Cau hoi-phu-kshs

1. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
Chuyên
1 HÀM S CÁC VN LIÊN QUAN
§ 1. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN N TÍNH N IU HÀM S
I – Các dng toán thng g p và phơng pháp gii
Dng toán 1. Tìm tham s m hàm s y = f (x;m) n iu trên D ?
Trong ó D có th là (−;), (;+), (;
), (;
,

2. ;
),
…….
¾ Bc 1. Ghi iu kin y = f (x;m) n iu trên D. Ch ng h
n:
yêu c

3. u y = f (x;m)
ng bin trên D y ' = f ' (x;m) 0 .
yêu c

4. u y = f (x;m) nghch bin trên D y ' = f ' (x;m) 0 .

6. ¾ Bc 2. c lp m ra khi bin s và t v còn l
i là g (x) c: ( )
m g x
m g x
( )

7. .
¾ Bc 3. Kho sát tính n iu ca hàm s g (x) trên D.
¾ Bc 4. Da vào bng bin thiên kt lun:

10. ( ) ( )
( ) ( )
Khi m g x m max g x
D
Khi m g x m min g x
D
.
Dng toán 2. Tìm m hàm s: ( ) 3 2 y = f x;m = a ' x + b ' x + c ' x + d n iu mt chiu trên khong có
dài bng l ?
¾ Bc 1. Tính ( ) 2 y ' = f ' x;m = ax + bx + c .
¾ Bc 2. Hàm s y = f (x;m) n iu trên ( ) 1 2 x ; x y ' = 0 có 2 nghim phân bit
0
a 0
(i)
¾ Bc 3. Hàm s n iu trên khong có dài
1 2 = l x − x = l
( )2
x + x −4x .x = l 2 S 2 −4P = l 2
(ii)
1 2 1 2 ¾ Bc 4. Gii (ii) và giao vi (i) suy ra giá tr m c

11. n tìm.
II – Thí d

12. minh h
a và bài tp rèn luyn
1/ Các thí d

13. v tìm m hàm s ơn iu trên D mà d c lp m
Thí d

14. 1. Tìm m 3 2 y = −x + 3x + 3mx −1 nghch bin trên (0;+) ?
i hc khi A – A1 nam 2013
S: m −1.
Thí d

15. 2. Tìm m 3 2 y = x + 3x −mx −4
ng bin trên (−; 0) ?
thi th i hc l n I nam 2014 – THTP H
u Lc 2 – Thanh Hóa
S: m −3 .
Thí d

16. 3. Tìm m ( ) 3 2 y = x − 2mx − m + 1 x + 1 nghch bin trên 0;2

17. ?
S: 11
m
.
9
Thí d

18. 4. Tìm m hàm s
2 2 x 5x m 6
y
+ + +
x 3
=
+
ng bin trên (1;+) ?
D

19. b
i hc nam 2003
S: −4 m 4 .
Thí d

20. 5. Tìm m : ( ) 4 3 2 y = x + 4mx + 3 m + 1 x + 2014 gim
1
− ?
x
4
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 1 -

21. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
S: 25 1 7
− .
m
+
12 3
Thí d

22. 6. Tìm m y = x4 − 2(m −1)x2 + m − 2
ng bin trên (1;2) ?
S: 1 m 2 .
2/ Các thí d

23. tìm m hàm s ơn iu trên D mà không c lp c m
Thí d

24. 7. Tìm m hàm s: ( ) ( ) 3 2 y = 2x − 3 2m + 1 x + 6m m + 1 x + 1
ng bin trên khong (2;+) ?
thi th i hc nam 2014 – THPT Lc Ngn s 1 – Bc Giang
S: m 1.
Thí d

25. 8. Tìm m : ( ) 1 2 3 2 3
= − + − + gim trên (−;1) ?
y m 1 x mx 2x m
3
S: 5 1
.
m 1
−
2
Thí d

26. 9. Tìm tham s m hàm s:
( ) 2 2 x m 1 x 4m 4m 2
y
− + + − −
x m 1
=
− +
ng bin trên khong (1;+) ?
S: 1 − 13 7 +
14
.
m
3 7
Thí d

27. 10. Tìm tham s m
2 2 x 2mx 3m
y
− +
x 2m
=
− +
nghch bin trên (−;1) ?
S: ) m 2 3; + +

28. .
3/ Các thí d

29. v hàm bc ba ơn iu trên khong có dài bng l
Thí d

30. 11. Tìm tham s m hàm s: 1 3 2
= + − − nghch bin trên o
n có dài bng 1 ?
y x 2x mx 10
3
S: 15
m
= − .
4
Thí d

31. 12. Tìm tham s m hàm s 3 2 y = x + 3x +mx +m
ng bin trên o
n có dài bng 2 ?
S: m = 0 .
Bài tp rèn luyn
BT 1. Tìm m ( ) ( ) ( ) 1 3 2
= + − − + − +
ng bin trên khong (−;−1) ?
y m 1 x 2m 1 x 3 2m 1 x 1
3
S: 4
m
.
11
BT 2. Tìm m ( ) ( ) 3 2 y = 2x −3 m+2 x +6 m+1 x−3m+6 n iu tang trong khong (5;+) ?
S: ( m ; 4 −
.
BT 3. Tìm m 3 2 2 y = 2x +9mx +12m x +1 nghch bin trên khong (2;3) ?
thi th i hc nam 2013 – THPT Chuyên Phan Bi Châu – Ngh An
S: 3
− .
2 m
2
BT 4. Tìm m ( ) 3 2 2 2
= − + − +
ng bin trên (1;+) ?
y x 2mx m 2m 1 x
3
S: ( m ;3 6 − −
.
BT 5. Tìm m ( ) ( ) ( ) 3 2 2 y = x − m +1 x − 2m − 3m + 2 x + 2m 2m −1
ng bin trong khong (2;+) ?

32. −

33. S: 3
m 2;
2
.
BT 6. Tìm m ( ) 4 2 y = mx + m−1 x +1−2m nghch bin trên (−;−2) ?
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 2 -

34. Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
S: 1
m
− .
7
BT 7. Tìm m y = x4 −2m2x2 +1
ng bin trên (1;+) ?
S: m

35. −1;1
.
BT 8. Tìm m
2 2x 3x m
y
− − +
2x 1
=
+
− + !
nghch bin trong khong 1
;
2
?
S: m −1.
BT 9. Tìm m
( ) 2 2x 1 m x 1 m
y
+ − + +
x m
=
− +
nghch bin trên (2;+) ?
− 2t 2 − 2 ( 4 − 2m ) t − ( m 2 − 10m + 7 ) 0
HD: t x 2 YCBT , t ( 0;
)
= − +
m 2
.
BT 10. Tìm m
2 2x mx 2 m
y
+ + −
x m 1
=
+ −
ng bin trên khong (1;+) ?
S: m 2 2 −2 .
BT 11. Tìm m ( ) 3 2 y =−x +x − 2−m x +1 tang trên o
n có dài = 2 ?
S: không t
n t
i m tha yêu c

36. u bài toán.
BT 12. Tìm m ( ) ( ) 3 2
m C : y = x + 3mx + 3 m +1 x +2 nghch bin trên o
n có dài ln hn 4 ?
thi th i hc 2014 l n II – TT. BDVH Hoa Sen
S: 1 − 21 1 +
21
# .
m m
2 2
§ 2. BÀI TOÁN TNG GIAO
I – Tơng giao gia th hàm s nht bin và ng th ng
Bài toán t!ng quát
Cho hàm s ax b
y
+
cx d
=
+
có
th (C) . Tìm tham s m ng th ng d : y = x +
ct (C) t
i hai im
phân bit A, B tha mãn iu kin K ?
Phơng pháp gii
¾ Bc 1. (Bc này ging nhau các bài toán tng giao ca hàm nht bin)
+ Lp phng trình hoành giao im gia d và (C) :
ax b
x
+
cx d
= +
+
( ) 2 ( ) d
= +
+ − +
− = − .
g x cx c d a x d b 0, x
c
+ d ct (C) t
i hai im phân bit g(x) = 0 có nghim nghim phân bit
d
c
−
c 0; 0
d
− !
g 0
c
+ −
−
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 3 -
.
Gii h này, ta s tìm c 1 m D (i)
+ G i ( ) ( ) 1 1 2 2 A x ;x +
, B x ;y +
vi 1 2 x , x là 2 nghim ca g (x) = 0 . Theo Viét:
1 2
c d a
S x x ;
c
= + = −
1 2
d b
P x x
c
= =
(ii)
¾ Bc 2.
mathvn.com
DeThiThuDaiHoc.com

37. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
+ Bin !i iu kin K cho trc v d
ng có cha t!ng và tích ca 1 2 x , x ( iii)
+ Th (ii) vào (iii) thu c phng trình hoc BPTvi bin s là m. Gii tìm c 2 m D ($)
+ T# ( ) ( ) ( ) 1 2 i , $ m D %D và kt lun giá tr m c

38. n tìm.
Thí d13. ( ) 2x −
2

39. Tìm m ng th ng d : y = 2x +m ct
th C : y
x 1
=
+
t
i hai im phân bit A,B sao
cho AB = 5 ?
thi th i hc l n I khi B nam 2014 – THPT Ngô Gia T

40. S: m = 10 # m = −2 .
Thí d14. ( ) x −
1

41. Chng minh rng ng th ng d : x − y + m = 0 luôn ct
th hàm s C : y
1 2x
=
−
t
i hai
im phân bit A,B vi m i m ? Tìm m sao cho AB = OA +OB
vi O là gc t a ?
thi th i hc l n I khi B nam 2014 – S GD T Vinh Phúc
S: m = −1 .
Thí d

42. 15. Tìm m ng th ng ct ( ) 2x +
1
d : y = −3x + m C : y
x 1
=
−
t
i A và B sao cho tr ng tâm ca
OAB thuc d ' : x −2y −2 = 0 ?
thi th i hc nam 2013 – THPT Ba ình – Thanh Hóa
S: 11
m
= − .
5
Thí d

43. 16. Tìm tham s m ng th ng ct
th hàm s ( ) 2x −
m
d : y = 2x −2m C : y
mx 1
=
+
t
i hai im
phân bit A,B và ct tr$c Ox, Oy theo th t t
i M, N sao cho OAB OMN S 3S = ?
thi th i hc nam 2013 – THPT Chuyên Lý T

44. Trng – C n Thơ
S: 1
m
= ± .
2
Thí d

45. 17. Chng minh rng thì ng th ng luôn ct ( ) 2x −
1
m d : x + y −m = 0 C : y
x 3
=
+
t
i hai
im phân bit A,B và AIB cân t
i I (I là giao im hai ng tim cn) ? Tìm m
2 2 AB = 3.IA ?
thi th i hc nam 2012 – TT.BDVH Thang Long Tp. HCM
S: m = −1± 14 .
Thí d18. ( ) 2x −
1

46. Tìm m ng th ng d : y = −x + m ct C : y
x 1
=
−
t
i hai im phân bit A,B và AIB
u (vi I là giao im hai tim cn) ?
Hc sinh gii tnh Thái Nguyên nam 2014
S: m = 3 ± 6 .
Thí d19. ( ) 2x +
1

47. Lp phng trình ng th ng d, bit rng
th C : y
x 1
=
−
ct d t
i hai im phân bit B,C
sao cho ABC u vi A(−2;5) ?
Hc sinh gii tnh Tin Giang nam 2013
S: 1 d : y = x +1 hoc 2 d : y = x−5 là hai ng th ng c

48. n tìm.
Thí d

49. 20. Cho hàm s
x 2
y
+
2x 1
=
+
có
th (C) . ng th ng 1 d : y = x ct (C) t
i hai im phân bit
A, B . Tìm m ng 2 d : y = x +m ct (C) t
i hai im phân bit C, D sao cho bn im
A,B,C,D là bn %nh ca mt hình bình hành ?
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 4 -

50. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
thi th i hc nam 2014 khi B – S GD T Vinh Phúc
S: m = 2 .
Thí d

51. 21. Cho hàm s
x 2
y
+
x 1
=
−
có
th (C) . Lp hai phng trình ng th ng 1 2 d , d i qua giao im I
ca hai tim cn và ct
th (C) t
i bn im phân bit là các %nh ca mt hình ch nht, bit
ng chéo hình ch nht có dài bng 30 ?
thi th i hc l n III nam 2013 – THPT Lý Thái T – Bc Ninh
d : 2x y 1 0
d : x 2y 1 0
− − =
S: 1
− + =
2
d : x 2y 1 0
d : 2x y 1 0
− + =
hoc 1
− − =
2
là các ng c

52. n tìm.
Thí d

53. 22. Cho ng th ng d : y = −x + m và hai im: M(3;4), N(4;5). Tìm m ng th ng d ct
th hàm s ( C ) 2x −
1
: y
x 2
=
−
t
i hai im phân bit A,B sao cho bn im A,B,M,N lp thành t
giác l
i AMBN có din tích bng 2 ?
thi th i hc khi A nam 2014 – THPT c Th – Hà Tinh
S: m = 8 .
Thí d23. ( ) 2x +
1

54. Tìm m ng th ng d : y = mx +2m +1 ct
th hàm s C : y
x 1
=
+
t
i hai im phân
bit A, B sao cho khong cách t# A và B n tr$c hoành bng nhau ?
i hc khi D nam 2011
S: m = −3 .
Thí d

55. 24. Tìm m ng th ng d : y = −x + m ct
th ( ) x
C : y
x 1
=
−
t
i hai im phân bit A,B sao
cho góc gia hai ng th ng OA và OB bng o 60 vi O là gc t a ?
S: m = −2 # m = 6 .
Thí d25. m(3) ( ) x −
2

56. Tìm m ng th ng d : y = x − ct
th C : y ,
x 1
=
−
trong ó có ít nht mt giao
im có hoành ln hn 1 ?
thi th i hc nam 2013 – THPT Nguyn Van Tri – Hà Tinh
S: m .
Thí d

