Formazione sulla didattica della matematica per i docenti della scuola primaria e secondaria dell'IC Como Lago.

1. Caterina Scarpaci
Centro MatNet
Università di Bergamo
Como 12 dicembre 2014
Affrontare le difficoltà d’apprendimento
(della matematica):
il problem solving e la didattica laboratoriale
in modalità cooperativa
Corso di formazione per insegnanti di matematica
Istituto Comprensivo Leopardi di Como

2. Cos’è la matematica? È una scienza?
Georg Cantor
L'essenza della matematica risiede nella sua libertà.
la matematica ha reso possibile il nascere della scienza
moderna e la scienza moderna, a sua volta, ha causato il «boom»
della matematica; la matematica è legata e intrecciata alla scienza,
ma ben distinta da essa.
Spunti di riflessione sull’apprendimento-insegnamento della matematica
2

3. La natura del sapere matematico è stabilire le relazioni
necessarie, i nessi logici, tra le proprietà degli oggetti.
Un matematico, come un pittore o un poeta, apre dei sentieri.
Se i suoi durano più dei loro, è perché sono fatti con le idee.
Godfrey
Harold Hardy (1877-1947)
3

4. La matematica intorno a noi
4

5. 5

6. San Marco a Venezia
si riflette
nel Canal Grande
La simmetria
6

7. Il quadrato magico
A Barcellona
7

8. Occorre allora rendere la matematica una cosa viva agli occhi dei ragazzi
(e non solo), mostrandola per quella che è veramente, non solo un
contenitore di regole, numeri e formule da imparare a memoria.
Fin da piccoli i ragazzi possono divertirsi ed emozionarsi rivestendo il ruolo
di matematici.
Tobia Ravà
8

9. Occorre fornire modelli per aiutare l’intuizione, immagini per stimolare la
fantasia e per sviluppare la capacità di visualizzazione, doti che i bambini
piccoli generalmente hanno e che spesso perdono crescendo.
La scuola ha il compito di insegnare metodi e algoritmi risolutivi, ma non si
può rischiare che gli studenti li traducano in automatismi inconsapevoli,
quindi anche molto innaturali e spesso immediatamente dimenticati.
9

10. proporre la matematica ad un livello informale pone le basi sia per una
scoperta e per una conoscenza più approfondita, sia per gustarla
semplicemente, ma con curiosità.
Le frontiere politiche sono impervie alle nostre culture verbali,
mentre la civiltà del gioco, sostanzialmente non verbale,
le attraversa con la libertà felice del vento e delle nuvole.
L’internazionale dei bambini Primo Levi
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11. Inventiamo dei numeri?
- Inventiamoli, comincio io. Quasi uno, quasi due, quasi tre, quasi quattro,
quasi cinque, quasi sei.
- È troppo poco. Senti questi: uno strabilione di biliardoni, un ottone di
millantoni, un meravigliardo e un meraviglione.
- Io allora inventerò una tabellina:
tre per uno Trento e Belluno
tre per due bistecca di bue
tre per tre latte e caffè
tre per quattro cioccolato
tre per cinque malelingue
tre per sei patrizi e plebei
tre per sette torta a fette
tre per otto piselli e risotto
tre per nove scarpe nuove
tre per dieci pasta e ceci.
G. Rodari T. Ravà11

12. La curiosità è il motore della ricerca scientifica
• Un approccio non rigoristico al ragionamento matematico:
esperienze piacevoli e giochi
• Promuovere l’insegnamento della matematica come
osservazione, scoperta, formalizzazione
• Motivare tutti gli alunni, indipendentemente da conoscenze
e capacità. 12

13. “C’è una briciola di scoperta nella
soluzione di qualsiasi problema”
(G. Polya)
13

