Fungsi merupakan aturan yang mengaitkan setiap anggota suatu himpunan domain dengan tepat satu anggota himpunan kodomain. Dokumen menjelaskan konsep dasar fungsi seperti definisi, ilustrasi, grafik, contoh fungsi, operasi aljabar fungsi, fungsi satu-satu, fungsi kepada, fungsi bijektif, invers fungsi, dan komposisi fungsi."

1. FUNGSI

2. PENGERTIAN FUNGSI
 Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong.
Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan
setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
 ATURAN :
 setiap anggota A harus habis terpasang dengan
anggota B.
 tidak boleh membentuk cabang seperti ini.
A B

3. ILUSTRASI FUNGSI
A f B
Input Kotak hitam Output
Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain,
B disebut kodomain. Elemen a ∈ A disebut argumen dan f(a) ∈ B dise-
but bayangan(image) dari a.
Himpunan Rf:= { y ∈ B : y = f(x) untuk suatu x ∈ A } disebut daerah
jelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S ⊂ A maka himpunan
f(S) := { f(s) : s ∈ S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.

4. ILUSTRASI FUNGSI (LANJ)
Fungsi
Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang
mempunyai 2 kawan.
Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang
tidak mempunyai kawan.
A B

5. GRAFIK FUNGSIGRAFIK FUNGSI
 Misalkan f: AMisalkan f: A  B. Grafik fungsi f adalahB. Grafik fungsi f adalah
himpunan pasangan teruruthimpunan pasangan terurut {{((aa,f(,f(aa) |) | aa ∈ }A∈ }A
 : = { , , } =Contoh Misalkan A 1 2 3 dan B: = { , , } =Contoh Misalkan A 1 2 3 dan B
{ , }, ( )= , ( )= ,1 2 fungsi f didef sbg f 1 1 f 2 2{ , }, ( )= , ( )= ,1 2 fungsi f didef sbg f 1 1 f 2 2
( )= .f 3 1 Maka grafik fungsi f dapat( )= .f 3 1 Maka grafik fungsi f dapat
:digambarkan sbb:digambarkan sbb
A
B

6. CONTOH FUNGSI
1. Fungsi kuadrat f : R → R, dimana f(x) := x2
+x+1.
2. Fungsi nilai mutlak f : R → R+ , dimana
fungsi ini ditulis juga f(x) := |x|.
3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua
kota di dunia, f : A → B dimana f(x) := ibukota negara x. =Bila x
Malaysia
( ) = , ( ) = .maka f x Kuala Lumpur f Inggris London
.4 Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan
perintah “diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b
tsb”. Ini mendef. fungsi f : A → Z+ dimana f(x) = banyak koma yang ada
pada buku x.
5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif
Fungsi f : A  B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S.
Bila S = (1001101) maka f(S) = 4.
6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi ?



<−
≥
=
0jika
0jika
:)(
xx
xx
xf

7. • CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinayatakan dalamCONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinayatakan dalam
suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkansuatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan
untuk menyimpan data dengan 100 bit.untuk menyimpan data dengan 100 bit.
PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkanPENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkan
ke atas, yaitu dibuthkanke atas, yaitu dibuthkan ⌈ / ⌉ = ⌈ . ⌉ = .100 8 12 5 13 byte⌈ / ⌉ = ⌈ . ⌉ = .100 8 12 5 13 byte
• CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, dataCONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, data
disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yangdisusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yang
dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500
kilobyte per detik.kilobyte per detik.
PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesarPENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar
500,000 * 60 = 30,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masing-500,000 * 60 = 30,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masing-
masing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapatmasing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapat
ditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaituditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu
⌊⌊300,000,000/424 = 70,754 ATM.⌋300,000,000/424 = 70,754 ATM.⌋

8. OPERASI ALJABAR FUNGSI
 Misalkan f, g : A → B maka fungsi f + g , cf dan f g
didefinisikan oleh :
(f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x)
g(x).
 Contoh: misalkan f, g : R → R dimana f(x) = x2
dan
g(x) := x – x2
. Diperoleh (f+g)(x) = x,
(fg)(x) = x3
-x4
.
 Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan
kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x
dalam domainnya.
 Apakah fungsi f(x):=x-2 dan g(x):=(x2
-4)/(x+2)
sama ?

9. FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF)
 Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila
[f(x) = f(y) → x = y ], atau [x  y → f(x)  f(y)].
Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE:
∀x ∀y [f(x) = f(y)  x = y] atau ∀x ∀y [x  →y f(x)  f(y)]
maka fungsi f disimpulkan satu-satu.
Namun, bila ada x dan y dengan x  y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak
satu-satu.
A B A B
satu-satu tidak satu-satu

10. • CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} denganCONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan
f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?
PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasanganPENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan
ganda pada A mk fungsi ini injektif.ganda pada A mk fungsi ini injektif.
• CONTOH: Apakah fungsi f: RCONTOH: Apakah fungsi f: R  R dengan f(x) = xR dengan f(x) = x22
satu-satu ?satu-satu ?
PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. JadiPENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi
ada x, y dengan xada x, y dengan x ≠≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-
satu.satu.
• CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?
PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan xPENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠≠ y , diperolehy , diperoleh
x + 5x + 5 ≠≠ y + 5y + 5  g(x)g(x)≠≠ fgy). Jadi g injektif.fgy). Jadi g injektif.

11. FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF)
 Fungsi f : A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y ∈ B
terdapat x ∈A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis
terpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikan
kebenaran kuantor berikut:
∀y∈ B ∃x∈ A sehingga y = f(x)
maka f surjektif. Namun, bila ada y∈ B sehingga setiap x∈A, f(x)≠ y
maka f tidak surjektif.
A B A B
kepada tidak kepada

12. • CONTOH: Apakah fungsi f(x) = xCONTOH: Apakah fungsi f(x) = x22
dari R ke Rdari R ke R
surjektif ?surjektif ?
PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilanganPENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilangan
real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlakureal. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku
xx22
= f(x)= f(x)≠≠ y. Jadi, f tidak surjektif.y. Jadi, f tidak surjektif.
• CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dariCONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari
R ke R surjektif?R ke R surjektif?
PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, makaPENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka
y = x-3y = x-3  x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi hx = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi h
surjektif.surjektif.

13. FUNGSI BIJEKTIFFUNGSI BIJEKTIF
• FungsiFungsi f : Af : A → B→ B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif.dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif.
Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra-Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra-
bayangan di A.bayangan di A.
• CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d}CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d} {1,2,3,4} dengan f(a)=4,{1,2,3,4} dengan f(a)=4,
f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif.f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif.
PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu-PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu-
satu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif.satu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif.
Jadi fungsi ini bijektif.Jadi fungsi ini bijektif.
A B
fungsi bijektif

14. INVERS FUNGSI
 Misalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi
yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu
elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1
dimana
f -1
: B → . ,A DKL
y = f(x) ↔ =x f -1
(y)
 Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.
A B
b=f(a)
f(a)
f -1
(b)
f -1
(b)=a

15. • CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} denganCONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan
aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya,aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya,
tentukan inversnya.tentukan inversnya.
PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibelPENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel
dengan fdengan f -1-1
(1)=c, f(1)=c, f -1-1
(3)=b dan f(3)=b dan f -1-1
(2)=a.(2)=a.
• CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = xCONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x22
..
Apakah f invertibel.Apakah f invertibel.
PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektifPENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif
maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.

16. KOMPOSISI FUNGSI
 Misalkan g: A  B dan f: B  C. Komposisi fungsi f
dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A  C
dengan (f ◦ g)(x):= f(g(x)).
 Bila f: A  B dan g: D  E maka fungsi komposisi
f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D.
A B C
⊂
g f
f◦g