57. 26. Tìm m ng th ng ct ( ) x −
2
d : y = −x + m C : y
x 1
=
−
t
i hai im phân bit A,B sao cho
dài o
n th ng AB nh nht ?
thi th i hc khi D nam 2014 – S GD T Vinh Phúc
S: m = 2 .
Thí d

58. 27. Tìm tham s m ng th ng d : y = mx −m −1 ct
th hàm s ( ) x
C : y
1 x
=
−
t
i hai im
phân bit M, N sao cho biu thc 2 2 T = AM + AN
t giá tr nh nht vi A(−1;1) ?
thi th i hc nam 2013 khi A – THPT Chuyên Lý T

59. Trng – C n Thơ
S: m = −1 .
Thí d

60. 28. Chng minh rng vi m i m thì ng th ng d : y = x + m luôn ct
th ( ) 1 −
x
C : y
2x 1
=
−
t
i hai
im phân bit A và B. G i 1 2 k , k là h s góc ca các tip tuyn vi C(C) t
i A và B. Tìm m t!ng
1 2 k + k
t giá tr ln nht ?
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 5 -

61. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
S: m = −1 .
Bài tp rèn luyn v s# tơng giao gia hàm s nht bin và ng th ng
BT 13. Tìm m ct ( ) x −
2
d : y = −2x + m C : y
x 1
=
+
t
i hai im phân bit A,B có dài bng 30 ?
thi th i hc 2014 l n I khi D – THPT Chu Van An – Hà Ni
S: 13
m
= .
2
3x +
2
(C)
1 d : y = x (C) A, B
BT 14. Cho hàm s có
th . ng th ng ct t
i hai im phân bit .
y
x 2
=
+
2 d : y = x +m (C) C, D A,B,C,D
Tìm m ng ct t
i hai im phân bit sao cho bn im là
bn %nh ca mt hình bình hành ?
S: m = 10 .
2x +
1
d : y = x + m ( ) BT 15. Tìm m ng th ng ct
th t
i hai im phân bit sao cho
vuông t
i O vi O là gc t a ?
C : y
x 1
=
+
A,B
thi th i hc l n I nam 2014 – THPT Chuyên Quc Hc – Hu
OAB
S: 2
m
= .
3
x −
1
d : y = x + m ( ) BT 16. Tìm m ng th ng ct
th t
i hai im phân bit sao cho
vi O là gc t a ?
C : y
x 1
=
+
A,B
thi th i hc l n I nam 2013 – THPT ng Thúc Ha – Ngh An
2 2 OA + OB = 2
S: m = −1 .
A(0;5) I (1;2)
BT 17. Cho im và ng th ng i qua im có h s góc k. Tìm các giá tr ca k ng
( ) 2x +
1
th ng ct t
i hai im sao cho vuông t
i A ?
M,N AMN
thi th i hc l n III nam 2013 – THPT Chuyên HSP Hà Ni
C : y
=
S: 1
= # = .
k 3 k
3
x −
1
2x −
1
d : y = −x + m ( ) BT 18. Tìm m ng th ng ct t
i hai im phân bit sao cho
PMN P(2;5)
u vi ?
S: m = −5 # m = 1.
C : y
x 1
=
+
M,N
2x +
3
d : y = x +m−1 ( ) BT 19. Tìm m ng th ng ct t
i hai im phân bit sao cho
!
2 4
−
có tr ng tâm là im ?
C : y
x 1
=
+
A,B
thi th i hc l n II nam 2013 – Chuyên Quc Hc – Hu
OAB
S: m = 4 .
G ;
3 3
2x +
1
y = −2x + m ( ) BT 20. Tìm m ng th ng ct
th t
i hai im phân bit sao cho
vi O là gc t a ?
A,B
i hc khi B nam 2010
OAB S 3 =
S: m = ±2 .
C : y
x 1
=
+
2x −
4
d : y = 2x +m ( ) BT 21. Tìm m ct t
i hai im phân bit sao cho vi I là
giao im hai ng tim cn ?
C : y
x 1
=
−
A,B IAB 4S 15 =
thi th i hc nam 2014 l n I khi A – THPT Lý Thái T – Bc Ninh
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 6 -

62. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
S: m = ±5 .
m ( ) 3x −
2m
BT 22. Chng minh rng thì
th C : y
luôn ct ng th ng t
i hai im
mx 1
=
+
d : y = 3x − 3m
phân bit . Xác nh m ng th ng d ct các tr$c l

63. n lt t
i C và D sao cho
A,B Ox, Oy
?
thi th i hc nam 2013 – THPT Thu
n Thành s 3 – Bc Ninh
OAB OCD S 2.S =
S: 2
m
= ± .
3
x +
3
d : y = m −x ( ) BT 23. Tìm m ng th ng ct
th hàm s t
i hai im phân bit
C : y
x 2
=
−
AOB
nm hai phía ca tr$c tung sao cho góc nh n (vi O là gc t a ) ?
A,B
thi th i hc khi A nam 2013 – THPT S 1 Tuy Phưc
S: 3
− − .
2 m
2
2x −
3
d : 2x − y + m = 0 ( ) BT 24. Tìm m ng th ng ct
th t
i hai im phân bit có tung
dng ?
C : y
x 1
=
+
thi th i hc nam 2013 – THPT Phan Bi Châu – Ngh An
S: m 4 + 40 .
BT 25. Cho hàm s x
y , ( C
) x 1
=
−
. Tìm tt c các giá tr tham s m ng th ng d : y = −x + m −1 ct
th hàm s t
i hai im A,B sao cho tam giác OAB ni tip trong ng tròn có bán kính 2 2 .
S: m = −1 # m = 7 .
BT 26. G i d là ng th ng qua A(−2; 0) và có h s góc k. Tìm k d ct
th ( ) x +
3
C : y
x 2
=
+
t
i hai im
phan bit M,N thuc hai nhánh khác nhau ca (C) sao cho AM = 2AN ?
thi th i hc 2014 khi A, B l n III – THPT Chuyên Vinh Phúc
− − − !
S: ( ) 5
M 1;2 ,N ; 1
2
d ' AM : y = 2x + 4 k = 2 .
II – Tơng giao gia th hàm s bc ba và ng th ng
Bài toán t!ng quát
Tìm m ng th ng ct t
i ba im phân bit tha mãn iu
kin K cho trc ?
Phơng pháp gii
¾ Bc 1.
d : y = x +
( ) 3 2 C : y = ax +bx +cx +d
+ Lp phng trình hoành giao im gia d và (C) :
3 2 ax + bx + cx + d = x +
( )
ax + bx + c− x + d−
= 0
( )
3 2
h x
($)
($)
Gi s nh'm c trc có mt nghim . Khi ó chia Hoocner phân tích:
o x = x
( ) ( )( ) 2
o $ x −x ax + b ' x + c ' = 0
=

65. = + + =

66. x x
g x ax b ' x c ' 0
( )
o
2
(C) ($) g(x) = 0
+ d ct t
i ba im phân bit có ba nghim phân bit có hai nghim phân bit
g
o x ( )
g x 0
o
0
1 m D (i)
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 7 -

67. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
( ) ( ) ( ) o o 1 1 2 2 A x ;x +
, B x ;x +
, C x ;x +
1 2 x , x g(x) = 0
+ G i vi là hai nghim ca . Theo Viét,
b '
c '
ta có: và .
¾ Bc 2.
x x
x x
+ = − 1 2
1 2
a
a
=
1 2 x , x (ii)
+ Bin !i iu kin K v d
ng có cha t!ng và tích ca
+ Th biu thc t!ng – tích vào s thu c phng trình hoc bt phng trình vi bin s là m. Gii nó
s tìm c
(ii)
2 m D (iii)
( ) ( ) ( ) 1 2 i , iii m D %D
+ T# và kt lun nhng giá tr m c

68. n tìm.
Lu ý
Có th dùng phng pháp cc tr nu không oán c trc nghim .
C$ th ta có các trng hp sau: (vi n là s giao im phân bit)
d %(C) = n = 3 ($) 3
¾ có nghim phân bit
d %(C) = n = 2 ($) 2
¾ có nghim phân bit
d %(C) = n = 1 ($) 1
¾ có nghim
o x = x
( )
có cc tr
y h x :
y .y 0
=
CD CT
( )
có cc tr
y h x :
y .y 0
=
=
CD CT
( )
( )
=

70. ng bin trên
có cc tr
y h x :
y h x :
y .y 0

71. =

72. CD CT
Còn nhiu công thc na, ch ng h
n ba nghim dng, âm,…. Nhng b
n hãy tp suy lun bng cách v nháp
d
ng
th hàm bc ba và bin lun s nghim phng trình hoành giao im ca nó vi tr$c Ox.
A(1; 0)
Thí d

73. 29. G i d là ng th ng i qua và có h s góc k. Tìm giá tr ca k ng th ng d ct
th
( ) 3 2 C : y = x − 3x + 2 1 2 3 x , x , x 2 2 2
1 2 3 x + x + x = 11
t
i ba im phân bit có hoành tha mãn ?
thi th i hc l n I khi D nam 2014 – S GD T Vinh Phúc
S: k = 1 .
d : y = mx −2m −3 ( ) 3 C : y = −x + 3x −1
Thí d

74. 30. Tìm tham s m ng th ng ct
th hàm s t
i
ba im phân bit, trong ó có úng mt im có hoành âm ?
thi th i hc 2013 – THPT S I Tuy Phưc
( { } m ; 1 9 − − −
S: .
d : y = 2mx −m−1 ( ) ( ) 3 2
Thí d

75. 31. Tìm tham s m ct
th hàm s t
i
ba im phân bit có hoành lp thành cp s cng ?
m C : y = −x + 2m + 1 x − m −1
thi th i hc nam 2014 khi D – THPT Chuyên – Vinh Phúc
1 1
S: là các giá tr c

76. n tìm.
m = − # m = # m =
1
2 4
Trong các thí d$ trên, tôi ã tìm ra c c ba nghim ca phng trình hoành giao im bng nguyên tc
nh'm nghim. Còn nu không tìm ra c nghim hoc không ba nghim, s làm nh th nào ? Ta cùng xét
hai bài tp nh sau:
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 8 -

77. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
¾ Bài toán không tìm ưc nghim nào ca phương trình hoành giao i m:
( ) 3 2
Cm : y = x − 3x − 9x + m
Tìm m ct tr$c hoành t
i ba im phân bit vi các hoành lp thành cp
s cng ?
Phng trình hoành giao im:
3 2 x −3x −9x +m = 0 ($)
( ) m C ( ) 1 2 3 1 2 3 x , x , x x x x 1 2 3 x , x , x
Gi s ct tr$ Ox t
i ba im phân bit có thì là ba nghim ca
phng trình . Khi ó, ta s phân tích c:
($) ( )( )( ) 3 2
1 2 3 x − 3x − 9x + m = x − x x − x x − x
và
ng nht h s ca ta c:
( ) ( ) 3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 = x − x + x + x x + x x + x x + x x x − x x x 2 x ,
( ) 1 2 3 x + x + x = 3, i 1 2 3 x , x , x 1 3 2 x + x = 2x (ii)
(ii) (i), 2 x = 1
. Do lp thành mt cp s cng theo th t ó nên . Th
vào ta c: .
2 x = 1 ($) m = 11 m = 11
( ) 3 2 $ x − 3x − 9x +11 = 0
( )( ) 2 x −1 x −2x −11 = 0 1 2 3 x = 1−2 3 # x = 1 # x = 1+ 2 3 1 3 2 x + x = 2x
m = 11
Th vào c . Do ây ch% là iu kin c

78. n, ta xét thêm iu kin , nghia là khi
thì
luôn có nên
là giá tr c

79. n tìm ca bài toán.
( ) 3 2 ( ) f x = ax + bx + cx + d, a 0 1 2 3 x , x , x f (x) = 0
C

80. n nh: nu a thc bc ba có các nghim khi thì
ta luôn phân tích c thành tích s d
ng: .
( )( )( ) 3 2
1 2 3 ax + bx + cx + d = a x − x x − x x − x
¾ Bài toán không tìm ba nghim ca phương trình hoành giao i m:
( ) ( ) 3 2
Tìm m C : y = x − 2m + 1 x − 9x
ct tr$c hoành t
i ba im phân bit có hoành lp thành mt
m cp s cng ?
Phng trình hoành giao im:
( ) 2 x

81. x − 2m +1 x −9 = 0
(i)
=

83. − + − =

84. x 0
x 2m 1 x 9 0 ii
2 ( ) ( )
(ii) 1 2
c
= = = − (i)
Nhn thy phng trình có nên luôn có hai nghim trái du nhau luôn có
P x x 9 0
a
ba nghim phân bit là: . ba nghim này theo th t ó lp thành cp s cng thì
là giá tr c

85. n tìm.
m 1 2 x ; 0; x
1 2 x + x = 2.0 2m +1 = 0
1
m
2
= −
( ) ( ) ( ) 3 2
Thí d

86. 32. Tìm m
th ct tr$c hoành t
i ba im phân
m C : y = x + 5 − m x + 6 − 5m x − 6m
bit có hoành lp thành cp s nhân ?
9 4
S: m = − # m = − # m = ±
6
.
2 3
I (1;2) k −3
Thí d

87. 33. Chng minh rng m i ng th ng i qua im vi h s góc u ct
th
( ) 3 2 C : y = x − 3x + 4 I,A,B
t
i ba im phân bit
ng thi I là trung im ca o
n th ng AB ?
i hc khi D nam 2008
d : y = 2x +1 ( ) ( ) 3 2
Thí d

88. 34. Tìm m ng th ng ct t
i ba im
m C : y = 2x − 3mx + m −1 x +1
A,B,C C(0;1) 30
phân bit, sao cho im nm gia A và B
ng thi AB có dài bng ?
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 9 -

89. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
S: 8
= # = .
m 0 m
9
A(2; 4) ( ) 3 C : y = x − 3x + 2
Thí d

90. 35. G i d là ng th ng i qua và có h s góc k. Tìm k d ct t
i ba
im phân bit sao cho cân t
i O (vi O là gc t a ) ?
A,B,C OBC
thi th i hc nam 2014 khi B – Chuyên Quc Hc – Hu
S: 1
= # = .
k 1 k
3
d : y = x + 4 K(1; 3) ( ) ( ) 3 2
Thí d

91. 36. Cho và im . Tìm m d t
i ba im
A(0; 4), B, C KBC S 8 2 =
phân bit sao cho ?
m C : y = x + 2mx + m + 3 x + 4
thi th i hc 2010 – THPT Minh Khai – Hà Tinh
S: 1 137
m
= .
2
±
1
1 1
= − ( ) 3 2 Thí d

92. 37. Tìm tham s m ng th ng : y mx
ct
th tham s
3
t
i ba im phân bit sao cho A c nh và ?
S: 3
m
= .
4
C : y x 2x 3x
A,B,C OBC OAB S 2S =
Thí d

93. 38. Hãy vit phng trình ng th ng d i qua im I là tâm i xng ca
th
= − + −
3 3
( ) 3 2 C : y = x − 3x + 2
(C) I,A,B OAB S 2 =
và ct t
i ba im phân bit sao cho ?
S: hoc hoc .
1 d : y = 1− x ( ) 2 d : y = − 1+ 3 x +1+ 3 ( ) 3 d : y = 3 −1 x +1− 3
A(−1; 0) ( ) 3 2 C : y = x − 5x + 3x + 9
Thí d

94. 39. Vit phng trình ng th ng d i qua và ct
th hàm s
A,B,C G(2;2) OBC
t
i ba im phân bit sao cho là tr ng tâm ca vi O là gc t a ?
3 3
S: d : y = x
+
.
4 4
( ) ( ) 3 2
Thí d

95. 40. Cho
th hàm s . Tìm m ct
m C : y = x − m +1 x + x + 2m +1 d : y = x +m +1
( ) m C A,B,C ( ) m C A,B,C
12
th t
i ba im phân bit sao cho t!ng h s góc các tip tuyn vi t
i
bng ?
Hc sinh gii tnh Vinh Phúc nam 2013
S: m = 2 .
d : y = m(2 − x)+ 2 ( ) 3 2 C : y = −x + 3x −2
Thí d

96. 41. Tìm tham s m ng th ng ct
th hàm s t
i
A(2;2), B, C (C)
ba im phân bit sao cho tích các h s góc tip tuyn vi
th t
i B và C
t
giá tr nh nht ?
thi th i hc 2014 – s 2 – Tp chí Toán Hc Tui Tr!
S: m = −1 .
d : y = m(x + 1)+ 2 ( ) 3 C : y = x − 3x
Thí d

97. 42. Chng minh rng khi m thay !i thì luôn ct
th t
i mt
(C) A,B,C
im A c nh. Xác nh giá tr ca m d ct t
i ba im phân bit sao cho tip tuyn
ca t
i A và B vuông góc vi nhau ?
(C)
S: 3 2 2
m
− ±
= .
3
d : y = m(x −1)+ 2 ( ) 3 C : y = x − 3x
Thí d

98. 43. Tìm m ct
th hàm s t
i ba im phân bit ?
Hc sinh gii tnh An Giang nam 2014
S: m 0 .
Bài tp rèn luyn v s# tơng giao gia hàm s bc ba và ng th ng
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 10 -

99. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
BT 27. Cho hàm s y = 2x3 −3mx2 +(m −1)x +1 có
th ( ) m C . Tìm m ng th ng d : y = 1− x ct
( ) m C t
i ba im phân bit ?
i hc khi D nam 2013
S: 8
# .
m 0 m
9
BT 28. Tìm m
th hàm s ( ) ( ) 3 2
m C : y = x −2x + 1−m x + m ct tr$c hoành t
i ba im phân bit có
hoành 1 2 3 x , x , x tha mãn iu kin 2 2 2
1 2 3 x + x + x 4 ?
i hc khi A nam 2010
− !
S: 1
m ;1 { 0
} 4
.
BT 29. G i d là ng th ng i qua im A(2;−2) có h s góc bng k. Tìm k d ct
th hàm s
( ) 3 C : y = −x + 3x t
i ba im phân bit u có hoành ln hn −2 ?
thi th i hc nam 2013 l n I – Dương ình Ngh – Thanh Hóa
S: −1 k 0 .
BT 30. Tìm m
th hàm s ( ) 3 2
m C : y = x + mx − x −m ct tr$c hoành t
i ba im phân bit vi các hoành
lp thành cp s cng ?
S: m = ±3 # m = 0 .
BT 31. Tìm m
th ( ) ( ) ( ) 3 2
m C : y = x − 3m +1 x + 5m + 4 x − 8 ct tr$c hoành t
i ba im phân bit có
hoành lp thành cp s nhân ?
S: m = 2 .
BT 32. Tìm m : y = mx −2m + 5 ct
th ( ) 3 C : y = 2x −6x +1 t
i ba im phân bit và khong cách
t# im cc
i ca (C) n bng 2 l

100. n khong cách t# im cc tiu ca (C) n ?
thi th i hc 2014 l n I – THPT Chu Van An – Hà Ni
BT 33. Tìm m d : y = 2x −7 ct ( ) ( ) 3 2
m C : y = x − m +2 x + 4m −3 t
i ba im phân bit A, B, C sao
cho t!ng h s góc tip tuyn vi ( ) m C t
i ba im A, B, C bng 28 ?
thi th i hc 2014 l n I – THPT Hng Quang – H#i Dương
S: m = 2 .
BT 34. Tìm m d : y = 2mx −2m + 6 ct ( ) 3 C : y = −2x + 6x + 2 t
i A, B, C sao cho t!ng h s góc các
tip tuyn vi (C) t
i A, B, C bng −6 ?
thi th i hc 2014 l n I – THPT Chuyên Nguyn ình Chi u
S: m = 1 .
BT 35. Tìm m d : y = mx −m −1 ct
th ( ) 3 2 C : y = x − 3x +1 t
i ba im phân bit A, B, C
( ) A B C x x x sao cho AOC cân t
i O ?
thi th i hc 2013 l n IV – THPT Chuyên – H KHTN
S: m = 1 .
BT 36. Tìm m d : y = 1− x ct
thi ( ) 3 2
m C : y = x −3mx +1 t
i ba im phân bit A(0;1), B, C sao cho
KBC S 5 = vi K(1;2) ?
S: m = ±1 .
BT 37. Cho hàm s
th ( ) ( ) ( ) 3 2
m C : y = 2−m x −6mx + 9 2−m x −2 . Tìm m ng th ng d : y = −2
ct ( ) m C t
i ba im phân bit A, B, C vi A(0;−2) sao cho OBC S 13 = ?
S: 14
= # = .
m m 14
13
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 11 -

101. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
( ) 3 2
m C : y = x − 2mx + 2mx −1 A(1; 0), B
BT 38. Tìm m
th hàm s ct tr$c hoành t
i ba im phân bit
1 2 k + k = BC 5 1 2 k , k ( ) m C
và C sao cho . Trong ó l

102. n lt là h s góc ca tip tuyn vi t
i B và C ?
S: m = −1 # m = 2 .
A(2; 0), ( ) 3 2 C : y = x − 3x + 4
BT 39. Lp phng trình ng th ng d i qua bit rng d ct
th hàm s t
i
A,B,C (C)
ba im phân bit sao cho tip tuyn ca t
i B và C vuông góc nhau ?
thi th i hc nam 2013 khi A – THPT Bm Sơn – Thanh Hóa
S: − 3 − 2 2 − 3 +
2 2
= # = .
k k
2 2
( ) 3 2
m C : y = x + mx + 1 d : y = 1− x A(0;1), B, C
BT 40. Tìm m ct ng th ng t
i ba im phân bit
( ) m C
sao cho các tip tuyn ca t
i B và C vuông góc vi nhau ?
S: m = ± 5 .
( ) ( ) 3 2
BT 41. Tìm m ct tr$c hoành t
i duy nht mt im ?
m C : y = 2x − 3 m +1 x + 6mx −2 Ox
Hc sinh gii c$p trư%ng nam 2014 – THPT ng Thúc Ha – Ngh An
S: m 1.
III – Tơng giao gia th hàm s bc bn trùng phơng và ng th ng
Bài toán t!ng quát
Tìm m ng th ng ct t
i n im phân bit tha mãn iu kin K
cho trc ?
Phơng pháp gii
¾ Bc 1.
d : y = ( ) 4 2 y = f x;m = ax + bx + c
( ) 4 2 C : ax + bx + c − = 0 (i)
+ Phng trình hoành giao im ca d và
+ t thì
+ Tùy vào s giao im n mà ta bin lun tìm giá tr c$ th:
2 t = x 0 ( ) 2 i at + bt + c− = 0 (ii)
( ) 1 m D $ ,
(C)% d = n = 4 (i) (ii) 1 2 t , t
) im phân bit có bn nghim phân bit có hai nghim tha:
.
0 t t P 0
1 2
0
S 0
1 m D
(C)% d = n = 3 (i) (ii) 1 2 t , t
) im phân bit có ba nghim phân bit có nghim tha:
.
− =
=
0 t t 1 2
b
c 0
0
a
1 m D
(C)% d = n = 2 (i) (ii)
) im phân bit có hai nghim phân bit có hai nghim trái du hoc

104. ac 0
có nghim kép dng
0
.
=

105. S 0
(C)% d = n = 1 (i) (ii) = 0 1 t = 0
) im có úng mt nghim có nghim kép hoc và
0 c 0
= − = #
= − =
.
2 t 0
b c 0 b 0
a
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 12 -

106. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
¾ Bc 2.
1 2 t , t ($ $)
+ Bin !i iu kin K v d
ng có cha t!ng và tích ca
+ Th biu thc t!ng – tích vào s thu c phng trình hoc bt phng trình vi bin s là m
($ $)
2 m D ($ $ $)
( ) ( ) ( ) 1 2 $ $ , $ $ $ m D % D
+ T# và kt lun nhng giá tr m c

107. n tìm.
( ) ( ) 4 2
Thí d

108. 44. Tìm m ct tr$c Ox t
i bn im phân bit có hoành
m C : y = −x + 2 m + 2 x −2m − 3
lp thành cp s cng (cách u) ?
S: 13
= # = − .
m 3 m
9
d : y = −1 ( ) ( ) 4 2
Thí d

109. 45. Tìm m ct t
i bn im phân bit có hoành nh
hn ?
i hc khi D nam 2009
2
S: 1
m C : y = x − 3m + 2 x + 3m
− m 1
và m 0 .
3
d : y = m ( ) 4 2 C : y = −x + 5x − 4
Thí d

110. 46. Tìm tham s m ng th ng ct
th ca hàm s t
i bn
im phân bit sao cho ?
S: 7
m
= − .
4
A,B,C,D AB = BC = CD
( ) ( ) 4 2
Thí d

111. 47. Tìm tham s m
th ct tr$c hoành t
i bn im
m C : y = x −2 m +1 x + 2m + 1
A,B,C,D KAC S 4 = K(3;−2) A,B,C,D
phân bit sao cho vi ( c xp theo th t hoành
tang d

112. n) ?
thi th i hc nam 2013 l n III – THPT Quynh Lưu I – Ngh An
S: m = 4 .
( ) ( ) 4 2
Thí d

113. 48. Tìm m
th hàm s ct t
i hai im phân bit
sao cho ?
A,B AB = 6
S: m = −5 .
m C : y = x + 2 m +1 x + 2m + 4 d : y = 3
( ) 4 2
Thí d

114. 49. Tìm m ct tr$c hoành t
i bn im phân bit sao cho hình ph ng gii
m C : y = x − 4x + m
( ) m C Ox
h
n bi
th và tr$c hoành có din tích ph

115. n phía trên và ph

116. n phía di tr$c hoành bng
nhau ?
S: 20
m
= .
9
( ) 4 2
Thí d

117. 50. Tìm m
th hàm s ct tia Ox t
i hai im phân bit có hoành
m C : y = x −2mx +1
tha mãn ?
1 2 x , x 2 1 x = 2x
S: 5
m
= .
4
Bài tp rèn luyn v s# tơng giao gia hàm s bc bn và ng th ng
BT 42. Tìm m ct tr$c hoành t
i ba im phân bit u có hoành
( ) ( ) 4 2
m C : y = x −2 m +1 x +2m +1
3
nh hn ?
S: 1
= − # .
m m 1
2
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 13 -

118. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2
BT 43. Tìm m
th 2
ct tr$c hoành t
i bn im phân bit có hoành
m C : y = x – 1 – m +1 1−m
tng ng lp thành mt cp s cng ?
S: 9 1
= ± # = ± .
m m
5 5
( ) 4 2
BT 44. Xác nh m
th ct tr$c Ox t
i bn im phân bit có hoành
m C : y = x + 2mx + m + 3
tha: ?
1 2 3 4 x x x 1 2 x
S: 19
− − .
3 m
9
( ) ( ) 4 2 2
BT 45. Tìm m
th ct tr$c hoành t
i bn im phân bit
m C : y = x − m +10 x + 9
tha ?
S: m = 0 .
1 2 3 4 x , x , x , x
1 2 3 4 x + x + x + x = 8
( ) ( ) 4 2 2 C : y = x −2 m +1 x + m + m + 2
BT 46. Gi s
th ct tr$c Ox t
i bn im phân bit có hoành
. Chng minh rng biu thc: ?
1 2 3 4 x , x , x , x 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 T = x x + x x + x x + x x + x x + x x 0
( ) 4 2 2 4
BT 47. Chng minh rng
th luôn ct tr$c Ox t
i ít nht hai im phân bit
?
m C : y = x −2m x + m +2m
m 0
( ) ( ) 4 2 2 2
BT 48. Tìm m ct tr$c hoành t
i bn im phân bit sao cho hình
m C : y = x − m +2 x +m +1
( ) m C
96
15
ph ng gii h
n bi vi tr$c hoành mà có ph