14. Obiettivi
• Lo studente al centro, valorizzando errori e intuizioni
informali
• Diffusione del metodo collaborativo, della didattica per
problemi, di un approccio esplorativo, giocoso e critico
• Consolidamento della rete tra insegnanti, scuole, università
• Confronto costruttivo tra docenti della scuola primaria e di
quella secondaria
• Verso una scuola in sintonia con le Indicazioni Nazionali e «a
prova di INVALSI»
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15. Dalle indicazioni nazionali
Le conoscenze matematiche e scientifico-tecnologiche consentono di analizzare dati e fatti
della realtà e di verificare l’attendibilità delle analisi quantitative e statistiche proposte da
altri.
Il possesso di un pensiero razionale consente di affrontare problemi e situazioni
sulla base di elementi certi e di avere consapevolezza dei limiti delle
affermazioni che riguardano questioni complesse che non si prestano
a spiegazioni univoche.
Lo studente possiede un patrimonio di conoscenze e nozioni di base ed è allo
stesso tempo capace di ricercare e di procurarsi velocemente nuove
informazioni ed impegnarsi in nuovi apprendimenti anche in modo
autonomo.
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16. Continuità ed unitarietà del curricolo
L’itinerario scolastico dai tre ai quattordici anni,…., è progressivo e
continuo. La presenza, sempre più diffusa, degli istituti comprensivi
consente la progettazione di un unico curricolo verticale e facilita il
raccordo con il secondo ciclo del sistema di istruzione e formazione.
Nella scuola del primo ciclo la progettazione didattica,
continua a valorizzare le esperienze con approcci
educativi attivi, è finalizzata a guidare i ragazzi lungo
percorsi di conoscenza progressivamente orientati
alle discipline e alla ricerca delle connessioni tra i
diversi saperi.
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17. L’ambiente di apprendimento
Valorizzare l’esperienza e le conoscenze
degli alunni, per ancorarvi nuovi contenuti.
Attuare interventi adeguati nei riguardi delle
diversità, per fare in modo che non diventino
disuguaglianze. 17

18. Favorire l’esplorazione e la scoperta, al fine di promuovere il gusto per la
ricerca di nuove conoscenze.
In questa prospettiva, la problematizzazione svolge una funzione
insostituibile: sollecita gli alunni a individuare problemi, a sollevare domande, a mettere in
discussione le conoscenze già elaborate, a trovare appropriate piste d’indagine, a cercare
soluzioni originali.
Incoraggiare l’apprendimento collaborativo. Imparare non è
solo un processo individuale. La dimensione sociale dell’apprendimento svolge un
ruolo significativo. In tal senso, molte sono le forme di interazione e collaborazione che possono
essere introdotte (dall’aiuto reciproco
all’apprendimento cooperativo, all’apprendimento tra pari), sia all’interno della
classe, sia attraverso la formazione di gruppi di lavoro con alunni di classi e di età diverse.
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19. Promuovere la consapevolezza del proprio modo di
apprendere, al fine di «imparare ad apprendere». Riconoscere le difficoltà incontrate e
le strategie adottate per superarle, prendere atto degli errori commessi, ma anche
comprendere le ragioni di un insuccesso, conoscere i propri punti di forza.
Realizzare attività didattiche in forma di laboratorio, per favorire
l’operatività e allo stesso tempo il dialogo e la riflessione su quello che si fa. Il laboratorio,
se ben organizzato, è la modalità di lavoro che meglio incoraggia la
ricerca e la progettualità, coinvolge gli alunni nel pensare, realizzare, valutare attività
vissute in modo condiviso e partecipato con altri, e può essere attivata sia nei diversi spazi e
occasioni interni alla scuola sia valorizzando il territorio come risorsa per l’apprendimento.
19

20. In matematica, come nelle altre discipline scientifiche, è
elemento fondamentale il laboratorio, inteso sia come luogo
fisico sia come momento in cui l’alunno è attivo, formula le
proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e
sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a
raccogliere dati, negozia e costruisce significati, porta a
conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle
conoscenze personali e collettive
20

21. Le conoscenze matematiche contribuiscono alla
formazione culturale delle persone e
delle comunità, sviluppando le capacità di mettere
in stretto rapporto il «pensare» e il «fare» e offrendo
strumenti adatti a percepire, interpretare e
collegare tra loro fenomeni naturali, concetti e
artefatti costruiti dall’uomo, eventi quotidiani.
In particolare, la matematica dà strumenti per la
descrizione scientifica del mondo e per
affrontare problemi utili nella vita quotidiana;
contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e
discutere, di argomentare in modo corretto, di
comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli
altri.
21

