1) The document discusses estimation theory and provides definitions of key terms like point estimate, interval estimate, unbiased estimator, relatively efficient estimator, and consistent estimator. 2) It also discusses properties of estimators like being biased or unbiased, and accurate or precise. The ideal is an unbiased estimator. 3) Methods for estimating the mean are presented for both large and small samples, including the formula for a confidence interval of the mean when the population standard deviation is known or unknown.

1. BAB 4 (bag. 1)
Teori Estimasi
1
4.1 Pengertian dan
Sifat-Sifat Estimator
4.2 Estimasi Rataan
4.3 Estimasi Proporsi

2. 4.1 Pengertian dan Sifat-sifat
Estimator
a. Pengertian Estimasi (penaksiran/pendugaan)
Menurut Bluman (2009, p.356):
Estimasi merupakan proses menaksir nilai sebuah parameter berdasarkan
informasi yang diperoleh dari sebuah sampel.
Misalnya hasil suatu survey menyatakan estimasi sbb:
• Rataan pengeluaran pulsa/bulan mahasiswa di Bandung pada tahun 2015 sebesar
Rp. 50.270,-
• Lima belas persen profesi orang tua mahasiswa di Tel-U adalah PNS, dsb.
• Rataan harga mobil bekas 1500 cc tahun 2010 antara Rp. 100 juta sd.Rp. 200
juta.

3. Macam Estimasi Statistik
Suatu parameter  dapat diestimasi melalui 2 macam
penaksiran statistik , yaitu :
1. Menaksir dengan sebuah nilai statistik dikenal dengan
istilah point estimate
2. Menaksir dengan selang nilai statistik dikenal dengan
istilah interval estimate
θ̂
2
1 θ̂
θ
θ̂ 

θ̂
@copyright axy_2015

4. Sifat-Sifat Estimator
1. Unbias Estimator
Jika statistik sampel sama dengan parameter
populasi (AKURAT).
2. Relatively Efficient Estimator
Unbias estimator yang memiliki variansi terkecil
(PRESISI).
3. Consistent Estimator
Unbias estimator yang mendekati nilai yang
sebenarnya sejalan dengan bertambahnya ukuran
sampel.
b. Sifat-sifat Estimator

5. Penaksiran yang BIAS
(BIASED)
Hasil penaksiran yang terlalu tinggi atau
terlalu rendah dari yang sebenarnya .
Apa yang menjadi persoalan
dalam estimasi?
Penaksiran yang IDEAL
(UBIASED)
Jika nilai suatu penaksiran sama dengan
nilai yang sebenarnya .
Seperti apa penaksiran yang
dikehendaki?
 
θ̂
θ̂
biased unbiased
1. Unbiased Estimator

6.  
biased unbiased
Akurat?

7. 
lebih baik
2. Relatively Efficient Estimator

8. 
lebih baik
Presisi?

9. 3. Consistent Estimator
Unbias estimator yang mendekati nilai yang sebenarnya sejalan dengan
bertambahnya ukuran sampel. Pertanyaan penting dalam estimasi adalah
berapa besar ukuran sampel yang harus ditetapkan agar menciptakan
suatu estimasi yang akurat. Salah satu faktor yang menentukan ukuran
sampel adalah standar deviasi, oleh karena itu semakin besar ukuran
sampelnya menyebabkan variansi semakin kecil dan konsekuensinya
menciptakan unbias estimator yang lebih baik.
X
µ
n =50
n =15
n =5
terbaik

10. • Interval estimate (estimasi interval) adalah selang/interval/rentang nilai
suatu statistik yang digunakan untuk menaksir suatu parameter
• Confidence interval (interval kepercayaan) adalah kemungkinan estimasi
interval akan mengandung parameter yang berasal dari pemilihan
sejumlah sampel yang besar.
• Confidence level/degree of confidence (tingkat kepercayaan) adalah
suatu nilai kepercayaan yang ekivalen dengan nilai desimal (1–α) atau
persentasi (1–α)100%.
• Notasi α dikenal level of significence sebagai nilai dari tingkat
kesalahan/taraf nyata yang dapat dikatakan sebagai kemungkinan nilai
suatu estimasi parameter berada di luar batas kiri atau kanan α/2.
Istilah dalam Estimasi
Suatu interval kepercayaan selalu menetapkan tingkat kepercayaan biasanya dengan
90%, 95%, atau 99%, yang merupakan ukuran dari keandalan (reliability) prosedur.
Semakin besar kepercayaan maka semakin lebar interval parameternya.