119. n phía trên tr$c hoành có din tích bng ?
S: m = ±2 .
BT 49. Vit phng trình ng th ng ct
th ( )
4 2 x x 2
C : y
A,B
= + − t
i hai im phân bit sao cho
6 2 3
ABD (C)
là tam giác u, trong ó D là im cc tiu ca
th hàm s ?
thi th i hc 2013 l n III – THPT Lý Thái T – Bc Ninh
S: 7
= .
: y
3
§ 3. BÀI TOÁN C$C TR%
Bài toán t!ng quát
( )
= = + + +

121. ( )
( )
3 2
y f x;m ax bx cx d
Cho
th hàm s C :
. Tìm tham s m
th hàm s có n cc tr tha
y f x;m ax bx c
= = + +

122. mãn iu kin K cho trc ?
Phơng pháp gii
4 2
¾ Bc 1. Hàm s có n cc tr có n nghim phân bit.
y ' = 0
Gii và tìm c giá tr
1 m D (i)
¾ Bc 2. Bin !i iu kin K và gii, s tìm c
2 m D (ii)
( ) ( ) ( ) 1 2 i , ii m D %D
T# là nhng giá tr m c

123. n tìm.
I – C#c tr ca hàm s bc ba
( ) 3 2 y = f x = ax + bx + cx + d
y ' = 0
Mt s lu ý i vi cc tr hàm s bc ba :
¾ Hàm s có cc
i, cc tiu (hai cc tr) có hai nghim phân bit.
¾ Hoành ca các im cc tr là các nghim ca phng trình .
1 2 x , x y ' = 0
¾ vit phng trình ng th ng i qua hai im cc tr, ta thng s d$ng phng pháp tách
o hàm:
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 14 -

124. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
y : y ' y = y ' .q (x)+ h (x)
+ Phân tích (bng chia a thc ):
( )
( )
y h x
y h x
=
1 1
=
2 2
y = h (x) y : y '
+ ng th ng i qua hai im cc tr là: (ph

125. n d bc nht trong phép chia a thc ).
( ) ( ) 3 2 2 2 2
Thí d

126. 51. Tìm m hàm s C : y x mx 2 3m 1 x
có hai im cc tr sao cho
?
= − − − + 1 2 x , x
i hc khi D nam 2012
( ) 1 2 1 2 x x + 2 x + x = 1
S: 2
m
= .
3
3 3
1
( ) ( ) ( ) 3 2
Thí d

127. 52. Tìm m hàm s có hai im cc tr sao cho
?
1 2 3x + x = 4
S: 1
C : y x 2m 1 x 1 4m x 1
m
= # = .
m m 2
2
= − − + − + 1 2 x , x
3
( ) 3 2 2
Thí d

128. 53. Tìm m có cc
i và cc tiu tha mãn: ?
2
C CT x = x
m C : y = 2x + 9mx +12m x +1
thi th i hc 2010 l n I – THPT Chuyên HSP Hà Ni
S: m = −2 .
( ) ( ) ( ) 3 2
Thí d

129. 54. Tìm m có cc
i, cc tiu và hoành cc
m C : y = x + 1−2m x + 2 − m x + m + 2
1
tiu bé hn ?
thi th i hc 2013 l n I – THPT C'm Bình – Hà Tinh
5 7
S: m −1 hoc m
là nhng giá tr c

130. n tìm.
4 5
1
( ) ( ) 3 2 2
= − + − + + (1;+)
Thí d

131. 55. Tìm m hàm s có cc tr trong khong ?
S: m 1.
C : y x mx m m 1 x 1
m
3
( ) ( ) 3 2
Thí d

132. 56. Tìm m
t cc tr t
i hai im A và B sao cho ba im
m C : y = 2x + 3 m − 3 x + 11− 3m
th ng hàng ?
A, B, C(0;−1)
S: m = 4 .
( ) ( ) 3 2 2 3
Thí d

133. 57. Chng minh rng luôn có cc
i, cc tiu .
m C : y = x −3mx + 3 m −1 x −m + m m
A,B ( ) m C I (1;1),
Tìm m các im cc tr ca hàm s cùng vi im t
o thành mt tam giác có
bán kính ng tròn ngo
i tip bng ?
5
thi th i hc 2014 l n I khi A – THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa
S: 3
= − # = .
m 1 m
5
( ) ( ) ( ) 3 2
Thí d

134. 58. Tìm m có hai im cc tr i xng nhau
m C : y = x − 3 m −1 x + 3m m −2 x +1 A,B
1
qua ng th ng d : y = x +
1
?
thi th i hc nam 2012 l n VI – THPT Chuyên – HSP Hà Ni
2
S: 2 14
= # = .
m 1 m
±
2
( ) ( ) 3 2
Thí d

135. 59. Tìm m hàm s có hai cc tr i xng nhau qua
I (1; 3)
im ?
m C : y = −x + 3x + 3m m + 2 x +1 A,B
thi th i hc 2014 – THPT Chuyên Nguyn Quang Diêu – ng Tháp
S: m = −2 # m = 0 .
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 15 -

136. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
Thí d

137. 60. Tìm m ( ) ( ) 3 2
Cm : y = 2x −3 m +1 x + 6mx có hai im cc tr A và B sao cho ng th ng AB
vuông góc vi d : y = x +2 ?
i hc khi B nam 2013
S: m = 0 # m = 2 .
( ) 3 2
Thí d

138. 61. Tìm m có các im cc
i, cc tiu và ng th ng i qua
m C : y = x − 3x − mx + 2 A,B
im cc tr t
o vi ng th ng mt góc ?
S: 1
m
= − .
2
d : x + 4y −2014 = 0 o = 45
( ) ( ) 3 2 2 3
Thí d

139. 62. Tìm m hàm s có cc tr,
ng thi khong
m C : y = x −3mx + 3 m −1 x −m + m
cách t# im cc
i ca
th hàm s n gc t a O bng 2
l

140. n khong cách t# im cc tiu
ca
th hàm s n gc t a O ?
S: m = −3 ±2 2 .
( ) 3 2
Thí d

141. 63. Tìm m có hai im cc tr A và B sao cho khong cách t# gc
m C : y = x + 6mx + 9x + 2m
4 5
5
t a O n ng th ng i qua hai im cc tr bng ?
S: m = ±1 .
( ) ( ) 3 2 2 3
Thí d

142. 64. Tìm m có hai im cc tr sao cho
m C : y = x −3mx + 3 m −1 x −m + 4m−1 A,B
vuông t
i O ?
OAB
S: m = −1 # m = 2
là các giá tr c

143. n tìm.
( ) 3 2
Thí d

144. 65. Tìm m hàm s có hai im cc tr và ng th ng i qua hai im
m C : y = x − 3x − mx + 2
cc tr ca hàm s t
o vi hai tr$c t a mt tam giác cân ?
S: 3
m
= − .
2
1 1
( ) ( ) 3 2 2
Thí d

145. 66. Tìm m hàm s C : y x mx m 3 x
có hai im cc tr sao cho là
m
= − + − 1 2 x , x 1 2 x , x
3 2
10
2
dài hai c
nh góc vuông ca mt tam giác vuông vi c
nh huyn có dài bng ?
thi th i hc 2013 – THPT Chuyên Nguyn Quang Diêu – ng Tháp
S: 14
m
= .
2
( ) 3 2 2
Thí d

146. 67. Tìm m
th hàm s có hai im cc tr sao cho
vi O là gc t a ?
m C : y = x − 3mx + 3m A,B OAB S 48 =
i hc khi B nam 2012
S: m = −2 # m = 2
là các giá tr c

147. n tìm.
( ) 3 2 C : y = x − 3x + 2 (C)
Thí d

148. 68. Cho hàm s và ng th ng i qua im cc
i ca và có h s góc
2 1
m
+ (C)
bng . Tìm m khong cách t# im cc tiu ca n ng th ng ln nht ?
thi th i hc 2013 l n IV – THPT Chuyên – HSP Hà Ni
4
S: 1
m
= ± .
2
( ) 3
Thí d

149. 69. Tìm m ng th ng i qua im cc
i, cc tiu ca
th ct ng
m C : y = x − 3mx + 2
I (1;1) 1 A,B IAB S
tròn tâm bán kính bng t
i hai im phân bit sao cho
t giá tr ln nht ?
S: 2 3
m
±
= .
2
Bài tp rèn luyn v c#c tr ca hàm s bc ba
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 16 -

150. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
1
( ) 3 2
BT 50. Tìm m
th hàm s C : y x mx 3mx 4
t cc tr t
i hai im sao cho:
= − − + 1 2 x , x
?
2 2
1 2
x + 2mx +
9m m
+ =
2 2
m x 2mx 9m
S: m = −4 .
m
3
+ +
2 1
2
m ( ) ( ) 3 2
BT 51. Chng minh rng thì hàm s có cc
i, cc tiu và
?
m C : y = x + m +1 x − x
thi th i hc 2013 l n I – THPT Chuyên – HSP Hà Ni
1
y − y = x −
x
3
C CT C CT
2
2
( ) ( ) ( ) 3 2 2
BT 52. Tìm m C : y x m 1 x m 4m 3 x 1
có cc tr. Tìm giá tr ln nht ca biu
= + + + + + +
m
3
A = x x −2 ( x + x
) 1 2 1 2 thc vi x , x
là các im cc tr ca hàm s ?
1 2 S: m = −4 .
1
( ) ( ) 3 2 2
BT 53. Tìm m hàm s có cc
i và cc tiu và các hoành
cc tr ln hn ?
S: m 2 .
C : y x mx m m 1 x 1
m
= − + − + +
3
1
1
( ) ( ) ( ) 3 2
BT 54. Tìm m
t cc tr t
i sao cho
?
1 2 x 2 x
S: 1
m
− .
7
C : y x m 2 x 5m 4 x 3m 1
m
= + − + + + + 1 2 x , x
3
m ( ) 3 2 2 3 y = x −3mx + 3 m −1 x −m + 5m ( ) m C
A,B,
BT 55. Chng minh rng thì có
th luôn có hai im
cc tr phân bit
ng thi trung im I ca AB luôn ch
y trên mt ng th ng c nh ?
thi th i hc 2014 l n I – THPT Lương Th Vinh – Hà Ni
S: I (m;2m) ch
y trên ng y = 2x c nh.
( ) 3 2
BT 56. Chng minh rng hàm s luôn có cc
i và cc tiu. Tìm m hàm s
m C : y = 2x + mx −12x −13
có các im cc tr cách u tr$c tung ?
S: m = 0 .
( ) ( ) 3 2 2 2
BT 57. Tìm m có cc
i và cc tiu,
ng thi các im cc
m C : y = −x + 3x + 3 m −1 x −3m −1
i và cc tiu cách u gc t a O ?
i hc khi B nam 2007
S: 1
m
= ± .
2
( ) 3 2
m C : y = x − 3mx + 2 A,B I (1; 0)
BT 58. Tìm m có hai im cc tr và ng th ng AB i qua im ?
thi th i hc 2013 khi D l n I – THPT Ngô Gia T

151. – Bc Ninh
S: m = ±1 .
m C : y = x + 3x + m A,B o AOB = 120
( ) 3 2
BT 59. Tìm m
th hàm s có hai im cc tr sao cho ?
S: 12 2 3
m
− +
= .
3
( ) ( ) 3 2 2 2 y = x −2 2m +1 x + 5m +10m−3 x −10m −4m + 6 ( ) m C
BT 60. Cho có
th hàm s . Tìm m
có hai cc tr và các giá tr cc tr ca hàm s trái du nhau ?
( ) m C
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 17 -

152. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
thi th i hc 2013 khi A l n I – S GD T Vinh Phúc
* − +
S: ( ) 1
m 3;1
5
,
.
( ) ( ) 3 2
BT 61. Tìm m
th hàm s có hai im cc tr nm v hai phía tr$c
hoành ?
S: 5 1
m C : y = x − 3x − 3m m + 2 x −1
− − - + ! !
m ; ;
2 2
.
( ) ( ) 3 2 2
BT 62. Tìm m
th hàm s có hai im cc tr nm v hai phía ca
ng th ng ?
m C : y = x −3mx + m −m x + 4
x = 1
S: 7 − 37 7 +
37
.
m
2 2
( ) 3 2 2
BT 63. Tìm m
th hàm s
t cc tr t
i hai im sao cho
ABC S 7 = C(−2; 4)
vi ?
S: m = 3 # m = −2 .
m C : y = x − 3x + m − m + 1 A,B
( ) 3 2 C : y = x − 3x + 2
BT 64. Tìm m ng th ng i qua hai im cc tr ca tip xúc vi ng tròn
?
( ) ( ) ( ) 2 2
m C : x −m + y −m −1 = 5
S: 4
= # = − .
m 2 m
3
1
( ) 3 2
BT 65. Tìm m C : y x mx x m 1
có hai im cc tr và khong cách gia hai im tr là nh
nht ?
S: m = 0 .
m
= − − + +
3
( ) ( ) 3 2 2 3
BT 66. Tìm m có cc
i, cc tiu và
ng thi các im cc
m C : y = x −3mx + 3 m −1 x −m +1
A,B M(−2;2) o AMB = 90
i, cc tiu ca
th hàm s cùng vi im t
o thành góc ?
thi th i hc 2013 khi A – THPT Lê H(u Trát I
S: m = 0 # m = −1 .
( ) 3 2
!
1 11
I ;
2 4
BT 67. Tìm m có cc tr sao cho khong cách t# im n ng
m C : y = x − 3x + mx + 1
th ng i qua hai im cc tr là ln nht ?
S: m = 1.
II – C#c tr ca hàm s bc bn trùng phơng
Mt s lu ý i vi cc tr ca hàm s trùng phng
¾ Hàm s luôn nhn làm mt im cc tr.
4 2 y = ax + bx + c
x = 0
( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 A 0; c ,B x ; y ,C x ; y
¾ Khi hàm s có ba i m c

