Il documento discute l'importanza dei problemi nella costruzione delle conoscenze matematiche e critica l'approccio didattico tradizionale che inverte la sequenza storica dei concetti. Si sottolinea come l'uso di 'buoni problemi' possa aumentare la motivazione e facilitare l'apprendimento del pensiero proporzionale. Viene proposto un metodo educativo che inizia dalla risoluzione di problemi significativi prima di procedere all'istituzionalizzazione dei concetti matematici.

1. Il ruolo dei problemi per
la costruzione di
conoscenze come
strumenti matematici
Daniela Medici, M. Gabriella Rinaldi
Bologna - 17 maggio 2012

2. I concetti matematici presentano due aspetti:
concetto – strumento
concetto – oggetto

3. Esempi
→ I sistemi numerici: Q, Z, R, C
Ad esempio Q
Le frazioni

Come operatori (per misurare …)

Come numeri

Il campo dei numeri razionali:
Q = [ZxZ{0}] /R
Il concetto di equazione,
il concetto di funzione, ...

4. Come si sono formati storicamente i
concetti matematici?
Ogni concetto ha la sua storia, a volte lunga
millenni, ma, in generale, le tappe sono state
• problemi
• messa a fuoco progressiva di conoscenze
e di alcune proprietà correlate
• definizione, studio e “sistemazione” della
teoria

5. Come sono presentati i concetti
matematici?
nella prassi didattica :
• Definizione
• Proprietà
• Esercizi di applicazione

6. Processo storico
Processo didattico
In classe si sovverte la sequenza
storica
Con quali conseguenze?

7. Scarsità di motivazione (“…ma a cosa
serve?”)
Scarsità di interesse (“non mi piace”)
motivazione e significato sono condizioni
fondamentali di qualsiasi apprendimento
Quale strumento migliore del problema può
dare motivazione alle conoscenze che
vogliamo proporre?

8. Dalle Indicazioni nazionali per i Piani di studio
personalizzati nella Scuola Primaria:
... partire da problemi ed attività ricavati
dall’esperienza diretta dei fanciulli.
Tali problemi ed attività (…) siano
sempre dotate di senso e quindi motivanti
per chi le svolge

9. Dalle Indicazioni nazionali per i Piani di studio
personalizzati nella Scuola Secondaria di 1° grado:
Obiettivi generali del processo formativo :
“Scuola della motivazione e del significato”
...i ragazzi sono (…) molto resistenti agli apprendimenti
di cui non comprendono motivazioni e significato,
che vogliano sottometterli e non responsabilizzarli.
La scuola secondaria di primo grado è impegnata a
radicare conoscenze (…) utilizzando le modalità più
motivanti e ricche di senso.

10. Prevalenza dei meccanicismi
Spesso il meccanicismo non viene associato al
significato
INOLTRE
Il consolidamento di formule attraverso
l’esercizio ripetuto agisce sulla
memoria a breve termine
e contribuisce a far nascere un’ immagine non
corretta della matematica

11. Come fare per evitare tali conseguenze?
(o almeno tentare)
Come costruire i concetti matematici?
Proporre problemi o attività,
che utilizzino il concetto che si vuole “costruire”
come STRUMENTO necessario
Solo in seguito
Istituzionalizzare:
definire
enunciare le proprietà
studiare l’OGGETTO matematico

12. Abbiamo scelto, come esempio, due argomenti
• Il pensiero proporzionale
• Introduzione al linguaggio algebrico
Perché proprio questi?
- Sono “verticali”
- Sono fondamentali anche per altre discipline
- Fanno parte del bagaglio di competenze
indispensabili nella vita
Ma…

13. P r o v a I n V a l S I 2 0 10 – 1° a n n o
s e c . p r im o g r a d o :
17 . Nonna Pina l’anno scorso con 21 Kg di prugne
ha preparato 7 Kg di marmellata.
Quest’anno vuole fare 10 Kg di marmellata.
d. Quanti chili di prugne le serviranno?
Risposta: ………………………… Kg
b. Scrivi come hai fatto per trovare la risposta.
…………………………………………………
corretta 45,2% errata 40,8% nulla 13,9%