11. (1-α)100% confidence level

12. 95% confidence level

13. 4.2 Estimasi Rataan
Misalkan suatu populasi berdistribusi normal memiliki parameter
rataan µ dan standar deviasi . Dengan asumsi bahwa  diketahui
maka nilai µ yang tidak diketahui akan ditaksir.
Penaksiran rataan dari satu populasi meliputi taksiran rataan:
• Sampel besar dan
• Sampel kecil

14. Interval Kepercayaan Rataan 
dengan Simpangan baku  DIKETAHUI
Jika 𝑥 rataan sampel acak berukuran n dari suatu populasi berdistribusi
normal dengan variasi σ2
yang diketahui, maka untuk α yang spesifik rumus
untuk taksiran interval kepercayaan sebesar (1-α)100% untuk  (confidence
interval of the mean) adalah:
Dimana zα/2 adalah nilai sebaran normal
menghasilkan luas α/2 di sebelah kanan
dan kirinya. Menggunakan tabel normal
dapat dicari nilai dari zα/2 yang
ditentukan oleh tingkat kepercayaaan.
1 ̶ a
z
a/2
-za/2
a/2
za/2
𝑥−𝑧𝛼 2
𝜎
𝑛
< 𝜇 < 𝑥 + 𝑧𝛼 2
𝜎
𝑛
4.2 Estimasi Rataan
a. Estimasi Rataan Sampel Besar

15. Margin Error dan Ukuran Sampel (n) Minimal
Formulasi ukuran sampel untuk taksiran rataan populasi diperoleh dari
formulasi margin error-nya :
𝐸 = 𝑍∝/2
𝜎
𝑛
Formulasi ukuran sampel minimum untuk taksiran interval rataan populasi
sebagai berikut (Walpole, 2012):
Jika 𝑥 digunakan untuk menaksir µ, kita dapat percaya (1-α)100% bahwa
kekeliruannya akan kurang dari nilai “e” tertentu jika jumlah sampelnya adalah:
𝑛 =
𝑍𝛼/2. 𝜎
𝐸
2
Teorema ini dapat diterapkan jika variansi populasi diketahui, atau tersedia
n ≥ 30 untuk melakukan taksiran variansi tersebut.
Margin of Error :
Tingkat kesalahan maksimum penaksir

16. 𝑍𝛼/2. 𝜎
𝐸
2
Memperhatikan formulasi ini dapat dirinci 3 hal yang mempengaruhi ukuran
sampel (n), yaitu :
1. Tingkat kesalahan atau kesalahan maksimum yang diijinkan
2. Standar deviasi populasi
3. Tingkat kepercayaan
Ringkasan nilai zα/2 untuk suatu (1–α)100% tertentu:
• untuk suatu interval kepercayaan 90%, maka zα/2 =z0.05=1.65
• untuk suatu interval kepercayaan 95%, maka zα/2 =z0.025=1.96
• untuk suatu interval kepercayaan 99%, maka zα/2 =z0.005=2.58

17. b. Estimasi Rataan Sampel Kecil
Selang Kepercayaan Rataan 
dengan Simpangan baku  TIDAK DIKETAHUI
Jika 𝑥 dan s adalah rataan dan simpangan baku sampel berukuran n < 30 dari suatu
populasi yang terdistribusi mendekati normal, maka selang kepercayaan
(1 – α)100% untuk rataan µ adalah:
Dimana 𝑡∝ 2 adalah nilai distribusi-t
dengan derajat kebebasan sebesar
v=n-1 menghasilkan luas α/2 di
sebelah kanan dan kirinya.
1 ̶ a
t
a/2
-ta/2
a/2
ta/2
𝑥 − 𝑡∝ 2
𝑠
𝑛
< 𝜇 < 𝑥 + 𝑡∝ 2
𝑠
𝑛

