Cac chuyen _de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_lop_7_

Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
1
DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:
a) 3, 8, 15, 24, 35, ...
b) 3, 24, 63, 120, 195, ...
c) 1, 3, 6, 10, 15, ...
d) 2, 5, 10, 17, 26, ...
e) 6, 14, 24, 36, 50, ...
f) 4, 28, 70, 130, 208, ...
g) 2, 5, 9, 14, 20, ...
h) 3, 6, 10, 15, 21, ...
i) 2, 8, 20, 40, 70, ...
Hướng dẫn:
a) n(n+2)
b) (3n-2)3n
c)
( 1)
2
n n 
d) 1+n2
e) n(n+5)
f) (3n-2)(3n+1)
g)
( 3)
2
n n 
h)
( 1)( 2)
2
n n 
i)  ( 1)( 2)
3
n n n
Bài 2: Tính:
a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n
b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
Hướng dẫn:
a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n
A = n (n+1):2
b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101
A = 333300
Tổng quát:
A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n
A = (n-1)n(n+1): 3
Bài 3: Tính:
A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
Hướng dẫn:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

2
A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)
A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)
A = 333300 + 4950 = 338250
Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1)
A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2
A= (n-1)n(2n+1):6
Bài 4: Tính:
A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
Hướng dẫn:
A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)
A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99)
A = 333300 + 9900
A = 343200
Bài 5: Tính:
A = 4+12+24+40+...+19404+19800
Hướng dẫn:
1
2
A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100
A= 666600
Bài 6: Tính:
A = 1+3+6+10+...+4851+4950
Hướng dẫn:
2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
A= 333300:2
A= 166650
Bài 7: Tính:
A = 6+16+30+48+...+19600+19998
Hướng dẫn:
2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
A = 338250:2
A = 169125
Bài 8: Tính:
A = 2+5+9+14+...+4949+5049
Hướng dẫn:
2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
A = 343200:2
A = 171600
Bài 9: Tính:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100
Hướng dẫn:
4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)

3
4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100
4A = 98.99.100.101
A = 2449755
Tổng quát:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n
A = (n-2)(n-1)n(n+1):4
Bài 10: Tính:
A = 12
+22
+32
+...+992
+1002
Hướng dẫn:
A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1)
A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100)
A = 333300 + 5050
A = 338050
Tổng quát:
A = 12
+22
+32
+...+(n-1)2
+n2
A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2
A = n(n+1)(2n+1):6
Bài 11: Tính:
A = 22
+42
+62
+...+982
+1002
Hướng dẫn:
A = 22
(12
+22
+32
+...+492
+502
)
Bài 12: Tính:
A = 12
+32
+52
+...+972
+992
Hướng dẫn:
A = (12
+22
+32
+...+992
+1002
)-(22
+42
+62
+...+982
+1002
)
A = (12
+22
+32
+...+992
+1002
)-22
(12
+22
+32
+...+492
+502
)
Bài 13: Tính:
A = 12
-22
+32
-42
+...+992
-1002
Hướng dẫn:
A = (12
+22
+32
+...+992
+1002
)-2(22
+42
+62
+...+982
+1002
)
Bài 14: Tính:
A = 1.22
+2.32
+3.42
+...+98.992
Hướng dẫn:
A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99)
Bài 15: Tính:
A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101
Hướng dẫn:
A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2)
A = (12
+32
+52
+...+972
+992
)+2(1+3+5+...+97+99)

4
Bài 16: Tính:
A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102
Hướng dẫn:
A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2)
A = (22
+42
+62
+...+982
+1002
)+4(1+2+3+...+49+50)
Bài 17: Tính:
A = 13
+23
+33
+...+993
+1003
Hướng dẫn:
A = 12
(1+0)+22
(1+1)+32
(2+1)+...+992
(98+1)+1002
(99+1)
A = (1.22
+2.32
+3.42
+...+98.992
+99.1002
)+(12
+22
+32
+...+992
+1002
)
A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12
+22
+32
+...+992
+1002
)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-
98.99+(12
+22
+32
+...+992
+1002
)
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99)
(12
+22
+32
+...+992
+1002
)
Bài 18: Tính:
A = 23
+43
+63
+...+983
+1003
Hướng dẫn:
Bài 19: Tính:
A = 13
+33
+53
+...+973
+993
Hướng dẫn:
Bài 20: Tính:
A = 13
-23
+33
-43
+...+993
-1003
Hướng dẫn:

5
Chuyên đề:
TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
I. TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số
d
c
b
a
 (hoặc a : b = c : d).
Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay
ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ.
2. Tính chất:
Tính chất 1: Nếu
d
c
b
a
 thì bcad 
Tính chất 2: Nếu bcad  và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:
d
c
b
a
 ,
d
b
c
a
 ,
a
c
b
d
 ,
a
b
c
d

Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.
II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
-Tính chất: Từ
d
c
b
a
 suy ra:
db
ca
db
ca
d
c
b
a






-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:
f
e
d
c
b
a
 suy ra: ...






fdb
cba
fdb
cba
f
e
d
c
b
a
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
* Chú ý: Khi có dãy tỉ số
532
cba
 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5

6
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết
32
yx
 và 20 yx
Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt k
yx

32
, suy ra: kx 2 , ky 3
Theo giả thiết: 4205203220  kkkkyx
Do đó: 84.2 x
124.3 y
KL: 12,8  yx
Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
4
5
20
3232




yxyx
Do đó: 84
2
 x
x
124
3
 y
y
KL: 12,8  yx
Cách 3: (phương pháp thế)
Từ giả thiết
3
2
32
y
x
yx

mà 1260520
3
2
20  yyy
y
yx
Do đó: 8
3
12.2
x

7
KL: 12,8  yx
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết:
43
yx
 ,
53
zy
 và 632  zyx
Giải:
Từ giả thiết:
12943
yxyx
 (1)
201253
zyzy
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
20129
zyx
 (*)
Ta có: 3
2
6
203618
32
2036
3
18
2
20129




zyxzyxzyx
Do đó: 273
9
 x
x
363
12
 y
y
603
20
 z
z
KL: 60,36,27  zyx
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt k
zyx

20129
( sau đó giải như cách 1 của
VD1).
Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)
Từ giả thiết:
5
3
53
z
y
zy

20
9
4
5
3
.3
4
3
43
z
z
y
x
yx

mà 6060
10
6
5
3
.3
20
9
.2632  z
z
z
zz
zyx
Suy ra: 36
5
60.3
y , 27
20
60.9
x
KL: 60,36,27  zyx

8
Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng:
52
yx
 và 40. yx
Giải:
Cách 1: (đặt ẩn phụ)
Đặt k
yx

52
, suy ra kx 2 , ky 5
Theo giả thiết: 244010405.240. 22
 kkkkkyx
+ Với 2k ta có: 42.2 x
102.5 y
+ Với 2k ta có: 4)2.(2 x
10)2.(5 y
KL: 10,4  yx hoặc 10,4  yx
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Hiển nhiên x 0
Nhân cả hai vế của
52
yx
 với x ta được: 8
5
40
52
2

xyx
4
162


x
x
+ Với 4x ta có 10
2
5.4
52
4
 y
y
+ Với 4x ta có 10
2
5.4
52
4




y
y
KL: 10,4  yx hoặc 10,4  yx
Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
21610
zyx
 và 2825  zyx b)
43
yx
 ,
75
zy
 và 12432  zyx
c)
5
4
4
3
3
2 zyx
 và 49 zyx d)
32
yx
 và 54xy

9
e)
35
yx
 và 422
 yx f) zyx
yx
z
xz
y
zy
x





 211
a)
21610
zyx
 và 2825  zyx b)
43
yx
 ,
75
zy
 và 12432  zyx
c)
5
4
4
3
3
2 zyx
 và 49 zyx d)
32
yx
 và 54xy
e)
35
yx
 và 422
 yx f) zyx
yx
z
xz
y
zy
x





 211
a) zyyx 57,23  và 32 zyx b)
4
3
3
2
2
1 



 zyx
và 5032  zyx
c) zyx 532  và 95 zyx d)
532
zyx
 và 810xyz
e)
zyxz
yx
y
xz
x
zy






 1321
f) yx 610  và 282 22
 yx
a) zyyx 57,23  và 32 zyx b)
4
3
3
2
2
1 



 zyx
và 5032  zyx
c) zyx 532  và 95 zyx d)
532
zyx
 và 810xyz
e)
zyxz
yx
y
xz
x
zy






 1321
f) yx 610  và 282 22
 yx
Bài 5: Tìm x, y biết rằng:
x
yyy
6
61
24
41
18
21 




Bài 6: Tìm x, y biết rằng:
x
yyy
6
61
24
41
18
21 




Bài 7: Cho 0 dcba và
cba
d
dba
c
dca
b
dcb
a







Tìm giá trị của:
cb
ad
ba
dc
da
cb
dc
ba
A













10
Giải: 1
3( ) 3
a b c d a b c d
b c d a c d a b d a b c a b c d
  
    
          
( Vì 0 dcba )
=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b
Tương tự =>a=b=c=d=>A=4
Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng:
a)
x 7
y 3
 và 5x – 2y = 87; b)
x y
19 21
 và 2x – y = 34;
b)
3 3 3
x y z
8 64 216
  và x2
+ y2
+ z2
= 14. c)
2x 1 3y 2 2x 3y 1
5 7 6x
   
 
Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 10: Tìm các số x, y, z biết :
a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2
– 3x2
– 2y2
= 594;
b) x + y = x : y = 3.(x – y)
Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15.
b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x =
2y.
Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3.
Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và
bằng hai
lần tổng của a và b ?
Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.
Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a b c
, ,
b c c a a b  
. Biết a+b+c 0 .Tìm giá trị của mỗi tỉ
số đó ?
Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8.
Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh
của trường đó?
Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:
      0)1(22.2 22
 abababdccdabab
thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.
Giải:    2 2
2 . 2 2( 1) 0ab ab cd c d ab ab ab         
=> ab(ab-2cd)+c2
d2
=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2
b2
+1>0 với mọi a,b)
=>a2
b2
-2abcd+ c2
d2
=0 =>(ab-cd)2
=0 =>ab=cd =>đpcm

11
DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
Để chứng minh tỉ lệ thức:
D
C
B
A
 ta thường dùng một số phương pháp sau:
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số
B
A
và
D
C
có cùng giá trị.
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
+) )0(  n
nb
na
b
a
+)
nn
d
c
b
a
d
c
b
a













Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức
d
c
b
a
 .Chứng minh rằng:
dc
dc
ba
ba





Giải:
Cách 1: (PP1)
Ta có: bdbcadacdcba  ))(( (1)
bdbcadacdcba  ))(( (2)
Từ giả thiết: bcad
d
c
b
a
 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: ))(())(( dcbadcba 

dc
dc
ba
ba





(đpcm)
Cách 2: (PP2)
Đặt k
d
c
b
a
 , suy ra dkcbka  ,
Ta có:
1
1
)1(
)1(











k
k
kb
kb
bkb
bkb
ba
ba
(1)

12
1
1
)1(
)1(











k
k
kd
kd
dkd
dkd
dc
dc
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
dc
dc
ba
ba





(đpcm)
Cách 3: (PP3)
Từ giả thiết:
d
b
c
a
d
c
b
a

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
dc
ba
dc
ba
d
b
c
a







dc
dc
ba
ba





(đpcm)
Hỏi: Đảo lại có đúng không ?
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức
d
c
b
a
 . Chứng minh rằng: 22
22
dc
ba
cd
ab



Giải:
Cách 1: Từ giả thiết: bcad
d
c
b
a
 (1)
Ta có:   adbdacbcabdabcdcab  2222
(2)
  bdbcacadcdbcdabacd .2222
 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:    2222
bacddcab 
 22
22
dc
ba
cd
ab


 (đpcm)
Cách 2: Đặt k
d
c
b
a
 , suy ra dkcbka  ,

13
Ta có: 2
2
2
2
.
.
d
b
kd
kb
ddk
bbk
cd
ab
 (1)
 
  2
2
22
22
222
222
22
22
22
22
1
1
)(
)(
d
b
kd
kb
dkd
bkb
ddk
bbk
dc
ba












(2)
Từ (1) và (2) suy ra: 22
22
dc
ba
cd
ab


 (đpcm)
Cách 3: Từ giả thiết: 22
22
2
2
2
2
dc
ba
d
b
c
a
cb
ab
d
b
c
a
d
c
b
a



 22
22
dc
ba
cd
ab


 (đpcm)
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho tỉ lệ thức:
d
c
b
a
 . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết
các tỉ số đều có nghĩa).
1)
dc
dc
ba
ba
53
53
53
53





2) 22
222
dc
ba
dc
ba










3)
dc
dc
ba
ba





4)
 
 2
2
dc
ba
cd
ab



5)
dc
dc
ba
ba
43
52
43
52





6)
ba
dc
dc
ba
20072006
20062005
20072006
20062005





7)
dc
c
ba
a



8)
bdb
bdb
aca
aca
57
57
57
57
2
2
2
2





Bài 2: Cho tỉ lệ thức:
d
c
b
a
 .
Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

14
a)
dc
dc
ba
ba
53
53
53
53





b) 22
222
dc
ba
dc
ba










c)
dc
dc
ba
ba





d)
 
 2
2
dc
ba
cd
ab


 e)
dc
dc
ba
ba
43
52
43
52





f)
2008 2009 2008 2009
2009 2010 2009 2010
a b c d
c d a b
 

 
g)
dc
c
ba
a



h)
bdb
bdb
aca
aca
57
57
57
57
2
2
2
2





i)
2 2
2 2 2 2
7a 3ab 7c 3cd
11a 8b 11c 8d
 

 
Bài 3: Cho
d
c
c
b
b
a
 . Chứng minh rằng:
d
a
dcb
cba








3
Bài 4: Cho
d
c
c
b
b
a
 . Chứng minh rằng:
d
a
dcb
cba








3
Bài 5: Cho
200520042003
cba

Chứng minh rằng: 2
)())((4 accbba 
Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 3 20081 2
2 3 4 2009
a aa a
...
a a a a
   
CMR: Ta có đẳng thức:
2008
1 2 3 20081
2009 2 3 4 2009
a a a ... aa
a a a a ... a
    
  
    
Bài 7: Cho
1
9
9
8
3
2
2
1
...............
a
a
a
a
a
a
a
a
 và 0... 921  aaa
Chứng minh rằng: 921 ... aaa 
Bài 8: Cho
200520042003
cba

Chứng minh rằng: 2
)())((4 accbba 

15
Bài 9: Chứng minh rằng nếu :
d
b
b
a
 thì
d
a
db
ba



22
22
Bài 10: Cho
1
9
9
8
3
2
2
1
...............
a
a
a
a
a
a
a
a
 và 0... 921  aaa
Chứng minh rằng: 921 ... aaa 
Bài 11: CMR: Nếu bca 2
thì
ac
ac
ba
ba