153. c tr
thì tam giác ABC cân ti A. Khi ó, nu iu kin
K là:
+ ABC vuông t
i A AB.AC = 0
.
+ ABC u AB = BC
.
+ có din tích bng S vi AH: ng cao.
S S AH.BC
2 = =
ABC ABC
1
( ) 4 2 4
Thí d

154. 70. Tìm m có cc
i, cc tiu mà các cc
i, cc tiu t
o thành
m C : y = x − 2mx + 2m + m
tam giác có din tích bng ?
thi th i hc 2014 khi A l n II – THPT Chuyên Vinh Phúc
S: m = 1
1
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 18 -

155. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
( ) ( ) 4 2 2
Thí d

156. 71. Tìm m có ba im cc tr t
o thành ba %nh ca mt tam giác
vuông ?
i hc khi A nam 2012
m C : y = x −2 m + 1 x + m
S: m = 0 .
( ) 4 2 2
Thí d

157. 72. Tìm m có ba im cc tr t
o thành mt tam giác có góc bng
?
Hc sinh gii tnh Hà Tinh nam 2014
m C : y = x −2mx + m − m
1
o 30
S: 3
= # = + .
m m 7 4 3
3
3
( ) ( ) 4 2
Thí d

158. 73. Tìm m có ba im cc tr t
o thành mt tam giác cân sao cho
m C : y = x + 3m +1 x − 3
2
3
dài c
nh áy bng l

159. n dài c
nh bên ?
thi th i hc 2014 – THPT Nguyn Khuyn – TP. HCM
S: 5
m
= − .
3
( ) ( ) 4 2 2
Thí d

160. 74. Tìm m
có cc
i, cc tiu t
o thành mt tam giác
m C : y = x + 2 m −2 x + m − 5m + 5
u ?
S: 3 m = 2− 3 .
( ) 4 2 2 2
Thí d

161. 75. Tìm m hàm s có ba im cc tr sao cho bn im
m C : y = 2x − m x + m −1 A,B,C
là bn %nh ca hình thoi ?
thi th i hc nam 2014 khi A l n I – S GD T Vinh Phúc
O,A,B,C
S: m = ± 2 .
( ) 4 2 2 4
Thí d

162. 76. Tìm m hàm s có ba im cc tr sao cho các im
m C : y = x −2m x + m +1 A,B,C
và im O nm trên mt ng tròn, trong ó O là gc t a ?
thi th i hc 2013 l n I khi A, B – THPT Quc Oai
A,B,C
S: m = ±1 .
( ) 4 2
Thí d

163. 77. Tìm m có ba im cc tr sao cho ng tròn ngo
i tip
m C : y = x − 2mx + m A,B,C
có bán kính bng ?
ABC 1
S: 5 1
= # = .
m 1 m
−
2
( ) 4 2
Thí d

164. 78. Tìm m có các im cc tr nm trên các tr$c t a ?
m C : y = −x + 2mx − 4
thi th i hc 2013 khi D l n I – S GD T Vinh Phúc
( { } m ; 0 2 − -
S: là nhng giá tr c

165. n tìm
m ( ) ( ) 4 2 2
Thí d

166. 79. Chng minh rng thì hàm s có ba im cc tr. Tìm m
m C : y = x −2 m +1 x +1
( ) m C
khong cách t# im cc
i n ng th ng i qua hai im cc tiu ca
th hàm s nh
nht ?
thi th i hc 2012 l n II – THPT Chuyên HSP Hà Ni
S: m = 0 .
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 19 -

167. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
( ) 4 2 1 1
= − + (C)
Thí d

168. 80. Cho
th hàm s C : y x x 1
và ng th ng i qua im cc
i ca ca và
4 2
(C)
có h s góc k. Tìm k t!ng các khong cách t# hai im cc tiu ca n nh nht ?
thi th i hc 2013 l n II – THPT Chuyên – HSP Hà Ni
S: 1
k
= ± .
4
( ) ( ) 4 2 2
Thí d

169. 81. Tìm m có ba im cc tr t
o thành mt tam giác có din
m C : y = x −2 1−m x + m +1
tích ln nht ?
S: m = 0 .
Bài tp rèn luyn v c#c tr ca hàm s bc bn trùng phơng
BT 68. Xác nh tham s m hàm s có ba cc tr t
o thành ba %nh ca
mt tam giác u.
S:
3 3
= + .
m 1
2
( ) ( ) 4 2
m C : y = x −4 m −1 x +2m −1
( ) 4 2 4
BT 69. Tìm m có ba im cc tr,
ng thi ba im cc tr ó lp thành
m C : y = x − 2mx + 2m + m
mt tam giác có din tích bng ?
4 2
thi th i hc 2014 khi A l n I – THPT Hùng Vương – Bình Phưc
S: m = 2 .
( ) ( ) 4 2
BT 70. Tìm m hàm s có ba im cc tr sao cho vi
m C : y = x − 2 m +1 x + m A,B,C OA = BC
O là gc t a , A là cc tr thuc tr$c tung, B và C là im hai cc tr còn l
i ?
i hc khi B nam 2011
S: m = 2 ±2 2 .
( ) 4 2 2
BT 71. Tìm m có ba im cc tr t
o thành mt tam giác có mt góc bng
?
m C : y = x + 2mx + m + m
thi th i hc 2013 l n II – THPT Lương Tài II – Bc Ninh
o 120
S:
1
= − .
3
m
3
1
( ) ( ) ( ) 4 2
BT 72. Tìm m C : y x 3m 1 x 2 m 1
có ba im cc tr t
o thành t
o thành mt tam giác
m
= − + + +
4
có tr ng tâm là gc t a O ?
S: 1
m
= .
3
( ) ( ) ( ) 2 2
BT 73. Lp phng trình ng th ng d i qua im cc
i ca
th C : y = x +1 x −1
sao cho t!ng
(C)
các khong cách t# hai im cc tiu ca
th n ng th ng d
t giá tr ln nht ?
thi th i hc 2013 khi A l n I – THPT Chuyên Amsterdam – Hà Ni
S: d ' Oy : x = 0 hoc d : y = 1.
( ) 4 2
BT 74. Tìm m có ba im cc tr t
o thành mt tam giác có ng tròn
m C : y = x −2mx + 2 A,B,C
3 9
!
ngo
i tip i qua im D ;
?
5 5
S: m = 1.
( ) 4 2
BT 75. Tìm m có ba im cc tr là ba %nh ca mt tam giác vuông cân ?
m C : y = x −2mx + 2
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 20 -

170. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
thi th i hc 2014 khi B l n I – THPT Lng Giang s I – Bc Giang
S: m = 1 .
( ) 4 2 2
BT 76. Tìm các giá tr ca m hàm s có ba cc tr và ?
S: 5 m = ± 2 .
m C : y = x – 8m x +1 A,B,C ABC S 64 =
1 3
( ) 4 2
BT 77. Tìm tham s m có cc tiu mà không có cc
i ?
S: m 0 .
C : y x mx
m
= − +
2 2
( ) 4 2
BT 78. Tìm tham s m có các im ca cc tr u nm trên các tr$c t a ?
m C : y = −x +2mx −4
S: m 0 # m = 2 .
( ) ( ) 4 2 2
BT 79. Tìm tham s m có khong cách gia hai im cc tiu
ngn nht ?
S: 1
m
= .
2
m C : y = x −2 m −m +1 x +m−1
§ 4. TIP TUYN VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN N TIP TUYN
I – Kin th'c c(n nh
¾ Phng trình tip tuyn ca (C) : y = f (x) ti im ( ) o o M x ; y có d
ng:
( )
o o : y = k x − x + y
. . .
vit phương trình tip tuyn ta c n tìm ba thành
Vi là h s góc tip tuyn.
ph n .
¾ iu kin c

171. n và hai ng ( ) ( ) 1 C : y = f x và ( ) ( ) 2 C : y = g x tip xúc nhau h ( ) ( )
f x g x
f ' x g ' x
=
( ) ( )
=
1 = + = − .
−
=
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 21 -
có
nghim (nh: hàm = hàm, o = o)
II – Các dng toán vit phơng trình tip tuyn thng g p
Vit PTTT ca (C) : y = f (x), bit có h s góc k cho trc
¾ G i ( ) o o M x ; y là tip im. Tính ( ) o y ' y ' x .
¾ Do phng trình tip tuyn có h s góc k ( ) o y ' x = k (i)
¾ Gii (i) tìm c ( ) ( ) o o o o o x //0y = f x //0 : y = k x − x + y .
Lu ý. H s góc o k = y '(x ) ca tip tuyn thng cho gián tip nh sau:
¾ Phng trình tip tuyn // d : y = ax + b k = a .
¾ Phng trình tip tuyn 1
d : y ax b k
a
¾ Phng trình tip tuyn t
o vi tr$c hoành góc k = tan .
¾ Phng trình tip tuyn t
o vi d : y =ax+b góc
k a
tan
1 +
k.a
Vit PTTT ca (C) : y = f (x), bit i qua (k) t*) im ( ) A A A x ; y
¾ G i ( ) o o M x ; y là tip im. Tính ( ) o o y = f x và ( ) o k = y ' x theo o x .
¾ Phng trình tip tuyn t
i ( ) o o M x ; y là ( ) o o : y = k x − x + y .
DeThiThuDaiHoc.com

172. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
¾ Do A(xA; yA ) yA = k(xA − xo )+ yo (i)
¾ Gii phng trình ( ) o o i //0x //0y và k //0 phng trình .
Vit PTTT ca (C) : y = f (x), bit c+t hai tr

173. c t
a ti A và B sao cho tam giác OAB vuông
cân ho c có din tích S cho trc
¾ G i o o M(x ; y ) là tip im và tính h s góc o k = y '(x ) theo o x .
¾ cho
OAB
S S OA.OB 2S
vuông cân t
o vi Ox mt góc và
= = OAB

175. ( i
)
( ii
)
¾ Gii (i) hoc ( ) o o ii //0x //0y ;k //0 phng trình tip tuyn .
Tìm nhng im trên ng th ng d : ax + by + c = 0 mà t* ó v, c 1, 2, 3, ..., n tip tuyn vi
th hàm s (C) : y = f (x)
¾ G i ( ) M M M x ; y d : ax + by + c = 0 (sao cho có mt bin M x trong M)
¾ PTTT qua M và có h s góc k có d
ng ( ) M M : y = k x − x + y .
¾ Áp d$ng iu kin tip xúc: ( ) ( )
M M f x k x x y
f ' x k
= − + ( )
=
( i
)
( ii
)
¾ Th k t# (ii) vào (i), c: ( ) ( ) ( ) M M f x = f ' x . x − x + y (iii)
¾ S tip tuyn ca (C) v t# M= s nghim x ca (iii).
Tìm nhng im ( ) M M M x ; y mà t* ó v, c hai tip tuyn vi th hàm s (C) : y = f (x) và hai
tip tuyn ó vuông góc nhau
¾ PTTT qua M và có h s góc k có d
ng ( ) M M : y = k x − x + y .
¾ Áp d$ng iu kin tip xúc: ( ) ( )
M M f x k x x y
f ' x k
= − + ( )
=
( i
)
( ii
)
¾ Th k t# (ii) vào (i), c: ( ) ( ) ( ) M M f x = f ' x . x − x + y (iii)
¾ Qua M v c hai tip tuyn vi (C) (iii) có hai nghim phân bit 1 2 x , x .
¾ Hai tip tuyn ó vuông góc nhau ( ) ( ) 1 2 1 2 k .k = −1 y ' x .y ' x = −1 .
Lu ý.
(C)
¾ Qua M v c hai tip tuyn vi sao cho hai tip im nm v hai phía vi tr$c hoành thì
( )
( ) ( ) 1 2
có hai nghim phân bit .
iii :
f x .f x 0.
¾ i vi bài toán tìm im M (C) : y = f (x) sao cho t
i ó tip tuyn song song hoc vuông góc vi ng
th ng d cho trc, ta ch% c

176. n g i ( ) o o M x ; y và là tip tuyn vi ( ) o k = f ' x . R
i áp d$ng
( ) o d k = f ' x = k nu cho song song và ( ) o d f ' x .k = −1 nu cho vuông góc ( ) o o o o x y M x ; y .
Thí d

177. 82. Lp phng trình tip tuyn ca ( ) 3 2 C : y = x − 3x + 1, bit nó song song vi ng th ng
d : 9x − y + 6 = 0 ?
thi th i hc 2013 l n I – THPT H
u Lc II
S: : y = 9x −26 .
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 22 -

178. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
Thí d

179. 83. Vit phng trình tip tuyn ca
th (C) : y = −x4 − x2 + 6, bit tip tuyn vuông góc vi ng
th ng 1
= − ?
d : y x 1
6
i hc khi D nam 2010
S: : y = −6x +10 .
Thí d

180. 84. G i M ( C ) 2x +
1
: y
x 1
=
−
có tung bng 5 . Tip tuyn ca (C) t
i M ct các tr$c t a Ox,Oy
l

181. n lt t
i A và B. Tính OAB S ?
Cao )ng khi A, A1, B, D nam 2013
S: OAB
121
6 = .
S
Thí d