18. Latihan 1
Manajer Marketing sebuah dealer otomotif ingin memperkirakan berapa lama waktu yang dibutuhkan
untuk menjual suatu jenis mobil. Hasil sampling 50 mobil memiliki rataan waktu 54 hari dan
diasumsikan standar deviasi populasi 6 hari, maka:
Pertanyaan:
a. Tentukan taksiran interval kepercayaan 95% dari rataan waktu terjualnya suatu jenis mobil dari
populasi yang sebenarnya?
Solusi:
a. Dengan taksiran titik rataan populasi sebesar 54 hari yang diperoleh dari rataan sampelnya, maka
taksiran interval kepercayaan 95% menggunakan nilai zα/2 = z0.025=1.96 diperoleh :
𝑥−𝑧𝛼 2
𝜎
𝑛
< 𝜇 < 𝑥 + 𝑧𝛼 2
𝜎
𝑛
54 − 1.96
6
50
< 𝜇 < 54 + 1.96
6
50
54 − 1.7 < 𝜇 < 54 + 1.7
52.3 < 𝜇 < 55.7 𝑎𝑡𝑎𝑢 54  1.7∗
*) Nilai margin error 1.7 merupakan
pembulatan 1 digit desimal dari 1.663.
Kesimpulan: Dengan kepercayaan
95% diperoleh taksiran rataan waktu
terjualnya suatu jenis mobil dari
populasi yang sebenarnya dengan
interval antara 52.3 dan 55.7 hari dari
sampling sebanyak 50 mobil.

19. Latihan 1 (lanjutan)
Manajer Marketing sebuah dealer otomotif ingin memperkirakan berapa lama waktu yang dibutuhkan
untuk menjual suatu jenis mobil. Hasil sampling 50 mobil memiliki rataan waktu 54 hari dan
diasumsikan standar deviasi populasi 6 hari, maka:
Pertanyaan:
b. Apabila margin error yang diinginkan kurang dari 0.05, berapa ukuran sampel minimalnya?
Solusi:
b. Penyelesaian di atas diperoleh untuk
margin error 1.7 hari dengan ukuran
sampel 50. Apabila margin error yang
diharapkan kurang dari 1 hari, maka
ukuran sampel minimalnya adalah:
Kesimpulan: Apabila margin error yang diharapkan kurang dari 1 hari, maka ukuran sampel
minimalnya 139 mobil. Semakin kecil margin of error maka ukuran sampel minimalnya bertambah
dari 54 menjadi 139 mobil.

20. Latihan 2
Pada persoalan latihan 5.1, misalnya ukuran sampelnya adalah 25 dengan rataan
waktu 54 hari dan standar deviasi sampelnya adalah 5 hari berasal dari populasi
berdistribusi hampiran normal, maka:
Pertanyaan:
Tentukan taksiran interval kepercayaan 95% dari rataan populasinya?
Solusi:
Persoalan taksiran sampel kecil 25<30, dengan standar deviasi sampel diketahui 5 hari yang
berasal dari populasi berdistribusi hampiran normal; dan karena standar deviasi
populasinya  tidak diketahui, maka disubstitusi dari standar deviasi sampel s = 5 hari,
sehingga berlaku formulasi taksiran interval kepercayaan 95% untuk sampel kecil sebagai
berkut:
Dengan taksiran titik rataan populasi sebesar 54
hari yang diperoleh dari rataan sampelnya,
maka taksiran interval kepercayaan 95%
menggunakan nilai tα/2 = t0.025 dengan v = n–
1=25–1=24 atau ditulis sebagai t0.025;24 = 2.064
diperoleh :
*) Nilai margin error 2.1 merupakan pembulatan 1 digit
desimal dari 2.064.
𝑥−𝑡𝛼 2
𝑠
𝑛
< 𝜇 < 𝑥 + 𝑡𝛼 2
𝑠
𝑛
54 − 2.064
5
25
< 𝜇 < 54 + 2.064
5
25
54 − 2.1 < 𝜇 < 54 + 2.1
51.9 < 𝜇 < 56.1 𝑎𝑡𝑎𝑢 54  2.1∗

21. Latihan 2 (lanjutan)
Kesimpulan: Dengan kepercayaan 95%
diperoleh taksiran rataan waktu
terjualnya suatu jenis mobil dari populasi
yang sebenarnya dengan interval antara
51.9 dan 56.1 hari dari sampling
sebanyak 25 mobil.
𝑥−𝑡𝛼 2
𝑠
𝑛
< 𝜇 < 𝑥 + 𝑡𝛼 2
𝑠
𝑛
54 − 2.064
5
25
< 𝜇 < 54 + 2.064
5
25
54 − 2.1 < 𝜇 < 54 + 2.1
51.9 < 𝜇 < 56.1 𝑎𝑡𝑎𝑢 54  2.1∗
*) Nilai margin error 2.1 merupakan pembulatan 1
digit desimal dari 2.064.