. Đảo lại có đúng không?
Bài 12: Chứng minh rằng nếu :
d
b
b
a
 thì
d
a
db
ba



22
22
Bài 13: Cho
dc
dc
ba
ba





. CMR:
d
c
b
a

Bài 14. Cho tỉ lệ thức :
2 2
2 2
a b ab
c d cd



. Chứng minh rằng: a c
b d
 .
Giải. Ta có :
cd
ab
dc
ba



22
22
=  
 
  
   dc
ba
dcdc
baba
cd
ab
dc
ba
dcdc
baba
cd
ab
.
.
2
2
2
2
2
2
22
22









 ;
 
 
 
  d
c
b
a
adcbadaccbca
bdca
bdca
dbda
bdbc
adac
cbca
bad
dcb
dca
bac















 1
Bài 15: Chứng minh rằng nếu:
3
3
2
2





v
v
u
u
thì
32
vu

Bài 16: CMR: Nếu bca 2
thì
ac
ac
ba
ba





. Đảo lại có đúng không?
Bài 17: CMR nếu )()()( yxcxzbzya 
trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :
)()()( bac
yx
acb
xz
cba
zy








Bài 18: Cho
dc
dc
ba
ba





. CMR:
d
c
b
a


16
Bài 19: Cho
d
c
b
a
 . Các số x, y, z, t thỏa mãn: 0 ybxa và 0 tdzc
Chứng minh rằng:
tdzc
ydxc
tbza
ybxa





Bài 20: Chứng minh rằng nếu:
3
3
2
2





v
v
u
u
thì
32
vu

Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: bdcacb  22
;
và 0333
 dcb
d
a
dcb
cba



333
333
Bài 22: CMR nếu )()()( yxcxzbzya  .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì
:
)()()( bac
yx
acb
xz
cba
zy








Bài 23: Cho
11
2
1
2
cxbxa
cbxax
P


 . Chứng minh rằng nếu
111 c
c
b
b
a
a
 thì giá trị của P
không phụ thuộc vào x.
Bài 24: Cho biết :
' '
' '
a b b c
1; 1
a b b c
    . CMR: abc + a’
b’
c’
= 0.
Bài 25: Cho
d
c
b
a
 . Các số x, y, z, t thỏa mãn: 0 ybxa và 0 tdzc
tdzc
ydxc
tbza
ybxa





Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: bdcacb  22
; và 0333
 dcb
d
a
dcb
cba



333
333

17
Bài 27: Cho
11
2
1
2
cxbxa
cbxax
P


 . Chứng minh rằng nếu
111 c
c
b
b
a
a
 thì giá trị của P
không phụ thuộc vào x.
Bài 28: Cho tỉ lệ thức: 2a 13b 2c 13d
3a 7 b 3c 7 d
 

 
; Chứng minh rằng: a c
b d
 .
Bài 29: Cho dãy tỉ số : bz cy cx az ay bx
a b c
  
  ; CMR: x y z
a b c
  .
Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010
Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A> MỤC TIÊU
Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh,
rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn.
B> THỜI LƯỢNG
Tổng số :(6 tiết)
1) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết)
2)Các dạng bài tập và phương pháp giải(5 tiết)
1. Lý thuyết
*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của
một số a( a là số thực)
* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối
của nó.
TQ: Nếu aaa  0
Nếu aaa  0
Nếu x-a  0=> | |x-a = x-a

18
Nếu x-a  0=> | |x-a = a-x
*Tính chất
Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
TQ: 0a với mọi a  R
Cụ thể:
| |a =0 <=> a=0
| |a ≠ 0 <=> a ≠ 0
* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai
số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
TQ: 





ba
ba
ba
* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn
hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.
TQ: aaa  và 0;0  aaaaaa
* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn
TQ: Nếu baba  0
* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
TQ: Nếu baba 0
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
TQ: baba .. 
* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
TQ:
b
a
b
a

* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.
TQ: 22
aa 
* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai
số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.
TQ: baba  và 0.  bababa
2. Các dạng toán :
I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: kA(x)  ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
* Cách giải:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của
mọi số đều không âm )
- Nếu k = 0 thì ta có 0)(0)(  xAxA
- Nếu k > 0 thì ta có: 





kxA
kxA
kxA
)(
)(
)(

19
Bài 1.1: Tìm x, biết:
a) 452 x b)
4
1
2
4
5
3
1
 x c)
3
1
5
1
2
1
 x d)
8
7
12
4
3
 x
Giải
a1) | |x = 4
x=  4
a2) 452 x
2x-5 =  4
* 2x-5 = 4
2x = 9
x = 4,5
* 2x-5 = - 4
2x =5-4
2x =1
x =0,5
Tóm lại: x = 4,5; x =0,5
b)
4
1
2
4
5
3
1
 x





5
4
-2x =
1
3
-
1
4
a)
2
1
322 x b) 5,42535,7  x c) 15,275,3
15
4
x
a) 51132 x b) 31
2

x
c) 5,3
2
1
5
2
 x d)
5
1
2
3
1
x
a) %5
4
3
4
1
x b)
4
5
4
1
2
3
2

 x c)
4
7
4
3
5
4
2
3
 x d)
6
5
3
5
2
1
4
3
5,4  x
a) 2
3
1
:
4
9
5,6  x b)
2
7
5
1
4:
2
3
4
11
 x c) 3
2
1
4
3
:5,2
4
15
 x d)
6
3
2
4
:3
5
21

x
2. Dạng 2: B(x)A(x)  ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách giải:
Vận dụng tính chất: 





ba
ba
ba ta có: 





)()(
)()(
)()(
xBxA
xBxA
xBxA

20
a) 245  xx b) 02332  xx c) 3432  xx d) 06517  xx
a) 245  xx
* 5x-4=x+2
5x- x =2+4
4x=6
x= 1,5
* 5x-4=-x-2
5x + x =- 2+ 4
6x= 2
x=
1
3
Vậy x= 1,5; x=
1
3
a) 14
2
1
2
3
 xx b) 0
5
3
8
5
2
7
4
5
 xx c)
4
1
3
4
3
2
5
7
 xx d) 05
2
1
6
5
8
7
 xx
3. Dạng 3: B(x)A(x)  ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị
tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
)()( xBxA  (1)
Điều kiện: B(x) 0 (*)
(1) Trở thành 





)()(
)()(
)()(
xBxA
xBxA
xBxA ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều
kiện ( * )
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu aaa  0
Nếu aaa  0
Ta giải như sau: )()( xBxA  (1)
 Nếu A(x) 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với
điều kiện )
 Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được
với điều kiện )
VD1:
Giải :
a0) Tìm x  Q biết






x+
2
5 =2x
* Xét x+
2
5
 0 ta có x+
2
5
=2x

21
*Xét x+
2
5
< 0 ta có x+
2
5
=- 2x
a) xx 23
2
1
 b) 231  xx c) 125  xx d) 157  xx
a) xx 29  b) 235  xx c) xx 296  d) 2132  xx
a) xx 424  b) xx  213 c) xx 3115  d) 252  xx
a) 152  xx b) xx  123 c) 1273  xx d) xx  112
a) xx  55 b) 77  xx c) xx 3443  d) xx 2727 
4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
mxCxBxA  )()()(
Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )
Ví dụ1 : Tìm x biết rằng 1 3 2 1x x x     (1)
 Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở
vế trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x
Giải
Xét x – 1 = 0  x = 1; x – 1 < 0  x < 1; x – 1 > 0  x > 1
x- 3 = 0  x = 3; x – 3 < 0  x < 3; x – 3 > 0  x > 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây:
Xét khoảng x < 1 ta có: (1)  (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1
 -2x + 4 = 2x – 1
 x =
5
4
(giá trị này không thuộc khoảng đang xét)
Xét khoảng 1  x  3 ta có:
(1)  (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1
 2 = 2x – 1
 x =
3
2
( giá trị này thuộc khoảng đang xét)
x 1 3
x – 1 - 0 + +
x – 3 - - 0 +

22
Xét khoảng x > 3 ta có: (1)  (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1
 - 4 = -1 ( Vô lí)
Kết luận: Vậy x =
3
2
.
VD2 : Tìm x
| |x+1 + | |x-1 =0
Nhận xét x+1=0 => x=-1
x-1=0 => x=1
Ta lập bảng xét dấu
x -1 1
x+1 - 0 + +
x-1 - - 0 +
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp
Nếu x<-1
Nếu -1  x  1
Nếu x >1
a) 123752134  xxxx b) 59351243  xxxx
c) 2,1
5
1
8
5
1
5
1
2  xx d) xxx 
5
1
2
2
1
3
2
1
32
a) 8362  xx
c) 935  xx d) 2432  xxx
e) 6321  xxx f) 11422  xx
a) 98232  xxx b) 122213  xxxx
c) 422331  xxx d) xxx  215
e) 132  xxx f) 31  xxxx
a) 352  xx b) 853  xx
c) 45212  xx d) 12433  xxx
5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:
)D(xC(x)B(x)A(x)  (1)
Điều kiện: D(x) 0 kéo theo 0)(;0)(;0)(  xCxBxA
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
a) xxxx 4321  b) 154321  xxxxx

23
c) xxxx 4
2
1
5
3
2  d) xxxxx 54,13,12,11,1 
a) xxxxx 101
101
100
...
101
3
101
2
101
1

b) xxxxx 100
100.99
1
...
4.3
1
3.2
1
2.1
1

c) xxxxx 50
99.97
1
...
7.5
1
5.3
1
3.1
1

d) xxxxx 101
401.397
1
...
13.9
1
9.5
1
5.1
1

6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp:
a)
5
4
2
1
12 x b) 2
2
1
2 22
 xxx c) 22
4
3
xxx 
a)
5
1
2
1
12 x b)
5
2
4
3
1
2
1
x c) xxx 
4
32
a) xxx 
4
32
b)
4
3
2
4
3
2
2
1






 xxx c)
4
3
2
4
3
2
2
1
 xxx
a) 14132  xxx b) 211 x c) 2513 x
7. Dạng 7: 0BA 
Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng
thức.
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và
chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cách giải chung: 0 BA
B1: đánh giá: 0
0
0







BA
B
A
B2: Khẳng định: 0 BA






0
0
B
A
Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:
a) 05343  yx b) 0
25
9
 yyx c) 05423  yx

24
a) 03
7
2
4
3
5  yx b) 0
13
23
17
11
5,1
4
3
2
1
3
2
 yx c)
020082007  yx
* Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng 0 BA nhưng kết quả không thay đổi
* Cách giải: 0 BA (1)
0
0
0







BA
B
A
(2)
Từ (1) và (2)  0 BA






0
0
B
A
a) 08615  yx b) 0342  yyx c) 0122  yyx
a) 0511812  yx b) 01423  yyx c) 0107  xyyx
* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không
âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương
tự.
Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a) 032  yyx b) 043
20082007
 yyx
c)   012007
2006
 yyx d)   0320075
2008
 yyx
Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :
a)     031
22
 yx b)   072552
54
 yx
c)   0
2
1
423
2004
 yyx d) 0
2
1
213
2000






 yyx
a) 020082007  yx b) 0
3
2
103
7
5
 yyx
c) 0
25
6
5
4
2008
2007
2
1
4
3
2
1
2006






 yx d) 04200822007
20072008
 yyx
8. Dạng 8: BABA 
* Cách giải: Sử dụng tính chất: baba 
Từ đó ta có: 0.  bababa

25
a) 835  xx b) 352  xx c) 61353  xx
d) 115232  xx e) 23321  xxx f) 24253  xxx
a) 264  xx b) 451  xx c) 132373  xx
d) xxx 342315  e) 31132  xxx f) 472  xx
1 - Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối
Bài 1: Tìm x, biết:
a) 8362  xx
Ta lập bảng xét dấu
x -3 3
x+3 - 0 + +
2x-6 - - 0 +
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp
* Nếu x<-3
Khi đó phương trình trở thành
6 - 2x - x - 3 = 8
-3x = 8 - 3
-3x = 5
x = -
5
3
( không thỏa mãn x<-3)
* Nếu - 3  x  3
6 - 2x + x + 3 = 8
- x = -1
x = 1 ( thỏa mãn - 3  x  3)
* Nếu x >3
2x-6 + x + 3 = 8
3 x = 11
x =
11
3
( thỏa mãn x >3)
2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong
a)
5
4
2
1
12 x
* | |2x-1 +
1
2
=
4
5
| |2x-1 =
4
5
-
1
2
| |2x-1 =
3
10

26
2x-1=
3
10
2x =
3
10
+ 1 x=
13
20



<=>



<=>



2x-1= -
3
10
2x = -
3
10
+ 1 x=
7
20
* | |2x-1 +
1
2
=-
4
5
| |2x-1 =-
4
5
-
1
2
(không thỏa mãn)
3 - Sử dụng phương pháp bất đẳng thức:
Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a) 032  yyx
x-y-2 =0 x=-1



<=>



y+3 =0 y= -3
Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :
a)     031
22
 yx
Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:
a) 020082007  yx
Bài 4: Tìm x thoả mãn:
a) 835  xx
II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt
đối:
1. Dạng 1: mBA  với 0m
* Cách giải:
* Nếu m = 0 thì ta có 0 BA






0
0
B
A
* Nếu m > 0 ta giải như sau:
mBA  (1)
Do 0A nên từ (1) ta có: mB 0 từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng .
Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a) 020082007  xx b) 032  yyx c)   012
2
 yyx

27
Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a) 043
5
 yyx b)   035
4
 yyx c) 02313  yyx
Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:
a) 324  yx b) 4112  yx c) 553  yx d) 7325  yx
Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 5453  yx b) 121246  yx c) 10332  yx d) 21343  yx
Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 3232
 xy b) 152
 xy c) 432 2
 xy d)
2123 2
 xy
2. Dạng 2: mBA  với m > 0.
* Cách giải: Đánh giá
mBA  (1)
0
0
0







BA
B
A
(2)
Từ (1) và (2) mBA  0 từ đó giải bài toán kBA  như dạng 1 với mk 0
a) 3 yx b) 425  yx c) 3412  yx d) 453  yx
a) 7215  yx b) 53524  yx c) 31253  yx d) 7124123  yx
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: baba  xét khoảng giá trị của ẩn số.
Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) 341  xx b) 532  xx c) 761  xx d) 83252  xx
Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.
a) x + y = 4 và 62  yx b) x +y = 4 và 512  xyx
c) x –y = 3 và 3 yx d) x – 2y = 5 và 612  yx
Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:
a) x + y = 5 và 421  yx b) x – y = 3 và 416  yx
c) x – y = 2 và 41212  yx d) 2x + y = 3 và 8232  yx
4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích:
* Cách giải : )()().( yAxBxA 
Đánh giá: mxnxBxAyA  0)().(0)( tìm được giá trị của x.
Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a)    032  xx b)    05212  xx c)    0223  xx d)    02513  xx

