari sudut apit dari segitiga kedua.
20. Besar sudut luar suatu segitiga adalah lebih besar dari salah satu sudut dalamnya
yang tidak bersisian dari salah satu sudut dalamnya yang tidak bersisian dengan
sudut luar tersebut.
2
1
A
B C
Pernyataan Alasan
Jika p ā¦ q. Asumsi bukti tak langsung.
Maka p dan q berpotongan pada satu
titik, sebut saja C dan ā³ ABC
terbentuk.
Uraian dengan cara I.
ā 2 adalah sudut luar dari ā³ABC. Definisi sudut luar.
ā 1 adalah sudut dalam yang jauh dari
ā 2.
Definisi sudut luar.
mā 2 > mā 1. Teori sudut luar.
mā 1 = mā 2 (kontradiksi dari mā 2 >
mā 1).
Diketahui.
21. Jumlah dua sudut dari suatu segitiga adalah kurang dari 180Ā°.
A B
C
45Ā°
45Ā°
ā A = 45 Ā°
ā B = 90 Ā°
ā c = 45 Ā°
Jika ā A + ā B = 135 Ā°
Sehingga jumlah dua sudut dari suatu segitiga adalah
kurang dari 180Ā°
Jika dua garis dipotong oleh garis lain dan membentuk sepasang sudut dalam berseberangan
yang sama dua garis tersebut sejajar.
r
p
q
1
2
22. Dua garis yang tegaklurus pada garis yang sama adalah sejajar.
Pikirkan garis p, q, dan r, jika p||q dan q||r, maka p||r
p
q
r
A
Pernyataan Sebab
Andaikan p||r Asumsi bukti tidak langsung
Ada sebuah titik ke p dan r, sebut titik A Pernyataan kembali dari kalimat
1
p||q Dipikirkan.
r||q Dipikirkan.
Garis p dan r adalah dua garis melalui A
sejajar q (kontradiksi dengan postulat garis
sejajar yang mana menyatakan bahwa
hanya ada satu garis melalui A sejajar q)
Pernyataan 3 dan 4.
Karena itu p||r Logika dari bukti tidak
langsung.
23. Sekurang-kurangnya ada satu garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu yang
melalui titik di luar garis tertentu tersebut.
p
I
p
Tampak bisa diasumsikan sebagaimana kita telah lakukan pada
postulat sejajar, bahwa hanya ada satu garis melalui P yang sejajar l.
Postulat Sejajar
Pikirkan sebuah garis l dan sebuah titik P tidak pada l, maka hanya
ada 1 garis melalui P sejajar l.
24. Misalkan garis l melalui titik C yang jaraknya ke pusat lingkaran kurang dari
panjang jaari-jarinya. Maka garis memotong lingkaran di dua titik.
c
d
Secan (tali busur) lingkaran adalah
ruas garis yang memotong lingkaran
tepat di dua titik.
25. Sebuah garis merupakan garis singgung lingkaran j ika dan hanya jika garis
tersebut tegaklurus pada ujung jari-jari lingkaran.
o
A
Pada masing-masing gambar, ruas garis
OA adalah jari-jari dan l tegak lurus
ruas garis OA.
26. Jika diketahui segitiga ABC dan segmen garis PQ sedemikian sehingga PQ = AB maka ada
titik R di luar PQ sedemikian sehingga segitiga PQR kongruen segitiga ABC.
A B P Q
C R
Pernyataan yang diberikan:
Sisi AB kongruen dengan sisi PQ
Sisi BC kongruen dengan sisi QR
Sisi AC kongruen dengan sisi PR
ā³ ABC kongruen dengan ā³ PQR
Sebuah lingkaran dapat digambarkan melalui sebarang segitiga.