14. Van Dooren et al.: ”Cognition and Instruction” (2005)
in Atti CERME 6 (2009)
Vittorio e Anna stanno correndo sulla pista di atletica.
Corrono con la stessa velocità, ma Anna parte dopo.
Quando Anna ha fatto 5 giri, Vittorio ne ha fatti 15.
Quando Anna ha fatto 30 giri, quanti giri avrà fatto
Vittorio?
Spiegate la vostra risposta.
Risposte corrette:
12-13 anni 57%
15-16 anni 46%

15. P r o v a I n V a l S I 2 0 10 – 3 ° a n n o s e c .
p r im o g r a d o :
22. Scrivi la formula che esprime il perimetro p del triangolo
isoscele in figura in funzione di a.
p = ………………………
Corretta 62,2% Errata 22,9 %

16. P r o v a I n V a l S I 2 0 10 – 3 ° a n n o s e c .
p r im o g r a d o :
9. Il prezzo p (in euro) di una padella dipende dal suo
1 2
diametro d (in cm) p= d
secondo la seguente formula: 15
Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o
falsa.
a. Il prezzo della padella è direttamente proporzionale al suo
61,5% 34,3 %
diametro □V □F
b. Il prezzo della padella aumenta all’aumentare del suo diametro
□ V 83,9 % □ F 12,6 %
c. Il rapporto fra il diametro della padella e il suo prezzo è 15
□ V 27,7 % □ F 67,6 %

17. E’ evidente che qualcosa non ha
funzionato nell’apprendimento

18. La nostra proposta:
• Introdurre i concetti a partire da buoni
problemi, interessanti e coinvolgenti
• Proporre buoni problemi che mettano in gioco
argomenti non trattati nell’immediato
• Abituarli ad argomentare, anche per iscritto e
a difendere le proprie posizioni con i compagni
e ad ascoltare le idee degli altri
• Non imporre soluzioni preconfezionate che li
abituino a seguire acriticamente regole e ricette

19. Evitare l’effetto “Einstellung”
Se si chiede di risolvere numerosi problemi che
richiedono l’applicazione della stessa
procedura, (come accade di solito alla fine di
una sequenza di insegnamento),
e si propone poi un problema per il quale la
procedura stessa è inadeguata,
si potrà osservare il permanere di tale procedura,
applicata in modo acritico.

20. Pensiero proporzionale

21. Difficoltà legate all’acquisizione del pensiero
proporzionale persistenti anche in età
adulta
Difficoltà nel riconoscere una situazione di
proporzionalità

22. Perché il pensiero proporzionale è
“difficile”?
Si tratta di superare la “barriera” del
campo concettuale delle strutture additive
per entrare nel
campo concettuale delle strutture
moltiplicative

23. Proporzioni e
“pensiero proporzionale”
Quando si costruisce (o si può cominciare a
costruire) il pensiero proporzionale?
Quando e come si introduce l’argomento
“proporzioni”?

24. La proporzionalità nell’allievo
è percepita in modo intuitivo
molto tempo prima del suo studio in classe
(generalmente nella seconda classe di
scuola secondaria di primo grado)
ed è in rapporto stretto con la sua
progressione nel campo concettuale della
moltiplicazione.
F. Jaquet

25. L’argomento “proporzioni” non deve
essere appesantito imponendo come
nuove regole che sono implicite nelle
proprietà delle operazioni aritmetiche,
ma deve essere finalizzato alla scoperta
delle leggi di proporzionalità
(y = kx ; xy = k)
Dai programmi della scuola media (1979)

26. Proporre un problema adatto ad introdurre
il concetto di proporzione come
lo strumento più efficace alla risoluzione
in modo che il concetto di proporzione
appaia necessario
acquistando senso e motivazione.

27. Il puzzle 6 cm 5 cm
4 cm
m
A B
5c
Il puzzle rappresentato
in figura va ingrandito:
8 cm
il segmento che misura
m
4 cm deve misurarne 6
5c
sul puzzle ingrandito.
7 cm
Ingrandite ciascuno
C
D
3 cm
dei quattro pezzi e
costruite così il nuovo
grande puzzle.
3 cm 8 cm

28. Il puzzle
Analisi delle difficoltà
Si tratta di superare la concezione
“additiva”, riconoscendo un problema di
proporzionalità.
La strategia del ritaglio permette un
controllo immediato della soluzione: il
problema è auto-validante