28
a)    112  yxx b)    yxx  13 c)    21252  yxx
a)    1231  yxx b)    1152  yxx c)    0253  yxx
5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:
* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B
Đánh giá: mA  (1)
Đánh giá: mB  (2)
Từ (1) và (2) ta có:






mB
mA
BA
a)  2
2312  yxx b)
31
12
15


y
xx
c)
  262
10
53 2


x
y d)
33
6
31


y
xx
a)
  252
8
1232 2


y
xx b)
22
16
13


yy
xx
c)
  23
12
5313 2


y
xx d)
24
10
512


y
yx
a)  
31
14
72
2


yy
yx b)  
523
20
42
2


y
x
c)
22008
6
320072


y
x d)
653
30
52


y
yx
III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
 Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 1,45,3  x
a) xxA  1,45,3 b) 1,45,3  xxB
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:
a) 5,23,1  xxA b) 5,23,1  xxB
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a) 7,15,2  xxA b)
5
2
5
1
 xxB c) 31  xxC
Bài 4: Rút gọn biểu thức khi
7
1
5
3


x

29
a)
5
4
5
3
7
1
 xxA b)
6
2
5
3
7
1
 xxB
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
a) 9,15,28,0  xxA với x < - 0,8 b) 9
3
2
1,4  xxB với 1,4
3
2
 x
c)
5
1
8
5
1
5
1
2  xxC với
5
1
2
5
1
 x d)
2
1
3
2
1
3  xxD với x > 0
==============&=&=&==============
IV – Tính giá trị biểu thức:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
a) M = a + 2ab – b với 75,0;5,1  ba b) N =
b
a 2
2
 với 75,0;5,1  ba
a) yxyxA  22 với
4
3
;5,2

 yx b) babaB  33 với 25,0;
3
1
 ba
c)
b
a
C
3
3
5
 với 25,0;
3
1
 ba d) 123 2
 xxD với
2
1
x
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:
a) 4236 23
 xxxA với
3
2
x b) yxB 32  với 3;
2
1
 yx
c) xxC  1322 với x = 4 d)
13
175 2



x
xx
D với
2
1
x
V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:
* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất
của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:
Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) 5,35,0  xA b) 24,1  xB c)
54
23



x
x
C d)
13
32



x
x
D
e) 5,125,5  xE f) 1432,10  xF g) 123254  yxG
h)
8,55,2
8,5


x
H i) 8,55,2  xI k) 2410  xK
l) 125  xL m)
32
1


x
M n)
453
12
2


x
N
Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) xA  4,37,1 b) 5,38,2  xB c) xC  3,47,3
d) 2,144,83  xD e) 5,175,7534  yxE f) 8,55,2  xF

30
g) 8,29,4  xG h)
7
3
5
2
 xH i) xI  9,15,1
k) 4132  xK l) 1232  xL m) 1415  xM
Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a)
3734
15
5


x
A b)
721158
21
3
1




x
B c)
85453
20
5
4


yx
C
d)
612322
24
6


xyx
D e)
  14553
21
3
2
2


xyx
E
a)
457
11572



x
x
A b)
6722
1372



y
y
B c)
816
32115



x
x
C
a)
24754
8
5



x
A b)
35865
14
5
6


y
B c)
351233
28
12
15


xyx
C
a)
5643
336421



x
x
A b)
1452
1456



y
y
B c)
1273
68715



x
x
C
2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu
thức:
a) xxA  25 b) 6212  xxB c) xxC 3853 
d) 5434  xxD e) xxE 5365  f) xxF 2572 
a) 5232  xxA b) xxB 3413  c)
1454  xxC
a) 45  xxA b) 4232  xxB c) xxC 3713 
a) 6252  xxA b) xxB 3843  c) 7555  xxC
a) 51  xxA b) 562  xxB c) 1242  xxC
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức baba 
a) 32  xxA b) 5242  xxB c) 1323  xxC

31
a) 415  xxA b) 82373  xxB c) 125434  xxC
a) 7523  xxxA b) 51431  xxxB
c) 35242  xxxC d) 311653  xxxD
Bài 3.4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
21  yxA
Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức:
16  yxB
Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1212  yxC
Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2232  yxD
DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT,
DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT( tiếp)
Bài 1 : Tính tổng:
2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … - 2008
Hướng dẫn:
Bài 2: Cho .10099...4321 A
a) Tính A.

32
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ?
Hướng dẫn:
Bài 3: Cho ...3125191371 A
a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?
b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ?
Hướng dẫn:
Bài 4: Cho ....3125191371 A
a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A.
b) Tìm số hạng thứ 2004 của A.
Hướng dẫn:
Bài 5: Tìm giá trị của x trong dãy tính sau:
655)47()42(...)12()7()2(  xxxxx
Hướng dẫn:
Bài 6: a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + … + (x+2009) = 2009.2010
b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ … + 2009. 2010
Hướng dẫn:
Bài 7: Tính tổng: 100001.9999910001.99991001.999101.9911.9 S
Hướng dẫn:
Bài 8: Cho 10032
3...333 A
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
Hướng dẫn:
Bài 9: Cho 200432
3....333 A
a) Tính tổng A.
b) Chứng minh rằng 130A .
c) A có phải là số chính phương không ? Vì sao ?
Hướng dẫn:
Bài 10:
a) Cho 2004200332
33...3331 A
Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3.
b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với
20042003543
22...2224 A
Hướng dẫn:
Bài 11:

33
a) Cho 6032
2...222 A
Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15.
b) Chứng minh rằng tổng 2 + 22
+ 23
+ … + 22003
+ 22004
chia hết cho 42
Hướng dẫn:
Bài 12:
Cho A = 2 + 22
+ 23
+ ............+299
+ 2100
Chứng tỏ A chia hết cho 31
Hướng dẫn:
Bài 13: Cho S = 5 + 52
+ 53
+ . . . . + 596
a, Chứng minh: S  126
b, Tìm chữ số tận cùng của S
Hướng dẫn:
Bài 14: Cho 30.29......3.2.1A
60.59........33.32.31B
a) Chứng minh: B chia hết cho 30
2
b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61.
Hướng dẫn:
Bài 15: Cho 20022001432
22...2223 A và 2003
2B
So sánh A và B.
Hướng dẫn:
Bài 16: Cho M = 2 3 99 100
3 3 3 ... 3 3     .
a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao?
b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n
.
Hướng dẫn:
Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32
+ 33
+…+ 3118
+ 3119
a) Thu gọn biểu thức M.
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Hướng dẫn:
Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết:
2004
2003
)1(
2
...
10
1
6
1
3
1



nn
Hướng dẫn:
Bài 19:
a) Tính:
2 2 2 2
.....
1.3 3.5 5.7 99.101
   

34
b) Cho *
)3(
3
10.7
3
7.4
3
4.1
3
Nn
nn
S 

 
Chứng minh: S  1
Hướng dẫn:
Bài 20: So sánh:
2 2 2 2
...
60.63 63.66 117.120 2003
A     
và
5 5 5 5
...
40.44 44.48 76.80 2003
B     
Hướng dẫn:
Bài 21:
a) Tính
340
1
238
1
154
1
88
1
40
1
10
1
A
b) Tính:
2005.2004
2
....
15
1
10
1
6
1
3
1
M
c) Tính tổng:
100.99.98
1
...
4.3.2
1
3.2.1
1
S
Hướng dẫn:
Bài 22: So sánh: 10032
2
1
...
2
1
2
1
2
1
1 A và B = 2.
Hướng dẫn:
Bài 23: So sánh:
2 2 2 2
...
60.63 63.66 117.120 2006
A      và
5 5 5 5
...
40.44 44.48 76.80 2006
B     
Hướng dẫn:
Bài 24. Tính
a. A =
2 2 2 2 2
.
15 35 63 99 143
   
b. B = 3+
3 3 3 3
...
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 ... 100
   
        
.
Hướng dẫn:
Bài 25: Tính giá trị các biểu thức:
a) A =
1.99
1
3.97
1
...
95.5
1
97.3
1
99.1
1
99
1
97
1
...
5
1
3
1
1


b) B =
99
1
...
3
97
2
98
1
99
100
1
...
4
1
3
1
2
1



35
Hướng dẫn:
Bài 26: Chứng minh rằng:
100 -
100
99
...
4
3
3
2
2
1
100
1
...
3
1
2
1
1 






Hướng dẫn:
Bài 27: Tính
B
A
biết:
A =
200
1
...
4
1
3
1
2
1
 và B =
1
199
2
198
...
197
3
198
2
199
1

Hướng dẫn:
Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy:
;....
35
1
1;
24
1
1;
15
1
1;
8
1
1;
3
1
1
Hướng dẫn:
Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:
;...
336
1
;
176
1
;
66
1
;
6
1
Hướng dẫn:
Bài 30: Tính
B
A
biết:
A =
20.19
1
18.17
1
...
6.5
1
4.3
1
2.1
1

B =
20
1
19
1
...
13
1
12
1
11
1

Hướng dẫn:
110.100
1
....
12.2
1
11.1
1
110.10
1
...
102.2
1
101.1
1






 x
Hướng dẫn:
Bài 32: Tính :
a) 2 3
1 ... n
S a a a a      , với ( 2,a n N  )
b) 2 4 6 2
1 1 ... n
S a a a a      , với ( 2,a n N  )
c) 3 5 2 1
2 ... n
S a a a a 
     , với ( *
2,a n N  )
Hướng dẫn:
Bài 33: Cho 2 3 99 100
1 4 4 4 ... 4 , 4A B       . Chứng minh rằng:
3
B
A  .

36
Hướng dẫn:
50
200
) 9 99 999 ... 999...9
) 9 99 999 ... 999...9
a A
b B
    
    


ch÷ sè
ch÷ sè
Hướng dẫn:
Chuyên đề 1:
giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối.
1-Kiến thức cơ bản:






0
0
xx
xx
x

37
xxxxx  ;;0
yxyx
yxyx


2- Các dạng toán cơ bản:
* Dạng toán 1: Tính x biết
1)
5
1
1x 2)
13
3
:
5
3
2x 3) 0
2
1
25 x
4)
x
1
49.47
1
....
5.3
1
3.1
1
 5)
2100.97
1
.....
7.4
1
4.1
1 x

6)
101
52
101.97
4
....
9.5
4
5.1
4 

x
7)
5
1
2
100
1
1....
4
1
1
3
1
1
2
1
1 























 x
8) 1
5
1
2100.99....4.33.22.1  x 9)
5
1
1)2)(49...21( 222
 x
* Dạng 2: Tìm x biết
1)
5
3
3x 2) 0
8
25
x 3) 0
23
5
5 x 4)
3
1
1
5
1
.2 x
5) 25,15,275,1  x 6) 1352 x 7)
3
2
7
3
2
3
1
3  x
8)
10
11
73
5
1
2 x 9) 9)52( 2
x 10) 42
x 11)
4
1
)73( 2
 x
* Dạng 3: Tìm x, y, z biết
1) 0 zyx 2) 07253  yx
3) 0
3
1
3
2
5
2
2
1
1  zyx 4) 0)
3
1
()
2
1
()1( 222
 zyx
5) 0433221  yyx 6) 0)1)(1(1  xxx
*Dạng 4: Tính giá trị của các biểu thức sau.
1) 522
 xxA với
3
1
x
2) 22
2)3(52 yxyxxxyB  với x=y=2
3) 122
4
12
 xxxC với
2
1
x
4) 363 2
 xxD với 1x
5) xyyxE 752  với 02  yx
6) xyyxG 632 22
 với 021  yx
* Dạng 5: Rút gọn các biểu thức sau
1) 133925  xxxM với 5,6x
2) N= 321  xxx với 12  x
3) P= 1557352  xxx với 3x
*)Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất.

38
1, Tìm giá trị nhỏ nhất của: 25,05,025,4  xC
2, Tìmgiá trị lớn nhất của : 75,05,43  xD
3, Tìm giá trị nhỏ nhất của : 20042005  xxE
3- Các bài toán tự học :
Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A= 2x+2xy-y với | x| = 2,5 và y = -3/4
Bài 2: Tìm x , y biết:
a) 2.| 2x-3|= 1/ 2
b) 7,5 -3 |5-2x|=-4,5
c) | 3x-4|+ |3y+5| = 0
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất:
a) | 3x- 8,4| -14,2
b) |4x-3|+|5y+7,5| +17,5
Bìa 4: Tìm giá trị lớn nhất:
F= 4- |5x-2|- | 3y+12|
CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ
THỰC- CĂN BẬC HAI.
Bài toán 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản
0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13)
Bài toán 2: Tính
a) 10,(3)+0,(4)-8,(6)
b)   )21(,4:)6(3,2)1(,12 
c) )2(4,0
3
1
3)3(,0 
Bài toán 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ khi biểu diễn số
99
116
dưới dạng số
thập phân vô hạn tuần hoàn.
Bài toán 4: Tính tổng của tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân
0,(12)
Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị
a)
75,6
25,2).19,881,11( 
A b)
31,2125,0.4
4).25,6:56,4(


B
Bài toán 6: Rút gọn biểu thức
)3(8,0)6(,15,2
)6(1,0)3(,05,0


M
Bài toán 7: Chứng minh rằng:
0,(27)+0,(72)=1
Bài toán 8: Tìm x biết
a) )2(,0.
)6(1,1)3(,0
)3(,0)6(1,0



x b)
85
50
)3(0,0
13
3
)384615(,0)3(,0

 x
c)   10)62(,0)37(,0  x d) 0,(12):1,(6)=x:0,(4)

39
e) x:0,(3)=0,(12)
Bài toán 9:
Cho phân số )(;
6)2)(1(
523 23
Nm
mmm
mmm
A 



a) Chứng minh rằng A là phân số tối giản.
b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?
CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ
THỰC- CĂN BẬC HAI.
Bài toán 10: So sánh các số sau
a)
25
4
1005,0  và 5:
16
9
9
1
1 







 b) 925  và 925 
c) CMR: với a, b dương thì baba  
a) x là căn bậc hai của các số: 16; 25; 0,81; a2
;  2
32 
b)   xx 2332
2
 c)     0121
22
 xx
a) 02  xx b) xx  c)  
16
9
1
2
x
Bài toán 13: Cho
1
1



x
x
A . CMR với
9
16
x và
9
25
x thì A có giá trị là một số
nguyên
Bài toán 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên
a)
x
A
7
 b)
1
3


x
B c) C=
3
2
x
Bài toán 15: Cho
3
1



x
x
A Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên
Bài toán 16: thực hiện phép tính
       






































81
22
:2:
7
5
:
7
1
2:7:25,54,2:22
2
2
2
22
Bài 17: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý.
 