22. La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e
progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti
vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese; è un
processo che comporta anche difficoltà linguistiche e che richiede
un’acquisizione graduale del linguaggio matematico. Caratteristica della
pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono
essere intesi come questioni autentiche e significative, legate
alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere
ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente
ricordando una definizione o una regola
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23. L’alunno analizza le situazioni per tradurle in termini matematici, riconosce
schemi ricorrenti, stabilisce analogie con modelli noti, sceglie le azioni da
compiere (operazioni, costruzioni geometriche, grafici, formalizzazioni, scrittura
e risoluzione di equazioni...) e le concatena in modo efficace al fine di produrre
una risoluzione del problema.
Un’attenzione particolare andrà dedicata allo sviluppo della capacità
di esporre e di discutere con i compagni le soluzioni e i procedimenti
seguiti.
23

24. L’uso consapevole e motivato di calcolatrici e del computer deve essere
incoraggiato opportunamente fin dai primi anni della scuola primaria, ad
esempio per verificare la correttezza di calcoli mentali e scritti e per
esplorare il mondo dei numeri e delle forme.
24

25. Di estrema importanza è lo sviluppo di un’adeguata
visione della matematica, non ridotta a un insieme
di regole da memorizzare e applicare, ma
riconosciuta e apprezzata come contesto per
affrontare e porsi problemi significativi e per
esplorare e percepire relazioni e strutture che si
ritrovano e ricorrono in natura e nelle creazioni
dell’uomo.
25

26. Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di
contenuto, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui
risultati.
Descrive il procedimento seguito e riconosce strategie di soluzione
diverse dalla propria.
Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie
idee e confrontandosi con il punto di vista di altri.
Riconosce e utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici (numeri
decimali, frazioni, percentuali, scale di riduzione...).
26

27. 27
Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, attraverso
esperienze significative, che gli hanno fatto intuire come gli strumenti
matematici che ha imparato ad utilizzare siano utili per operare nella realtà

28. L’apprendimento basato sui problemi descrive quel modo di imparare
nel quale i problemi guidano l’apprendimento.
L’apprendimento ha inizio con un problema da risolvere che è
proposto in modo tale che gli studenti abbiano necessità di acquisire
nuove conoscenze prima di poterlo risolvere.
Piuttosto che cercare un’unica risposta corretta, gli studenti
interpretano il problema, raccolgono le informazioni necessarie,
identificano le possibili soluzioni, valutano le opzioni e presentano le
conclusioni.
Il problem solving: la matematica come scoperta

29. Il triangolo rettangolo ABC ha il
cateto minore, AC, lungo 30 cm,
e l’ipotenusa, AB, lunga 50 cm.
Trova la lunghezza del lato BC.
Domani devo andare in treno a
Bologna e ho pochissimi soldi per
prendere il biglietto.
Problemi matematici
… quale è un problema matematico? Perché?
29

30. • Non conosciamo il modo di
risolverlo
• Sentiamo una mancanza di
informazioni
• Speriamo di trovare una soluzione,
non la soluzione
• Cerchiamo confronto
• Avvertiamo il bisogno di idee nuove
• Siamo disposti a metterci in gioco e
darci da fare
Quando «abbiamo un problema»…
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31. • Il problema come punto di
inizio
• Collaborare per creare
strategie
• Discutere per trasformare le
strategie in concetti
• Coinvolgere perché l’apporto
di ognuno è fondamentale
• La matematica come
esplorazione, scoperta,
invenzione, condivisione
Costruire la matematica
31

32. La matematica
come scoperta
Il problem
solving
Le attività
laboratoriali
I gruppi
collaborativi
Problem solving e
apprendimento
cooperativo
32

33. Struttura della didattica
Preparazione di
attività e materiali
Laboratori
cooperativi
Confronto e
discussione
Coinvolgimento di più figure e competenze:
Supervisore, insegnante, tutor (… dirigente, genitori…).
Requisiti del problema:
• Favorire interazione e partecipazione
• Essere semplice ma difficile
• Consentire diverse strategie risolutive
“Ingredienti” del materiale:
• Schede di lavoro
• Giochi / situazioni narrative
• Oggetti da manipolare 33