182. 85. Vit phng trình tip tuyn ca
th hàm s ( ) x +
2
C : y ,
2x 3
=
+
bit rng tip tuyn ó ct tr$c
hoành, tr$c tung l

183. n lt t
i hai im phân bit A,B và tam giác OAB cân t
i gc t a O ?
i hc khi A nam 2009
S: : y = −x −2 .
Thí d

184. 86. Vit phng trình tip tuyn ca ( ) 2x
C : y ,
x 2
=
+
bit tip tuyn t
o vi hai tim cn ca (C) mt
AIB vuông cân %nh I vi I là giao im ca hai ng tim cn ?
S: : y = x hoc : y = x + 8 .
Thí d

185. 87. Vit phng trình tip tuyn ca ( ) 2
x
3
−
: y ,
2
C
x
=
−
bit tip tuyn ó ct ng tim cn ng và
ng tim cn ngang l

186. n lt t
i A và B sao cho AB = IB 2 vi I (2;2) ?
Hc sinh gii tnh Bình Phưc nam 2014
S: : y = −x +2 hoc : y = −x + 6 .
Thí d

187. 88. Vit phng trình tip tuyn vi
th ( ) 3 2 C : y = 4x − 6x + 1, bit tip tuyn ó i qua im
M(−1;−9) ?
i hc khi B nam 2008
S: 1 : y = 24x +15 hoc 2
15 21
= − .
: y x
4 4
Thí d

188. 89. Vit phng trình tip tuyn vi
th ( ) 3 2 C : y = x − 3x + 2 t
i im M. Bit im M cùng vi hai
im cc tr ca
th hàm s (C) t
o thành tam giác có din tích bng 6 ?
thi th i hc 2013 khi A – THPT S m Sơn – Thanh Hóa
S: 1 : y = 9x +7 hoc 2 : y = 9x−25 .
Thí d

189. 90. Cho hàm s 2x 3
y
−
x 2
=
−
có
th (C) .
1/ Vit phng trình tip tuyn vi
th hàm s (C) sao cho ct tr$c hoành t
i A mà
OA = 6 ?
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 23 -

190. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
2/ Vit phng trình tip tuyn t
i M (C) sao cho ct ng tim cn ng và ng tim
cn ngang t
i A, B sao cho 4
cosABI
= vi I là giao im ca hai ng tim cn ?
17
thi th i hc 2014 – THPT Nguyn Khuyn – TP. HCM
S: 1/
1 3
: y x
= − +
4 2
: y x 6

193. = − +

194. . 2/
1 3
: y x
= − +
4 2
1 7
: y x
= − +

195. 4 2

199. .
Thí d

200. 91. Vit phng trình tip tuyn vi
th ( ) 3 2 C : y = x − 6x + 9x, bit tip tuyn t
o vi ng th ng
: x + y +1 = 0 mt góc , sao cho
4
cos
= và tip im có hoành nguyên ?
41
thi th i hc 2013 l n V khi A – THPT Chuyên Vinh Phúc
S: : y = 9x hoc : y = 9x −32 .
Thí d

201. 92. Vit phng trình tip tuyn vi ( ) 2x −
1
C : y ,
x 1
=
−
bit tip tuyn cách u hai im A(−2; 4) và
B(4;−2) ?
thi th i hc 2014 – s 04 – Tp Chí Toán Hc Tui Tr!
S: Vy 1 5
= − + hoc : y = −x + 5 hoc : y = −x +1.
: y x
4 4
Thí d

202. 93. Xác nh m
th ( ) 2x +
m
C : y
x 1
=
−
có tip tuyn song song và cách ng th ng
d : 3x + y−1 = 0 mt khong cách bng 10 ?
thi th i hc 2014 s 5 – Tp Chí Toán Hc Tui Tr!
S:
1 67
= # = là các giá tr c

203. n tìm.
m m
12 4
Thí d

204. 94. Vit phng trình tip tuyn d ca ( ) 2x −
1
C : y ,
x 1
=
−
bit rng tip tuyn ct tr$c Ox,Oy l

205. n lt t
i
A,B sao cho AB = 82.OB ?
thi th i hc 2013 l n II – THPT Nguyn Quang Diêu – ng Tháp
S: 1 25
= − + hoc 1 13
: y x
9 9
= − + là các tip tuyn c

206. n tìm
: y x
9 9
Thí d

207. 95. G i I là giao im hai ng tim cn ca ( C ) x −
1
: y
x 2
=
−
. Vit phng trình tip tuyn * ca (C)
t
i im M tha mãn IM1 ?
thi th i hc 2013 l n IV – THPT Chuyên H Vinh
S: : y = −x +1 hoc : y = −x + 5 là các tip tuyn c

208. n tìm.
Thí d

209. 96. Tìm tt c các giá tr ca tham s m 0 sao cho tip tuyn ca
th
( ) ( ) 3
m C : y = mx − 2m +1 x + m +1 t
i giao im ca nó vi tr$c tung t
o vi hai tr$c t a mt
tam giác có din tích bng 4 ?
thi th i hc 2014 khi A l n I – THPT Chuyên Vinh Phúc
S: m = 7 ±2 14 # m = −9 ± 6 2 .
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 24 -

210. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
Thí d

211. 97. Tìm tham s m tip tuyn có h s góc nh nht ca
th hàm s
( ) ( ) 3 2
Cm : y = x − 3x + m − 2 x + 3m vuông góc vi ng th ng d : x − y +2 = 0 ?
thi th i hc 2014 l n I – THPT Chuyên Lương Van Chánh – Phú Yên
S: m = 4 .
Thí d

212. 98. Tìm trên ng th ng d : y = 9x −7 nhng im mà qua ó k+ c ba tip tuyn n
th hàm s
( ) 3 2 C : y = x + 3x −2 ?
thi th i hc 2014 l n I – THPT Chuyên Amterdam Hà Ni
− − - + !
S: M(m; 9m − 7) vi m ( ; 5 ) 1
; { 1
} 3
là các im c

213. n tìm.
Thí d

214. 99. Vit phng trình ng th ng d ct
th ( ) 3 2 C : y = x − 3x + 4 t
i ba im phân bit
M(2; 0), N, P sao cho tip tuyn ca (C) t
i N và P vuông góc nhau ?
thi th i hc 2013 khi A l n I – THPT Bm Sơn – Thanh Hóa
S: − 3 ±
2 2
( ) = − .
d : y x 2
3
Thí d

215. 100. G i 1 k là h s góc ca tip tuyn t
i giao im ca
th hàm s ( ) m
x m
C : y
+
x 1
=
+
vi tr$c hoành.
G i 2 k là h s góc ca tip tuyn vi
th ( ) m C t
i im có hoành x =1. Tìm tt c các giá tr
ca tham s m sao cho
1 2 k + k
t giá tr nh nht ?
thi th i hc 2013 l n III – Chuyên Nguyn Quang Diêu – ng Tháp
S:
k + k = 1 khi
1 2 min
= −

217. m 1
m 3
=

218. .
Thí d

219. 101. Vit phng trình tip tuyn vi
th ( ) x
C : y ,
x 1
=
−
bit rng khong cách t# tâm i xng ca
(C) n tip tuyn là ln nht ?
thi th i hc 2011 khi B, D – THPT Lê Van Hưu – Thanh Hóa
S: o x = 0 : y = −x và vi o x = 2: y = −x +4 .
Thí d

220. 102. Lp phng trình tip tuyn ca ( C ) x −
2
: y
x 1
=
+
mà tip tuyn này ct hai ng tim cn l

221. n lt t
i
các im A,B sao cho bán kính vòng tròn ni tip IAB ln nht, vi I là giao ca hai ng tim cn ?
S: : y = x +2 ±2 3 .
Bài tp rèn luyn v tip tuyn và bài toán liên quan n tip tuyn
BT 80. Vit phng trình tip tuyn ca
th hàm s ( ) 1 −
x
C : y ,
2x 1
=
+
sao cho tip tuyn i qua giao im ca
ng tim cn và tr$c Ox ?
thi th i hc 2014 khi D l n II – THPT Chuyên Vinh Phúc
S: 1 1
= − − .
d : y x
12 24
BT 81. Tìm m tip tuyn ca ( ) ( ) 3 2
m C : y = x + 3mx + m +1 x +1 t
i im có hoành x =−1 i qua
im A(1; 2) ?
thi th i hc 2013 khi A – Tui Tr! online ( s 1)
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 25 -

222. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
S: 5
m
= .
8
BT 82. Vit phng trình tip tuyn ca ( ) 2x −
1
C : y ,
x 1
=
+
bit rng tip im ca tip tuyn ó vi (C) cách
im A(0;1) mt khong = 2 ?
thi th i hc 2013 khi A l n II – THPT Chuyên H Vinh
S: 1 d : y = 3x −1 hoc 2
x 1
d : y
= + .
3 3
BT 83. Vit phng trình tip tuyn ca ( ) x
C : y
1 x
=
−
t
i M, bit rng tip tuyn ó ct các tr$c t a t
i A và
B sao cho M là trung im ca AB ?
thi th i hc 2014 – s 01 – Tp Chí Toán Hc Tui Tr!
S: : x − y −4 = 0 .
BT 84. Tìm m
th hàm s ( ) 3
m C : y = x − 3mx + 2 có tip tuyn t
o vi ng th ng d : x + y + 7 = 0
góc , bit
1
cos
= ?
26
thi th i hc 2013 khi A l n I – THPT Chuyên Vinh Phúc
S: 1
m
− .
2
BT 85. Vit phng trình tip tuyn vi ( ) 2x +
1
C : y ,
x 1
=
+
bit tip tuyn cách u hai im A(2; 4) và
B(−4;−2) ?
thi th i hc 2013 khi A, B – THPT Thu
n Thành S I – Bc Ninh
S: d : y = x +1 hoc d : y = x + 5 .
BT 86. Vit phng trình tip tuyn ca
th ( ) 2x −
1
C : y ,
x 1
=
−
bit rng tip tuyn này ct tr$c Ox,Oy l

223. n lt
t
i A,B tha: OA = 4OB ?
thi th i hc 2010 l n II – THPT Chuyên HSP Hà Ni
S: 1 5
= − + hoc 1 13
d : y x
4 4
= − + .
d : y x
4 4
BT 87. G i d là tip tuyn ca ( ) ( ) 3 2 2 3
m C : y = x −3mx + 3 m −1 x −m +1 t
i im cc
i A, ng th ng d
ct tr$ Oy t
i im B. Tìm m din tích tam giác OAB bng 6, vi O là gc t a ?
thi th i hc 2013 khi A – THPT Lương Ngc Quyn – Thái Nguyên
S: m = −1 # m = 3 .
BT 88. Cho A(0;m) và hàm s x +
2
y
x 1
=
−
có
th (C) . Tìm m t# A k+ c hai tip tuyn n (C) và hai
tip im ca hai tip tuyn ó nm v hai phía tr$c hoành ?
thi th i hc 2013 khi A l n II – THPT Chuyên H Long
S: 2
m
− và m 1.
3
BT 89. Tìm trên d : y = 2x +1 các im t# ó k+ c duy nht mt tip tuyn ti ( ) x +
3
C : y
x 1
=
−
?
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 26 -

224. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
S: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 M 0;1 ,M −1;−1 ,M 2;5 ,M4 1; 3 .
BT 90. Tìm m ( ) ( ) 3 2
m C : y = −x + 2m + 1 x − m −1 tip xúc vi ng th ng d : y = 2mx −m −1 ?
thi th i hc 2013 l n I khi D – THPT Lê Xoay
S: 1
= # = .
m 0 m
2
BT 91. G i I là giao im ca hai tim cn
th hàm s ( ) 2x −
1
C : y
x 1
=
−
và M là im bt ky trên (C), tip
tuyn ca (C) t
i M ct các tim cn t
i A và B. Chng minh rng IAB S không !i khi M thay !i trên
(C) ?
thi th i hc 2011 khi A – THPT Chuyên Lê Quí ôn
12 1
S: ( ) IAB
IA = ; IB = 2 a + 1 S = IA.AB =
12
a +
1 2
.
BT 92. Vit phng trình tip tuyn vi ( ) 2x
C : y ,
x 2
=
+
bit khong cách t# tâm i xng ca (C) n tip
tuyn là ln nht ?
thi th i hc 2010 – THPT B H – Bc Giang
S: d : y = x hoc d : y = x + 8 .
BT 93. Vit phng trình tip tuyn vi
th ( C ) x +
2
: y
x 1
=
+
sao cho khong cách t# giao im ca hai ng
tim cn n tip tuyn là ln nht ?
S:
= − +

226. = − −

227. y x 2
:
y x 2
.
BT 94. G i I là giao im ca hai tim cn ( C ) 2x +
1
: y
x 1
=
−
. Tìm M (C) sao cho tip tuyn ca (C) t
i M ct
hai tim cn t
i A và B vi chu vi tam giác IAB
t giá tr nh nht ?
S: ( ) ( ) 1 2 M 1 3;2 3 , M 1 3;2 3 P 4 3 2 6 + + − − = + .
BT 95. Chng minh rng khi m thay !i thì ( ) 4 2
m C : y = x + mx − m −1 luôn luôn i qua hai im c nh
A,B . Tìm m các tip tuyn t
i A và B vuông góc vi nhau ?
S: 3 5
= − # = − .
m m
2 2
BT 96. Tìm giá tr nh nht ca m sao cho t
n t
i ít nht mt im (C) x +
1
M : y
2x 1
=
−
mà tip tuyn ca (C)
t
i M t
o vi hai tr$c to
mt tam giác có tr ng tâm nm trên ng th ng d : y = 2m −1 ?
S: 1
m
= .
3
BT 97. Tìm m tip tuyn ca
th hàm s ( ) 3
m C : y = x − mx + m −1 t
i im M có hoành x =−1 ct
(C)
ng tròn có phng trình ( ) 2 2 C : x + y − 4x − 6y + 9 = 0 theo dây cung có dài nh nht ?
S: m = 2 .
BT 98. Vit phng trình tip tuyn ca ( ) x
C : y ,
x 1
=
−
bit tip tuyn t
o vi hai ng tim cn ca (C) mt
tam giác có chu vi = 4 +2 2 ?
S: y = −x # y = −x + 4
BT 99. Hãy vit phng trình tip tuyn chung ca ( ) 3 2 C : y = x − 4x vi parabol ( ) 2 P : y = x − 8x + 4 ?
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 27 -

228. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
thi th i hc 2010 l n I – THPT Chuyên Lê Quí ôn
BT 100. Hai im M, N thay !i trên (C) : y = x3 + 3x2 + 3x + 2 sao cho tip tuyn ca (C) t
i M song song
vi tip tuyn ca (C) t
i N. Vit phng trình ng th ng MN bit MN t
o vi các tr$c to
mt
tam giác có din tích bng 8
3
?
S: 1 4
= + hoc MN : y = 3x + 4 .
MN : y x
3 3
§ 5. BÀI TOÁN TÌM I-M .C BIT C/A 0 TH%
I – Bài toán t!ng quát và phơng pháp gii
¾ Bài toán t!ng quát: Cho hàm s y = f (x) có
th (C) . Tìm im M (C) tha mãn iu kin K cho trc
¾ Phơng pháp gii:
+ G i ( ( )) ( ) o o M x ; f x C .
+ T# iu kin K cho trc, bin !i d-n n phng trình (hoc bt phng trình) theo o x , gii tìm
( ) ( ( )) o o o o o x //0y = f x //0M x ; f x .
Mt s kin th'c c(n nh:
¾ Khong cách gia hai im A,B là: ( ) ( ) 2 2
B A B A AB = x −x + y −y .
ax + by +
c
¾ Khong cách ( ) o o M x ; y n : ax +by+c =0 là ( ) o o
2 2
d M;
a b
=
+
.
+ Nu ( ) o : x = a d M; = x − a .
+ Nu ( ) o : y = b d M; = y − b .
+ T!ng khong cách t# M n hai tr$c t a là:
o o x + y .
2
Din tích S .AB.AC. sinA AB 2 .AC 2
( AB.AC
)¾ = = −
ABC
2 2 1 1
.
x x 2x
y y 2y
+ =
¾ A,B i xng nhau qua im I I là trung im AB A B I
+ =
A B I
.
¾ A,B i xng nhau qua ng th ng
AB
I
1
(vi I là trung im AB)
x x
=
+ A,B i xng nhau qua tr$c hoành A B
y y
= −
A B
Ox
.
x x
= −
+ A,B i xng nhau qua tr$c tung A B
y y
=
A B
Oy
.
¾ Khong cách gia ng th ng vi ng cong (C) bng khong cách nh nht gia mt im M và
mt im N (C) .
¾ im M(x; y) c g i là có to
nguyên nu x và y u là s nguyên.
Thí d

229. 103. Tìm trên
th ( ) 1 −
x
C : y
2x 1
=
+
tt c các im có t a nguyên ?
S: có bn im ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 M 0;1 , M −1;−2 , M 1; 0 , M −2;−1 c

230. n tìm.
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 28 -

231. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
Thí d

232. 104. Lp phng trình Parabol ( ) 2 ( ) P : y = ax + bx + c, a, b, c bit rng parabol (P) i qua các
im ( ) ( ) i i
2x 3
M x ; y C : y
−
x 1
=
+
có t a là các s nguyên vi hoành i x −4 ?
thi th i hc 2014 l n I khi A – THPT Chuyên Lào Cai
S: ( ) 2 P : y = x − 3x − 3 .
Thí d

233. 105. Tìm trên ( C ) 2x +
1
: y
x 1
=
+
nhng im có t!ng khong cách n hai tim cn là nh nht ?
thi th i hc 2011 khi A, B – THPT Nguyn Hu
S: có hai im M(0;1) hoc M(−2; 3) c

234. n tìm.
Thí d

235. 106. Tìm các im M trên ng th ng d : y = −2x +19, bit rng tip tuyn ca
th
( ) ( )( )2
C : y = x + 2 x −1 i qua im M vuông góc vi ng th ng d ' : x + 9y − 8 = 0 ?
thi th i hc 2013 l n I – THPT Tr n Phú – Hà Tinh
S: ( ) 1 M 3;13 hoc 2
!
1 207
M ;
11 11
tha yêu c

236. u bài toán.
Thí d

237. 107. Tìm ( )
2x
A, B C : y
x 1
=
−
sao cho tip tuyn ca (C) t
i A, B song song vi nhau và OAB
vuông t
i O ?
S: A(−1;1), B(3; 3) hoc A(−3; 3), B(−1;1) là các im c

238. n tìm.
Thí d

239. 108. Tìm trên
th ( ) 2x
C : y
x 1
=
−
hai im B,C thuc hai nhánh, sao cho tam giác ABC vuông cân t
i
%nh A vi A(2; 0) ?
S: B(−1;1), C(3; 3).
!
7 9
Thí d

240. 109. Tìm im M ( C ) : y = x 3 − 3x + 2 sao cho ABM cân t
i M vi A ( 0;4 ) , B ;
2 4
?
thi th i hc 2012 l n VII – THPT Chuyên HSP Hà Ni
1 5 − 1 + 77 − 7 + 4 77 − 1 − 77 − 7 − 4 77
! ! !
S: 1 2 3
M ; , M ; , M ;
2 8 4 4 4 4
.
Thí d

241. 110. Tìm trên ( C ) 2x −
4
: y
x 1
=
+
hai im A,B i xng nhau qua ng th ng MN vi
M(−3; 0), N(−1;−1) ?
thi th i hc 2013 – THPT Thoi Ngc H u – An Giang
S: A(2; 0), B(0;−4) hoc A(0;−4), B(2; 0) là các im c

242. n tìm.
Thí d

243. 111. Tìm nhng im ( ) x −
1
M C : y
2x 2
=
+
sao cho tip tuyn vi (C) t
i M t
o vi hai tr$c t a mt
tam giác có tr ng tâm nm trên ng th ng d : 4x + y = 0 ?
thi th i hc 2014 – THPT Triu Sơn 4 – Thanh Hóa
S: 1
!
1 3
− −
M ;
2 2
hoc 2
!
3 5
−
M ;
2 2
.
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 29 -

244. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
Thí d

245. 112. Tìm A (C) : y = x3 − 3x + 1 bit rng tip tuyn ca
th (C) t
i im A, ct
th (C) t
i B
(khác im A) tha: A B x + x = 1 ?
thi th i hc 2013 l n II – THPT ng Thúc Ha – Ngh An
S: A(−1; 3) .
Thí d

246. 113. Tìm ( ) x +
2
M C : y
x 3
=
−
sao cho khong cách t# M n ng tim cn ngang bng 5 l

247. n khong
cách t# M n ng tim cn ng ?
thi th i hc 2013 khi A – THPT ào Duy T* – Thanh Hóa
S: M(4; 6) hoc M(2;−4) .
Thí d

248. 114. G i I là giao im ca hai ng tim cn ( C ) 2x −
1
: y
x 1
=
+
. Tìm trên
th (C) im M có hoành
dng, sao cho tip tuyn t
i M vi (C) ct hai ng tim cn t
i A và B tha mãn:
2 2 IA + IB = 40 ?
thi th i hc 2013 khi A, B – THPT Hà Huy T
p – Hà Tinh
S: M(2;1).
Thí d

249. 115. Tìm ( ) 2x −
1
M C : y
x 1
=
−
sao cho tip tuyn t
i M ca (C) t
o vi hai tim cn mt tam giác có bán
kính ng tròn ngo
i tip = 2 ?
thi th i hc 2013 l n I – THPT Hoàng L Kha – Thanh Hóa
S: ( ) 1 M 0;1 hoc ( ) 2 M 2; 3 .
Thí d

250. 116. G i I là tâm i xng ca
th hàm s ( ) x
C : y
1 x
=
−
. Tìm hai im A, B (C) t giác
là hình thang có áy AB = 3OI ?
OABI
thi th i hc 2014 – s 3 – Tp Chí Toán Hc Tui Tr!
− + + + − ! !
S: 1 5 1 5 5 5 5 5
A ; ;B ;
2 2 2 2
− − − − + − ! !
hoc 1 5 1 5 5 5 5 5
A ; ;B ;
2 2 2 2
Thí d

251. 117. Tìm trên ( C ) 2x −
3
: y
x 2
=
−
nhng im M sao cho tip tuyn t
i M ca (C) ct hai tim cn ca (C)
t
i A,B sao cho AB ngn nht ?
S: ( ) 1 M 1;1 hoc ( ) 2 M 3; 3 .
Thí d

252. 118. G i M là im bt kì trên ( ) 2x −
3
C : y , I
x 2
=
−
là giao im ca các ng tim cn. Tip tuyn d ca
(C) t
i M ct các ng tim cn t
i A và B. Tìm to
im M sao cho ng tròn ngo
i tip tam
giác IAB có din tích có din tích nh nht ?
thi th i hc 2011 – THPT Lương Tài II – Bc Ninh
S: ( ) ( ) 1 2 M 1;1 # M 3; 3 .
Thí d

253. 119. G i I là giao im hai ng tim cn ca ( C ) 2x −
1
: y
x 1
=
−
. Tìm t a các im A,B l

254. n lt thuc
hai nhánh ca (C) sao cho IA + IB
t giá tr nh nht ?
thi th i hc 2012 khi D – THPT Nguyn H(u C u Tp. HCM
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 30 -

255. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
S: A(0;1), B(2; 3) hoc A(2; 3), B(0;1) là các im c

256. n tìm.
Bài tp rèn luyn v tìm im c bit ca th hàm s
BT 101. Tìm M (Oxy) có úng 1 h ( )
2
C : y
m
2mx + m +
2m
2x 2m
=
+
i qua.
i hc Sư phm Qui Nhơn khi A nam 2000
S: tp hp im là mt ng tròn ( ) ( ) ( ) 2 2
C : x +1 + y −1 = 1 có tâm là I (−1;1) và bán kính R = 1
tr# i các im (0;1),(−2;1).
BT 102. Tìm ( ) 2x
M C : y ,
x 1
=
+
bit tip tuyn ca (C) t
i M ct tr$c Ox, Oy t
i A,B sao cho OAB
1
4 = ?
S
i hc khi D nam 2007
S:
!
1
− −
M ; 2
2
hoc M(1;1).
BT 103. Tìm các im ( ) 3 A,B C : y = −x + 3x sao cho tip tuyn ca (C) t
i A,B song song vi nhau và
AB = 4 2 ?
thi th i hc 2013 khi A – THPT Chuyên Lý T

257. Trng – C n Thơ
S: A(2;−2),B(−2;2) hoc A(−2;2),B(2;−2) thì tha yêu c

258. u bài toán.
BT 104. G i A,B là hai im cc tr ca ( ) 3 C : y = x − 3x + 2 . Tìm t a các im M (C) sao cho MAB
cân t
i M ?
thi th i hc 2013 khi A l n I – THPT Chuyên Bc Ninh
14 14 14 14
− − + ! !
S: 2 3
M ;2 , M ;2
2 4 2 4
.
BT 105. Tìm ( ) 4 −
2x
A,B C : y
x 1
=
−
sao cho tip tuyn vi (C) t
i các im ó song song vi nhau,
ng thi
ba im O,A,B t
o thành tam giác vuông t
i O vi O là gc t a ?
thi th i hc 2014 l n I khi A, B – THPT oàn Thưng – H#i Dương
S: A(−1;1), B(3; 3) hoc A(3; 3), B(−1;1) .
BT 106. Tìm im ( ) 2x +
1
M C : y ,
x 1
=
−
sao cho tip tuyn ca (C) t
i M ct tim cn ngang (C) t
i F và
EFM vuông t
i F vi E(1; 0) ?
thi th i hc 2014 l n II – THPT Chuyên HSP Hà Ni
S: ( ) 3 3 M 1+ 3;2 + 9 .
BT 107. Tìm nhng im trên
th hàm s ( ) x +
2
C : y
2x 1
=
−
cách u hai im A(2; 0), B(0;2) ?
thi th i hc 2011 khi D – THPT Nguyn Hu
± ± !
S: 1 5 1 5
M ;
2 2
.
BT 108. Tìm ( ) 3 M C : y = x − 3x + 2 tip tuyn ca (C) t
i im M ct
th (C) t
i im thc hai là N
tha mãn
M N x − x = 6 ?
thi th i hc 2013 l n I – THPT Thái Hòa – Ngh An
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 31 -

259. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
S: M(2; 4) # M(−2; 0).
BT 109. Tìm trên hai nhánh ca
th ( ) 2x +
1
C : y ,
x 1
=
−
các im M,N sao cho các tip tuyn t
i M và N ct hai
ng tim cn t
i bn im lp thành mt hình thang ?
S: m i im M, N thuc hai nhánh ca (C) u tha mãn yêu c