343
4
7
2
7
4
2
64
77
1
49
1
49
1
1
2
2








A

40
Bài toán 18: Tính bằng cách hợp lý.
 
 
374
5
204
25
212
5
196
5
1
2
2
M
Bài toán 19: Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức
    022
22
 zyxyx
Bài toán 20: thực hiện phép tính
 
  445
1704
:
23
7
7
6
8
3
1
12:
4
49
.
3
2
8225:
3
1
18 2
2






















M
CHUYÊN ĐỀ: NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ - ÁP DỤNG.
**********
Bài toán 1: Tính
a)
3 11 12
.31 0,75.8
4 23 23
  b)
1 1 1 1 1
2 3 : 4 3 7
3 2 6 7 2
   
      
   
c)
5 5 4 5
4 : 5 :
9 7 9 7
   
     
   
d)
1 5 5 1 3
13 2 10 .230 46
4 27 6 25 4
3 10 1 2
1 : 12 14
7 3 3 7
 
   
 
   
    
   
e)
25 9 125 27
4 25 : :
16 16 64 8
 
  
 
g)
2 1 3
4
3 2 4
 
  
 
Bài toán 2: Tính
a)
1 1 1
....
1.2 2.3 99.100
A     b)
1 1 1
1 1 ..... 1
2 3 1
B
n
    
       
    
với n N
c)
1 1 1
66. 124.( 37) 63.( 124)
2 3 11
C
 
        
 
d)
7 33 3333 333333 33333333
4 12 2020 303030 42424242
D
 
    
 
Bài toán 3: Tính
1 1 1
1 (1 2) (1 2 3) .... (1 2 3 .... 16)
2 3 16
A            
a)
3
(2 3) 1 0
4
x x
 
   
 
b)
2 5 3
3 7 10
x   c)
21 1 2
13 3 3
x  
d)
3 3 2
2 1
7 8 5
x   e)
1
(5 1) 2 0
3
x x
 
   
 
g)
3 1 3
:
7 7 14
x 
Bài toán 5: Cho
1 1 1
1 1 ..... 1
2 3 10
A
    
       
    
. So sánh A với
1
9

Bài toán 6: Cho
1 1 1
1 1 ..... 1
4 9 100
B
    
       
    
. So sánh B với
11
21

Bài toán 7: Tính
2 3 193 33 7 11 1931 9
. : .
193 386 17 34 1931 3862 25 2
      
         
      
Bài toán 8: Cho
1,11 0,19 13.2 1 1
: 2
2,06 0,54 2 4
A
   
   
  
7 1 23
5 2 0,5 : 2
8 4 26
B
 
   
 
a) Rút gọn A, B b) Tìm x Z để A<x<B
Bài toán 9: Tính giá trị các biểu thức sau

41
a)
1 1 1 3 3 3 3
53 7 13 4 16 64 256.
2 2 2 1 1 1 81
3 7 13 4 16 64
A
    
 
    
b)
1 1 1 1
0,125 0,2
5 7 2 3
3 3 3 3
0,375 0,5
5 7 4 10
   

   
20 4141 636363
128 4 5 : 1 : 1
21 4242 646464
x
     
         
     
Chuyên đề:
I. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ
A.KIẾN THỨC:
Giá trị tuyệt đối của một số lưu ý các tính chất sau trong giải toán :
1/ GTTĐ của một số thì không âm / x / x
2/ GTTĐ của một số thì lớn hơn hoặc bằng số đó / x / x
3/ GTTĐ của một tổng không lớn hơn tổng các GTTĐ /x + y / //// yx 
Hiệu không nhỏ hơn hiệu các GTTĐ / x-y//x/ - /y/
4/ GTTĐ : Với a > 0 thì: /x / = a <=> x = a
/ x / > a <=> 




ax
ax
/ x/ < a <=> -a< x< a
B. LUYỆN TẬP:
1. Dạng: Tính giá trị của một Biểu thức :
Bài 1 : Tính Gía trị biểu thức A = 3 x 122
 x với /x / = 0,5
Giải: / x / = 0,5 <=> x = 0,5 hoặc x = - 0,5
- Nếu x = 0,5 thì A = 0,75
- Nếu x = - 0,5 thì A = 2,75
2. Dạng : Rút gọn Biểu thức có chứa dấu Giá trị tuyệt đối
Bài 2 : Rút gọn biểu thức A = 3 ( 2x - 1 ) - / x - 5 /
Giải : với x - 5  0 <=> x  0 thì / x -5 / = x - 5
với x –5 < 0 <=> x < 5 thì / x – 5 / = - x + 5
Xét cả 2 trường hợp ứng với hai khỏang giá trị của biến x
a/ Nếu x 5 thì A = 3 (2x – 1 ) – ( x – 5 ) = 5x + 2

42
b/ Nếu x < 5 thì A = 3 ( 2x – 1 ) – ( -x + 5 ) = 7x – 8
3. Dạng: Tính giá trị của biến trong Đẳng thức có chứa dấu GTTĐ:
Bài 3 : Tìm x . Biết 2 / 3x – 1 / + 1 = 5
Giải : Ta có / 3x - 1 / = 2 Nên 3x – 1 = +2 và -2
Xét cả hai trường hợp :
a/ 3x – 1 = 2 => x = 1
b/ 3x - 1 = 2 => x = -
3
1
Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )?
Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A/
/ A / = A <=> A  0 Do đó (1) xảy ra 4 trường hợp :
a/ a = 0 thì b tùy ý
b/ b = 2 thì a tùy ý
c/ a > 0 thì b < 2
d/ a < 0 thì b > 2
Bài 5 : Tìm các số a , b sao cho a + b = / a / - / b / (1)
HD: Xét 4 trường hợp :
a/ a  0, b > 0 thì (1) a + b = a – b <=> b = - b (không xảy ra )
b/ a  0, b  0 thì (1) a = b = a + b <=> Đẳng thức nầy luôn luôn
đúng.Vậy : a  0, b  0 thỏa mãn bài toán .
c/ a < 0 , b > 0 thì (1) a + b = -a – b <=> a = - b . Vây a < 0 và
b = -a thỏa mãn bài toán .
d/ a < 0 , b  0 thì (1) a + b = -a + b <=> a = -a ( không xảy ra )
Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a  0, b  0 hoặc a < 0 , b > 0
4. Dạng Tìm GTNN , GTLN của biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối :
Bài 6: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x – 1 / - 4
Với mọi x ta có / 3x – 1 /  0 => 2 / 3x – 1 /  0
Do đó 2 / 3x - 1 / - 4  - 4
Vậy GTNN của A = -4 tại 3x – 1 = 0 <=> x = 1/3
b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x /
HD: B đạt GTNN bằng 1,5 tại=2
c/ Tìm GTNN của C = /x-3/

43
HD:Ta có x 00/3/0  GTNNx
Bài 7: a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 /
Với mọi x ta có / x – 2 /  0 => - / 4 / x - 2 /  10
Do đó 10- - 4 / x - 2 /  10
Vậy GTLN của B = 10 tại x = 2
b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 /
HD: C= - /x+2/ 200  khixGTLN
c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/
HD: D = 1-/2x-3/ 2/301  khixGTLNlla
Bài 8: Tìm GTNN của C =
3//
6
x
với x là số nguyên
- Xét / x / > 3 => C > 0
- Xét / x / < 3 => / x / = 0;1hoặc 2 => c = -2 ;-3 hoặc -6
Vậy GTNN của C = -6 <=> x = 2 ; -2 .
Bài 9 Tìm GTLN của C = x - / x /
- Xét x  0 => C = x - x = 0 (1)
- Xét x < 0 => C = x – (- x ) = 2x < 0 (2)
Từ (1) và (2) ta thấy C  0
Vậy GTLN của C = 0 <=> x  0
Bài 10 : Tìm giá trị biểu thức :
a/ A = 6 x 4//23 23
 xx với x = -2/3 (đs 20/9)
b/ B = 2/x/ - 4/y/ với x = ½ và y = - 3 (đs -8 )
Bài 11 : Rút gọn biểu thức :
a/ 3 (x - 1 ) – 2 / x + 3 / (đs :x – 9 với x 3 ;5x+ 3 với x < 3)
b/ 2 / x – 3 / - / 4x - 1 / (đs: = 2x+5 với x < ¼ ; Bằng -6x+7 với
¼  x < 3và bằng -2x -5 với x  3.
Bài 12 : Tìm GTNN của các biểu thức :
a / A = 2 / 3x – 2 / - 1 => GTNN của A = -1 <=> x = 2/3
b/ B = 5 / 1 – 4x / - 1 => GTNN của B = -1 <=> x = 1/4

44
c/ C = x2
+ 3 / y – 2 / - 1 => GTNN của C = -1 <=> x = 0 ; y = 2
d/ D = x + / x / ( xét x > 0 ;c < 0) => GTNN của D = 0 <=> x  0
Bài 13: Tìm GTLN của các biểu thức :
e/ E = 5 - / 2x - 1 / => GTLN của E = 5 <=> x = 1/2
f/ F =
3/2/
1
x
=> GTLN của F =1/3 <=> x =2
g/ G =
//
2
x
x 
với x là số nguyên
HD : Xét 3 TH : * x 12  C
* x = 1 <=> C = 1
* x
xx
x
G
2
1
2
1 


Ta thấy G lớn nhất khi
x
2
nhỏ nhất . Mà
x
2
lớn nhất <=> x nhỏ nhất
tức x = 1 khi đó G = 3 => GTLN của G = 3 <=> x= 3
BÀI 14: Tìm x sao cho :
a/ / x - 2 / < 4
HD: Ta đã biết /x/ < a <=> -a < x < a
Nên /x-2/<4 < 4 <=> -4 < x - 2 <4
<=> -4+2 < x < 4 + 2
<=> -2 < x < 6
Bài 15: Cho A = /x- /
2
3
//
2
1
 x Tìm khoảng gía trị nào của x thì biểu
thức A không phụ thuộc vào biến x ?
HD: Ta lập bảng xét dấu :
x 1/2 3/2
x - 1/2 - / + 0 +
x -3/2 - 0 - / +
Xét các trường hợp:
 x<1/2 => A =(1/2 - x) - (3/2-x ) = -1
 1/2 2/3 x => A = (x -1/2 )-(3/2 - x ) = 2x -2
 X >3/2 => A = (x -1/2)-(x - 3/2) = 1
Vậy với x < 1/2 hoặc x > 3/2 thì giá trị biểu thức A không
phụ thuộc vào biến x

45
II.GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC
HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/Phương pháp chung :
Để tìm giá trị của biến trong đẳng thức hoặc Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
là xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối .
Ví dụ 16: Tìm x .Biết rằng :
a/ 631  xx (1)
GIẢI:
Xét x-1 = 0 <=>x = 1 và xét x-3 = 0 <=> x = 3
x-1< 0 <=> x < 1 x-3 < 0 <=> x < 3
x-1> 0 <=> x > 1 x-3 > 0 <=> x > 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x-1 ; x-3 như sau :
x 1 3
x - 1 - 0 + / +
x - 3 - / - 0 +
Đẳngthức (1) (-x+1)+(-x+3)=6 (x-1)+(3-x)= 6 (x-1)+(x-3) = 6
-2x=2 0x = 4 2x = 10
x=-1 (không có giá trị x = 5
(giá trị nầy thuộc nào thoả mãn (1) ( giá tri nầy thuộc
khoảng đang xét) khoảng đang xét)
Vậy x = -1 và x = 5 thì thoả mãn (1)
b/ 752  xx
x -2 5
x+2 - 0 + / +
x-5 - / - 0 +
* Xét khoảng x <2 Ta được -2x = 4 <=> x= -2 (loại)
 Xét khoảng-2 5 x Ta được 0x = -0 đúng với mọi x trong khoảng đang xét .
Vậy -2 5 x

46
 Xét khoảng x >5 Ta đựoc 2x=10 <=> x = 5 ( loại)
Kết luận: -2 5 x
c/ 423  xxx
x -3 4
x+3 - 0 + / +
x- 4 - / - 0 +
*Xét khoảng x < 3 ta được -2x = 7 <=> x= -3,5( thuộc khoảng đang xét)
*Xét khoảng -3 4 x ta được 0x = 1=> không có giá trị nào của x thoả mãn.
* Xét khoảng x>4 Ta được -2x = -7 <=>x = 3,5 không thuộc khoảng đang xét .
Kết luận : vậy x = -3,55
Ví dụ 17: Tìm x , Biết: 131  xxx (2)
Tương tự:
 Xét khoảng x< 1 Ta có (2) =>(1-x)+*3-x)<x+1<=>-3x<-3<=>x>1( Giá trị nầy
không thuộc khooảng đang xét)
 Xét khoảng 1 3 x thì (2)=>(x-1)+(3-x)<x+1<=>2<x+1<=>x>1 => Ta có các
giá trị 1<x 3 (3)
 Xét khoảng x >3 => ta có (x-1)+(x-3)<x+1<=>x<5.
Ta có các giá trị : 3<x<5 (4)
Kết luận: Từ (3) và (4) các giá trị cần tìm là : 3<x<5
2/ Sau đây ta xét một số dạng đặc biệt. Trong những dạng nầy;
để tìm x ngoài phương pháp chung đã nêu ở trên ta có thể giải
bằng cách khác đơngiản hơn.
Dạng 1 )(xf = a ( a là hằng số dương) <=>f(x)= a
Dạng 2 )(xf = g(x) <=>1/g(x) 0 & 2/f(x)= )(xg
Dạng 3 )(xf )(xg hay )(xf - )(xg = 0 <=>f(x)= )(xg
Dạng 4 )(xf + )(xg = 0 <=> f(x)=0 và g(x) = 0
Dạng 5 )(xf < a ( a là hằng số dương ) <=>-a< f(x)<a
Dạng 6 )(xf > a ( a là hừng số dương) <=>a<f(x)<-a
Cách giải từng dạng như sau :