29. Il puzzle “ingrandito” con strategia additiva

30. IL COLORE DEL MARE
Un amico ci ha detto che per riprodurre un particolare colore del mare, dobbiamo
mescolare tra loro quattro diversi colori e ci ha consigliato le rispettive quantità, che
sono riportate nella tabella qui sotto.
Purtroppo abbiamo a disposizione una quantità diversa del primo colore.
Riesci a determinare le quantità degli altri colori, in modo che il colore finale non
cambi?
COLORE QUANTITA’ QUANTITA’
CONSIGLIATA EFFETTIVA
Verde scuro 70 ml 50 ml
Azzurro cielo 40 ml
Giallo chiaro 25 ml
Bianco 20 ml
Spiegazione:____________________________________________________________
________________________________________________________

31. Domanda
Il ricorso a “buoni problemi”, può incidere sulla
costruzione del pensiero proporzionale e
quindi sull’apprendimento?
Lavorare per problemi è guadagno o perdita
di tempo?
Gli allievi hanno maggiori capacità
a medio o lungo termine di riconoscere una
situazione proporzionale ?

32. RISULTATI
MARE n° GIUSTO SBAGLIATO ADD
Classi sperimentali 68 55,8% 44,2% 46,6%
Classi 217 14,7% 85,3% 77,83%
di controllo
Classi sperimentali : classi in cui il pensiero proporzionale è stato
introdotto a cominciare dal “puzzle” e continuando con “buoni
problemi”. Sono classi abituate a lavorare per problemi. 13-14 anni
Classi di controllo: 13-14 anni e 14-15 anni
Il fatto che un colore vada a zero pare provocare ripensamenti
nelle classi sperimentali:
tra chi sbaglia è sensibilmente inferiore la percentuale di chi
applica la strategia additiva.

33. Problemi di Problemi di carattere
carattere geometrico aritmetico
Dalle considerazioni spontanee si ragiona
sull’uguaglianza di rapporti
per poi arrivare ad “istituzionalizzare”
il nome “proporzioni” (scrittura e terminologia)
la proprietà fondamentale (dall’uguaglianza tra
due frazioni)
le altre proprietà

34. Alla scuola elementare è possibile acquisire il
pensiero proporzionale gradualmente mediante:
Problemi tradizionali o Problemi non-standard
• in ambito aritmetico o geometrico
• attraverso attività manipolative e non
ovviamente senza istituzionalizzazione formale

35. 120 Kg di pane appena sfornato vengono
sistemati in 20 ceste di plastica per il
trasporto; se ogni cesta pesa 0,80 Kg.
Quanto sarà il peso complessivo del
carico e quanto il peso lordo unitario?
attenzione ai problemi !!!
Come è possibile calcolare il peso lordo unitario?
Quanti chili di pane in ogni cesta?

36. Aiuole colorate
Claudio sta piantando due aiuole di tulipani,
vuole usare un miscuglio di tulipani rossi e
gialli.
Nella prima ogni 3 tulipani gialli pianta 7
tulipani rossi.
Nella seconda ogni 2 tulipani gialli pianta 3
tulipani rossi.
Quale aiuola vedrà più gialla?

37. Occorre capire che l’aiuola che si vede più
gialla è quella che ha più fiori gialli a parità
di tulipani rossi
Ciò che conta è cioè il rapporto fra i due
colori, ma non occorre il concetto di
rapporto per risolvere il problema.

38. Prima aiuola
rossi 7 14 21 28 35
gialli 3 6 9 12 15
Seconda aiuola
rossi 3 6 9 12 15 18 21 24
gialli 2 4 6 8 10 12 14 16
Le tabelle si possono confrontare a parità
di fiori rossi o gialli

40. e=5m
m = 10 u
b = 30 e
dunque una balena pesa come 30e
cioè come 30 x 5m
cioè come 30 x 5 x 10 u
quindi come 1500 uomini

41. “La Matematica non si insegna,
essa si apprende e si apprende
nell’attività”
George Papy

43. Le Marmellate 15°RMT,F,12
C’è la raccolta delle ciliegie.
La nonna prepara la marmellata in un enorme paiolo, per la sua
famiglia e i vicini.
Lunedì cuoce 8 kg di ciliegie con 5 kg di zucchero.
Martedì cuoce10 kg di ciliegie con 7 kg di zucchero.
Giovedì, giorno di maggior raccolta, cuoce 16 kg di ciliegie con
10 kg di zucchero.
Sabato, fine della raccolta, cuoce 5 kg di ciliegie con 3 kg di
zucchero.
Qual è il giorno in cui la nonna ha preparato la marmellata
più zuccherata?
Ci sono giorni in cui le marmellate hanno lo stesso grado di
dolcezza?
Spiegate come avete trovato la vostra risposta.

