Dokumen ini membahas tentang distribusi binomial dan normal, serta aplikasinya dalam statistik. Distribusi binomial, yang dikenal juga sebagai distribusi Bernoulli, digunakan untuk menghitung probabilitas sukses dalam sejumlah percobaan, sedangkan distribusi normal, atau distribusi Gauss, digunakan untuk menganalisis variabel kontinu dan sering menggambarkan data empiris. Berbagai contoh penerapan dan rumus untuk keduanya juga disertakan untuk memperjelas konsep tersebut.

1. N s . J u m a i n , S . K e p . , M . K e p
DISTRIBUSI
B I N O M I A L D A N N O R M A L

2. OUR TEAM

3. SEJARAH
DISTRIBUSI BINOMIAL

4. Distribusi Binomial ditemukan oleh seorang ahli
matematika berkebangsaan Swiss bernama
Jacob Bernauli. Oleh karena itu distribusi
binomial ini dikenal juga sebagai Distribusi
Bernauli.
Distribusi Bernoulli dibentuk oleh suatu
percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Sebuah
percobaan Bernoulli harus memenuhi
syarat:Keluaran (outcome) yang mungkin hanya
salah satu dari “sukses” atau “gagal”, Jika
probabilitas sukses p, maka probabilitas gagal
q = 1 – p.
Peristiwa pelemparan mata uang (koin) yang dilakukan
beberapa kali adalah contoh dari proses bernouli, dan
hasil (outcomes) dari tiap-tap pengocokan dapat
dinyatakan sebagai distribusi probabilitas binomial.
Kejadian sukses atau gagal calon pegawai dalam
psikotest merupakan contoh lain dari proses Bernouli.

5. DEFINISI
DISTRIBUSI BINOMIAL

6. DEFINISI
Distribusi Binomial adalah
distribusi probabilitas diskrit
jumlah keberhasilan dalam n
percobaan ya/tidak (berhasil/gagal)
yang saling bebas, dimana setiap
hasil percobaan memiliki
probabilitas p.
D I S T R I B U S I
B I N O M I A L

7. PERCOBAAN
DISTRIBUSI BINOMIAL

8. PERCOBAAN D I S T R I B U S I
B I N O M I A L
Secara formal, suatu eksperimen dapat dikatakan eksperimen binomial jika
memenuhi empat persyaratan:
1. Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap (fixed number of trial)
2. Setiap ekperimen selalu mempunyai dua hasil ”sukses” dan ”gagal”. Tidak ada
daerah abu abu
‟ ‟. Dalam praktiknya, sukses dan gagal harus didefinisikan sesuai
keperluan, Misal:
• Lulus (sukses), tidak lulus (gagal)
• Setuju (sukses), tidak setuju (gagal)
• Barang bagus (sukses), barang sortiran (gagal)
• Puas (sukses), tidak puas (gagal)
3. Probabilitas sukses harus sama pada setiap eksperimen
4. Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lain, artinya satu eksperimen
tidak boleh berpengaruh pada hasil eksperimen lainnya
Untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlukan dua hal:
1. Banyaknya/jumlah percobaan/kegiatan
2. Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal

9. RUMUS
DISTRIBUSI BINOMIAL

10. RUMUS
f (x)=∑
𝑘=0
𝑛
(𝑛
𝑘)𝑝
𝑘
(1−𝑝)
𝑛− 𝑘
keterangan :
p = peluang sukses
n = banyaknya pengulangan
x = banyaknya sukses dalam n kali pengulangan
D I S T R I B U S I
B I N O M I A L

11. UKURAN
STATISTIK DESKRIPTIF

12. MEAN
Pembuktian:

13. VARIAN
Pembuktian:

14. KEMONCONGAN
Pembuktian:

15. KERUNCINGAN
Pembuktian:

16. FUNGSI KARAKTERISTIK
𝝋𝒙 (𝒕)=(𝟏 − 𝒑 +𝒑 ⅇ )𝒏

17. FUNGSI PEMBANGKIT
PELUANG
𝑮𝒙 (𝒕)=(𝟏 −𝒑 + 𝒑
𝒕
)𝒏

18. HUBUNGAN DENGAN
FUNGSI BETA
Peluang yang mengandung banyak sukses dari n
orbservasi dan distribusi binomial adalah:
dimana,