47
Dạng 1 )(xf = a ( a là hằng số dương)
Ta lần lượt xét f(x) = a và f(x) = -a
Mỗi lần tìm được một giá trị của x ta được một đáp số.
BÀI 18: Tìm x . Biết :
a/ 26745 x
HD: Ta có : 5x+4 = 19 và 5x+4 = -19
5x = 15 5x = -23
x = 3 x = -23/5 = -4,6
Vậy x = 3 ; -4,6
b/ 1617293  x
HD: ....<=> x=-1 và x = 10.
c/ 3 - 4 765  x
HD:  165 x Không có giá trị nào của x thoả mãn
d/ 345 x
Hướng dẫn: - Ta có: 345 x .
- Xét
6;415345
12;275345


xxx
xx
Dạng 2 )(xf = g(x)
Ta phải tìm x phải thoả mãn cả hai điêù kiện:
1/ g(x)  0
2/ f(x) = g(x) hoặc f(x) = - g(x)
Bài 19: Tìm x .
a/ Biết: 521  xx
- Xét điều kiện thứ nhất: 2x-5 5,20  x
- Xét điều kiện thứ hai











)1((2
)1(/(4
521
521
khongtmdkx
mdktx
xx
xx
Vậy x = 4
b/ Biết: 3579  xx .
- Xét điều kiện thứ nhất 5x-3
5
3
0  x
- Xét điều kiện thứ hai 









)1((3
)1((1
5379
3579
tmdkx
tmdkx
xx
xx

48
Vậy x = 1 ; 3
c/ Biết: 2148  xxx
...<=> 12714  xxx
Dạng 3 )(xf )(xg hay )(xf - )(xg = 0
Ta phải tìm x thoả mãn hai điều kiện f(x) = g(x)
hoặc f(x) =-g(x)
BÀI 20 : Tìm x .
a/ Biết: 0517517  xx
HD: Ta có 17x-5 = 17x +5 Hoặc 17x-5 = -17x - 5
17x-17x = 5+5 17x+17x = -5+5
0 x = 10 34x = 0
Vô nghiệm x = 0
Vậy x = 0
b/ Biết: / 3x+ 4 / = 2 / 2x - 9 /
HD: 92243  xx ....<=> x =22 và 2
Dạng 4. 0)()(  xgxf
Ta phải tìm x thoả mãn 2 điều kiện f(x)=0 và g(x)=0
BÀI 21 : Tìm x .Biết :
a/ 0
7
3
14
13
 xx
HD: a/ 0
7
3
14
13
 xx <=> cả hai số hạng đồng thời bằng 0.
x + 13/14 = 0 <=> x = -13/14 và x- 3/7 = 0 <=>x=3/7.
Vậy x =
7
3
&
14
13
b/ Tìm cặp số x,y thoả mãn :
02,4238,1  yx

49
HD: b/ ....<=> 
















1,2
38,1
02,42
038,1
0/2,412/
0/38,1/
y
x
y
x
y
x
c/ 0)3)(1(32
 xxxx
HD: c/ 3
31
30
0)3)(1(
0)3(












x
hoacx
hoacx
xx
xx
d/ Tìm cặp số thực x ; y thoả mãn:
/ 2x-0, (24) / + / 3y + 0,1 (55) / = 0
HD: <=> / 2x- 0/)5(1,0.
10
1
3/
99
24
 y
<=> 0/
9
5
1.
10
1
3//
99
24
2/  yx
<=> / 2x - 0/
45
7
3//
33
8
 y
Vì: /2x- 0
45
7
3&0/
33
8
 y
Nên: /2x-
33
8
/+/3y+ 0/
45
7
 <=>




















45
7
33
4
0
45
7
3
0
33
8
2
y
x
y
x
Dạng 5. axfaaxf  )()( ( a là hằng số dưong)
BÀI 22: Tìm x.
a/ Biết 513 x
HD : a/ 513 x <=> -5 < 3x - 1 < 5
-4 < 3x < 6
-4/3 < x < 2
b/ Biết 37710 x

50
HD:b/ ...<=> -37 < 10x+7 < 37 <=> -4,4 < x < 3
c/ Biết 1983  x
...<=>-19  3-8x
4
11
219  x
Dạng 6.  axf )( f(x) > a
f(x) < -a
BÀI 23: Tìm x .
a/ Biết; 31115 x
HD: ...... <=>












2
15
32
31115
31115
x
x
x
x
b/ Tìm x . Biết 25452 x
.......<=> 









8
13
2152
2152
x
x
x
x
Bài 24. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thoả mãn điều kiện sau :
a/ 4 yx
HD: Nếu x =0 thì y = 4 ta được 2 cặp số là (0;4)và(0;-4)
Nếu x= 1 thì y = 3 ta được 4 cặp số là ((1;3);(-1;-3);
(1;-3);(-1;3)
Nếu x= 2 thì y = 2 ta được 4 cặp số là :...................
Nếu x= 3 thì y = 1 ta được 4 cặp số là :...................
Nếu x= 4 thì y = 0 ta được 2 cặp số là ....................
Vậy ta được tất cả 16 cặp số thoả mãn đẳng thức đã cho.
b/ 4 yx
HD. Tương tự có tất cả 7 + 10 +6+2 = 25 cặp số thoả mãn BĐT đã cho
BÀI 25:

51
a/ Tìm x thoả mãn : ( x + 2/3 ) ( 1/4 - x ) > 0
HD:
a/ Cách 1
(x + 2/3 )( 1/4 - x) > 0<=>
)(
4/1
3/2
04/1
03/2
4/1
3/2
04/1
03/2
angthoixayrkhongthedo
x
x
x
x
x
x
x
x
























<=> -2/3 < x < 1/4
Cách 2: Lập bảng xét dấu:
Giá trị x -2/3 1/4
dấu x+3/2 - 0 + / +
dấu 1/4-x + / + 0 -
dấu của B.thức - -2/3 + 1/4 -
Vậy Biểu thức > 0 nếu -2/3 < x < 1/4
b/ Tìm x thoả mãn: 0
3
12



x
x
HD:b/
 2/13
3
2/1
03
012
0
3
12
)(
4/1
2/1
03
012
0
3
12





























x
x
x
x
x
x
x
yrakhongthexa
x
x
x
x
x
x
Vậy biểu thức < 0 khi -3 < x < 1/2

Chuyên đề 2:
CHỨNG MINH TAM GiÁC
$1.. TỔNG BA GÓC CỦA TAM GIÁC
Kiến thức cần nhớ :

52
A
O
I
B
C
D
E
1- Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180 độ .
2- Trong tam gíác vuông 2 góc nhọ phụ nhau .
3- Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
4- Góc ngoài của tam giác lớn hơn 1 góc trong không kề với nó .
BAÌ 1 a/ Chứng minh tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 độ?(Bằng cách khác
SGK)
b/ Chứng minh tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360 độ ?
c/ Chứng minh góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề ?
BÀI 2: a/ Tính tổng các góc ở đỉnh của một ngôi sao năm cạnh ?
b/ Cho  ABC : AC >AB . Vẽ phân giác AD ( D  BC ) Chứng minh :
Góc ADC - góc ADB = góc B - góc C ?
HD. Sử dụng định lý góc ngoài của tam giác .
BÀI 3 Cho  ABC có góc A = 
Vẽ tia phân giác BD và CE ( D tuộc AC; E thuộc AB ) cắt nhau tại O .
a/ Tính góc BOC theo  ?
b/ Vẽ phân giác ngoài tại B và C cẳt nhau tại I . Tính góc BIC theo  ?
Hướng dẫn : Tổng quát : Ô = 900
+
2

và góc I = 900
-
2

BÀI 4 : Tính các góc trong và ngoài của tam giác ABC . Biết CBBA ˆˆˆˆ  = 200
HD : ..=> Â = Bˆ + 200
, CBABC ˆˆˆ20ˆˆ 0
 = 3 Bˆ = 1800
,
=> Bˆ = 600
, Â = 800
; Cˆ = 400
& 1
ˆB = 1200
, 1
ˆA =1000
; 1
ˆC = 1400
BÀI 5 : Vẽ thêm và dùng định lý góc ngoài . Chứng minh : AÔ B = BA ˆˆ 
a A
O
b B
$2. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC
Tam giác Tam giác vuông
TH 1. C-C-C Cạnh huyền + Cạnh góc vuông
TH 2. C-G-C Hai cạnh góc vuông

53
I
C
A
B
D
TH 3. G-C-G Cạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọn
$ 3. TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT :
Tam giác  . Cân . ĐỀU  VUÔNG  vuông cân
Định
nghĩ
a
A,B,C không
thẳng hàng
 ABC:
AB = AC
 ABC :
AB=BC=AC
:ABC
Aˆ = 900
0
90ˆ:  AABC
AB=AC
Qua
n hệ
các
góc
Â+ CB ˆˆ  =180
0
AC ˆˆ
1 
BC ˆˆ
1 
CB ˆˆ 
Bˆ =
2
ˆ180 A
Â=180
Bˆ20

 CBA ˆˆˆ 60
0
CB ˆˆ  = 900
CB ˆˆ  = 450
Qua
n hệ
các
cạnh
1 cạnh< Tổng
và > Hiệu
2cạnh còn lại
AB=AC AB=BC=AC
BC 222
ACAB 
BC > AB
BC > AC
AB=AC= c
BC= c 2
BÀI 6 : Cho tam giác ABC có Â = 80 độ , Bˆ = 60 độ . Hai tia phân giác của góc
B và C cắt nhau tại I . Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D . Chứng
minh góc BDC = góc C ?
HD: Tính góc C = 40 độ .
Tính góc BDC = 1800
–(90 +30)
= 40độ =>gócC =góc
BÀI 7 : Cho tam giác ABC có góc A = 2 Bˆ và Bˆ = 3 Cˆ .
a/ Tính góc A ;B ; C ?
b/ Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại
đỉnh C . Tính góc AEC ?
B HD : a/Qui về góc C =>góc A+B+C =10 Cˆ => góc C = 180
=> Bˆ = 54 độ; Â = 108 độ.
b/ Kẻ tia AC x kề bù vơi góc ACB=> góc AC x = 162 độ
A => AC E = 81 độ và
Â2 = CB

 =54+18 =72 độ=>gócE =180–(81+72)= 27
độ .

54
C
E
BÀI 8 : Cho tam giác ABC có các góc A;B;C tỷ lệ với 3;2;1 .Hỏi tam giác ABC là
tam giác gì ?
HD : Ta có góc A:B:C=3:2:1 => góc A =90 độ
=> Tamgiác ABC vuông tại A .
BÀI 9 : Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm . Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp
và AB < BC < CA . Tim độ dài 3 cạnh của tam giác A. Biết .PQRABC 
A
HD : Gọi độ dài 3 cạnh AB = 2n + 1 ,BC= 2n +3 và
CA = 2n +5 .
Ta có AB+BC+AC= 6n = 12 => n= 2
=>AB= PQ= 5 ;BC=QR=7,CA=RP=9 cm
B C
BÀI 10: Cho góc xÔy . Trên tia O x lấy A , B và trên Oy lấy C,D sao cho OA=OC ;
AB = CD . Chứng minh rằng : a/ CDBABDbCDAABC  /& ?
D
C
HD : )(&)( cgcABDCDBcgcCDAABC 
A B
BÀI 11 : Cho tam giác ABC.Biết AB = 3 cm , BC = 5 cm và CA = 4 cm .Gọi đường
thẳng qua A và song song với BC là a .Đường qua B song song với CA là b và đường
thẳng qua C và song song vơi AB là c . Gọi M,N,P theo thứ tự giao điểm các đường
thẳng b và c ; a và c ; a và b . Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP ?
A HD : Chứng minh .);( MCBBAPABCgcgCNAABC 
=>Các cạnh của tam giác MNP dài gấp đôi các cạnh
tương ứng của tam giác ABC => MN=2AB = 6cm ;

55
NP = 2BC = 10 cm và NP =2CA = 8cm .
B C
M
BÀI 12 : Gọi M trung điểm cạnh BC của tam giác ABC , kẻ BH  AM và
CK AM .
Chứng minh : a/ BH // CK
A b/ M trung điểm của HK
c/ HC // BK ?
H
H D : a/ BH // CK vì cùng vuông góc với AM .
B M C b/ MKMHCKMBHM 
c/ BKHCgocKBCgocHCBKBMHCM //
BÀI 13 : Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn . Người ta vẽ phía ngoài tam giác ấy
ba tam giác đều LMA ; MNB và NLC . Chứng minh rằng : LB = MC = NA ?
HD :
CMNAcgcMLCALN
BLNAcgcLMBAMN


)(
)(
=> LB = MC = NA .
L
A
M N
B
BÀI 14: Cho tamgiác ABC có Â = 90 độ ; Bˆ = 60 độ . Phân giác góc B;góc C cắt
nhau tai I và AI cắt BC tại M . a/ Chứng minh góc BIC là góc tù ?
b/ Tính góc BIC ?
A HD:a/ Góc I 1 > góc A1 Góc ngoài tam giác BIM
Góc I2 > góc A2 góc ngoài tam giác CIM
 góc I > góc A = 90 độ = > góc BIC là góc tù .
C b/ ...=> góc BIC = 180 – 45 = 135 độ .
M
B

56
BÀI 15 : Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20 độ . Tia phân giác góc A cắt
BC tại D . Tính số đóc góc ADC ? góc ADB ?
A HD : => Ta có  22;11
ˆˆˆˆˆˆ ACDABD CBDD ˆˆˆˆ
21  = 200
Mà 21
ˆˆ DD  = 180 độ => 1
ˆD =1000
, 2
ˆD = 800
B D C
BÀI 16 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng
AB ( D khác phía C đối với AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC ( E
khác phía B đối với AC ) . Chứng minh rằng : a/ DC = BE ?
b/ DC  BE ?
E HD : a/ )(gcgABEADC  => DE = BE
D c./ Gọi H là giao điểm AB với CD và K là giao
A điểm DC với BE. 0
& 90ADH KBHgocDAH BKH   
B C
BÀI 17 : Cho tam giác ABC có góc B = 2 Cˆ . Tia phân giác góc B cắt AC ở D . Trên
tia đối BD lấy điểm E sao cho BE = AC . Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho
CK = AB . Chứng minh rằng : AE = AK ?
HD : Chứng minh góc ABE = góc ACK
A => )(cgcKCAABE  => AE = AK .
D
B C K
E
BÀI 18 : Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC . Trên tia
đối tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC . Trên tia đối EB lấy điểm N sao cho
EN = EB . Chứng minh A là trung điểm của MN ?
HD: BCAMgocKBCgocKAMcgcBKCAKM //)( 
BCANBCANCEBAEN //&
M A N Mà AM//BC;AN//BC=>M;A;N thẳng hàng (1)
AM=BC;AN=BC=>AM=AN (2)

