This note is in Vietnamese.

1. Bài tập về nhà 2
Môn Vật lý sinh học tính toán
Lê Đại Nam (15 311 02)
1 Kiểm tra tính khả hồi của thuật toán Euler
Từ khai triển chuỗi Taylor:
     
 
   
   
2
2
,
2
,
2
f t
r t t r t v t t t
m
f t f t
v t t v t t t
m m
       

       


(1.1)
ta dẫn ra giải thuật Euler cho phương trình định luật II Newton như sau:
   
     
 
 
   
2
( ), ( ) ,
,
2
,
.
f t f r t v t
f t
r t t r t v t t t
m
r t t t r t
v t t
t

       
  



 
(1.2)
Để kiểm tra tính khả hồi, đầu tiên ta xây dựng giải thuật Euler ngược bằng cách
đổi dấu t t   hay nói khác hơn là hoán đổi t t  với t trong (1.2):
   
     
 
 
   
2
( ), ( ) ,
,
2
.
f t t f r t t v t t
f t t
r t r t t v t t t t
m
r t t r t
v t
t
      
 
         
  


 (1.3)
Ta sẽ so sánh (1.3) với hệ phương trình giải ngược của (1.2) để xem giải thuật Euler có
khả hồi hay không. Từ (1.2), ta giải ngược để tìm ( )r t và ( )v t như sau:

2.    
 
     
     
( ), ( ) ,
,
2
, .
f t f r t v t
r t t r t f t t
v t t
t m
r t r t t t v t t t

    
   

      
(1.4)
Dễ dàng thấy rằng dạng của (1.4) hoàn toán khác (1.3), do đó, giải thuật Euler không
khả hồi.
2 Tìm một thuật toán khác có tính khả hồi
Tính không khả hồi của thuật toán Euler xuất phát từ việc thuật toán Euler được
xây dựng bằng cách lấy gần đúng theo chiều tăng của thời gian. Do đó, giải ngược thuật
toán Euler không trùng với thuật toán Euler ngược chiều thời gian. Để khắc phục điều
này, ta có thể xuất phát từ cả hai phương trình theo chiều tăng của thời gian
     
  2
,
2
f t
r t t r t v t t t
m
        (1.5)
và chiều giảm của thời gian
     
  2
.
2
f t t
r t r t t v t t t t
m
 
          (1.6)
Cộng hai phương trình (1.5) và (1.6) thì ta được
   
    .
2
f t t f t
v t t v t t
m
  
     (1.7)
Giải thuật này được gọi là giải thuật Verlet, chính xác hơn là dạng vận tốc của giải thuật
Verlet. Giải thuật này áp dụng với giả thiết trường lực không phụ thuộc tường minh vào
vận tốc và cụ thể các bước của giải thuật này là dựa trên các phương trình sau:

3.      
 
    
   
   
2
,
2
,
.
2
f t
r t t r t v t t t
m
f t t f r t t
f t t f t
v t t v t t
m
       
    
  


   
(1.8)
Để kiểm tra tính khả hồi của thuật toán, ta cũng giải ngược thuật toán và so sánh
với trường hợp áp dụng thuật toán cho chiều giảm thời gian. Trước tiên, ta áp dụng thuật
toán cho chiều giảm thời gian: hoán đổi t t  và t trong (1.8)
     
 
    
   
   
2
,
2
,
.
2
f t t
r t r t t v t t t t
m
f t f r t
f t f t t
v t v t t
m

 
         

  
   
(1.9)
Bây giờ, ta giải ngược thuật toán (1.8) để tìm ( )r t
     
 
   
   
2
,
2
,
2
f t
r t r t t v t t t
m
f t t f t
v t v t t t
m
       
  
     
(1.10)
từ đây, ta suy ra
     
     
   
 
   
   
2
2
,
2 2
,
2
.
2
f t t f t f t
r t r t t v t t t t t
m m
f t t
r t t v t t t t
m
f t t f t
v t v t t t
m
   
            
  
 
         
  


   

 
(1.11)
Dạng của (1.9) trùng với (1.11) nên ta chứng minh được giải thuật Verlet khả hồi.