34. Preparazione di
attività e materiali
Laboratori
cooperativi
Confronto e
discussione
Pari e diversi con l’apprendimento collaborativo:
unico obiettivo disciplinare
molteplici ruoli relazionali
Sfruttamento delle dinamiche da piccolo gruppo:
• Responsabilizzazione
• Valorizzazione delle competenze personali
• Potenziamento delle capacità comunicative
“L’apprendimento collaborativo si fa carico sia della dimensione disciplinare che
di quella affettivo-relazionale” (A. Pesci)
Struttura della didattica
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35. Preparazione di
attività e materiali
Laboratori
cooperativi
Confronto e
discussione
1. Condivisione del lavoro di gruppo:
• Osservazioni disciplinari
• Osservazioni relazionali
2. Discussione coordinata dall’insegnante:
• Confronto/convalida di risultati e
strategie
• Costruzione di una soluzione
condivisa
• Riflessione sui nodi concettuali
• Generalizzazione
Struttura della didattica
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36. La relazione cooperativa
studente-studente
il gruppo cooperativo
36

37. L’INSEGNAMENTO – APPRENDIMENTO
COOPERATIVO
Un modello che si fa carico della dimensione DISCIPLINARE e della
dimensione AFFETTIVO - RELAZIONALE
La CONVINZIONE di fondo:
Ogni atto CONOSCITIVO coinvolge in modo GLOBALE le persone,
con le loro EMOZIONI, PERCEZIONI, CREDENZE, STORIE,
ASPETTATIVE
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38. La nostra interpretazione
dell’APPRENDIMENTO COOPERATIVO
(collaborativo)
 Orientato al GRUPPO
 MEMORIA
 RELATORE
 Orientato al COMPITO
 OSSERVATORE
Ogni gruppo è impegnato nello stesso compito disciplinare
(secondo Lino Vianello)
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39. PROFILO DI RUOLO
 Traduce in termini OPERATIVI obiettivi e compito
 Fa sì che TUTTE le parti del problema siano analizzate
 Prevede sia la riflessione INDIVIDUALE sia la discussione
COLLETTIVA
 Fa sì che il gruppo NON SI DISPERDA su aspetti secondari
 FA periodicamente IL PUNTO della situazione
 Promuove e attiva i momenti DECISIONALI
ORIENTATO AL COMPITO
Il suo obiettivo è far raggiungere al gruppo il
miglior risultato in relazione al compito assegnato
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40. ORIENTATO AL GRUPPO
E’ il responsabile del clima comunicativo
PROFILO DI RUOLO
 SOSTIENE con la relazione tutti i partecipanti
 Fa sì che TUTTI siano partecipi senza che lo
sentano come imposizione
 Fa sì che i contributi di tutti siano EQUILIBRATI
nel tempo e nel modo
 Fa sì che i partecipanti SI RICONOSCANO nel
processo e nella produzione di gruppo
 SDRAMMATIZZA eventuali conflitti
 RIATTIVA i momenti di stasi
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41. MEMORIA
E’ responsabile della formalizzazione del
risultato del lavoro di gruppo
PROFILO DI RUOLO
 Durante la sistemazione degli argomenti fa sì che essi
risultino EVIDENTI al gruppo: RIPETE le decisioni, CHIEDE
conferme, SCRIVE ciò che viene condiviso
 Alla fine del processo PERFEZIONA la versione definitiva
del prodotto finale (RELAZIONE), d’accordo con il gruppo
ed in particolare con il “relatore”
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42. RELATORE
E’ il responsabile per il gruppo della
relazione orale sul lavoro svolto
PROFILO DI RUOLO
 COLLABORA con la MEMORIA nel perfezionare la
versione DEFINITIVA e SCRITTA del prodotto del lavoro
di gruppo
 svolge la RELAZIONE orale nella DISCUSSIONE
PLENARIA
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43. OSSERVATORE
E’ responsabile del feedback al gruppo su
alcuni elementi del processo interattivo
OSSERVA
 QUALI/QUANTI partecipanti intervengono
 QUANTE VOLTE i partecipanti intervengono
 La SCANSIONE TEMPORALE delle fasi di lavoro
 AUTOESCLUSIONE di alcuni membri
 COPERTURA del RUOLO da parte di ognuno
REGISTRA quanto osservato e lo COMUNICA alla classe durante la discussione
finale
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44. Il ruolo per l’insegnante:
IL SUPERVISORE
 lavoro FUORI dalla classe:
scelta del COMPITO disciplinare, scelta dei
CRITERI di costituzione dei GRUPPI, preparazione
del MATERIALE didattico…
 in classe, DURANTE il lavoro cooperativo:
 NON DÀ SUGGERIMENTI sulla soluzione del compito disciplinare
 È ATTENTO ai processi RELAZIONALI
 COORDINA e REGOLA la DISCUSSIONE finale
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45. LA CHIAVE di questa struttura organizzativa :
il RICONOSCIMENTO di un RUOLO ad una
PERSONA da PARTE degli ALTRI
ognuno sviluppa la propria AUTONOMIA nel PRENDERE
DECISIONI, VALUTARE e CONTROLLARE, perché è
AUTORIZZATO a svolgere determinati compiti
la ripartizione di compiti SOCIALI e
DISCIPLINARI nel gruppo secondo i ruoli
favorisce COLLABORAZIONE e
INTERDIPENDENZA, assicura che le abilità
individuali vengano CONDIVISE e RIDUCE la
possibilità che qualcuno si RIFIUTI di cooperare o
tenda a dominare gli altri
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46. A proposito di RUOLI …..
Differenza tra
 STATUS
 RUOLO
(L. Vianello, E. G. Cohen,….)
L’attribuzione di un RUOLO dà l’occasione per superare (o stravolgere)
le aspettative di prestazione legate allo STATUS…
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47. Dalla IMPORTANZA dei RUOLI
È essenziale CONOSCERE i COMPITI relativi ad ogni ruolo: in
fase iniziale, questo richiede un po’ di tempo per
 DISCUTERE,
 CONFRONTARSI e
 CIRCOSCRIVERE eventualmente i compiti principali
è essenziale CONOSCERE bene i
compiti per avere COMPETENZA
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48. Osservazioni finali
Difficoltà iniziali:
• Affiancare ruolo e
compito
• Paura di sbagliare
• Impiego forzato dei
concetti appresi a
scuola
Punti di forza:
• Forte curiosità
• Inaspettate capacità di
astrazione
• Ottime qualità logiche
"informali"
Gli alunni