57
Từ (1) &(2) => A là trung điểm của MN .
K E
B C
BÀI 19 : Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại
A là  ADB ; ACE có AB = AD ; AC = AE . Kẻ AH vuông góc BC ; DM vuông góc
AH và EN vuông góc AH . Chứng minh rằng
a/ DM = AH
N E b/ MN đi qua trung điểm DE .
D M
A HD : a/ ...=> AHDMBAHADM 
b/ ...=> tương tự câu a => EN=AH =>DM=EN
Chứng minh DM//EN và gọi O giao điểm MN và
B H C DE => OEODgcgENODMO  )( .
BÀI 20 : Cho tam giác ABC. gọi D trung điẻm AB và E trung điểm AC. Vẽ điểm F
sao cho E là trung điểm của DF . Chứng minh rằng :
A a/ DB = CF
b/ DFCBDC ˆ
D E F c/ DE // BC & DE = BC
2
1
HD: a/ ...=> CFBDCFAD(cgc)F  CEAED
B C b/ ...=> )(cgcFCDDBC 
c/ ...=> BCDEDFDEDFBCFCDBDC
2
1
2
1
 .
BÀI 21 : Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D ; E sao cho AD = BE. Qua
D và E vẽ các đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N . Chứng
minh DM + EN = BC ?
A HD: Qua N vẽđường thẳng //AB cắt BC tại K.Tacó EN//BK
EB//NK nên chứng minh được NK=EB;EN=BK
 AD= NK ( vì cùng bằng EB ).
 Chứng minh KCDMcgcNKCADM  )(
...=>....
E N
B F C

58
BÀI 22 : Cho tam giác ABC có Â = 600
. Các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại
I và cắt AC ; AB theo thứ tự D ; E . Chứng minh : ID = IE ?
A HD : ...=> 0
11 60
2
120
2
ˆˆ
ˆˆ 


CB
CB
0
41
0
60ˆˆ120ˆ:  IICIBBIC
E I D IK phân giác 0
21 60ˆˆˆ  IICIB
IEIDIKIDgcgCIKCDI
IKIEgcgBIKBIE


)(
)(
B K C
BÀI 23 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E . Các tia phân giác EBDECA ˆ&ˆ
cắt nhau ở K . Chứng minh :
2
ˆˆ
ˆ CDBCAB
CKB

 ?
K
D
HD: Gọi K là giao điểm CK&BE. H là giao điểm BK&DE
A H Xét 11
ˆˆˆˆ& CABKAGCKGB  (1)
G Xét 22
ˆˆˆˆ& BDCKDHBKHC  (2)
E Từ (1) &(2) => 2 DAK ˆˆˆ  =>
2
ˆˆ
ˆ DA
K


C B

59
BÀI 24 : Cho tam giác ABC với M trung điểm BC . Trên nửa nặt phẳng không
chứa C bờ AB vẽ A x vuông góc AB và lấy D sao cho AD = AB . Trên nửa mặt
phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vuông góc AC và lấy AE = AC .
Chứng minh : a/ AM =
2
1
ED
b/ AM  DE
H E HD :a/ Để chứng tỏ DE = 2AM tạo ra đoạn thẳng gấp đôi
AM bằng cách trên tia đối MA lấy MK = MA và đi
chứng minh DE = AK
- Xét )();(:& ACBKAEgtABADDAEABK 
Và )180ˆˆ(180ˆˆ 0
21
0
 AAviAEAD (1)
)ˆ(180ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 0
1 AvibuACBAKBACBBB  (2)
Vậy :
2
ˆˆ DE
AMDEAKDAEABKEADKBA 
B M C b/ Gọi H là giao điểm AM&DE ; Ta có
000
90ˆ90ˆˆ90ˆˆ  HDAHADDHADKAB
BÀi 25 Miền trong góc nhọn xÔy vẽ Oz sao cho xÔz =
2
1
yÔz .Qua điểm A thuộc
Oy vẽ AH vuông góc O x cắt Oz ở B .Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA . Chứng
minh tam gíc AOD cân ?
HD : Để chứng minh AO = AD ta vẽ DE = OB
A Ta thấy : EBˆˆ90ˆˆ&90ˆ 00
ABEAHBOEBABEA  
=> )(cgcADEAOB  => AO=AD =>  AOD cân
E D
B
O H h
A

60
BÀI 26 : Cho góc xÔz = 1200
. Oy là tia phân giác xÔz ; Ot là tia phân giác của
góc xÔy . M là điểm miềm trong góc yOz. Vẽ MA vuông góc O x,Vẽ MB vuông góc
Oy,Vẽ MC vuông góc Ot . Chứng minh 0C = MA – MB ?
HĐ: Gọi E , I là giao điểm của MC với Oy;O x.
y =>  EOI đều => OC = EK .
z M Vẽ EH OIEKMA  ; dễ dàng chứng minh được
B MH = MB ; EK = OC
 MA-MB = MA – MH = HA = EK = OC
H E
t
C
O I x
A K
BÀI 27 : Cho tam giác cân ABC có Â = 100 độ. Tia phân giác góc B cắt AC ở D.
Chứng minh BC = BD + AD .
A HD : Ta có 00
21 4020ˆˆˆ  CBD
 trên cạnh BC lấy các điểm K , E sao cho
)1()(80ˆ&60ˆ 00
DKDAgcgBDKBDAEDBKDB 
Chứng minh tam gíac DKE cân tại D =>DK = DE (2)
Và chứng minh tamgiác DEC cân tại E=>DE=EC (3)
Từ (1),(2).(3) =>AD=EC=> BC = BE+EC=BD+AD
B K E C
BÀI 28 : Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường cao BD ,CE . Trên tia đối BD lấy điểm
I. Trên tia đối CE lấy điểm K sao cho BI = AC , CK = AB .
Chứng minh  AIK vuông cân ?
HD : Ch/minh AKAIcgcKCAABI  ).(
A Góc AIK=90 độ (vì góc E = góc K (cmt)
Suy ra : tam giác AIK vuông cân
B C

61
BÀI 29:Cho góc xÔy = 90 độ Lấy điểm A trên O x và điểm B trên Oy . Rồi lấy điểm
E trên tia đối O x và điểm F trên tia Oy sao cho OE =OB và O F = OA .
a/ Chứng minh AB = E F và AB  E F
b/ Gọi M,N là trung điểm AB, E F Chứng minh tam
giác OMN vuông cân ?
HD : a/ FEAB&FEABcgv)E(2ß  OOAB
b/  90doOM&)( gocMONOMcgcONEOMB
y OMN vuông cân
B
F
N M
E O A x
BÀI30: Cho tam giác đều ABC, Trên 2 cạnh AB,AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao
cho AM = CN . Gọi O là giao điểm CM và BN . Chứn ninh rằng :
A a/ CM = B N
b/ Số đo góc BOC không đổi khi M và N di động trên
AB,AC thoả mãn điều kiện AM = CN.
M HD: a/ 11
ˆˆ&)( BCBNCMcgcCBNACM 
b/ 000
21
0
12060180)ˆˆ(180Cˆ  CBOBOCcoB
N
O
B C


62
Chuyên đề:
TAM GIÁC VUÔNG
TAM GIÁC CÂN .....
A. TAM GIÁC VUÔNG :
1/ Định nghĩa tam giác vuông ? tam giác vuông cân ?
2/ Tính chất :
- Tam giác ABC : Â=90 độ <=> 0
90ˆˆ  CB
- Định lý PyTago: 2220
90ˆ: ACABBCAABC 
- Bộ ba số Py ta go: (3;4;5); (5;12;15);(6;8;10);(8;15;17);(20;21;29)....
- Các hệ thức trong tam giác vuông:
..;.
..;90ˆ:
22
0
BCCHACBCBHAB
ACABBCAHBCAHAABC


;
- BCAMMCABAABC
2
1
;90ˆ: 
S AMB = AMCS
- Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 60 độ (30 độ)
là nửa tam giác đều ( cạnh bằng cạnh huyền ).
- Các trường hợp hai tam giác vuông bằng nhau: 2 cgv-Chuyền
Toán nâng cao:
BÀI 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc C = 45 độ. Vẽ phân giác AD.Trên tia
đối AD lấy AE = BC.Trên tia đối CA lấy CF = AB .
Chứng minh : a/ BE = CF b/ BE = BF .
Hướng dẫn: a/ Chứng minh : BÂE = B 0
135ˆ FC
A Ch/minh : CFBEcgcFCBBAE  )(
D b/ 00
90ˆˆ90ˆ:  FFBAAABF
A C F Mà:
BFBEFBhayE
BFBAcmtBF


0
0
90ˆ
90ˆˆ)(ˆˆ
BÀI 2: Cho tam giác ABC có BC = 2 AB . M trung điểm BC; D trung điểm
BM . Chứng minh : AC = 2 AD
A Hướng dẫn: Trên tia đối AD lấy DE = DA
=> DMEDBAMEABcgcEMDADB ˆˆ;)( 
=> AB=ME= )1(
2
1
MCMEBC 
(1)

63
B D M C Mặt khác:
)(ˆˆˆ;ˆˆˆ
21 gocngoaiMABBAMCMMAME 
Mà: MBAMcmtBM ˆˆ);(ˆ
21 
Vậy : CMAEMA ˆˆ  (2) và AM chung (3)
E Từ (1),(2) và(3) suy ra
2ADACACAEAMCMCME 
BÀI 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 60 độ . Vẽ tia C x BC và lấy
CE = CA ( CE và CA cùng phía với BC). Kéo dài CB và lấy F sao cho BF = BA .
Chứng minh : a/ ACE đều b/ E,A,F thẳng hàng ?
Hướng dẫn: a/ Ta có CA = CE (gt) => CEAcan
Chứng minh tiếp góc ACE = 60 độ
Suy ra : CAE đều
E b/ Ta có : BA = BF (gt) => BFAcan
Suy ra : góc BA F = 30 độ;
A
Vậy: 0000
180609030ˆˆˆ  EACCABABF
Ta suy ra ba điểm F;A;E thẳng hàng .EAF
F B C
BÀI 4: Cho tam giác ABC vuông tại A . Tia phân giác góc B và C cắt nhau tại O .
Qua O kẻ đường song song BC,cát AB tại D và cắt AC tại E .
Chứng minh : a/ Góc BOC không đổi .
b/ DE = DB + EC
A HD : a/ 000
22
0
13545180)ˆˆ(180ˆ  CBCOB
b/ DODBDBOcan 
O EOECE  canOC
D E Vậy DB+EC=DO+OE=DE
B C
BÀI 5 : Cho tam giác ABC: Góc B = 2 góc C. Kẻ AH vuông góc BC
(H thuộc BC) . Trên tia đối BA lấy BE = BH . Đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứn
minh : FH = FA = FC .
A Hướng dẫn: Ta có BH= BE =>  BEH cân => 1
ˆˆ HE 
Mà CHHBHBHH ˆˆˆ2ˆˆ2ˆ&ˆˆ
22121 
F Vậy tam giác FHC cân =>HF = HC (1)
Mặt khác : Â = 90 2
00 ˆ90Fˆ&ˆ HHAC 
B Vậy tam giác FAH cân => FA = FH (2)

64
H C Từ (1) và (2) => HF = FA = FC
E
Bài 6: Cho tam giác ABC :góc A = 90 độ.Ở miềm ngoài tam giác vẽ các tam giác
vuông cân ABD, AC F ( AB = BD và AC = CF).
a/ Chứng minh : D,A,F thẳng hàng ?
b/ Từ A và F kẻ các đường D D ''
, FF vuông góc xuống BC .
Chứng minh : BCFFDD  ''
HD: a/ Â = 45+90+45 = 90 độ=>A,D,F thẳng hàng
A b/ Kẻ AH  BC =>
BCHCBHFFD
HCFFAHCCFF
BHBAHDBD



''
''
''
D
DD
B C
Bài 7 : Cho 0
120ˆ:  CABABC Kẻ AD phân giác góc A .Từ A hạ DE AB ;
DF  AC .
a/ Tam giác DE F tam giác gì ?
b/ Qua C vẽ đường thẳng // AD cắt AB tại M , tam giác
ACM là tam giác gì ?
A HD: a/ Chứng minh DE = DF và góc EDF = 60 độ =>đều
F b/Tam giác ACM đều .
E
B D C
BÀI 8: Tam giác ABC có AB > AC .Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng
vuông góc với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB,AC lần lượt tại E
và F . Chứng minh rằng:
a/ BE = CF b/ AE =
2
;
2
ACAB
BE
ACAB 


c/ góc BME =
2
ˆˆ BBCA 
HD: a/ Chứng minh góc F = góc E
Kẻ CD // AB =>BE=CD (1)
A Mà  CDF cân => CF=CD (2) => BE=CF
b/ Ta có AE = AB - BE
Mà AE=A F= AC+CF=>2AE=AB+AC
 AE=
2
ACAB 

65
E Tương tự : 2BE=AB-AC => BE =
2
ACAB 
M C c/ Ta có :
2
Bˆ-BCÂ
EMˆBBˆ-BCÂEMˆ2B
B-EÊMˆB&Fˆ-BCÂFˆ

EC
F
B. TAM GIÁC CÂN
BỔ SUNG KIẾN THỨC:
1. Trong một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30 độ thì cạnh đối diện với
góc ấy bằng nửa cạnh huyền.
2. Một tam giác vuông có góc nhọn bằng 30 độ (hay bằng 60 độ) thì tam giác
vuông đó bằng nửa tam giác đều.Cạnh đối diện góc vuông là cạnh tam giác
đều và cạnh đối diện góc nhọn 60 độ là chiều cao tam gióc đều.
3. Trong một tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì
góc đối diện cạnh với cạnh góc vuông ấy bằng 30 độ.
4. Trong tam giác cân:
- Hai trung tuyến ứng với 2cạnh bên bằng nhau.
- Hai phân giác ứng với 2 cạnh bên bằng nhau.
- Hai đường cao ứng với 2 cạnh bên bằng nhau.
TOÁN CHO HS GIỎI:
BÀI 9: Cho tam giác nhọn ABC có góc Â= 60 độ. Đường cao BD. Gọi M,N lần
lượt là trung điểm AB ; AC.
a/ Xác định dạng của tam giác BMD ? Tam giác AMD ?
b/ Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE=AN . Chứng minh CE vuông góc AB ?
HD: A
D
M
E N
B C

66
Xét tam giác vuông ABD có DM là trung tuyến ứng với cạnh huyềnAB
nên:
MD=MA=MB=AB:2 => Tam giác ABD và tam giác AMD cân.
Mà Â=60 độ => tam giác AMD đều.
b/ Xét tam giác AEN có AE=AN=>tam giác AEN cân+Â=60 độ=>tam
giác AEN
đều=>EN=NA=CN=AC:2.
Vậy tam giác EAC có trung tuyến EN=AC:2=>tam giác EAC vuông
tại E =>
CE vuông góc AB
BÀI 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M,N sao cho
BM=BA;CN=CA. Tính góc MÂN ?
HD:
B
N
= 1 = M
1
A C
Tam giác BAM cân tại B=>
2
ˆ180ˆ
1
B
M