19. CONTOH SOAL
1. Dalam sebuah kotak terdapat 7 bola yang 3 diantaranya
berwarna merah. Jika dari dalam kotak diambil bola satu per
satu sampai dengan 3 kali, dimana setelah pengambilan, bola
dikembalikan lagi ke dalam kotak untuk pengambilan
berikutnya. Hitunglah peluang terambilnya bola merah sebanyak:
a. Satu kali
b. Tiga kali
c. Bukan bola warna merah terambil

20. CONTOH SOAL
Soal tersebut diselesaikan dengan distribusi binomial.
Sebab pengambilan sampel yang dilakukan adalah
pengambilan sampel dengan pengembalian. Dari soal
diketahui N = 7 dan k = 3, sehingga p = 3/7
a. satu kali
= (3)(0,184)(0,571)
= 0,315
b. tiga kali
= (1)(0,079)(1)
= 0,079
c. bukan bola warna merah terambil
= (1)(1)(0,187)
= 0,187

21. SEJARAH DAN
DEFINISI
DISTRIBUSI NORMAL

22. Distribusi normal merupakan suatu alat statistik yang
sangat penting untuk menaksir dan meramalkan
peristiwa-peristiwa yang lebih luas. Distribusi normal
disebut juga dengan distribusi Gauss untuk
menghormati Gauss sebagai penemu persamaannya
(1777-1855). Menurut pandangan ahli statistik,
distribusi variabel pada populasi mengikuti distribusi
normal.
Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh
Abraham DeMoivre (1733) sebagai pendekatan
distribusi binomial untuk n besar. Selanjutnya
dikembangkan oleh Pierre Simon de Laplace dan
dikenal dengan Teorema Moivre - Laplace. Laplace
menggunakan distribusi normal untuk analisis galat
suatu eksperimen.
Suatu data membentuk distribusi normal jika jumlah
data di atas dan di bawah mean adalah sama.
Distribusi normal berupa kurva berbentuk lonceng
setangkup yang melebar tak berhingga pada kedua
arah positif dan negatifnya.

23. PERAN PENTING
DISTRIBUSI NORMAL

24. PERAN PENTING
d i s t r i b u s i n o r m a l
1. Memiliki beberapa sifat yang mungkin untuk digunakan sebagai
patokan dalam mengambil suatu kesimpulan berdasarkan hasil
sampel yang diperoleh. Pengukuran sampel digunakan untuk
menafsirkan parameter populasi.
2. Distribusi normal sangat sesuai dengan distribusi empiris,
sehingga dapat dikatakan bahwa semua kejadian alami akan
membentuk distribusi ini. Alasan inilah sehingga distribusi ini
dikenal sebagai distribusi normal dan grafiknya dikenal sebagai
kurva normal atau kurva gauss.

25. CIRI - CIRI
DISTRIBUSI NORMAL

26. CIRI - CIRI
d i s t r i b u s i n o r m a l
1. Disusun dari variable random kontinu,
2. Kurva distribusi normal mempunyai satu
puncak (uni-modal),
3. Kurva berbentuk simetris dan menyerupai
lonceng hingga mean, median dan modus
terletak pada satu titik,
4. Kurva normal dibentuk dengan N yang tak
terhingga,
5. Peristiwa yang dimiliki tetap independen,
dan
6. Ekor kurva mendekati absis pada
penyimpangan 3 SD ke kanan dan ke kiri
dari rata-rata dan ekor grafik dapat
dikembangkan sampai tak terhingga tanpa
menyentuh sumbu absis.