44. Le Marmellate 15°RMT,F,12
ANALISI A PRIORI
Analisi del compito
Rendersi conto che bisogna considerare simultaneamente le due
grandezze e non ci si può basare soltanto sullo zucchero
Rendersi conto che sarebbe possibile fare confronti se la
quantità di una delle due grandezze fosse la stessa, di
conseguenza provare a raddoppiare, triplicare, ...dividere per
due, ... ciascuna delle quantità.
Esempio:
8 kg di ciliegie e 5 kg di zucchero
16 kg di ciliegie e10 kg di zucchero
Porta a concludere che la percentuale di zucchero delle
marmellate di lunedì e giovedì sarà la stessa.

45. Le Marmellate 15°RMT,F,12
Inoltre raddoppiando le quantità di sabato :
10 kg di frutta e 6 kg di zucchero
e confrontando con martedì:
10 kg di frutta e 7 kg di zucchero
si può dire che
la marmellata di sabato è meno zuccherata di quella di
martedì.
Si possono poi confrontare le marmellate di martedì e giovedì,
facendo coincidere una delle quantità.
100 kg di frutta per 70 kg di zucchero il martedì
112 kg di frutta per 70 kg di zucchero il giovedì
e si conclude che
la marmellata di martedì è più zuccherata di quella di
giovedì.

46. Le Marmellate 15°RMT,F,12
La marmellata più zuccherata è dunque quella di martedì,
le marmellate di lunedì e di giovedì hanno la medesima
percentuale di zucchero.
Con procedure «esperte»:
calcolare i rapporti giornalieri fra zucchero e marmellata:
lunedì martedì giovedì sabato
zucchero(in kg) 5 7 10 3
ciliegie (in kg) 8 10 16 5
rapporto 5/8 7/10 10/16 3/5
=0,625 = 0,7 = 0,625 = 0,6

47. Le Marmellate 15°RMT,F,12
Oppure:
calcolare i rapporti giornalieri di massa di zucchero/massa totale:
lunedì martedì giovedì sabato
zucchero (in kg) 5 7 10 3
ciliegie (in kg) 8 10 16 5
rapporto 5/13 7/17 10/26 3/8
≈ 0,38 ≈ 0,41 ≈ 0,38 ≈ 0,375

48. I BARATTOLI DI CARAMELLE (Cat. 5, 6, 7, 8, 9, 10)
Nonna Matilde mette in un barattolo 6 caramelle all’arancia e 10 al
limone.
In un secondo barattolo mette 8 caramelle
all’arancia e 14 al limone. Caramelle Caramelle
Le caramelle hanno la stessa forma e sono I II
6 all'arancia 8 all'arancia
incartate nello stesso modo. 10 al limone 14 al limone
La nonna sa che a Giulio non piacciono le
caramelle al limone e quindi gli dice:
«Puoi prendere una caramella. Ti lascio scegliere il barattolo nel
quale puoi infilare la mano, senza guardare dentro».
Giulio ci pensa un po’ e sceglie infine il barattolo che, secondo lui,
gli offre più possibilità di prendere una caramella all’arancia.
Al posto di Giulio quale barattolo scegliereste?
Spiegate il vostro ragionamento.

49. ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Aritmetica: rapporto, proporzione e idea di «probabilità»
Analisi del compito
- Rendersi conto che non è sufficiente scegliere il barattolo che ha il maggior numero di caramelle
all’arancia o il minor numero di caramelle al limone, ma che bisogna anche tener conto delle due
quantità contemporaneamente, con un rapporto di grandezze.
- Determinare, poi confrontare, i rapporti tra numeri di caramelle all’arancia e al limone, per mezzo di
frazioni (con lo stesso denominatore o numeratore), o dividere l’uno per l’altro.
Oppure: determinare e confrontare i rapporti del numero di caramelle all’arancia e il numero totale di
caramelle di ciascun barattolo.
Oppure: organizzare un ragionamento proporzionale del tipo: “in un barattolo di 6 / 10 si avrebbero le stesse
possibilità di un barattolo di 12 / 20” e preparare una lista di casi:
I Arancia 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 …
Limone 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 …
Totale 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 …
II Arancia 8 16 24 32 40 48 56 64 …
Limone 14 28 42 56 70 84 96 112 …
Totale 22 44 66 88 110 132 154 176 …
e constatare che si possono confrontare facilmente 42 / 70 e 40 / 70 oppure 66 / 176 e 64 /176
o ancora 24 / 64 e 24 / 66 oppure 48 / 128 e 48 / 132 per dedurne che la scelta del primo è la più
favorevole ad avere una caramella all’arancia.