Tam giác CAN cân tại C=>
2
ˆ180ˆ
1
C
N


Vậy : 0
1 45135180)ˆˆ(180ˆ  NMNAM
BÀI 11: Cho tam giác ABC đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3
góc bằng
nhau. a/ Chứng minh tam giác ABC vuông ?
b/ Tam giấcBM là tam giác đều ?
HD:
A
I
B H M C
a/ Vẽ MI vuông góc AC . Chưng minh

67
00
60ˆ&30ˆ
2
1
2
1
)..(  CAHCMCBMMHBHnghCMAHMAI
Vây BÂC= (60.3):2=90 độ => Tam giác ABC vuông tại A.
b/ Ta có góc C=30 độ;góc B=60 độ;AM=BM=1/2BC=>tam giác ABM
cân có
một góc bằng 60 độ => tam giác ABM đều.
BÀI 12: Cho tam giác ABC có góc B= 75 độ,góc C bằng 60 độ. Kéo dài BC một
đoạn CD
sao cho CD=1/2BC .Tính góc ADB ?
HD:
A
H
1 2
2 1 1
B C D
- Kẻ BH vuông góc AC. Xét tam gica vuông BHC vuông tại H và góc C=60 độ =>
góc
)1(30ˆ
2
1ˆ
2
1
30ˆ 0
1
0
1 HDHBHDBcanBCADcanCDHCDCHBCCHB 
- Xét tam giác HAB vuông tại H có góc B2=75-30=45 độ=>tam giác HAB vuông
cân=>HA=HB(2). Từ (1) và (2) => HD=HA=>Tam giác HAD cân.
Ta suy ra 00
12 451530ˆ15ˆ
2
1ˆ  BDAHD
ĐỊNH LÝ: PY-TA-GO
KIẾN THỨC BỔ SUNG:
1. Trong tam giác vuông cân có cạnh bên băng a thì cạnh huyền bằng a 2
2. Khoảng cách giải 2 điểm trong mựt phẳng toạ độ:
2
12
2
12
2
12
2
12
2
2211 )()()()();();;( yyxxAByyxxAByxByxA 
BÀI 13: Cho tam giác ABC có AB=24; BC=40 và AC=32.
Trên cạnh AC lấy M sao cho AM =7. Chứng minh rằng :

68
a/ Tam giác ABC vuông ?
b/ góc AMB = 2góc C.
HD: A
7
M
24 32
B 40 C
a/ Tam giác ABC có: BC 160040.402

AB 160032.3224.2422
AC
Vậy iAABCvuongtaBCACAB  1600222
b/ Chứng minh ram giác MBC cân : BM=
25732
25724 22


AMAC
Suy ra : góc MBC=góc C. Mà góc AMB=góc MBC+góc C ( góc ngoài)
Vậy góc AMB = 2. góc C
BÀI 14: Cho tam giác ABC có AB=25 ; AC = 26 . Đường cao AH = 24 . Tính
BC ?
A A
25 24
24 26 25 26
B H C H B C
(H1) (H.2)
- Tính được HB= 7 ; HC= 10
- Nếu góc B nhọ=>H nằm giữa BC=>BC=BH+HC=10+7=17 (h1)
- Nếu góc B tù => H nằm ngoài BC=>BC=HC--HB=10-7=3 (h2)
BÀI 15: Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tỷ lệ 8 và 15. Cạnh huyền
51 cm.
Tính độ dài 2 cạnh góc vuông ?

69
HD: Giả sử tam giác ABC vuông tại A. =>AB=8k và AC=15k
Ta có 3260128951)15()8( 222222
 kkkACAB
Vậy AB= 8.3= 24 m và AC=15.3= 45 m
BÀI 16: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH,trên đó lấy điểm D. Trên
tia đối HA lấy E sao cho HE=AD. Đường vuông góc AH tại D cắt AC tại F . Chứng
minh EB vuông góc E F ?
HD: A
D F
B H C
E
Vì AD=HE=>AH=DE
Áp dụng Định lý Py ta go vao tam giác vuông ABF;ABH;ADF;BHE;DE F
ta được:
22222222222
2222222
)()(
)()(F
FEBEDFDEHEBHDFHEDEHBBF
DFADAHBHAABFB


Vậy theo định lý đảo Py ta go=> tam giác BE F vuông tại E=> EB vuông
góc E F
BÀI 17: Một cây tre cao 9 m. Bị gãy ngang thân. Ngọn cây chạm đất và cáh gốc
3m . Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu mét ?
HD : B
=
C
x? =
A D
Gọi AB chiều cao cây tre . Điểm gãy C . Ngọn cham đất cách gốc 3 m là
điểm C
thì CB=CD .
Tam giác vuông ACD có :
metxxx
CDADAC
4)9(3 222
222



70
BÀI 18: Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(5;4); B(2;3) và C(6;1).
Tính các góc tam giác ABC ?
HD x
4 A(5;4)
3 B(2;3)
1 C(6;1)
x
O 2 5 6
Ta có : 2
AB )1(10)34()25( 22

)14()65( 22
AC )2(102

20)31()26( 222
BC
Từ (1) và (2) => tam giác ABC cân và AB ABCvuongBCAC  20222
Vậy góc A =90 độ . góc B = góc C= 45 độ
CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU
CỦTAM GIÁC VUÔNG
BÀI 19: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM cũng là phân giác .
a/ Chứng minh tam giác ABC cân.
b/ Cho AB=37; AM =35 . Tính BC ?
HD: (H.1) A A
F D
H K
(H.1) B M C (H.2) B E C
a/ Vẽ thêm MH vuông góc AB & MK vuông góc AC.
Chứng minh
cantaiAABCCBcgvchKMCHMB
MKAMHgnchKAMHAM


ˆˆ)(
)(
b/ Tam giác ABC cân =>AH vuông gócBC
=>BM= 241222
 BCAMAB

71
BÀI 20: Cho tam giác có ba đường cao bằng nhau.
a/ Chứng minh tam giác đó đều ?
b/ Cho biết mỗi đường cao có độ dài
2
3a
. Tính độ dài mỗi cạnh tam giác
đó?
HD.(H.2) Tam giác ABC có ba đường cao bằng nhau là: AD=BE=C F.
a/ Ta chứng minh .ˆˆ;........ˆˆ)( deuABCACCBcgvchECBFBC 
b/ Gọi độ dài mỗi cạnh là x.Xét tam giac ADC vuông tại D có
axCDADAC  222
:
BÀI 21: Cho tam giác ABC cân tại Â và Â=80 độ. Gọi O là điểm nằm trong tam
goác sao cho góc OBC=30 độ;góc OCB=10 độ. Chứng minh tam giác COA cân.?
M
M
A A
O O
B C B C
(H.1) ( H.2)
HD ( Xem H.1) Tam giác ABC cân góc Â=80 độ => gocB=Góc C= 50 độ
Vẽ thêm tam giác đều BCM9 M,A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC)
 góc MCA=60-50=10 độ
 00
302:60ˆˆ)(  CMABMACCCAMCAMB
 .)( canCOACACOgcgAMCOBC 
BÀI 22: Cho tam giác ABC cân tại A và góc Â= 100 độ.Goi O là điểm nằm trên tia
phân giác góc C sao cho góc CBO=30 độ . Tính góc CAO ?
HD: (Xem hình 2) Vẽ tam giác đều BCM9M,A cùng nửa mặt phẳng bờ BC).
Chứng minh tương tự bài 19=> 0
202:40ˆ  OCACOAcantaiC
Suy ra: 0
802:20)-(180OAˆC 

72
Bài 23: Cho tam giác cân ABC (AB=AC. Kẻ đường vuông góc AB tại B và vuông
góc AC tại C. hai đường nầy cắt nhau tại D.
a/ Chứng minh AD là phân giác góc A ?
b/ So sánh AD & CD ?
HD: (H1) A A ( Hình 2)
1 2 D E
B C B M N C
D
(xem h.1) a/ Chứng minh tam giác ABD=tam giác ACD(Ch+cgv)=> 21
ˆˆ AA 
Suy ra AD phân giác góc Â
b/ Suy ra AD=CD ( 2 cạnh tương ứng)
BÀI 24: Cho tam giác cân ABC9AB=AC) D là một điểm thuộc AB và E là môt
điểm thuộc AC sao cho AD=AE. Từ D và E hạ đường vuông góc với BC. Chứng
minh BM=CN ?
HD: ( xem hình 2) Chứng minh BD=EC&góc B = góc C
Suy ra tam giác BDM=tam giác ECN(Ch+gn)=> BM=CN
BÀI 25: Cho góc xÔy trên O x lấy điểm A. Trên O y lấy điểm B. Gọi M trung điểm
AB. Từ A, B hạ đường thẳng AE ; BF cùng vuông góc với tia OM . Chứng minh
AE=BF ?
HD: Chứng minh tam giác MAE=tam giác
MBF
x (Ch+gn)=>AE=BF
A
E M F
O y
BÀI 26: Cho tam giác ABC các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại O. Kẻ OE,O
F,OG thứ tự vuông góc với AC,AB,BC.

73
a/ Chứng minh OE = O F=O
b/ Tia AO cắt BC tại D . Chứng minh góc BOD=góc góc COG
HD: A
1 2
E
F
O
2 2
1 1
B G D C
a/ Chưng minh:
OGFOOE(2)&(1)uT
OG(2)OEgn)COE(chCOG
(1)OGFOgn)BOG(chß


BO
b/ CCCBBBAAAOAOE ˆ
2
1ˆˆ&ˆ
2
1ˆˆ;ˆ
2
1ˆAˆF 212121 
Suy ra 0
21 902:180ˆˆ  CBA (1)
Mặt khác tam giác vuông BOG(góc G=90 độ)=> )2(90ˆˆ 0
1  GOBB
Từ (1) và(2) => )3(ˆˆˆ
21 GOBCA 
Từ (3) và (4)=> GOCDOBDOGDOCDOGGOBDOCGOB ˆˆ,ˆˆˆˆˆ 

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ – GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Bài 1:Tính giá trị của biểu thức :

74
A = x2
+ 4xy – 3y3
với ;5x 1y
Bài 2: Cho x – y = 9, tính giá trị của biểu thức : B =
xy
y
yx
x





3
94
3
94
( x  - 3y ; y  -
3x)
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) A = 1616
8844222
2
)2)(2)(2)(2(
yx
yxyxyxyxx


với x = 4 và y = 8
b) B = 2m2
– 3m + 5 với m = 1
c) C = 2a2
– 3ab + b2
với 1a và b = 2
Bài 4: Xác định các giá trị của biến để biểu thức sau có nghĩa :
a)
4
1
2


x
x
b)
1
1
2


x
x
c)
yxy
cbyax
3

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức : N=
12
36 2


x
xx
với x =
2
1
Bài 6 : Tìm các giá trị của biến để :
a)A= (x + 1)(y2
– 6) có giá trị bằng 0 b) B = x2
– 12x + 7 có giá trị bằng 7
Bài 7 : Tính giá trị của biểu thức sau :
A = 22
22
310
35
yx
yx


với
53
yx

Bài 8: Cho x, y, z  0 và x – y – z = 0 .Tính giá trị của biểu thức
B = 


















z
y
y
x
x
z
111
Bài 9:
a) Tìm GTNN của biểu thức C = ( x+ 2)2
+ ( y - )
5
1 2
– 10
b) Tìm GTLN của biểu thức sau : D =
  532
4
2
x
Bài 10: Cho biểu thức E =
2
5


x
x
.Tìm các giá trị nguyên của x để :
a) E có giá trị nguyên b) E có giá trị nhỏ nhất
Bài 11: Tìm các GTNN của các biểu thức sau :
a) (x – 3)2
+ 2 b) (2x + 1)4
– 1 c) (x2
– 16)2
+ 3y - 2
Bài 12: Tìm GTNN của biểu thức :A = 102  xx
Bài 13: Tìm các giá trị nguyên của x ,để biểu thức sau nhận giá trị nguyên :
A =
15
1510


x
x
Bài 14: Cho f(x) = ax + b trong đó a, b Z
Chứng minh rằng không thể đồng thời có f(17) = 71 và f(12) = 35
Bài 15 Cho f(x) = ax2
+ bx + c .Chứng minh rằng không có những số nguyên a, b, c
nào làm cho f(x) = 1 khi x = 1998 và f(x) = 2 khi x = 2000
Bài 16: Chứng minh rằng biểu thức P = x8
– x5
+ x2
– x + 1 luôn nhận giá trị dương
với mọi giá trị của x.