22. c. Estimasi Selisih Rataan Sampel Kecil
Taksiran selisih rataan adalah penaksiran selisih rataan (μ1–μ2) yang berasal
dari 2 buah populasi.
Ada 3 persoalan dalam interval taksiran selisih rataan μ1 – μ2 :
1. Kasus pertama, jika simpangan baku 1 dan 2 DIKETAHUI.
2. Kasus kedua, jika simpangan baku 1 dan 2 TIDAK DIKETAHUI
tetapi 1=2
3. Kasus ketiga, jika simpangan baku 1 dan 2 TIDAK DIKETAHUI
tetapi 1=2

23. Pertama:
Interval taksiran selisih rataan μ1 – μ2
jika simpangan baku 1 dan 2 DIKETAHUI.
Jika 𝑥1 dan 𝑥2 masing-masing adalah rataan sampel acak berukuran n1 dan n2
yang diambil dari populasi yang simpangan bakunya diketahui 1 dan 2, maka
selang kepercayaan (1 – a)100% untuk μ1 – μ2 diberikan oleh:
2
2
2
1
2
1
2
/
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
/
2
1 )
(
)
(
n
n
Z
x
x
n
n
Z
x
x






a
a 









24. Kedua:
Interval taksiran selisih rataan μ1 – μ2
jika simpangan baku 1 dan 2TIDAK DIKETAHUI
tetapi 1=2
Jika 𝑥1 dan 𝑥2 masing-masing adalah rataan sampel acak berukuran n1 dan n2
yang bebas berasal dari 2 populasi yang hampir normal dengan simpangan
bakunya TIDAK DIKETAHUI, tetapi 1 = 2, maka selang kepercayaan
(1 – a)100% untuk μ1 – μ2 diberikan oleh:
Dimana:
Sp= taksiran gabungan dari
simpangan baku populasi
2
)
1
(
)
1
(
2
1
2
2
2
2
1
1
2






n
n
s
n
s
n
Sp
Dengan ν = n1 + n2-2.
2
1
2
/
2
1
2
1
2
1
2
/
2
1
1
1
)
(
1
1
)
(
n
n
Sp
t
x
x
n
n
Sp
t
x
x 







 a
a 




25. Ketiga:
Interval taksiran selisih rataan
jika simpangan baku 1 dan 2TIDAK DIKETAHUI
tetapi 1≠2
Jika 𝑥1 dan 𝑠1
2
, dan 𝑥2 dan 𝑠2
2
, masing-masing rataan dan variansi sampel kecil
bebas berukuran n1 dan n2 dari distribusi hampiran normal dengan variansi
tidak diketahui dan tidak sama, maka selang kepercayaan hapiran (1-a)100%
untuk μ1 – μ2 diberikan oleh:
Dengan:
)]
1
/(
)
/
[(
)]
1
/(
)
/
[(
)
/
/
(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1





n
n
s
n
n
s
n
s
n
s

2
2
2
1
2
1
2
/
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
/
2
1 )
(
)
(
n
s
n
s
t
x
x
n
s
n
s
t
x
x 







 a
a 


26. Latihan 3
Tedapat 2 buah populasi masing-masing terdiri dari bola lampu merek A dan B yang saling bebas, memiliki
standar deviasi σA = 120 jam dan σB = 80 jam. Random sampling terhadap populasi pertama sebanyak nA =
150 buah bola lampu merek A diperoleh rataan 𝑥𝐴 = 1400 jam dan populasi kedua sebanyak nB = 200 buah
bola lampu merek B diperoleh rataan 𝑥𝐵 = 1200 jam.
Pertanyaan:
Carilah taksiran interval kepercayaan 95% dari selisih rataannya kedua populasinya?
Solusi:
Karena 𝑥𝐴 = 1400 dan 𝑥𝐵 = 1200 masing-masing adalah rataan sampel acak berukuran nA = 150 dan nB
=200 yang diambil dari populasi bebas yang simpangan bakunya populasi keduanya diketahui A = 120 jam
dan B = 80 jam, maka interval kepercayaan 95% untuk selisih rataan μ1 – μ2 merupakan contoh dari kasus
pertama dan oleh karena itu:
Batas-batas interval kepercayaan 95% menggunakan nilai zα/2 = z0.025=1.96 untuk selisih rataan populasinya
(µ1–µ2) adalah :
24.8
200
200
80
150
120
1.96
)
1200
(1400
)
(
2
2
2
2
2
/ 








B
B
A
A
B
A
n
n
Z
x
x


a
Kesimpulan: Dengan kepercayaan 95% diperoleh taksiran selisih rataan populasi bola lampu merek A dan B
dengan interval antara 175.2 dan 224.8 jam.