50. DECORAZIONI (Cat. 5, 6, 7) 9°, II
Un pittore ha dipinto quattro figure diverse su un muro.
Ha utilizzato dei barattoli di colore della stessa grandezza: 18
barattoli di rosso per una figura, 21 barattoli di blu per
un’altra figura, 27 barattoli di giallo per un’altra figura
ancora e alcuni barattoli di nero per la figura che resta.
Alla fine del suo lavoro, tutti i barattoli erano vuoti.
Indicate il colore di ogni figura.
Quanti barattoli di colore nero ha utilizzato?
Spiegate come avete trovato la risposta.

51. ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale :
- Geometria : confronto e misura di aree, definire un’unità di
misura di aree
- Aritmetica : proporzionalità
Analisi del compito:
- Scegliere un’unità di misura per l’area
- contare il numero di unità in ogni figura
- Classificare le figure secondo la loro area, in triangoli:
(doppi quadrati = 12, ottaedri = 14, rettangoli = 16,
triangoli = 18) o in quadrati : (doppio quadrato = 6,
ottaedro = 7, rettangolo = 8, triangolo = 9)
- Fare la corrispondenza tra le aree delle figure e i numeri
dei barattoli di colore (losanghe in rosso, ottaedro in blu,
rettangolo in nero e triangolo in giallo)
- Trovare il numero di barattoli di colore nero (24)

52. DECORAZIONI (Cat. 5, 6, 7) 9°, II
Attribuzione dei punteggi
4 Indicazione del numero di barattoli di colore con
spiegazioni (indicazione del colore di ogni figura e
relazione area/numero di barattoli)
3 Indicazione del numero di barattoli di colore, senza
spiegazioni
2 Indicazione dell’area di ciascuna figura e errore di
calcolo per il numero dei barattoli di colore nero
1 Valutazione “ ad occhio” delle superfici (spiegazione
del tipo ”si è visto che…) o inizio di risoluzione del
problema
0 Risposte non in linea con il problema
Livello: 5, 6, 7
Origine : Suisse romande

53. risultati “Decorazioni”
da 130 elaborati di cat 5,6,7
punteggio massimo 4 :
• media totale : 2,7
• media cat. 5 : 2
• media cat. 6 : 2,9
• media cat. 7 : 3,2
problema “facile”, ma le variabili numeriche hanno
influenzato il risultato (regolarità delle
successioni)

54. • 24 pots noirs, il y a toujours 3 de différence:
18 – 21 – 24 – 27
• Ce ne sono 30: (18 – 21 – 27 – 30)
• Sono 39, infatti : 18 + 3 = 21
21 + 6 = 27
27 + 12 = 39
abbiamo notato che c’è sempre il doppio di 3
20 % degli elaborati: notano la regolarità della successione
delle misure di area 6;7;8;9
sulla successione incompleta dei numeri di barattoli
18 : 21 ; 27
arrivando anche a risultati errati, all’incirca nel 50% dei casi

55. • Pour trouver la réponse, on doit toujours faire 3 fois.
Il a utilisé 24 pots noirs.
• Abbiamo contato il numero di quadrati in ogni figura
e abbiamo moltiplicato per 3 ogni numero di
quadrati nelle figure e abbiamo fatto allo stesso
modo per sapere quanti neri ci sono (24).
• Il a utilisé 24 pots de peinture (noire). Explication :
On a fait 3 × 6 = 18, après on fait 3 × 9 = 27
ensuite 3 × 7 = 21 ensuite il restait 24
car ce qu’on a fait 3 × 8 = 24 on l’a mis en noir.
80% degli elaborati
citano esplicitamente il fattore 3 o riconoscono i multipli
di 3 nella successione dei numeri di barattoli

56. TARTUFI AL CIOCCOLATO (Cat. 6, 7, 8) 11°, F
Ecco qualche confezione della ditta Tartuffardi contenenti tutte lo
stesso tipo di tartufi al cioccolato:
Classico Alternato Piccolo Tribù
Ed ecco le etichette che indicano il peso del 540 g
contenuto, da incollare sulle confezioni:
810 g
Ma queste etichette non sono in ordine e ne 630 g
manca una.
Trovate la confezione per la quale non c’è etichetta e indicate il
suo peso.
Spiegate il vostro ragionamento.