260. u bài toán.
BT 110. Tìm các im trên ( ) 2x −
3
C : y ,
x 1
=
+
sao cho tip tuyn t
i ó t
o vi hai tr$c t a mt tam giác có
din tích bng 18
5
(vdt) ?
thi th i hc 2011 l n II – TTBDVH Thang Long – Tp. HCM
BT 111. Tìm im M trên
th ( ) 2x +
1
C : y
x 1
=
+
sao cho khong cách t# M n ng th ng
d : x −4y + 8 = 0 là ngn nht ?
!
S: 3
M 1;
2
.
BT 112. Tìm im M d : y = 3x −2 sao t!ng khong cách t# M n hai im cc tr ca
( ) 3 2 C : y = x − 3x + 2 là nh nht ?
!
S: 4 2
M ;
5 5
.
BT 113. Tìm t a im ( ) 2x −
1
M C : y ,
x 1
=
+
sao cho khong cách t# im I (−1;2) ti tip tuyn ca (C)
t
i M là ln nht ?
thi th i hc 2011 l n I – THPT Lương Th Vinh – Hà Ni
S: ( ) ( ) 1 2 M −1+ 3;2− 3 # M −1− 3;2 + 3 .
BT 114. Tìm trên
th ( ) 3 C : y = x + 3x −2 các cp im i xng nhau qua im I (2;18) ?
S: A(1;2), B(3; 34) hoc A(3; 34), B(1;2).
BT 115. Tìm các im c nh ca ( ) ( ) 4 2
m C : y = x + mx − m +1 .
i hc Sư phm Vinh khi G nam 1999
S: A(−1; 0),B(1; 0) .
§ 6. BIN LU1N S NGHIM PHNG TRÌNH D$A VÀO 0 TH%
Loi 1. cho (C) : y = f (x) . Hãy v, ( ) ( ) 1
C : y = f x ?
¾ Bc 1. Ta có ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
C : y f x
1
f x khi f x 0
f x khi f x 0
= =
−
.
¾ Bc 2.
th hàm s ( ) 1 C c suy ra t# (C) nh sau:
+ Ph

261. n I: Gi l
i ph

262. n (C) phía trên Ox (khi f (x) 0) .
+ Ph

263. n II: Ly i xng qua Ox ca ph

264. n
th (C) nm di Ox .
+ Hp hai ph

265. n
th, ta c
th ( ) ( ) 1 C : y = f x .
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 32 -

266. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
Loi 2. cho (C) : y = f (x) . Hãy v, ( ) ( ) 2
C : y = f x ?
¾ Bc 1. Ta có ( ) ( )
( )
( ) ( )
C : y f x
2
f x khi x 0
= =
f x f x khi x 0
− =
.
¾ Bc 2.
th hàm s ( ) 2 C c suy ra t# (C) nh sau:
+ Ph

267. n I: Gi l
i ph

268. n (C) bên phi Oy (khi x 0) .
+ Ph

269. n II: Ly i xng qua Oy ph

270. n v#a gi l
i ca (C) .
+ Hp hai ph

271. n
th, ta c
th ( ) ( ) 2 C : y = f x .
Loi 3. cho (C) : y = f (x) . Hãy v, ( ) ( ) 3
C : y = f x ?
¾ Bc 1. Ta có: y = f (x) f (x) 0 x K thì y = ±f (x), x K .
¾ Bc 2.
th ( ) 3 C c suy ra t# (C) nh sau:
+ Ph

272. n I: Ph

273. n ca
th (C) : y = f (x) ng vi y 0 (trên Ox ).
+ Ph

274. n II: Là ph

275. n i xng vi ph

276. n (I) qua tr$c Ox.
+ Hp hai ph

277. n
th, ta c
th ( ) ( ) 3 C : y = f x .
Loi 4. cho (C) : y = f (x) . Hãy v, ( ) ( ) 4
C : y = f x ?
ây lo
i hp ca hai ph

278. n
th ( ) 1 C và ( ) 2 C .
¾ Gi l
i ph

279. n (C) bên phi Oy (b ph

280. n bên trái).
¾ Ly i xng qua Oy ph

281. n v#a gi l
i c ( ) 2 C .
¾ Gi l
i ph

282. n ( ) 2 C phía trên Ox.
¾ Ly i xng qua Ox ca ph

283. n
th ( ) 2 C nm di Ox .
Loi 5. cho
=
( C ) : y u ( x ) .v ( x
)
( )
( )
( )
u x
C : y
=
v x
. Hãy v, ( )
( ) ( )
( )
( )
=
C : u x
5
y u x .v x
y
v x
=
?
¾ Bc 1. Gi nguyên ph

284. n
th ( )
=

287. ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
y u x .v x
C : u x khi v x 0 I
y
v x
=

290. ¾ Bc 2. Ly i xng ph

291. n còn l
i qua tr$c hoành Ox (II)
( ) ( ) ( ) 5 I - II = C .
Thí d

292. 120. T# ( ) 3 2 C : y = x − 3x + 4, tìm m phng trình ( )3
2 4 − x + 4 + x −6 16 − x + 2m +1 = 0
có nghim ?
thi th i hc 2014 khi A l n I – THPT Ngô Gia T

293. – Vinh Phúc
S: 41 1 16 2
− − .
m
+
2 2
Thí d

294. 121. Da vào
th ( ) 3x −
4
C : y ,
x 2
=
−
hãy m phng trình 6 6 ( 4 4 ) ( ) sin x + cos x = m sin x + cos x , i
có hai nghim phân bit trên o
n
2

295. 2
0;

296. 3
?
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 33 -

297. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
thi th i hc 2010 l n II – THPT H
u Lc II
S: 1 7
m ;
2 10
!
.
Thí d

298. 122. Da vào
th ( ) 2x +
1
C : y
x 1
=
−
hãy tìm giá tr m h ( )
y 2 x y 1 0
x 2x y 4y 5 m
− − − =
− + − + =
2 2 2
( 1
)
( 2
)
có úng
bn nghim nguyên ?
thi th i hc 2013 khi A, B – THPT Hà Trung – Thanh Hóa
S: m = ± 10 .
x x
Thí d

299. 123. Da vào ( ) 4 2 C : y = −x + 4x −1, tìm m : ( ) ( ) ( )
2 4 3 +2 2 − 17 +12 2 = m −3m−2, i có
úng mt nghim

300. x 0; log 2
1 +
2
?
S:
= # =

302. m 0 m 3

303. 3 − 29 3 − 17

304. 3 + 17 3 + 29

305. m ; - ;

306. ! 2 2

307. 2 2
.
Thí d

308. 124. Da vào
th hàm s ( ) 4 2 C : y = 2x − 4x , hãy tìm m phng trình 2 2 x x −2 = m (i) có úng
nghim thc phân bit ?
i hc khi B nam 2009
6
S: m (0;1).
Thí d

309. 125. T# ( ) 4 2 C : y = −x + 4x − 3, hãy tìm m phng trình 4 2 2 ( ) −x + 4x −3 = 7m −m, $ có
nghim thuc

310. −2; 5
?
thi th i hc 2013 l n I khi A – THPT Lý Thái T – Bc Ninh
S: 1 8
− # .
1 m 0 m
7 7
Thí d

311. 126. T#
th ( ) 3 2 C : y = 2x − 9x +12x − 4, hãy tìm m phng trình 3 2 ( ) 2 x −9x +12 x = m, $
có 6 nghim phân bit ?
i hc khi A nam 2006
S: 4 m 5 .
Thí d

312. 127. Da vào
th hàm s ( ) x +
1
C : y ,
x 1
=
−
hãy bin lun theo m s nghim ca phng trình:
( ) ( ) 2 x −1 log m = x +1, i ?

313. log m − 1

314. 1 m

315. S: Nu ( ) 2
log m 1 2
m 2
2 ii :
có hai nghim phân bit.
1
Nu ( ) 2
= − = có úng mt nghim.
log m 1 m ii :
2
1
Nu ( ) 2
− vô nghim.
1 log m 1 m 2 ii :
2
Thí d

316. 128. Da vào ( ) x +
1
C : y ,
2x 3
=
+
hãy bin lun s nghim phng trình x +1 = m(2x + 3), (i) theo
tham s m ?
thi th i hc 2013 khi A – THPT C Loa – Hà Ni
S: Nu

317. 1
−

318. x ;0 :
2
(ii) vô nghim. Nu
!
1
x 0;
2
: (ii) có hai nghim.
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 34 -

319. Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
− − - -

320. +

321. !
Nu { } 1 1
x ; 0 ; :
2 2
phng trình có úng mt nghim.
Thí d

322. 129. Da vào
th hàm s ( ) 3 2 C : y = x − 3x , hãy bin lun theo m s nghim ca phng trình:
( )
x , i
2
m
x 2x
=
−
?
thi th i hc 2013 l n I – THPT ông Sơn I – Thanh Hóa
S: nu: m 0 # m 4 : (ii) có mt nghim.
Nu m = 0 : (ii) vô nghim. Nu m (0; 4) : (ii) có ba nghim phân bit.
Nu m = 4 : (ii) có hai nghim phân bit.
Thí d

323. 130. Da vào ( ) ( ) 2x −
1
C : y f x ,
x 1
= =
−
hãy tìm tham s m ( ) 2 m 4m x 1 .2 2x 1 0, i − − − + = có úng
hai nghim phân bit ?
S: m 2− 5 # m 2 + 5 .
Bài tp rèn luyn bin lun s nghim d#a vào th
BT 116. Da vào ( ) 3 C : y = −x + 3x +1, hãy tìm tham s m phng trình: x x 1 27 3 m 0 + − + = có úng hai
nghim phân bit ?
thi th i hc 2014 l n I – THPT Chuyên Nguyn ình Chi u
S: m (0;2).
BT 117. Da vào
th hàm s ( ) 4 2 C : y = 8x − 9x + 1, hãy bin lun theo m s nghim phng trình:
4 2 8 cos x − 9 cos x + m = 0, x

324. 0;2
?
thi th i hc 2013 khi A – THPT Chuyên Lê Quý ôn – à N+ng
S: Nu 81
phng trình vô nghim. Nu 81
m :
32
= phng trình có 2 nghim.
m :
32
Nu 81
phng trình có 4 nghim. Nu 0 m 1 : phng trình có 2 nghim.
1 m :
32
Nu m = 0 : phng trình có 1 nghim. Nu m 0 : phng trình vô nghim.
BT 118. Da vào
th ( ) 4 2 C : y = −x + 4x −1, hãy tìm m h phng trình:
4 2
x y 4x 1 0
x y 1 m 2m
+ − + = 2 2 2
+ − = −
3 1
= − + hãy tìm tham s m phng trình 4 − 2 + = 2 − +
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 35 -
có
úng ba nghim thc phân bit ?
S: m = 2 # m = 0 .
BT 119. T# ( ) 3 2 C : y = x −3x +1, hãy tìm tham s m ( ) 2m m 2x 2x −1 − 3 − 2x −1 + 4 = e − e có 5
nghim phân bit ?
S: Không có giá tr m tha yêu c

325. u bài toán.
BT 120. T#
th hàm s ( ) 4 2 C : y = x − 4x + 3, hãy tìm m phng trình 4 2
2 x −4x + 3 = log m có bn
nghim phân bit ?
thi th i hc 2010 – THPT Tng Van Trân – Nam
nh
S: m = 1 # 2 m 9 .
BT 121. T#
th hàm s ( ) 2 4 C : y = 2x − x , hãy tìm tham s m phng trình 4 2 m − x −2x = m có úng
ba nghim phân bit ?
thi th i hc 2010 – THPT B H – Bc Giang
S: m 0 .
BT 122. Da vào ( ) 4 2 3
C : y 2x 4x ,
2
2x 4x m m
2 2
có úng 8 nghim phân bit ?
mathvn.com
DeThiThuDaiHoc.com

326. mathvn.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn
S: m (0;1).
BT 123. Da vào ( ) x −
1
C : y ,
x 1
=
+
hãy bin lun s nghim ca phng trình: mx + m = x −1 + x +1 ?
S: Nu

328. m 0
m 2

329. : phng trình có hai nghim. Nu 0 m 2 : phng trình có mt nghim.
BT 124. Da vào
th hàm s ( ) 3 2 C : y = x + 3x − 4, hãy tìm m phng trình ( )2
2 log m
x 2
x 1
+ =
−
có úng
bn nghim ?
thi th i hc 2012 khi A, D1 – THPT Chuyên Ngoi Ng( – Hà Ni
S: m (1;16) .
BT 125. Da vào ( ) 3 C : y = x − 3x + 1, hãy tìm tham s m phng trình 3
3 x − 3 x = m − 3m có bn
nghim thc phân bit ?
S:
0 m 3
2 m 3
− − #
m 1
.
BT 126. Da vào
th hàm s ( ) 3 2 C : y = x − 3x + 2, hãy bin lun s nghim ca phng trình:
2 m
x 2x 2
x 1
− − =
−
?
thi th i hc 2011 khi A – THPT Minh Châu – Hưng Yên
S: Nu m −2 : vô nghim. Nu m = −2 : có 2 nghim kép.
Nu −2 m 0 : có 4 nghim Nu m 0 : có 2 nghim phân bit.
BT 127. Da vào ( ) 4 2 C : y = x −4x + 3, hãy tìm tham s m phng trình ( ) 2 2
2 x −1 x −3 = log m có hai
nghim phân bit ?
S: 1
# .
m 2 m 1
8
BT 128. Da vào ( ) 2x
C : y ,
x 1
=
−
hãy bin lun s nghim ca phng trình: (m −2) x − m = 0, x

330. −1;2
i hc Quc Gia Tp. HCM 1999 khi D t II
S: Nu m 1: hai nghim. Nu m = 1 : mt nghim.
Nu 1 m 4 : vô nghim. Nu m 4 : mt nghim.
BT 129. T#
th hàm s ( ) 3 2 C : y = x − x + 2, hãy nêu cách v
th hàm s ( ) 3 2 C' : y = x − x + 2 .
i hc Hàng H#i nam 1996
BT 130. Da vào
th hàm s ( ) 3 C : y = 2x −3x +2, hãy tìm m phng trình
( ) 4
x 3 −3x +2 = log m 2
+1 có bn nghim thc phân bit ?
2
S: m 1 # m 0 .
BT 131. Da vào ( ) ( )3
C : y = x −1 − 3x, hãy tìm m h bt
x 1 3x m 0
1 1
3
log x log x 1 1
2 3
− − −
( )
3
2
+ −
2 2
có nghim ?
S: m 5 .
DeThiThuDaiHoc.com
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay … Trang - 36 -