27. SIFAT - SIFAT
DISTRIBUSI NORMAL

28. SIFAT - SIFAT
d i s t r i b u s i n o r m a l
1.Rata-ratanya (mean) μ dan standar
deviasinya = σ
2.Mode (maximum) terjadi di x = μ
3.Bentuknya simetrik terhadap x = μ
4.Titik belok tepat di x = μ ± σ
5.Kurva mendekati nol secara asimptotis
semakin x jauh dari x = μ
6.Total luasnya = 1

29. CIRI KURVA
NORMAL
DISTRIBUSI NORMAL

30. CIRI KURVA NORMAL
d i s t r i b u s i n o r m a l
a. Bentuk kurva normal
1. Menyerupai lonceng (genta/bel),
2. Merupakan suatu poligon yang dilicinkan yang mana
ordinat (sumbu tegak) merupakan frekuensi dan
absisnya (sumbu alas) memuat nilai variabel,
3. Simetris,
4. Luas daerah merupakan nilai rata-rata (mean),
5. Luas daerah sebelah kiri dan kanan mendekati 50%,
6. Memiliki satu modus (disebut juga bimodal),
b. Daerah kurva normal
1. Merupakan ruangan yang dibatasi daerah kurva
dengan absisnya (sumbu alas),
2. Luas daerah biasanya dinyatakan dalam persen atau
proporsi,

31. CIRI KURVA NORMAL
d i s t r i b u s i n o r m a l
Kurva normal menggambarkan daerah
penerimaan dan penolakan Ho. Jika pengujian
dua arah/sisi, maka gambarnya sebagai
berikut:
Jika pengujian satu arah, maka gambarnya sebagai
berikut:

32. RUMUS
DISTRIBUSI NORMAL

33. RUMUS
𝑓 (𝑥)=
𝑒
−(𝑥 −𝜇)
2
2𝜎
2
𝜎 √2 𝜋
Keterangan :
= mean
= standar deviasi
D I S T R I B U S I
N O R M A L

34. DISTRIBUSI
NORMAL STANDAR

35. CARA ORDINAT
d i s t r i b u s i n o r m a l s t a n d a r
Keterangan :
µ = rata-rata
σ = simpang baku
π = 3,1416 (bilangan konstan)
e = 2,7183 (bilangan konstan)
X = absis dengan batas -∞ < X < π
Bila nilai µ dan σ tetap maka setiap nilai x
akan menghasilkan nilai y sehingga bila nilai
x dimasukkan dalam perhitungan berkali-kali
dengan jumlah tak terhingga maka akan
dihasilkan suatu kurva distribusi normal.
Terdapat banyak kurva normal dengan
bentuk yang berlainan, tergantung dari
besar dan kecilnya σ.
• Bila σ besar, kurva yang terbentuk
mempunyai puncak yang rendah,
sebaliknya bila σ kecil akan
menghasilkan puncak kurva yang tinggi.
• Dapat pula bentuk kurva normal dengan
µ yang berbeda atau dengan µ dan σ
yang berbeda.

36. CARA ORDINAT
d i s t r i b u s i n o r m a l s t a n d a r

37. CARA LUAS
d i s t r i b u s i n o r m a l s t a n d a r
Kurva normal adalah kurva yang simetris, yang
berarti bahwa kurva ini akan membagi luas kurva
menjadi 2 bagian yang sama. Seluruh luas kurva = 1
atau 100% dan rata-rata (µ) membagi luas kurva
menjadi 2 bagian yang sama. Berarti luas tiap
belahan adalah 50%.
Setiap penyimpangan rata-rata dapat ditentukan
presentase terhadap seluruh luas kurva.
Penyimpangan ke kanan dan ke kiri:
- penyimpangan 1 SD = 68,2% dari seluruh luas
kurva
- penyimpangan 2 SD = 95,5% dari seluruh luas
kurva
- penyimpangan 3 SD = 99,7% dari seluruh luas
kurva

38. CARA LUAS
d i s t r i b u s i n o r m a l s t a n d a r
Proses standarisasi dapat dilakukan dengan
transformasi rumus (kurva normal standar):
𝑍 =
𝑥 −𝜇
𝜎
Keterangan :
x = nilai variabel random
µ = rata-rata distribusi
σ = simpang baku
Z = nilai standar, yaitu besarnya
penyimpangan suatu nilai terhadap rata-rata
yang dinyatakan dari unit SD
Standarisasi penting dilakukan karena ada variabel
random yang memiliki satuan yang berbeda- beda, seperti
cm, kg, bulan. Untuk memudahkan perhitungan dapat
digunakan sebuah tabel yang menunjukkan luas area di
bawah kurva normal antara nilai rata-rata dan suatu nilai
variabel random yang dinyatakan dalam unit SD.
Misalnya, luas 95% adalah 1,96 SD.
Untuk transformasi distribusi normal menjadi distribusi
normal standar dinyatakan µ = 0 dan σ = 1.