57. • fattore non intero: 22,5
(per scoprirlo occorre fare numerosi tentativi)
• successione
16, 24, 28, 36
(meno facile di 6,7,8,9 di « Decorazioni »)
• successione incompleta
540, 630, 810
(con numeri più grandi)

58. DOVE SI POSA LA MOSCA? R.M.T. 1999: 7°, I, 15
D
Il rettangolo di destra è la fotografia del grande rettangolo di
sinistra.
Nel momento in cui la fotografia è stata scattata, una mosca si è
posata sul rettangolo grande.
Il fotografo però quando ha stampato la fotografia l'ha cancellata.
Rimettete la mosca al posto giusto sulla foto.
Spiegate come avete proceduto.

59. Analisi a priori
• Ambito concettuale: geometria: ingrandimento (omotetia),
aritmetica: proporzionalità (funzione lineare)
• Analisi del testo: assenza di parole chiave
• Analisi del compito:
- procedure di tipo geometrico:
tracciare due rette passanti ciascuna per la mosca e (ad es.)
per un vertice del foglio e condurre poi le parallele
corrispondenti sulla foto e individuare “la mosca” dalla loro
intersezione; oppure cercare il centro di omotetia, intersecando
due rette congiungenti punti corrispondenti e procedere
utilizzando le proprietà dell’omotetia.
- procedure di tipo aritmetico:
determinare il fattore di riduzione della fotografia a partire dai
due rettangoli (eventualmente verificando che è il medesimo
per le due dimensioni): 2,5 : 6 = 3,5 : 8,4 = 5 : 12
determinare poi le coordinate della mosca sul foglio e calcolare
le coordinate corrispondenti sulla foto.

60. La mosca: soluzione grafica
Omotetia di centro C
D
C

61. Prova invalsi 2008
C5.
In ottobre un maglione costa 100 euro. Prima di Natale il suo
prezzo è aumentato del 20%. Nel mese di gennaio, con i saldi,
il costo del maglione si è ribassato del 10% rispetto al prezzo
natalizio. Quale affermazione è vera?
A. Il maglione in gennaio ha un costo pari a quello di ottobre.
B. Il maglione in gennaio ha un costo maggiore rispetto a quello di
ottobre dell’8%.
C. Il maglione in gennaio ha un costo inferiore rispetto a quello di
ottobre del 10%.
D. Il maglione da ottobre a gennaio ha subito un rincaro del 10%.
Risposte corrette 15% (B)

62. Prova invalsi 2008
C8.
Un padre e i suoi quattro figli si dividono la cifra vinta al
Totocalcio in questo modo: al padre spetta 1/3 dell’intera
somma e il rimanente viene diviso in parti uguali tra i figli.
Quale frazione della somma spetta a ognuno dei figli?
A. 1/2
B. 1/3
C. 1/4
D. 1/6
Risposte corrette 35% (D)

64. CHIMICA
Sul testo di chimica, abbiamo trovato che per
neutralizzare 10 ml di una soluzione fortemente
acida occorre aggiungere 80 ml di un composto
alcalino.
Noi però dobbiamo neutralizzare 25 ml della
soluzione acida.
Quanti millilitri del composto alcalino dovremo
utilizzare?
Spiegazione:______________________________
______________________________________
______________________________________
_____________

65. Inserito per testare se e soprattutto in chi,
numeri più semplici avrebbero facilitato il
superamento dell’ostacolo
Abbiamo agito sulla variabile didattica
“numeri” per vedere se in che misura numeri
più “facili” avrebbero favorito le classi di
controllo.
CHIMICA n° GIUSTO SBAGLIATO ADD
CLASSI S-C 66 82,4% 7,6% 10,3%
CLASSI T 214 47,7% 52,3% 40,2 %