49. Da parte degli insegnanti abbiamo riscontrato queste difficoltà:
Accettare di non avere il controllo degli apprendimenti degli studenti
attraverso le classiche interrogazioni e verifiche. Si giunge alla convinzione
che questo genere di ‘verifica degli apprendimenti’ non restituisce
informazioni significative
Accettare di non avere il controllo del programma perché con questo
approccio si affrontano concetti e non argomenti, strutture e non
tecniche, modelli e non esercizi ripetitivi.
Certo, è molto più comodo seguire il libro di testo!
Non farsi influenzare né dallo scetticismo, o addirittura opposizione, dei
colleghi, né dalle pressioni dei genitori
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Osservazioni finali

50. Abbiamo invece verificato che per gli studenti:
• La matematica diventa una disciplina accessibile e spesso addirittura piacevole
• l’ora di matematica ‘passa in un attimo’ rispetto ad altre materie
(e spesso lo dicono con rammarico)
• parlano di matematica per tutta l’ora
• vincono timidezza e paura di sbagliare
• incontrano punti di vista diversi dai loro e accettano di cambiare idea
• confrontano le diverse strategie risolutive aprendosi ad approcci differenti
50
Osservazioni finali

51. Osservazioni finali
L'approccio "per problemi"
Compiti ricchi e stimolanti
La collaborazione
• Alimenta un costruttivo spirito di squadra
• Rende gli alunni meno insicuri
• Valorizza le capacità di ognuno
• Più interesse e motivazione
• Sviluppo di capacità di
ragionamento e pensiero
critico