39. TABEL
DISTRIBUSI NORMAL

40. TABEL
d i s t r i b u s i n o r m a l
Kolom paling kiri menunjukkan nilai Z, tertera angka 0
sampai 3 dengan satu desimal dibelakangnya.
Desimal berikutnya terletak pada baris paling atas
dengan angka dari 0 sampai 9. Misalnya dari hasil
perhitungan diperoleh nilai Z = 1,96.
• Maka di kolom kiri kita cari nilai 1,9 dan baris atas
kita cari angka 6
• Dari kolom 6 bergarak ke bawah, hingga
pertemuan titik yang menunjukkan angka 0,4750
• Berarti luas daerah di dalam kurva normal antara
rata-rata dengan 1,96 SD ke kanan adalah 0,475
• Karena luas kurva ke kanan dan ke kiri sama,
maka luas penyimpangan 1,96 ke kanan dan ke
kiri dari rata-rata adalah 0,95 (95%)

41. APLIKASI MATERI
Sebagai contoh aplikasi distribusi normal, dilakukan suatu
evaluasi terhadap pengobatan TB menggunakan Rifampicin
dengan rata-rata kesimpulan 200 hari dan standar deviasinya
sebesar 10. Berapakah probabilitas kesembuhan antara 190
dan 210?
Jawab:
Mula-mula dihitung nilai Z = 210
Z = (210-200)/10 = 1 = 0,3413
Jadi, probabilitas kesembuhan 190 sampai
210 = 0,3413 + 0,3413 = 0,6826

42. CONTOH PENERAPAN
Sebuah perusahaan bola lampu pijar
mengetahui bahwa umur lampunya
(sebelum putus) terdistribusi secara
normal dengan rata-rata umurnya 800
jam dan standar deviasinya 40 jam.
Carilah probabilitas bahwa sebuah
bolam produksinya akan:
a. Berumur antara 778 jam dan 834
jam
b. Berumur kurang dari 750 jam atau
lebih dari 900 jam

43. CONTOH PENERAPAN
Jawab:
a. μ = 800 dan σ = 40
P(778<x<834)
x1 = 778 → z1 = (x1-μ)/σ = (778-800)/40 = -0,55
x2 = 834 → z2 = (x2-μ)/σ = (834-800)/40 = 0,85
P(778<x<834) = P(-0,55<z<0,85)
= P(z<0,85) – P(z<-0,55)
= 0,8023 – 0,2912
= 0,5111
b. μ = 800 dan σ = 40
P(x< 750 atau x>900)
x1 =750 → z1 = (x1-μ)/σ = (750-800)/40 = -1,25
x2 =900 → z2 = (x2-μ)/σ = (900-800)/40 = 2,5
P(x< 750 ataux>900) = P(z<-1,25) + P(z>2,5)
= P(z<-1,25) + 1 – P(z<2,5)
= 1 + P(z<-1,25) – P(z<2,5)
= 1 + 0,1056 – 0,9938
= 0,1118

44. PEMBAHASAN
SOAL

45. PEMBAHASAN
S O A L 1

46. PEMBAHASAN
S O A L 1

47. PEMBAHASAN
S O A L 2

48. PEMBAHASAN
S O A L 2

49. PEMBAHASAN
S O A L 3

50. PEMBAHASAN
S O A L 3

51. PEMBAHASAN
S O A L 4

52. PEMBAHASAN
S O A L 4

53. PEMBAHASAN
S O A L 5
Dua mata dadu, dilemparkan sebanyak 3 kali. Berapakah peluang untuk
mendapatkan dadu yang bernilai 7 sebanyak 2 kali dari 3 kali pelemparan ini
?
Jawab :
Sukses (x) = muncul mata dadu berjumlah 7.
n = 3
p = 1/6
P( x = 2|3, 1/6) = x 1/62
. 5/61
= 5/72
Jadi, peluang untuk mendapatkan mata dadu bernilai 7 sebanyak 2 kali dari
3 kali pelemparan adalah 5/72.