75
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
B = 31  xx với x
11
7

Bài 18: Chứng minh các đẳng thức sau :
a) x2
– y2
= (x+ y) (x- y) b) x3
+ y3
= (x+ y) ( x2
– xy + y2
)
c) a(a – b) – b(b- a) = a2
– b2
d) a( b- c) – b(a + c) + c( a – b) = - 2bc
e) a( 1- b) + a( a2
– 1) = a (a2
- b)
f) a(b – x) + x(a + b) = b( a + x)
Bài 20: Rút gọcn biểu thức đại số sau :
a) A = ( 15x + 2y) -     yxx  532 b) B = - (12x + 3y) + (5x – 2y) -
  5213  yx
Bài 21: Đặt thừa số chung để viết các tổng sau đây thành tích :
a) ab + bd – ac – cd b) ax + by – ay – bx c) x2
– xy – xy + y2
d) x2
+ 5x + 6
Bài 22: Chứng tỏ rằng :
a) Biểu thức x2
+ x + 3 luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của x .
b) Biểu thức – 2x2
+ 3x – 8 không nhận giá trị dương với mọi giá trị của x.
Bài 23*: Tìm x, y là các số hữu tỷ biết rằng:
a) 1
1

x
x b) 5
2

x
x c) xyx  333 d) (x-2) 525 2
n + y- 2= 0
(nN)
Bài 24: Tìm x, y là các số nguyên biết:
a)
1
2



x
x
y b*)
1
32



x
x
y
ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG
Bài tập cơ bản
Bài 1: Cộng và trừ các đơn thức :
a)3a2
b+ (- a2
b) + 2a2
b – (- 6a2
b) b)(-7y2
) + (-y2
) – (- 8y2
)
c)(-4,2p2
) + ( - 0,3p2
) + 0,5p2
+ 3p2
d) 5an
+ (- 2a)n
+ 6an
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau :
a)
2
3
63
xxx
 b) 3ab.
5
2
ac – 2a.abc -
3
1
a2
bc
c)
2
3
2






ac .c2
-
5
2
a2
.(c.c)2
+
3
2
ac2
.ac -
4
1
a2
c2

76
Bài 3: Cho các đơn thức A = x2
y và B = xy2
.Chứng tỏ rằng nếu x,y Z và x + y chia
hết cho 13 thì A + B chia hết cho 13
Bài 4: Cho biểu thức :
P = 2a2n+1
– 3a2n
+ 5a2n+1
– 7a2n
+ 3a2n+1+
( n N)
Với giá trị nào của a thì P > 0
Bài 5: Cho biểu thức: Q = 5xk+2
+ 3xk
+ 2xk+2
+ 4xk
+ xk+2
+ xk
( k N)
Với giá trị nào của x và k thì Q < 0
Bài 6: Tìm x biết : xn
– 2xn+1
+ 5xn
– 4xn+1
= 0 ( n N; n  0)
Bài 7: Biết A = x2
yz , B = xy2
z ; C = xyz2
và x+ x + z = 1
Chứng tỏ rằng A + B + C = xyz
Bài 8: Tìm các đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau:
yxyaxxyxyx 3352335
9
1
;;5;4;3;
7
1

Bài9: Tính tổng :
a)
525252
3
4
4
3
2
1
zyzyzy 
b)
333
3
7
xybxyaxy 
Bài10: Rút gọn các biểu thức sau :
a) 10n+1
- 66.10n
b) 2n+ 3
+ 2n +2
– 2n + 1
+ 2n
c)90.10k
– 10k+2
+ 10k+1
d) 2,5.5n – 3
.10 + 5n
– 6.5n- 1
Nâng cao
Bài 1: Cho biểu thức M = 3a2
x2
+ 4b2
x2
- 2a2
x2
– 3b2
x2
+ 19 ( a  0; b  0)
Tìm GTNN của M
Bài 2 : Cho A = 8x5
y3
; B = - 2x6
y3
; C = - 6x7
y3
.Chứng tỏ rằng : Ax2
+ Bx + C = 0
Bài 3: Chứngminh rằng với n N*
a) 8.2n
+ 2n+1
có tận cùng bằng chữ số không
b) 3n+3
– 2.3n
+ 2n+5
– 7.2n
chia hết cho 25

77
c)4n+3
+ 4n+2
– 4n+1
– 4n
chia hết cho 300
Bài 4: Cho A = ( - 3x5
y3
)4
và B = ( 2x2
z4
)5
.Tìm x,y,z biết A + B = 0
Bài 5: Rút gọn:
a) M + N – P với M = 2a2
– 3a + 1 , N = 5a2
+ a , P = a2
– 4
b) 2y – x -    xyxyyx  532 với x =a2
+ 2ab + b2
, y = a2
– 2ab + b2
c) 5x – 3 - 12 x
Bài 6: Tìm x,biết :
a) (0,4x – 2) – (1,5x + 1) – ( - 4x – 0,8) = 3,6
b) ( 3
4
3
x ) – 





 4
3
2
x - 





1
6
1
x = 





 4
3
1
x - 





 3
3
1
x
Bài 7: Tìm số tự nhiên abc ( a > b > c) sao cho : cabbcaabc  = 666
Bài 8: Có số tự nhiên abc nào mà tổng cabbcaabc  là một số chính phương không
?
Bài9 : Tính tổng :
a) (- 5x2
y + 3xy2
+ 7) + ( - 6x2
y + 4xy2
– 5)
b) (2,4x3
-10x2
y) + (7x2
y – 2,4x3
+3xy2
)
c) (15x2
y – 7xy2
-6y2
) + (2x2
- 12x2
y + 7xy2
)
d) (4x2
+x2
y -5y3
)+( yxxyx 223
6
3
5
 )+( 3
3
10
3
y
x
 )+ ( 3223
104156 xyxxyy  )
Bài 10: Rút gọn biểu thức sau
a/ (3x +y -z) – (4x -2y + 6z)
   
   3232
33323
83,29,681,37,5/
75256/
yyxxyyxyyxc
yxxyxxb


d)K= 2x.(-3x + 5) + 3x(2x – 12) + 26x e)

















5
4
52
5
5
7
9
2
6
3
3
2 xxx
x
x
M
Bài 11: Tìm x biết:
a) x +2x+3x+4x+…..+ 100x = -213
b)
6
1
4
1
3
1
2
1
 xx c) 3(x-2)+ 2(x-1)=10 d)
4
2
3
1 

 xx

78
e)
12
11
11
10
10
9
9
8
8
7
7
6 









 xxxxxx
f)
14
27
13
38
12
23
11
32 





 xxxx
g) 132 x h)
3
1
28423  xx i)
3
2
3523 1
 
xx k)
2x + 2x =3
m) (2x-1)2
– 5 =20 n) ( x+2)2
=
3
1
2
1
 p) ( x-1)3
= (x-
1)
q*) (x-1)x+2
= (x-1)2
r*) (x+3)y+1
= (2x-1)y+1
với y là một số tự
nhiên
Chủ đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ
CHÍNH PHƯƠNG.
I/ MỤC TIÊU:
1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính chất có
liên quan cũng như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương.
2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chính
phương và giảimột số dạng toán có liên quan.
3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính chính xác và vận dụng vào thực tế.
II/ LÝ THUYẾT:
1.Định nghĩa:
Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên
Ví dụ: 22515;93 22

Các số 9; 225 là bình phương của các số tự nhiên : 3; 15 được gọi là số chính
phương
2. Một số tính chất:
a) Số chính phương chỉ có thể tận cùng là : 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận cùng bởi
2; 3; 7; 8.
b) Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2.

79
Thật vậy ,giả sử
2
5aM  = .25100100)510( 22
 aaa
Vì chữ số hàng chục của
2
100 a và 100a là số 0 nên chữ số hàng chục của số M
là 2
c) Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó
là số lẻ.
Thật vậy, giả sử số chính phương N=a2
có chữ số tận cùng là 6
thì chữ số hàng đơn vị của số a chỉ có thể là 4 hoặc 6.
Giả sử hai chữ số tận cùng của số a là b4 (nếu là b6 thì chứng minh tương tự ),
Khi đó b42
= (10b+4)2
= 100b2
+ 80b + 16.
Vì chữ số hàng chục của số 100b2
và 80b là số chẵn nên chữ số hàng chục của N là
số lẻ.
d) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ,số chính phương chỉ chứa các thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn ,không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ .
Thật vậy ,giả sử A = m2
=ax
.by
.cz
…trong đó a,b,c ,…là các số nguyên tố
khác nhau,còn x,y,z…là các số nguyên tố dương thế thì ,
A = m2
= (ax
by
cz
…)2
= a2x
.b2y
.c2z
…
Từ tính chất này suy ra
-Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
3/ Nhận biết một số chính phương:
4/ Hằng đẳng thức vận dụng:
(a  b)2
= a2
 2ab + b2
và a2
– b2
= (a + b)(a – b)
5. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Chứng minh rằng :
a) Một số chính phương không thể viết được dưới dạng 4n+2
họăc 4n +3 (nN);
b) Một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(nN).
Giải
a) Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k (kN), khi đó (2k)2
= 4k2
là số chia
hết cho 4 còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 (kN) ,
Khi đó (2k+1)2
= 4k2
+ 4k +1 là số chia cho 4 dư 1.
Như vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4
hoặc chia cho 4 dư 1 , do đó không thể viết đựơc dưới dạng 4n+2 hoặc
4n+3(nN)
b) Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3k hoặc 3k 1 (k N) khi đó
bình phương của nó có dạng(3k)2
=9k2
là số chia hết cho 3 ,hoặc có
dạng (3k 1)2
= 9k2
 6k +1 là số khi chia cho 3 thì dư 1.Như vậy một số
chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(nN).
Ví dụ 2:

80
Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau
còn chữ số hàng đơn vị đều là 6.
Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một
số chính phương.
Giải
Cách 1 .
Ta biết rằng 1 số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục
của nó là số lẻ .Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là: 1, 3, 5, 7 ,9
khi đó tổng của chúng bằng :1+3+5+7+9=25 =52
là số chính phương.
Cách 2. Nếu một số chính phương có M=a2
có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ
số tận cùng của số a là số chẵn, do đó a2 nên a2
4.
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của số Mchỉ có thể là
16,36,56,76,96.Từ đó ,ta có :
1+3+5+7+9=25=52
là số chính phương
Ví dụ3:
Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2 số 2n+1 và 3n+1 đồng thời là 2 số chính
phương
Trả lời
n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n < 100,
do đó 21 ≤ 2n+1 < 201 Mặt khác 2n+1 là số chính phương lẻ
nên 2n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :25; 49; 81; 121; 169.
Từ đó n chỉ có thể nhận một trong các giá trị 12, 24, 40, 60,84.
Khi đó số 3n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :
37; 73; 121; 181; 253.
Trong các số trên chỉ có số 121=112
là một số chính phương.
Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là n=40.
Ví dụ 4:
Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể
là các số chính phương
Giải
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2
và p không chia hết cho 4 (1)
a) Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2
(mN)
Vì p là số chẵn nên p+1 là số lẻ , do đó m2
là số lẻ ,vì thế m là số lẻ .
Đặt m=2k+1 (kN)
Ta có m2
= (2k+1)2
= 4k2
+ 4k+ 1 , suy ra p+1= 4k2
+ 4k+ 1
do đó p=4k(k+1) là số chia hết cho 4, mâu thuẫn với (1)
Vậy p+1 không là số chính phương
b)Ta có p = 2.3.5…là số chia hết cho 3.
Do đó p-1 = 3k+2 không là số chính phương Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố
đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương
III/ BÀI TẬP:
BÀI TẬP BÀI GIẢI

81
Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết
rằng trong 3 mệnh đề sau có 2
mệnh đề đúng và một mệnh đề
sai:
1/ n có chữ số tận cùng là 2
2/ n + 20 là một số chính
phương
3/ n – 69 là một số chính
phương
Nếu mệnh đề (1) đúng thì từ (2) suy ra n + 20
có số tận cùng là 2; Từ mệnh đề (3) suy ra n –
69 có chữ số tận cùng là 3. Một số chính
phương không có chữ số tận cùng là 2 hoặc 3.
Như vậy nếu (1) đúng thì (2) và (3) đều sai, trái
giã thiết. Vậy mệnh đề (1) sai và mệnh đề (2)
và (3) đúng.
Đặt n + 20 = a2
; n – 69 = b2
(a, b  N và a > b)
=> a2
– b2
= 89 => (a + b)(a – b) = 89.1
Do đó:
a b 89
a b 1
 

 
suy ra a = 45. Vậy n = 452
–
20 = 2005
Bài 2: Cho N là tổng của 2 số
chính phương. Chứng minh
rằng:
a/ 2N cũng là tổng của 2 số
chính phương.
b/ N2
cũng là tổng của 2 số
chính phương.
Gọi N = a2
+ b2
(a, b  N)
a/ 2N = 2a2
+ 2b2
= a2
+ b2
+ 2ab + a2
+ b2
–
2ab
= (a + b)2
+ (a – b)2
là tổng của 2 số
chính phương.
b/ N2
= (a2
+ b2
)2
= a4
+ 2a2
b2
+ b2
= a4
– 2a2
b2
+ b2
+ 4a2
b2
= (a2
– b2
)2
+ (2ab)2
Bài 3: Cho A, B, C, D là các số
chính phương. Chứng minh
rằng:(A + B)(C + D) là tổng của
2 số chính phương.
Theo bài toán thì: A = a2
; B = b2
; C = c2
; D =
d2
;
Nên: (A + B)(C + D) = (a2
+ b2
)(c2
+ d2
) =
= a2
c2
+ a2
d2
+ b2
c2
+ b2
d2
= a2
c2
+ b2
d2
+ 2abcd
– 2abcd + a2
d2
+ b2
c2
= (ac + bd)2
+ (ad – bc) là
tổng của 2 số chính phương.
Bài 4: Cho 3 số nguyên x, y, z
sao cho: x = y + z. Chứng minh
rằng: 2(xy + xz – yz) là tổng
của 3 số chính phương.
Vì x = y + z => x – y – z = 0 => (x – y – z)2
= 0
=> x2
+ y2
+ z2
– 2xy – 2xz + 2yz = 0
=> 2(xy + xz – yz) = x2
+ y2
+ z2
Bài 5: Cho a, b, c, d là các số
nguyên thoả mãn: a – b = c + d.
Chứng minh rằng: a2
+ b2
+ c2
+
d2
luôn là tổng của 3 số chính
phương.
Từ a – b = c + d => a – b – c – d = 0
=> 2a(a – b – c – d) = 0
Nên ta suy ra:
a2
+ b2
+ c2
+ d2
= a2
+ b2
+ c2
+ d2
+ 2a(a – b –
c – d)
= (a – b)2
+ (a – c)2
+ (a – d)2
Bài 6: Cho 2 số chính phương
liên tiếp. Chứng minh rằng tổng
của 2 số đó cộng với tích của
chúng là một số chính phương
lẻ.
Ta có: n2
+ (n + 1)2
+ n2
(n + 1)2
= n4
+ 2n3
+
3n2
+ 2n + 1 =
= (n2
+ n + 1)2
n2
+ n là một số chẵn n2
+ n + 1 là một số lẻ.
Suy ra (n2
+ n + 1)2
là một số chính phương lẻ.
Bài 7: Cho an = 1 + 2 + 3 + ... +
n
a/ Tính an+1
a/ Từ bài toán ta suy ra: an+1 = 1 + 2 + 3 + ... +
(n + 1)

82
b/ Chứng minh rằng an + an+1 là
một số chính phương
b/ an + an+1 =
(1 n)n
2

+
(1 n 1)(n 1)
2
  
=
(n 1)(n n 2)
2
  
=
= (n + 1)2
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1.
Cho 2 số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm có 2m chữ số 1,
số B chỉ gồm m chữ số 4.
Chứng minh rằng : A+B +1 là số chính phương.
Bài 2.
Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số đó và
số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương.
Bài3.
Tìm số chính phương có 4 chữ số , biết rằng chữ số hàng trăm ,
hàng nghìn ,hàng chục, hàng đơn vị là 4 số tự nhiên liên tiếp tăng dần.
Bài 4.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta lập tất cả các số có 6 chữ số , mỗi số gồm các
chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập được có số nào chia hết cho 11 không ? Có số
nào là số chính phương không?
Bài 5
Người ta viết liên tiếp các số : 1, 2, 3,…, 1994 thành một hàng ngang theo một thứ tự
tuỳ ý . Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể là số chính phương không?

Cac chuyen _de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_lop_7_

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Cac chuyen _de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_lop_7_

Cac chuyen _de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_lop_7_