54. PEMBAHASAN
S O A L 6
Suatu ruangan aula yang besar, memiliki 3 lampu merah dan 5 lampu putih.
Saklar dari lampu-lampu itu disusun secara acak. Seseorang ingin
menyalakan lampu dan akan menekan saklar sebanyak 4 kali. Berapa
probabilitas ia menyalakan 2 lampu dari 4 kali ia menyalakan lampu ?
Jawab :
Sukses (x) = 2
n = 4
p = 3/5
P (x = 1|4, 3/8) = x 3/81
. 5/82
= 0,88
Jadi, probabilitas ia menyalakan 2 lampu merah dari 4 kali menyalakan ialah
0,88.

55. PEMBAHASAN
S O A L 7
Kepala bagian produksi PT SAMSUNG melaporkan bahwa rata - rata
produksi televisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika
dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah televisi,
berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ?
Jawab :
p ( rusak ) = 0,15, q ( baik ) = 0,85, x = 2, n = 4
Rumus : b ( x ; n ; p ) = nCx px q n-x
b (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)(4 – 2)
= 0,0975

56. PEMBAHASAN
S O A L 8
Peluang Ronaldo mencetak gol lewat tendangan penalty adalah 0,8. Jika dalam 4
kali penalty tentukan peluang ronaldo mencetak tepat 3 goal
a. Tanpa menggunakan rumus distribusi binomial
b. dengan menggunakan rumus distribusi binomial
Jawab :
a. Banyaknya permutasi dari 4 bola adala h 4!3!=44!3!=4
P(3gol)=4(0,2)(0,8)(0,8)(0,8)P3gol=40,20,80,80,8
=256625 =256625
b. peluang berhasilnya mendapat gol adalah p=0,8p=0,8 dan gagalnya q=0,2q=0,2
P(kA)=Cnk.pk.qn−kPkA=Ckn.pk.qn-k →→
P(3gol)=C43(0,8)3(0,2)4−3P3gol=C340,830,24-3
=4(0,8)(0,8)(0,8)(0,2)=40,80,80,8(0,2)
=256625=256625

57. PEMBAHASAN
S O A L 9
Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi polio adalah 0,1 (p). Pada suatu hari
di Puskesmas “X” ada 4 orang bayi. Hitunglah peluang dari bayi tersebut 3 orang
belum imunisasi polio. Jadi, di dalam kejadian binomial ini dikatakan b (x=3, n=4,
p=0,1) -> b (3, 4, 0,1)
Rumus untuk b (x,n,p) adalah:
P (x)= n! P^x . (1-p)^(n-x)
x! (n-x)!
= 4! 0,1^3 . (1 – 0,1)^(4 – 3)
3! (4-3)!
= 4.3.2.1 0,1^3 . 0,9^1
3.2.1 (1)
= 0,0036

58. PEMBAHASAN
S O A L 1 0
Misalkan suatu perusahaan memiliki karyawan yang baik sebanyak 30% dari jumlah
total. Lalu pada suatu ketika, perusahaan tersebut akan mengirimkan 20
karyawannya untuk study banding ke luar negeri. Hitunglah peluang bahwa 4 orang
dari 20 karyawan tersebut adalah karyawan yang dianggap baik.
Solusi:
Dari soal diatas, kita keahui bahwa
p=0,3
q=1-0,3=0,7
n=20
x=4
maka,
P(x=4)=20C4x(0,3^4)x(0,7^16)
= 4845x(81/1000)x(3,323/1000)
=0.13

59. THANK YOU